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第2章第4节 平面向量基本定理及坐标表示
题型1 平面向量的基本定理 题型2 平面向量的基底
题型3 用平面向量的基底表示平面向量 题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
题型5 平面向量加减法的坐标运算 题型6 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型7 平面向量共线（平行）的坐标表示
▉题型1 平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
2．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足2，则向量（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+t的值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
6．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
7．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣基底表示：将任意向量表示为基底向量的线性组合．
﹣转换基底：在不同基底下转换向量表示时，使用相应的基底向量．
8．已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
▉题型3 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
9．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且，那么为（　　）
A． B． C． D．
10．已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得xy，使得xy，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为xy（x，y）
11．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
▉题型5 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．
﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．
12．设向量满足||＝2，（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（3，4） C．（4，2） D．（﹣3，﹣4）
13．已知向量，，则|＝（　　）
A． B．2 C． D．5
（多选）14．已知向量，若，则x等于（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
15．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标；
（3）点P是直线P1P2上的一点．当时，点P的坐标是什么？
▉题型6 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
【解题方法点拨】
﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．
﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．
16．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．﹣11 C．11 D．
17．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
18．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
（多选）19．已知△ABC中，点D（1，2），E（2，0），F（3，2）分别为AB，BC，CA的中点，则（　　）
A． B．
C．点A的坐标为（2，4） D．△ABF的面积为4
（多选）20．已知向量和均不共线，且，则向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型7 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
21．已知平面向量，则“x＝2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
22．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
23．已知向量（4，x），（x，1），那么“x＝2”是“∥”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
24．已知向量与共线，则实数m＝（　　）
A．8 B．6 C．2 D．1
25．已知向量，，且，则x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．﹣2 C． D．4
26．已知向量（1，﹣3）与（4，k）共线，则实数k＝（　　）
A． B．﹣12 C．﹣4 D．
27．已知平面向量，，若与共线，则实数x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
28．已知向量（﹣1，2），（2，x）．若∥，则||＝（　　）
A． B． C． D．第2章第4节 平面向量基本定理及坐标表示
题型1 平面向量的基本定理 题型2 平面向量的基底
题型3 用平面向量的基底表示平面向量 题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
题型5 平面向量加减法的坐标运算 题型6 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
题型7 平面向量共线（平行）的坐标表示
▉题型1 平面向量的基本定理
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵λ （）
＝λ（1﹣λ）
∴，∴m＝λ．
故选：B．
2．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意可知（）．
故选：B．
3．已知△ABC，点D为边BC上一点，且满足2，则向量（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．在△ABC中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，可得3（），整理得，
结合D为AC中点，可得，所以，
结合题意，可得，，所以．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，，，若，则λ+t的值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解答】解：因为，
所以，
因为，
所以，，
因为，
所以，
解得：λ＝3，t＝2，
所以λ+t＝5．
故选：C．
6．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解答】解：对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底，故A错误，
对于B：因为，，所以，所以此两个向量不可以作为基底，故B错误，
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底，故C正确，
对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底，故D错误．
故选：C．
7．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由已知可得：△DEF∽△AEB，
又，即，
即，
即，
即，
故选：B．
▉题型2 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣基底表示：将任意向量表示为基底向量的线性组合．
﹣转换基底：在不同基底下转换向量表示时，使用相应的基底向量．
8．已知，是平面上两个不共线的向量，以下可以作为平面向量一组基底的是（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【解答】解：对于A，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故A不符题意；
对于B，因为，所以不可以作为平面向量一组基底，故B不符题意；
对于C，假设，则存在唯一实数λ，使得，即，
所以，无解，
所以向量不共线，所以可以作为平面向量一组基底，故C符合题意；
对于D，因为，所以，
所以不可以作为平面向量一组基底，故D不符题意．
故选：C．
▉题型3 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
【解题方法点拨】
﹣表示转换：将向量写成基底向量的线性组合．例如，用基底和表示为．
﹣基底选择：在特定的基底下表示向量时，选择适当的基底并进行线性组合．
9．如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且，那么为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，可得，即，整理得．
故选：A．
10．已知在平行四边形ABCD中，，，记，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，
则，其中，，
因为在平行四边形ABCD中，有，
所以．
故选：D．
▉题型4 平面向量的正交分解及坐标表示
【知识点的认识】
1、平面向量的正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
2、平面向量的坐标表示：
若、为平面直角坐标系中与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任一向量，有且仅有一对实数x，y，使得xy，使得xy，我们把（x，y）称为的坐标．表达式为xy（x，y）
11．设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．
（1）求F3的大小；
（2）求F2与F3的夹角．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意||＝||，
∵|F1|＝1，|F2|＝2，且与的夹角为π，
∴||＝||；
（2）∵（），
∴ ，
∴ 2 cos，1 2 （）﹣4，
∴cos，，
∴，．
▉题型5 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对向量的坐标分量进行加减操作，得出结果．
﹣实际应用：用于解决如点的移动、向量差等问题．
12．设向量满足||＝2，（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（　　）
A．（﹣4，﹣2） B．（3，4） C．（4，2） D．（﹣3，﹣4）
【答案】A
【解答】解：∵，且与的方向相反，∴设，
又∵，
∴4t2+t2＝20，t2＝4，t＝﹣2，此时．
故选：A．
13．已知向量，，则|＝（　　）
A． B．2 C． D．5
【答案】A
【解答】解：根据题意，向量，，
则（﹣1，1），则||，
故选：A．
（多选）14．已知向量，若，则x等于（　　）
A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】CD
【解答】解：由，
可得，，
∴，，
又∵，
∴x2+x﹣2＝0，解得x＝1或﹣2．
故选：CD．
15．设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2）．
（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标；
（3）点P是直线P1P2上的一点．当时，点P的坐标是什么？
【答案】（1）；
（2）或；
（3）．
【解答】解：（1）当P是线段P1P2的中点时，，
∴（x1+x2，y1+y2）＝（，），
∴；
（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，分两种情况：
①当时，
，
∴P，
②当时，
，
∴P，
综上所述，点P的坐标为或；
（3）设P（x，y），
∵，
又∵，λ≠﹣1，
∴（x﹣x1，y﹣y1）＝λ（x2﹣x，y2﹣y），
即，解得，
∴．
▉题型6 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
【解题方法点拨】
﹣数乘计算：将向量的每个分量乘以标量k，得到数乘结果．
﹣线性运算应用：在计算问题中应用线性运算规则，如向量的缩放和组合问题．
16．已知向量（5，1），（m，9），（8，5）．若A，C，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．﹣11 C．11 D．
【答案】C
【解答】解：因为向量，，
所以，
因为A、C、D三点共线，则，
，
所以5（m+5）＝8×10，解得m＝11．
故选：C．
17．已知点A（﹣1，2），B（0，3），点P在线段AB上，且，则点P的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由点P在线段AB上，且知，
设P点坐标为（x，y），则（x+1，y﹣2）＝3（﹣x，3﹣y），
即，解得x，y．
故选：B．
18．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为点A（﹣1，4），B（3，7），设C（x，y），
可得，，
又，所以，
即，解得．
故选：B．
（多选）19．已知△ABC中，点D（1，2），E（2，0），F（3，2）分别为AB，BC，CA的中点，则（　　）
A． B．
C．点A的坐标为（2，4） D．△ABF的面积为4
【答案】ACD
【解答】解：E（2，0），F（3，2），所以，故A选项正确；
因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以，故B选项错误；
设A（x，y），B（m，n），C（p，q），
则有，，，
解得A（2，4），B（0，0），C（4，0），故C选项正确；
由C可知，
所以△ABF的面积为S△ABC﹣S△BCF＝8﹣4＝4，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）20．已知向量和均不共线，且，则向量可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解答】解：由向量和均不共线，且，
可得，不共线．
A．∵1×（﹣1）﹣3×3＝﹣10≠0，∴不共线，A正确．
B．∵，∴，故为共线向量，B错误．
C．∵﹣3×2﹣2×3＝﹣12≠0，∴不共线，C正确．
D．∵，∴，故为共线向量，D错误．
故符合条件的只有AC．
故选：AC．
▉题型7 平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的认识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
21．已知平面向量，则“x＝2”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若“”成立，则x（x+2）﹣2×4＝0，解得x＝2或﹣4，
因此，由“x＝2”可以推出“”，反之，由“”不能推出“x＝2”，
故“x＝2”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
22．已知点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，） B．（﹣8，1） C．（1，） D．（8，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点A（3，﹣2），B（﹣5，﹣1），且，设点P的坐标为（x，y），
则（x﹣3，y+2）（﹣8，1）＝（﹣4，），
∴x﹣3＝﹣4，y+2，求得x＝﹣1，y，故点C的坐标为（﹣1，），
故选：A．
23．已知向量（4，x），（x，1），那么“x＝2”是“∥”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：向量（4，x），（x，1），∥，则4＝x2，解之得x＝±2，
则“x＝2”是“x＝±2”的充分而不必要条件，
即向量（4，x），（x，1），那么“x＝2”是“∥”的充分而不必要条件，
故选：A．
24．已知向量与共线，则实数m＝（　　）
A．8 B．6 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：由题意得，m＝3（m﹣4），解得m＝6．
故选：B．
25．已知向量，，且，则x的值为（　　）
A．﹣2或4 B．﹣2 C． D．4
【答案】D
【解答】解：因为，向量，，
则2（x﹣2）＝x，解得x＝4．
故选：D．
26．已知向量（1，﹣3）与（4，k）共线，则实数k＝（　　）
A． B．﹣12 C．﹣4 D．
【答案】B
【解答】解：∵向量（1，﹣3）与（4，k）共线，
∴，
解得k＝﹣12．
故选：B．
27．已知平面向量，，若与共线，则实数x的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
【答案】A
【解答】解：由题意可得，
∵与共线，
∴﹣2（1+2x）＝﹣10，解得x＝2．
故选：A．
28．已知向量（﹣1，2），（2，x）．若∥，则||＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：向量（﹣1，2），（2，x）．∥，
则﹣x＝4，解得x＝﹣4，
故．
故选：B．

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