资源简介

第2章第5节 从力的做功到向量的数量积
题型1 平面向量的概念与平面向量的模 题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量数量积的含义与物理意义 题型4 平面向量数量积的性质及其运算
题型5 平面向量的投影向量 题型6 平面向量的数量投影
题型7 平面向量数量积的坐标运算 题型8 数量积表示两个平面向量的夹角
题型9 两点间的距离公式
▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【答案】B
【解答】解：对于选项A，若，则与的模相等，但方向无法确定，即选项A错误；
对于选项B，零向量的长度是0，即选项B正确；
对于选项C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，即选项C错误；
对于选项D，共线向量是方向相同的向量，规定零向量与任意向量共线，即选项D错误，
故选：B．
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，向量，则，
所以与向量同向的单位向量为．
故选：B．
3．下面命题中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解答】解：对于A，若，但两向量方向不确定，则不成立，故A错误；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若，则两向量反向，因此，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．
故选：C．
▉题型2 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【知识点的认识】
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若||＝||，则或．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故答案为：①．
4．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
▉题型3 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
5．已知平面内三点A（2，1），B（6，4），C（1，16），则向量在的方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
∴，，
∴在方向上的投影为：．
故选：C．
▉题型4 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 　①②　 ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
6．已知θ∈R，向量，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解答】解：由题意可得：．
故选：A．
7．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，
∵分别表示与方向相同的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
故所在直线为∠BAC的角平分线所在直线，
∵，∴∠BAC的平分线与BC垂直，故AB＝AC；
取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，
根据平面向量的减法法则和中线向量可得，
∴，
建立如图平面直角坐标系，
则，故，
因为点D是△ABC的边AB上的动点，
所以设，则，∴，
∴，，
根据平面向量数量积的坐标公式可得，
利用二次函数的性质可知当时，有最小值，最小值为．
故选：C．
（多选）8．对于平面向量，，，下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，且，则
D．可以作为平面向量的一个基底
【答案】BCD
【解答】解：对于A：若，则，
所以，
所以，
所以，故A正确；
对于B：是与共线的向量，是与共线的向量，
而与不一定是共线向量，故B错误；
对于C：若，可得，
因为，则或，故C错误；
对于D：因为，
所以与共线，
所以不可以作为平面向量的一个基底，故D错误．
故选：BCD．
9．在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝3，AD＝a，且，则a的最大值为　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：因为在平面四边形ABCD中，又AB＝BC＝CD＝3，AD＝a，且，
所以作出示意图如下：
其中点E满足，所以AD＝CE，
所以，
所以，
所以AD＝CE≤BC+BE＝5，当且仅当C，B，E三点共线，即AD∥BC时等号成立，
所以a的最大值为5．
故答案为：5．
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，A＝60°，点D，E满足AD＝2DB，，AC边上的中线BM与DE交于点O．设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求∠MOE．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为BM为AC边上的中线，
，
因为，
所以，
所以；
（2）由AB＝3，AC＝4得，
又A＝60°，所以向量与的夹角为60°，
由图形可知∠MOE的大小等于向量与的夹角，
，
，
，
所以，
又因为∠MOE∈（0，π），所以．
▉题型5 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
11．若向量，满足||＝3， 6，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为||＝3， 6，
所以在上的投影向量为．
故选：D．
12．已知向量（0，），（1，），则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：因为向量（0，），（1，），
所以向量在向量方向上的投影向量为：
||cos，（1，）＝（，）．
故选：D．
13．已知向量（﹣1，2），（2，﹣1），则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据投影向量的定义，可得向量在向量方向上的投影向量为：
．
故选：B．
14．已知（1，），（2，0），则在上的投影向量为（　　）
A．（1，0） B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，可得||＝2，1×20＝2，
所以在上的投影向量为 （1，0）．
故选：A．
▉题型6 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2、向量的投影：||cosθ∈R，称为向量在方向上的投影．
15．已知，则在方向上的投影为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵，可得（3，﹣3），
∴3﹣6＝﹣3，，
∴在方向上的投影为：．
故答案为：．
▉题型7 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
16．设x∈R，向量且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，又，所以3﹣x＝0，解得x＝3，
所以，
所以，
所以．
故选：B．
17．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】B
【解答】解：由题意，可得，
又，所以．
故选：B．
18．已知平面向量，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，
由，得，
所以．
故选：A．
19．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
20．若向量（﹣7，t），（﹣1，4），且⊥，则t＝（　　）
A．28 B．﹣28 C． D．
【答案】D
【解答】解：由，可得，即4t+7＝0，解得．
故选：D．
▉题型8 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 　60°　 ．
解：cos60°+isin60°．
∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
21．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解答】解：设向量与向量的夹角为α，
由题意得，||＝||＝1，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
即，
所以||1，
则cosα1，
因为0°≤α≤180°，
所以α＝60°．
故选：B．
22．设向量，满足||＝||＝1及|32|，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：将||平方，得，
由已知有：9+4﹣12cosθ＝7，∴，因为两个向量的夹角范围为：0≤θ≤π，
则θ．
故选：A．
23．平面向量，满足||＝2，||＝1，且（32） （）＝9，则向量，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，且，
所以，
则，，
设向量的夹角为θ，则，
则θ．
故选：B．
24．已知向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵，
∴，∴，且，
∴，且，
∴．
故选：B．
25．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|，且，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
【答案】C
【解答】解：∵||＝||＝||，∴O到三角形三个顶点的距离相等，
∴O是三角形的外心，
根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C，D两个选项，
∴只要判断第三个条件可以得到三角形的内心或垂心就可以，
∵，∴（）＝0，0，∴，
同理得到另外两个向量都与边垂直，
得到P是三角形的垂心，
故选：C．
26．已知向量，满足||＝2||，若⊥（），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，，满足||＝2||，
若⊥（），则有，
即，
设与的夹角为θ，θ∈[0，π]，
则有，
则与的夹角为．
故选：B．
▉题型9 两点间的距离公式
【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
27．已知函数与函数y＝2x+1﹣2﹣1﹣x的图象交于M，N，P三点，则此三点中最远的两点间的距离为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：不妨记，
函数与y＝2x﹣2﹣x是奇函数且关于坐标原点对称，
易知f（x），g（x）两个函数的图象均以点（﹣1，0）为对称中心，
所以三个交点中一个必是点（﹣1，0），另外两个点关于点（﹣1，0）对称．
不妨记N（﹣1，0），设，所以f（x1）＝g（x1），
即，解得x1+1＝1，x1＝0，
则，
所以此三点中最远的两点间的距离为．
故答案为：．
28．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A（x1，y1），B（x2，y2），则欧几里得距离D（A，B），曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，余弦距离e（A，B）＝1﹣cos（A，B），其中cos（A，B）＝cos （O为坐标原点）．
（提示：方程ax+by+c＝0（a，b，c∈R）表示一条直线，可由两点求直线方程）
（1）若A（﹣1，2），B（1，﹣1），求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离e（A，B）；
（2）若点M（2，1），d（M，N）＝1，求e（M，N）的最大值．
【答案】（1）d（A，B）＝5，；
（2）．
【解答】解：（1）因为A（﹣1，2），B（1，﹣1），
所以d（A，B）＝|﹣1﹣1|+|2﹣（﹣1）|＝5，
可得（﹣1，2），（1，﹣1），
所以||，||，
又因为，
所以，
由题意可得；
（2）设N（x，y），由题意得：d（M，N）＝|2﹣x|+|1﹣y|＝1，
即|x﹣2|+|y﹣1|＝1，
当时，可化为x+y﹣4＝0；
当时，可化为x﹣y﹣2＝0；
当时，可化为x﹣y＝0；
当时，可化为x+y﹣2＝0；
而|x﹣2|+|y﹣1|＝1表示的图形是正方形ABCD，
其中A（2，0）、B（3，1）、C（2，2）、D（1，1）．
即点N在正方形ABCD的边上运动，，，
当取到最小值时，最大，相应的e（M，N）有最大值，
因此，点N有如下两种可能：
①点N为点A，则，
可得 2×2+1×0＝4，||，||＝2，
可得；
②点N在线段CD上运动时，此时与同向，取，
得 2×1+1×1＝3，||，||，
则．
因为，所以e（M，N）的最大值为．
29．如图，在四面体A﹣BCD中，AC＝2，，AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，求线段MN的长．
【答案】或．
【解答】解：取BC的中点E，连接EM，EN，
∵M，E分别是AB，BC的中点，∴ME∥AC，ME＝AC＝1，
同理得ENBD，EN＝BD，
∴∠MEN是异面直线AC与BD所成角或其补角，
∵AC与BD所成的角为45°，
∴∠MEN＝45°或∠MEN＝135°，
在△MEN中，ME＝1，EN，
当∠MEN＝45°时，
MN，
当∠MEN＝135°时，
MN，
∴线段MN的长为或．
故答案为：或．第2章第5节 从力的做功到向量的数量积
题型1 平面向量的概念与平面向量的模 题型2 平面向量中的零向量与单位向量
题型3 平面向量数量积的含义与物理意义 题型4 平面向量数量积的性质及其运算
题型5 平面向量的投影向量 题型6 平面向量的数量投影
题型7 平面向量数量积的坐标运算 题型8 数量积表示两个平面向量的夹角
题型9 两点间的距离公式
▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．零向量的长度是0
C．长度相等的向量叫相等向量
D．共线向量是在同一条直线上的向量
2．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．下面命题中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
▉题型2 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【知识点的认识】
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若||＝||，则或．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故答案为：①．
4．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型3 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
5．已知平面内三点A（2，1），B（6，4），C（1，16），则向量在的方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【解题方法点拨】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 　①②　 ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
6．已知θ∈R，向量，则（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
（多选）8．对于平面向量，，，下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．
C．若，且，则
D．可以作为平面向量的一个基底
9．在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝3，AD＝a，且，则a的最大值为　　 ．
10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，A＝60°，点D，E满足AD＝2DB，，AC边上的中线BM与DE交于点O．设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求∠MOE．
▉题型5 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
【解题方法点拨】
投影，是一个动作．投影向量，是一个向量．我们把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解为投影数量乘上一个方向上的单位向量．
（1）向量在向量上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量，且与共线，其方向由向量和夹角θ的余弦值决定．
（2）注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量为．
11．若向量，满足||＝3， 6，则在上的投影向量是（　　）
A． B． C． D．
12．已知向量（0，），（1，），则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
13．已知向量（﹣1，2），（2，﹣1），则向量在向量方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
14．已知（1，），（2，0），则在上的投影向量为（　　）
A．（1，0） B． C． D．
▉题型6 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2、向量的投影：||cosθ∈R，称为向量在方向上的投影．
15．已知，则在方向上的投影为 　　 ．
▉题型7 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
16．设x∈R，向量且，则（　　）
A． B． C． D．
17．已知，，则的值为（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
18．已知平面向量，若，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
19．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
20．若向量（﹣7，t），（﹣1，4），且⊥，则t＝（　　）
A．28 B．﹣28 C． D．
▉题型8 数量积表示两个平面向量的夹角
【知识点的认识】
我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量与不平行时，那么它们就会有一个夹角θ，并且还有这样的公式：cosθ．通过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了．
【解题方法点拨】
例：复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为 　60°　 ．
解：cos60°+isin60°．
∴复数zi与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为60°．
故答案为：60°．
点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（，1）与向量（，﹣1）的夹角．
21．已知，是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
22．设向量，满足||＝||＝1及|32|，则，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
23．平面向量，满足||＝2，||＝1，且（32） （）＝9，则向量，的夹角为（　　）
A． B． C． D．
24．已知向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
25．已知O，N，P在△ABC所在平面内，且|，且，则点O，N，P依次是△ABC的（　　）
A．重心 外心 垂心 B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心 D．外心 重心 内心
26．已知向量，满足||＝2||，若⊥（），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
▉题型9 两点间的距离公式
【知识点的认识】
﹣距离公式：两点（x1，y1）和（x2，y2）之间的距离由公式：
这是平面直角坐标系中常用的距离计算公式．
【解题方法点拨】
﹣计算距离：
1．代入公式：将两点的坐标代入距离公式．
2．简化计算：计算平方差的和，开方得到距离．
27．已知函数与函数y＝2x+1﹣2﹣1﹣x的图象交于M，N，P三点，则此三点中最远的两点间的距离为 　　 ．
28．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设A（x1，y1），B（x2，y2），则欧几里得距离D（A，B），曼哈顿距离d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，余弦距离e（A，B）＝1﹣cos（A，B），其中cos（A，B）＝cos （O为坐标原点）．
（提示：方程ax+by+c＝0（a，b，c∈R）表示一条直线，可由两点求直线方程）
（1）若A（﹣1，2），B（1，﹣1），求A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离e（A，B）；
（2）若点M（2，1），d（M，N）＝1，求e（M，N）的最大值．
29．如图，在四面体A﹣BCD中，AC＝2，，AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，求线段MN的长．

展开更多......

收起↑