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第2章第6节 平面向量的应用
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量在物理中的应用
题型3 平面向量的综合题 题型4 利用正弦定理解三角形
题型5 正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型6 正弦定理与三角形的外接圆
题型7 余弦定理 题型8 三角形中的几何计算
题型9 解三角形
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．已知平面内三点A（2，1），B（6，4），C（1，16），则向量在的方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，，则向量在方向上的投影为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
▉题型2 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
【解题方法点拨】
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；
（4）问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
3．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
4．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为（　　）
A．20N B． C．10N D．
5．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 　　 ．
▉题型3 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
（多选）6．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．下列说法正确的是（　　）
A．正三角形的费马点是正三角形的中心
B．若P为△ABC的费马点，且，则△ABC一定为正三角形
C．若△ABC三边长分别为1，，2，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为
D．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，bc＝2，若点P为△ABC的费马点，则
7．如图所示，点P，Q分别位于边长为1的正方形ABCD的边DC，CB上，∠PAQ，记点O为△APQ的外心，若，则x+y的最大值为 　 ．
8．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c＝4，b＝5，a＝6，线段BC边对应的高为AD，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
（1）求△ABC中高AD的长度；
（2）若∠BAC的角平分线交BC于E，求证；
（3）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且|OH|＝3|OG|．请合理运用欧拉线定理，求的值．
9．类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴x、y的交点为O，与x、y轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为θ，其中，由平面向量基本定理：对于平面内的向量，存在唯一有序实数对（x，y），使得，把（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标，也叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如θ＝45°时，方程表示斜坐标系内一条过点（﹣1，﹣3），且方向向量为（2，3）的直线．
（1）若θ＝45°，，，求；
（2）若θ＝45°，已知直线，求l的一个法向量．
10．在教材必修二第六章我们学面向量的加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，结果为实数．其实向量还有其他运算，比如外积，混合积．两个向量与的外积记为，其结果是一个向量．它的长度规定为，它的方向规定为与均垂直；从外积定义可以看出．当不共线时，长度表示以为邻边的平行四边形的面积．
设三个向量，称为这三个向量的混合积，也可记为．
在空间直角坐标系中，若，则，．
阅读上述材料，解答下列问题：
（1）已知，求；
（2）若向量，证明：当O，A，B三点不共线时、；
（3）证明：当不共面时，在数值上等于以为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍．
▉题型4 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，c＝2，则角C的大小是（　　）
A． B． C． D．或
12．在三角形ABC中，a＝2，，，则∠C＝（　　）
A． B． C．或 D．或
13．在△ABC中，已知，c＝12，，则A＝（　　）
A． B． C．或 D．或
▉题型5 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
【解题方法点拨】
﹣解的存在性：利用正弦定理验证已知条件是否能够构成三角形．
﹣解的个数：分析三角形的解的个数，如是否有唯一解、无解或多个解．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，，，则△ABC的解有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．在△ABC中，已知BC＝2，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，2） D．（2，4）
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝4，b＝5，A＝30°，则B的解的个数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
▉题型6 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
【解题方法点拨】
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
17．已知△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，acosB+bcosA＝csinC，若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为，则△IAB面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．48π
19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝2，4（S+1）＝b2+c2，则△ABC外接圆的半径为（　　）
A． B．1 C． D．2
（多选）20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r＝3，满足acosA+bcosB+ccosC，△ABC的面积S△ABC＝6，则（　　）
A．a+b+c＝4
B．R＝6
C．
D．
▉题型7 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．在△ABC中，∠B，AB＝8，AC＝7，则BC＝（　　）
A．5 B．3或5 C．4 D．2或4
22．在△ABC中，若，AB＝1，，则BC边上的高为（　　）
A．1 B． C． D．2
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则其最大角为（　　）
A． B． C． D．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2+a2＝b2，则△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，，则c＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型8 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
26．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B﹣sin2C＝2sinBsinC cosA，且，则（　　）
A． B． C． D．
27．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，，则边AC的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
28．△ABC的周长为18，若，则△ABC的内切圆半径的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
29．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+ab＝c2，若角C的内角平分线CM＝2，则 的最小值为（　　）
A．8 B．4 C．16 D．12
▉题型9 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
30．如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（　　）
A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，B，△ABC的面积S△ABC，则a+c＝（　　）
A．8 B． C． D．4
32．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进80米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝3AC，则楼高AB约为（　　）
（，结果保留2位小数）
A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米
33．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求a+c的取值范围．
34．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足C．
（1）求角C；
（2）若，，求△ABC的周长．第2章第6节 平面向量的应用
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量在物理中的应用
题型3 平面向量的综合题 题型4 利用正弦定理解三角形
题型5 正弦定理与三角形解的存在性和个数 题型6 正弦定理与三角形的外接圆
题型7 余弦定理 题型8 三角形中的几何计算
题型9 解三角形
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．已知平面内三点A（2，1），B（6，4），C（1，16），则向量在的方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
∴，，
∴在方向上的投影为：．
故选：C．
2．已知，，，则向量在方向上的投影为（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：∵，，
∴向量在方向上的投影为．
故选：D．
▉题型2 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
【解题方法点拨】
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
（1）问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
（2）模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
（3）参数的获取，求出数学模型的相关解；
（4）问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
3．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
【答案】B
【解答】解：根据题意，设河水的流速为v1，则|v1|＝2m/s，小船的静水速度为v2，合速度为v，|v|＝10，且v⊥v1，
有v＝v1+v2，则v2＝v﹣v1，
则有|v2|2，
故选：B．
4．如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为45°，，则物体的重力大小为（　　）
A．20N B． C．10N D．
【答案】A
【解答】解：如图，∵，
∴||＝1020N，
∵物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，
∴物体的重力大小为20N，
故选：A．
5．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，且，，与的夹角为，
所以，
2 1+2×1×2×cos4＝3，
||．
故答案为：．
▉题型3 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
（多选）6．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．“意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点．下列说法正确的是（　　）
A．正三角形的费马点是正三角形的中心
B．若P为△ABC的费马点，且，则△ABC一定为正三角形
C．若△ABC三边长分别为1，，2，则该三角形的费马点到各顶点距离之和为
D．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，bc＝2，若点P为△ABC的费马点，则
【答案】ABC
【解答】解：对于A，若O是正三角形ABC的中心，根据正三角形的性质易得∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，所以点O是正三角形ABC的费马点，故A正确；
对于B，如图，
取AB的中点D，则，因为，所以2，所以C，P，D三点共线，且点P是△ABC的重心，
又点P是△ABC的费马点，则∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，则∠APD＝∠BPD＝60°，又AD＝BD，由等面积法可得PA＝PB，同理可得PC＝PB，所以PA＝PB＝PC，
所以点P是△ABC的外心，所以点P是△ABC的中心，即△ABC是正三角形．故B正确；
对于C，如图，
在Rt△ABC中，AB＝1，，AC＝2，∠ACB＝30°，
设点O是Rt△ABC的费马点，将△COA绕点C顺时针旋转60°得到△CED，易证△COE，△ACD是正三角形，
则OC＝OE，OA＝DE，CD＝AC，且点B，O，E、D共线，所以∠BCD＝90°，
所以，又，
即该三角形的费马点到各顶点距离之和为，故C正确；
对于D，由费马点定义可得∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°，设PA＝x，PB＝y，PC＝z，x，y，z＞0，
由SΔABC＝S△PAB+S△PAB+S△PAB，可得1，
整理得，所以
，故D错误．
故选：ABC．
7．如图所示，点P，Q分别位于边长为1的正方形ABCD的边DC，CB上，∠PAQ，记点O为△APQ的外心，若，则x+y的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：先证明一个引理，
引理：若△ABC的外接圆半径为R，则，
证明如下：
设角A，B，C所对的边的边长分别为a，b，c，由正弦定理知，
故，从而引理得证，
回到原题，如下图所示，延长AO，交PQ于T，
则我们有，
由于T在直线PQ上，故，这就说明，
由于∠PAQ是圆周角，∠POQ是圆心角，故，这说明OP⊥OQ，
设△APQ的外接圆半径为R，则，且由引理知，
记∠APQ＝α，∠AQP＝β，则，
，
这就表明，
而我们又有：
，
所以，
这就证明了，根据以上的证明过程，可知只要α＝β，就有，
从而，
显然我们可以分别在边DC，BC上恰当选取P，Q，使得，此时有，
此时，满足题目条件，
且在这种情况下，有，所以∠APQ＝∠AQP，从而α＝β，
这意味着此时，
综上，x+y的最大值是．
故答案为：．
8．已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，且c＝4，b＝5，a＝6，线段BC边对应的高为AD，△ABC内心、重心、外心、垂心依次为点I、G、O、H．
（1）求△ABC中高AD的长度；
（2）若∠BAC的角平分线交BC于E，求证；
（3）欧拉线定理：设△ABC的重心，外心，垂心分别是G，O，H，则G，O，H三点共线，且|OH|＝3|OG|．请合理运用欧拉线定理，求的值．
【答案】；
（2）证明见解析；
（3）．
【解答】解：（1）△ABC中，c＝4，b＝5，a＝6，
由余弦定理得cosA，
所以sinA；
根据面积相等知，，
解得：AD；
（2）连接AI延长交BC于点E，如图所示：
根据角平分线定理知：，
则；
又在△ABE中，BI平分∠B，
根据角平分线定理知：，
；
根据欧拉线定理知：；
所以，
；
所以，
所以．
9．类似于平面直角坐标系，定义平面斜坐标系：设数轴x、y的交点为O，与x、y轴正方向同向的单位向量分别是、，且与的夹角为θ，其中，由平面向量基本定理：对于平面内的向量，存在唯一有序实数对（x，y），使得，把（x，y）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标，也叫做向量在斜坐标系xOy中的坐标，记为，在平面斜坐标系内，直线的方向向量（与直线平行的向量）、法向量（与直线垂直的向量）、点方向式方程等概念与平面直角坐标系内相应概念以相同方式定义，如θ＝45°时，方程表示斜坐标系内一条过点（﹣1，﹣3），且方向向量为（2，3）的直线．
（1）若θ＝45°，，，求；
（2）若θ＝45°，已知直线，求l的一个法向量．
【答案】（1）；
（2）.（答案不唯一）
【解答】解：（1）由已知θ＝45°，，，则，
因为，，
所以
所以；
（2）直线l的方程可变形为，
则依题意有直线l的方向向量为，
设l的一个法向量为，由得，，
令，则n＝﹣4，，
即l的一个法向量为.（答案不唯一）
10．在教材必修二第六章我们学面向量的加法、减法、数乘和数量积四种运算，其中数量积也称为内积，结果为实数．其实向量还有其他运算，比如外积，混合积．两个向量与的外积记为，其结果是一个向量．它的长度规定为，它的方向规定为与均垂直；从外积定义可以看出．当不共线时，长度表示以为邻边的平行四边形的面积．
设三个向量，称为这三个向量的混合积，也可记为．
在空间直角坐标系中，若，则，．
阅读上述材料，解答下列问题：
（1）已知，求；
（2）若向量，证明：当O，A，B三点不共线时、；
（3）证明：当不共面时，在数值上等于以为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍．
【答案】（1）．（2）证明见解答；（3）证明见解答．
【解答】解：（1）由题意知：，
则．
（2）证明：把平面向量改为空间向量，，
则由外积定义知：，
从外积定义可以看出，
当不共线时，长度表示以为邻边的平行四边形的面积，
所以．
（3）证明：，
而，
又因为的方向与均垂直，即与平面OAB垂直，
所以表示点C到平面OAB的距离，即为三棱锥C﹣OAB的高，
所以，
从而，所以当不共面时，
在数值上等于以为三条棱所构成的三棱锥的体积的6倍．
▉题型4 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
﹣
【解题方法点拨】
﹣应用正弦定理：用正弦定理解决三角形中的边长和角度问题，特别是在已知部分角和边的情况下．
﹣三角形的解法：在已知两个角和一个边，或两个边和一个角的情况下，利用正弦定理求解其他边和角．
11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，c＝2，则角C的大小是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解答】解：因为△ABC中，A，c＝2，
所以由正弦定理，可得，
根据a＞c，可得A＞C，C为锐角，所以．
故选：B．
12．在三角形ABC中，a＝2，，，则∠C＝（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解答】解：三角形ABC中，a＝2，，，
由可得：，
所以，又b＞a，
所以，C．
故选：B．
13．在△ABC中，已知，c＝12，，则A＝（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解答】解：因为在△ABC中，，c＝12，，
所以由正弦定理，可得，可得sinA，
又a＜c，可得A为锐角，
则A．
故选：B．
▉题型5 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
【解题方法点拨】
﹣解的存在性：利用正弦定理验证已知条件是否能够构成三角形．
﹣解的个数：分析三角形的解的个数，如是否有唯一解、无解或多个解．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，，，则△ABC的解有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：因为，
由正弦定理可得，，
因为，所以A＞B，
所以A的值有两个．
故选：C．
15．在△ABC中，已知BC＝2，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，2） D．（2，4）
【答案】A
【解答】解：因为三角形有两个解，所以BC sinB＜AC＜BC，即2×sinb＜2，所以．
故选：A．
16．若△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a＝4，b＝5，A＝30°，则B的解的个数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
【答案】A
【解答】解：由正弦定理可知，所以，
因为b＞a，所以B＞A，30°＜B＜150°，
所以B可能为大于A的锐角，也可能为钝角，即B有两解．
故选：A．
▉题型6 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
【解题方法点拨】
2R
（ R是△ABC外接圆半径）
17．已知△ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，acosB+bcosA＝csinC，若∠BAC与∠ABC的内角平分线交于点I，△ABC的外接圆半径为，则△IAB面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：acosB+bcosA＝csinC，则sinAcosB+sinBcosA＝sin2C，
所以sinC＝1，所以，
则△ABC为直角三角形，又外接圆半径R为，
所以，所以a2+b2＝c2＝8，
设内切圆半径为r，则，
又，
所以，
当且仅当a＝b时等号成立，
所以△IAB面积的最大值为．
故选：A．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝6，，则△ABC外接圆的面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．48π
【答案】B
【解答】解：根据正弦定理有2R4，
则R＝2，则△ABC外接圆的面积为π （2）2＝12π．
故选：B．
19．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且a＝2，4（S+1）＝b2+c2，则△ABC外接圆的半径为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC的面积为S，且a＝2，4（S+1）＝b2+c2，
∴可得：4S＝b2+c2﹣a2，
∴4bcsinA＝2bccosA，可得：tanA＝1，
∵A∈（0，π），
∴A，
∴则△ABC外接圆的半径R．
故选：C．
（多选）20．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，其外接圆半径为R，内切圆半径为r＝3，满足acosA+bcosB+ccosC，△ABC的面积S△ABC＝6，则（　　）
A．a+b+c＝4
B．R＝6
C．
D．
【答案】ABD
【解答】解：内切圆半径为r＝3，满足△ABC的面积S△ABC＝6，
所以，整理得a+b+c＝4；
满足acosA+bcosB+ccosC，
所以，
整理得sin2A+sin2B+sin2C，
，
解得R＝6．
故选：ABD．
▉题型7 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【解题方法点拨】
正余弦定理的应用
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．在△ABC中，∠B，AB＝8，AC＝7，则BC＝（　　）
A．5 B．3或5 C．4 D．2或4
【答案】B
【解答】解：由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcosB＝49，
整理得BC2﹣8BC+15＝0，解得BC＝3或5，经检验均符合题意．
故选：B．
22．在△ABC中，若，AB＝1，，则BC边上的高为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：，AB＝1，，
则，
设BC边上的高为h，则，解得．
故选：C．
23．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则其最大角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设a＝k，则b＝2k，，
∵c＞b＞a，∴∠C最大，
∵，C∈（0，π），∴．
故选：C．
24．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2+a2＝b2，则△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，4c2+a2＝b2，
由余弦定理得b2＝4c2+a2＝a2+c2﹣2accosB，则3c2＝﹣2accosB＞0，
因此cosB＜0，即B为钝角，所以△ABC的形状为钝角三角形．
故选：B．
25．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，b＝2，，则c＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：a＝5，b＝2，，
则c2＝a2+b2﹣2ab cosC，解得c．
故选：D．
▉题型8 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
【解题方法点拨】
几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
26．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A+sin2B﹣sin2C＝2sinBsinC cosA，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，由，得B为钝角，，
由sin2A+sin2B﹣sin2C＝2sinBsinCcosA
由正弦定理得a2+b2﹣c2＝2bccosA，
由余弦定理得a2+b2﹣c2＝2abcosC，
则2abcosC＝2bccosA，
即acosC＝ccosA，由正弦定理得sinAcosC＝sinCcosA，
即sin（A﹣C）＝0，
在△ABC中，可得A＝C，所以sinA＝sincos，
所以2sin，
因为cosB＝1﹣2sin2，可得sin，
所以．
故选：C．
27．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，，则边AC的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：法一：由余弦定理得BC2＝AC2+AB2﹣2AC AB cosA，
即3＝AC2+4﹣2AC 2cos60°，整理得AC2﹣2AC+1＝0，解得AC＝1．
法二：由正弦定理可得，即，
所以sinC1，结合C∈（0，π），可得C＝90°，
所以Rt△ABC中，AC1．
故选：A．
28．△ABC的周长为18，若，则△ABC的内切圆半径的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：由题意得a+b+c＝18，
因为，
所以，
即，
即，故，
又，
分子分母同除以可得，
，
如下图，△ABC的内切圆圆心为O，且圆O与AC相切于点E，与AB相切于点D，
设△ABC的内切圆半径为r，AD＝x，BD＝y，CE＝z，
显然，，
故，即xy＝3r2，
，整理可得，3r2（x+y）＝2xyz，
将xy＝3r2代入3r2（x+y）＝2xyz中得，x+y＝2z，
因为，
即，
所以，
故3z＝9，解得z＝3，x+y＝6，
则，当且仅当x＝y时，等号成立，
故△ABC的内切圆半径的最大值为．
故选：B．
29．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2+ab＝c2，若角C的内角平分线CM＝2，则 的最小值为（　　）
A．8 B．4 C．16 D．12
【答案】A
【解答】解：因为a2+b2+ab＝c2，
即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
由余弦定理可得a2+b2+﹣c2＝2abcosC，
所以cosC，而C∈（0，π），所以C，
因为 || ||cos（π﹣C）＝﹣bacosCab，
由S△ABCabsinC（b+a） CMsin，
即ab 2（a+b），
可得ab＝2（a+b）≥2 2，当且仅当a＝b时取等号，
即ab≥16，
所以 ab 16＝8．
即 的最小值为8．
故选：A．
▉题型9 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
30．如图，飞机飞行的航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行10千米到达B处，测得目标C的俯角为75°，这时B处与地面目标C的距离为（　　）
A．5千米 B．千米 C．4千米 D．千米
【答案】B
【解答】解：由题意知，在△ABC中，AB＝10，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°﹣30°＝45°，
由正弦定理得，
解得BC5．
∴B处与地面目标C的距离为5千米．
故选：B．
31．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b＝2，B，△ABC的面积S△ABC，则a+c＝（　　）
A．8 B． C． D．4
【答案】D
【解答】解：根据题意可知，，，
∴，得ac＝4，
∵，∴由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，4＝a2+c2﹣ac，
∴a2+c2＝8，∴a2+c2+2ac＝8+8＝16，∴（a+c）2＝16，
∵a+c＞0，∴a+c＝4．
故选：D．
32．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．与黄鹤楼、岳阳楼、滕王阁齐名，是中国古代四大名楼之一．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进80米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝3AC，则楼高AB约为（　　）
（，结果保留2位小数）
A．80.56米 B．81.46米 C．84.32米 D．86.56米
【答案】B
【解答】解：由已知设AC＝x，则BC＝3x，AB＝4x，
从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，即∠ADB＝30°，
所以∠BAD＝60°，
在△ABD中，BD4x，
又在△CBE中，因为看点C的仰角为45°，即∠BEC＝45°，
可得BE＝BC＝3x，
则，
则米．
故选：B．
33．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，求a+c的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且，
由正弦定理可得，
因为sinA＞0，所以，
又因为，
所以；
（2）因为，，
由正弦定理可得4，
可得a＝4sinA，c＝4sinC，
由正弦定理可得：a+c＝4（sinA+sinC）＝4[sinA+sin（A）]＝4（sinAsinAcosC）＝4sin（A），
因为三角形是锐角三角形，可得，可得，
可得A∈（，），可得sin（A）∈（，1]，
所以a+c的取值范围是：．
34．已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足C．
（1）求角C；
（2）若，，求△ABC的周长．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由及余弦定理 ．
因为△ABC是锐角三角形，所以cosC＞0，
所以，即，所以．
（2）由，可得，即ab＝6，
由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝7，
解得a+b＝5，
所以△ABC的周长为．

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