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第4章第1节 同角三角函数的基本关系
题型1 同角三角函数间的基本关系 题型2 同角正弦、余弦的平方和为1
题型3 同角正弦、余弦的商为正切
▉题型1 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cos（π+α）＝﹣cos _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cos（﹣α）＝cos _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _α ．
公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcosβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cos αcosβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcosβ +cos αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcosβ ﹣cos αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cos _α ；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
1．已知tanα＝2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为tanα＝2，
则．
故选：B．
2．已知sinα﹣2cosα＝0，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵sinα﹣2cosα＝0，
即sinα＝2cosα，
∴．
故选：D．
3．已知tanα＝5，则（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：因为tanα＝5，
所以1．
故选：B．
4．已知角α满足，则tanα的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
【答案】C
【解答】解：因为tanα，
由题意可得，
解得．
故选：C．
5．已知α为第四象限角，且tanα＝﹣2，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为α为第四象限角，cosα＞0，
因为tanα＝﹣2，所以cosα．
故选：A．
6．已知α为第四象限角，且tanα＝﹣2，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
又因为sin2α+cos2＝5cos2α＝1，
因为α为第四象限角，所以．
故选：A．
7．若2sin2θ+3cos2θ＝3，则cosθ＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【答案】C
【解答】解：2sin2θ+3cos2θ＝2﹣2cos2θ+3cos2θ＝3，
所以cos2θ＝1，
则cosθ＝±1．
故选：C．
（多选）8．已知α∈（0，π）且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．tan（5π﹣α）＝2
C． D．
【答案】AB
【解答】解：由，两边完全平方可得，所以，故A正确；
因为α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＜0，所以，
又，解得tanα＝﹣2或，
若，由得，与矛盾，
故tanα＝﹣2，故C错误；
tan（5π﹣α）＝﹣tanα＝2，B正确；
，D错误．
故选：AB．
（多选）9．若α是第二象限角，下列各式中不成立的是（　　）
A．tanα B．cosα
C．sinα D．tanα
【答案】ACD
【解答】解：∵α是第二象限的角，
∴tanα，故A错误，D错误；
cosα，故B正确；
sinα，故C错误．
故选：ACD．
10．已知sinθ+cosθ，，则sinθ﹣cosθ的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为sinθ+cosθ，，
所以，整理得，
因为，所以cosθ＞sinθ，
所以sinθ﹣cosθ＝﹣|sinθ﹣cosθ|．
故答案为：．
11．已知，则sinα﹣cosα＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，可得sinα＜0，cosα＞0，所以sinα﹣cosα＜0，
根据sinα+cosα，两边平方得（sinα+cosα）2，
所以sin2α+cos2α+2sinαcosα，即1+2sinαcosα，解得，
所以，可得．
故答案为：．
12．已知，则4sinαcosα﹣cos2α+1＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为tanα，所以cosα≠0，
又因为sin2α+cos2α＝1，
所以4sinαcosα﹣cos2α+1
．
故答案为：．
13．已知tan（π+α）＝5，则 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由tan（π+α）＝tanα，可得tanα＝5，
根据同角基本关系可得，．
故答案为：1．
14．（1）已知，求sinα和tanα的值；
（2）已知108x＝3，4y＝3，求的值；
（3）已知α∈（0，π），，求cosα﹣sinα的值．
【答案】（1）答案见详解；（2）3；（3）．
【解答】解：（1）因为，可知角α为第一或第四象限角，
若角α为第四象限角，则；
若角α为第一象限角，则；
（2）因为108x＝3，4y＝3，则x＝log1083，y＝log43，
所以；
（3）因为α∈（0，π），则sinα＞0，
由题意可得，解得，
所以．
▉题型2 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
【解题方法点拨】
﹣利用恒等式sin2θ+cos2θ＝1进行计算．
﹣结合具体问题，应用恒等式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
（多选）15．设α∈（0，π），已知sinα，cosα是方程3x2﹣x﹣m＝0的两根，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解答】解：因为α∈（0，π），sinα，cosα是方程3x2﹣x﹣m＝0的两根，
所以Δ＝1+12m≥0，sinα+cosα，sinαcosα，
因为1＝sin2α+cos2α＝（sinα+cosα）2﹣2sinαcosα，
解得m，A错误；
sinα+cosα0，sinαcosα0，
所以sinα＞0，cosα＜0，
sinα﹣cosα，B正确；
所以sin，cosα，tanα，C错误；
cos2α﹣sin2α＝（cosα﹣sinα）（cosα+sinα），D正确．
故选：BD．
16．已知α∈（0，π），且，则sinα﹣cosα＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由α∈（0，π）可知sinα＞0，
又
，即，
则cosα＜0 sinα﹣cosα＞0，
所以，
故．
故答案为：．
▉题型3 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
【解题方法点拨】
﹣利用关系式进行计算．
﹣结合具体问题，应用关系式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
17．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：，
则，解得tan，
故．
故选：A．
18．已知tanα＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为tanα＝3，
所以．
故选：B．
19．已知tanα＝2，则　3　 ．
【答案】3
【解答】解：3，
故答案为3．
20．已知tanα＝3，则　2　 ．
【答案】2
【解答】解：将原式分子分母同时除以cosα，得2
故答案为：2
21．（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由x2﹣x﹣2＝0，得x＝﹣1，或x＝2，
∵α是第三象限角，则tanα＞0，
∴tanα＝2，
∴
；
（2）∵，α∈（0，π），
则sinα＞0，cosα＞0，
∴，则，
故，
．第4章第1节 同角三角函数的基本关系
题型1 同角三角函数间的基本关系 题型2 同角正弦、余弦的平方和为1
题型3 同角正弦、余弦的商为正切
▉题型1 同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos _α ，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin _α ，cos（π+α）＝﹣cos _α ，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin _α ，cos（﹣α）＝cos _α ．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos _α ．
公式五：sin（α）＝cosα ，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cos α ，cos（α）＝﹣sin α
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cos αcosβ +sin αsinβ ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cos αcosβ ﹣sin αsinβ ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sin αcosβ +cos αsinβ ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sin αcosβ ﹣cos αsinβ ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin _α cos _α ；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α ＝2cos2α﹣1 ＝1﹣2sin2α ；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
1．已知tanα＝2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知sinα﹣2cosα＝0，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知tanα＝5，则（　　）
A． B．1 C． D．
4．已知角α满足，则tanα的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C． D．
5．已知α为第四象限角，且tanα＝﹣2，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知α为第四象限角，且tanα＝﹣2，则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
7．若2sin2θ+3cos2θ＝3，则cosθ＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
（多选）8．已知α∈（0，π）且，则下列结论正确的是（　　）
A． B．tan（5π﹣α）＝2
C． D．
（多选）9．若α是第二象限角，下列各式中不成立的是（　　）
A．tanα B．cosα
C．sinα D．tanα
10．已知sinθ+cosθ，，则sinθ﹣cosθ的值为 　　 ．
11．已知，则sinα﹣cosα＝ 　　 ．
12．已知，则4sinαcosα﹣cos2α+1＝ 　　 ．
13．已知tan（π+α）＝5，则 　　 ．
14．（1）已知，求sinα和tanα的值；
（2）已知108x＝3，4y＝3，求的值；
（3）已知α∈（0，π），，求cosα﹣sinα的值．
▉题型2 同角正弦、余弦的平方和为1
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
同角正弦和余弦的平方和为1．
【解题方法点拨】
﹣利用恒等式sin2θ+cos2θ＝1进行计算．
﹣结合具体问题，应用恒等式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
（多选）15．设α∈（0，π），已知sinα，cosα是方程3x2﹣x﹣m＝0的两根，则下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
16．已知α∈（0，π），且，则sinα﹣cosα＝　　 ．
▉题型3 同角正弦、余弦的商为正切
【知识点的认识】
同角三角函数的基本关系
（2）商数关系：tanα．
同角正弦和余弦的商为正切．
【解题方法点拨】
﹣利用关系式进行计算．
﹣结合具体问题，应用关系式简化三角函数表达式．
﹣验证计算结果的正确性．
17．已知，则（　　）
A． B． C． D．
18．已知tanα＝3，则的值为（　　）
A． B． C． D．
19．已知tanα＝2，则　　 ．
20．已知tanα＝3，则　　 ．
21．（1）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcosα+3cos2α的值；
（2）已知，且α∈（0，π），求的值．

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