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第4章第2节 两角和与差的三角函数公式
题型1 两角和与差的三角函数 题型2 求两角和与差的三角函数值
题型3 两角和与差的三角函数的逆用
▉题型1 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
1．已知，，且α和β均为钝角，则α+β的值为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【解答】解：∵α和β均为钝角，
∴，．
∴cos（α+β）．
由α和β均为钝角，得π＜α+β＜2π，∴．
故选：D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
由诱导公式可得，，
由和差角公式可得，，
则cosα＝sinα，
可得tanα＝1，
∴，
∴．
故选：A．
3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则tan（α﹣β）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意可知：tanβ＝2，
则，，
可得cos2α+sin2α，
解得tanα＝3或（舍去），
所以．
故选：A．
4．已知函数，则下列选项错误的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．曲线y＝f（x）关于点中心对称
C．f（x）的最大值为
D．曲线y＝f（x）关于直线对称
【答案】B
【解答】解：sin（2x），T＝π，所以选项A正确．
若曲线y＝f（x）关于点（a，0）中心对称，则f（a）＝0．
计算，所以曲线y＝f（x）不关于点中心对称，选项B错误．
因为正弦函数sinθ的最大值为1，在中，f（x）max，选项C正确．
若曲线y＝f（x）关于直线x＝b对称，则f（b）为函数的最值．
计算f（），是函数f（x）的最大值，所以曲线y＝f（x）关于直线对称，选项D正确．
故选：B．
▉题型2 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
5．已知，则tan（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，所以tan（α+β）．
故选：A．
6．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，则α∈（，），所以sin（α）＞0，
且sin（α），
而sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin．
故选：A．
7．已知cos（α﹣β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α+β）＝（　　）
A．﹣3m B． C． D．3m
【答案】B
【解答】解：因为cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝m，tanαtanβ2，
所以sinαsinβ＝2cosαcosβ，
故cosαcosβ+2cosαcosβ＝m即，
从而，
故．
故选：B．
8．已知cos（x+y）＝3cos（x﹣y），则tanxtany＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由cos（x+y）＝3cos（x﹣y），
可得cosxcosy﹣sinxsiny＝3（cosxcosy+sinxsiny），
化简得﹣4sinxsiny＝2cosxcosy，所以tanxtany．
故选：B．
9．已知角，且sinβ＝2cos（α+β）sinα，当tanβ取得最大值时，角α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为sinβ＝2cos（α+β）sinα＝2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）sinα＝2cosαcosβsinα﹣2sin2αsinβ，
所以sinβ+2sin2αsinβ＝2cosαcosβsinα，
所以sinβ（1+2sin2α）＝2cosαcosβsinα，
因为，
所以，即，
所以，
令t＝tanα，
则，
因为，所以t＞0，则．
根据均值不等式对于有：，
当且仅当，即时等号成立．
所以，即当时，tanβ取得最大值．
因为，且，所以．
当tanβ取得最大值时，角．
故选：D．
10．已知，，则sin（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：若，
则，
若，
则，
将两式子相加可得，
化简得，
由两角和的正弦公式得，故C正确．
故选：C．
11．设，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由得，，
因为﹣1≤sinβ≤1，
所以，解得，
于是
＝﹣sinβ﹣sin2α
根据二次函数性质可知，当时，取最小值．
故选：C．
12．已知角β的终边上一点P的坐标为（1，2），则（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
【答案】C
【解答】解：由题意可得：x＝1，y＝2，则tanβ，
则tan（）．
故选：C．
13．已知，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由sinα﹣2cosβ＝1，平方得sin2α+4cos2β﹣4sinαcosβ＝1…①，
由cosα+2sinβ，平方得cos2α+4sin2β+4cosαsinβ＝2…②，
①+②，可得5+4（cosαsinβ﹣sinαcosβ）＝3，
即5﹣4sin（α﹣β）＝3，解得．
结合，可得．
故选：A．
14．已知α是第二象限角且，则tan（α﹣β）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．
【答案】C
【解答】解：因为α是第二象限角且sinα，则cos，所以tan，
又2sinβ﹣cosβ＝0，则tanβ，
则tan（α﹣β）2．
故选：C．
15．已知α，β都是锐角，，，则tan（α+2β）＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为α，β都是锐角，，，
所以cosβ，tanβ，
所以tan2β，
则tan（α+2β）1．
故选：A．
16．（1）已知，α是第四象限角，，β是第二象限角，求cos（α﹣β）的值；
（2）已知，，求α+2β．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为，α是第四象限角，
所以，同理求得，
所以；
（2）因为，且β为锐角，
所以cosβ，可得tanβ，
0，结合0＜2β＜π，可得，
因为0＜α，所以0＜α+2β＜π，
由tanα，可得，所以．
17．（1）若，，并且α，β均为锐角，且α＜β，求α+β的值；
（2）已知，且，求sinα．
【答案】（1）不存在；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得，
结合，可得，
因为，且α为锐角，
所以，即，可得，
cos（α+β）＝cos[2α﹣（α﹣β）]＝cos2αcos（α﹣β）+sin2αsin（α﹣β）
，结合α+β∈（0，π），可得，
而，β∈（0，），可得，与矛盾，所以满足条件的α+β不存在；
（2）由题意得，
结合，可得，
所以
．
▉题型3 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．
18．sin130°cos170°﹣cos50°sin10°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣sin50°cos10°﹣cos50°sin10°
．
故选：A．
19．已知α，β均为锐角，sinα＝2sinβcos（α+β），则tanα的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝2sinβcos（α+β），
所以sin（α+β）cosβ＝3sinβcos（α+β），即tan（α+β）＝3tanβ，
所以tanα＝tan[（α+β）﹣β]，
因为β为锐角，所以tanβ＞0，所以，
当且仅当3tanβ，即tanβ时取等号；
所以tanα的最大值是．
故选：C．
20．sin70°sin10°+cos10°sin20°＝（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【解答】解：sin70°sin10°+cos10°sin20°
＝sin70°sin10°+cos10°cos70°
＝cos60°．
故选：B．
21．已知，则sinφ﹣2cosφ＝（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，
所以，，
则．
故选：C．
（多选）22．下列关系式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：根据sin20°cos65°﹣sin65°cos20°＝sin（20°﹣65°）＝﹣sin45°，可知A错误；
根据sin75°cos75°2sin75°cos75°sin150°sin30°，可知B正确；
根据，可知C正确；
根据sin170°cos50°﹣cos40°cos10°＝sin10°sin40°﹣cos40°cos10°，
＝﹣（cos40°cos10°﹣sin10°sin40°），可知D错误．
故选：BC．
（多选）23．下列各式中，计算结果为的是（　　）
A．
B．cos85°cos25°﹣sin85°sin25°
C．
D．
【答案】ACD
【解答】解：A，因为tan（25°+35°），
所以tan25°+tan35°tan25°tan35°，A正确；
cos85°cos25°﹣sin85°sin25°＝cos（85°+25°）＝cos110°，B错误；
tan60，C正确；
，D正确．
故选：ACD．第4章第2节 两角和与差的三角函数公式
题型1 两角和与差的三角函数 题型2 求两角和与差的三角函数值
题型3 两角和与差的三角函数的逆用
▉题型1 两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
1．已知，，且α和β均为钝角，则α+β的值为（　　）
A． B． C．或 D．
2．已知，则（　　）
A． B． C． D．
3．我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（0°≤θ≤80°）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htanθ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则tan（α﹣β）的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数，则下列选项错误的是（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．曲线y＝f（x）关于点中心对称
C．f（x）的最大值为
D．曲线y＝f（x）关于直线对称
▉题型2 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具体角度值代入公式，求解三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
5．已知，则tan（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知cos（α﹣β）＝m，tanαtanβ＝2，则cos（α+β）＝（　　）
A．﹣3m B． C． D．3m
8．已知cos（x+y）＝3cos（x﹣y），则tanxtany＝（　　）
A． B． C． D．
9．已知角，且sinβ＝2cos（α+β）sinα，当tanβ取得最大值时，角α＝（　　）
A． B． C． D．
10．已知，，则sin（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
11．设，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
12．已知角β的终边上一点P的坐标为（1，2），则（　　）
A． B． C．﹣3 D．3
13．已知，则cos（α﹣β）＝（　　）
A． B． C． D．
14．已知α是第二象限角且，则tan（α﹣β）的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．
15．已知α，β都是锐角，，，则tan（α+2β）＝（　　）
A．1 B． C． D．
16．（1）已知，α是第四象限角，，β是第二象限角，求cos（α﹣β）的值；
（2）已知，，求α+2β．
17．（1）若，，并且α，β均为锐角，且α＜β，求α+β的值；
（2）已知，且，求sinα．
▉题型3 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
【解题方法点拨】
﹣利用和差公式：sin（α±β）＝sinαcosβ±cosαsinβ
cos（α±β）＝cosαcosβ sinαsinβ
﹣将具有右侧模式的表达式改写成两角和与差的三角函数形式并计算．
18．sin130°cos170°﹣cos50°sin10°＝（　　）
A． B． C． D．
19．已知α，β均为锐角，sinα＝2sinβcos（α+β），则tanα的最大值为（　　）
A． B． C． D．
20．sin70°sin10°+cos10°sin20°＝（　　）
A．1 B． C．0 D．
21．已知，则sinφ﹣2cosφ＝（　　）
A．0 B． C． D．
（多选）22．下列关系式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
（多选）23．下列各式中，计算结果为的是（　　）
A．
B．cos85°cos25°﹣sin85°sin25°
C．
D．

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