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第4章第3节 二倍角的三角函数公式
题型1 求二倍角的三角函数值 题型2 二倍角的三角函数的逆用
题型3 半角的三角函数
▉题型1 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，可得，即，
所以sinθsin2θ（sinθcos2θ﹣cosθsin2θ）sin（θ﹣2θ）sinθ，
因为有意义，所以sinθ≠0，可得，
所以，即．
因此，．
故选：C．
2．已知，且，则tan2α的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由，两边平方得，
即1+2sinαcosα，解得，
根据，可知sinα＞0，cosα＜0，cosα﹣sinα＜0，
结合（cosα+sinα）2+（cosα﹣sinα）2＝2，求得，
由，解得，所以，
可得．
故选：A．
3．已知角A为△ABC的一个内角，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由A∈（0，π），得，
结合∈（0，），可得，A为钝角，cosA＜0，
所以，
可得．
故选：A．
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
则
＝1﹣2sin2（）＝1﹣2．
故选：C．
5．已知tanα＝3，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为tanα＝3，
则．
故选：A．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，
可得1﹣2×（）2．
故选：C．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵，
∴．
故选：A．
8．已知x∈R，则“x＝kπ（k∈Z）”是“sin2x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：当x＝kπ（k∈Z）时，sin2x＝0，即充分性成立；
但当，即必要性不成立；
所以“x＝kπ（k∈Z）”是“sin2x＝0”的充分不必要条件．
故选：A．
9．已知tanα＝2，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意得cos2α＝﹣（cos2α﹣sin2α）
＝sin2α﹣cos2α．
故选：C．
10．下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：对于A，左边sin右边，故错误；
对于B，左边＝tan45°＝1≠右边，故错误；
对于C，左边＝（cos2sin2）（cos2sin2）＝cos2sin2cos右边，故错误；
对于D，左边＝﹣（2cos222.5°﹣1）＝﹣cos45°右边，故正确．
故选：D．
11．已知，则cos2θ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得．
故答案为：
12．已知，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以
．
故答案为：．
13．若角α的终边经过点（1，4），则tan（π﹣2α）＝ 　　 ， 　4　 ．
【答案】；4．
【解答】解：角α的终边过点（1，4），则tanα4，
所以tan（π﹣2α）＝﹣tan2α＝﹣tan2α；
．
故答案为：；4．
14．已知，且，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得，
可得；
由，可得，
可得，
所以．
故答案为：．
15．若，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：已知，
则．
故答案为：．
16．已知，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：sin（）＝sin（22θ）
＝sin（）＝cos2θ．
又，
所以．
故答案为：．
17．已知，且⊥，且tan2θ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得1×sinθ+2×cosθ＝0，
可得tanθ＝﹣2，
可得．
故答案为：．
18．设向量，向量，且，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵向量，向量，且，
∴，
∴tanθ＝2，
∴．
故答案为：．
19．已知．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求sin2α，cos2α的值；
（3）求的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）由可得cosα，tanα；
（2）所以；
；
（3）．
▉题型2 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
20．化简（　　）
A．sinα B． C．cosα D．
【答案】B
【解答】解：根据sinα＝sin（2）＝2sincos，可得．
故选：B．
21．cos245°﹣sin245°＝（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
22．cos275°﹣sin275°的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：cos275°﹣sin275°＝cos150°＝﹣cos30°．
故选：A．
▉题型3 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
【解题方法点拨】
例：函数的最小正周期为 　π　 ．
解：∵
＝sinx+tanx（1﹣cosx）
＝sinx+tanx﹣sinx
＝tanx
∴T＝π
故答案为：π
这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．
23．已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα＝0，则tan（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
【答案】A
【解答】解：∵3sinα+4cosα＝0，
∴3tanα+4＝0，可得：tanα，整理可得：2tan23tan2＝0，
∴解得：tan2，或，
∵α是第二象限角，
∴kπkπ，k∈Z，
∴tan0，故tan2．
故选：A．
24．若，且，则的值为 　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：因为，所以，
所以，解得或，
因为，所以，所以．
故答案为：﹣3．第4章第3节 二倍角的三角函数公式
题型1 求二倍角的三角函数值 题型2 二倍角的三角函数的逆用
题型3 半角的三角函数
▉题型1 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具体角度值代入公式，求解二倍角的三角函数值．
﹣验证计算结果的正确性．
1．已知，则sin4θ+cos4θ＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知，且，则tan2α的值为（　　）
A． B． C． D．
3．已知角A为△ABC的一个内角，且，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知tanα＝3，则sin2α＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知x∈R，则“x＝kπ（k∈Z）”是“sin2x＝0”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知tanα＝2，则（　　）
A． B． C． D．
10．下列正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知，则cos2θ＝　　 ．
12．已知，则　　 ．
13．若角α的终边经过点（1，4），则tan（π﹣2α）＝ 　　 ， 　　 ．
14．已知，且，则 　　 ．
15．若，则 　　 ．
16．已知，则 　　 ．
17．已知，且⊥，且tan2θ＝ 　　 ．
18．设向量，向量，且，则 　　 ．
19．已知．
（1）求cosα，tanα的值；
（2）求sin2α，cos2α的值；
（3）求的值．
▉题型2 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
20．化简（　　）
A．sinα B． C．cosα D．
21．cos245°﹣sin245°＝（　　）
A． B． C．0 D．1
22．cos275°﹣sin275°的值为（　　）
A． B． C． D．
▉题型3 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
【解题方法点拨】
例：函数的最小正周期为 　π　 ．
解：∵
＝sinx+tanx（1﹣cosx）
＝sinx+tanx﹣sinx
＝tanx
∴T＝π
故答案为：π
这个题的解题关键就是正切函数半角的转化，所用的公式就是这里列出来的上面一种，像这个问题的思路其实是简单的，就是化简，化成一个单独的三角函数，而且只能是把tanx化成正余弦函数．
23．已知α是第二象限角，且3sinα+4cosα＝0，则tan（　　）
A．2 B． C．﹣2 D．
24．若，且，则的值为 　　 ．

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