资源简介

第5章第1节 复数的概念及其几何意义
题型1 复数的实部与虚部 题型2 纯虚数
题型3 复数的相等 题型4 复数对应复平面中的点
题型5 由复平面中的点确定复数 题型6 共轭复数
题型7 复数的模
▉题型1 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
【解题方法点拨】
﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．
﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝（1+i）2，其中i为虚数单位，则的虚部为（　　）
A．0 B．i C．﹣1 D．﹣i
【答案】C
【解答】解：由（1﹣i）z＝（1+i）2可得，
所以，
因此虚部为﹣1．
故选：C．
2．若z（1+i）＝2，则z虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
【答案】A
【解答】解：因为z（1+i）＝2，
所以z1﹣i，
所以z虚部是﹣1．
故选：A．
3．已知复数z＝﹣2+i，则（　　）
A．z的虚部为i B．|z|＝5
C． D．
【答案】C
【解答】解：由z＝﹣2+i，得z的虚部为1，故A错误；
，故B错误；
由共轭复数的定义可知，故C正确；
由虚数不能比较大小可知，D错误．
故选：C．
4．复数z＝1+2i，则（i为虚数单位）的虚部为（　　）
A． B． C．3 D．3i
【答案】A
【解答】解：由题意，i，虚部为．
故选：A．
5．已知复数，则z的虚部为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：复数1，其虚部为．
故选：D．
▉题型2 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
6．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．0或3
【答案】A
【解答】解：由z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，
由纯虚数的定义可知，，所以m＝0．
故选：A．
7．若（x+3i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数x＝（　　）
A．3 B．±1 C．﹣1 D．±3
【答案】D
【解答】解：∵（x+3i）2＝x2+6xi﹣9为纯虚数，
∴，解得x＝±3．
故选：D．
8．已知复数z＝（1﹣i）（2+ai）（a∈R）为纯虚数，则a＝ 　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：因为z＝（1﹣i）（2+ai）＝（2+a）+（a﹣2）i为纯虚数，所以，解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
9．已知复数z＝1+i是关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，复数z1＝a+bi．
（1）求|z1|；
（2）若复数z2＝z1+（m﹣1）+（m﹣2）i（m∈R）为纯虚数，求．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由题知（1+i）2+a（1+i）+b＝0，
整理得 （a+b）+（a+2）i＝0，则，解得，
所以z1＝﹣2+2i，
．
（2）由（1）知，z2＝z1+（m﹣1）+（m﹣2）i＝（m﹣3）+mi，
因为复数z2为纯虚数，所以，解得m＝3，所以z2＝3i，
所以．
▉题型3 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
10．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：复数z满足（i+3）z＝2，
则z．
故选：A．
11．已知i为虚数单位，，则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由，得2+ni＝﹣i﹣m，
则﹣m＝2，n＝﹣1，即m＝﹣2，n＝﹣1．
∴．
故选：C．
12．已知复数z1＝m+（4﹣m2）i（m∈R），z2＝2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R），并且z1＝z2，则λ的取值范围为（　　）
A．﹣7≤λ B．λ≤7 C．﹣1≤λ＜1 D．λ≤7
【答案】D
【解答】解：由z1＝z2，得，
消去m得λ＝4sin2θ﹣3sinθ＝4（sinθ）2，
因为﹣1≤sinθ≤1，
结合二次函数的性质得，．
故选：D．
▉题型4 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
13．复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：由z，
得复数z在复平面内对应的点的坐标为 （1，﹣1），在第四象限．
故选：D．
14．已知i是虚数单位，在复平面内，复数z＝i （3+i），则z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：z＝i （3+i）＝﹣1+3i，在复平面内，复数z对应的点是（﹣1，3），在第二象限．
故选：B．
15．当时，复数Z＝m（3+i）﹣（2﹣i）在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：由z＝m（3+i）﹣（2﹣i）＝（3m﹣2）+（m+1）i
又，则，
所以复数z在复平面内对应的点为（3m﹣2，m+1），位于第一象限，
故选：A．
16．在复平面内，复数2﹣3i、﹣1+2i对应的向量分别是、，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　﹣3+5i ．
【答案】﹣3+5i．
【解答】解：由题意可知，，，
所以，则向量对应的复数为﹣3+5i．
故答案为：﹣3+5i．
▉题型5 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．
﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．
（多选）17．在复平面内，，对应的复数分别为，z2＝cosθ+isinθ，且，则z2可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解答】解：因为，z2＝cosθ+isinθ，且，
所以，即cosθsinθ＝0，即cosθsinθ，
又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以sinθ且cosθ或sinθ且cosθ，
所以z2i或z2i．
故选：AC．
▉题型6 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
18．已知复数，则（　　）
A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．1﹣2i
【答案】D
【解答】解：复数，则．
故选：D．
19．若复数，则复数z的共轭复数（　　）
A．1+2i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣2i
【答案】A
【解答】解：复数1﹣2i，
故．
故选：A．
20．已知复数z满足（i为虚数单位，是z的共轭复数），则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为i4＝1，
所以由，得，
可得，故A正确，C错误；
，故BD错误．
故选：A．
21．已知复数z满足z+34+2i，则z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
【答案】B
【解答】设z＝a+bi，a，b∈R，
z+34+2i，
则a+bi+3（a﹣bi）＝4a﹣2bi，即4a﹣2bi＝4+2i，即，解得，
故z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．
故选：B．
▉题型7 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
22．已知z＝1﹣3i，则（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：∵z＝1﹣3i，
∴．
故选：C．
23．已知复数z＝4+2i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．20
【答案】B
【解答】解：由z＝4+2i，得|z|．
故选：B．
24．若复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，那么|z﹣1|的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：由复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，
可知复数z在复平面内对应点的轨迹为以A（0，﹣1）、B（0，1）为两端点的线段，
而|z﹣1|的几何意义为线段上的点到点（1，0）的距离，
则|z﹣1|的最大值是．
故选：B．第5章第1节 复数的概念及其几何意义
题型1 复数的实部与虚部 题型2 纯虚数
题型3 复数的相等 题型4 复数对应复平面中的点
题型5 由复平面中的点确定复数 题型6 共轭复数
题型7 复数的模
▉题型1 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
【解题方法点拨】
﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．
﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．
1．已知复数z满足（1﹣i）z＝（1+i）2，其中i为虚数单位，则的虚部为（　　）
A．0 B．i C．﹣1 D．﹣i
2．若z（1+i）＝2，则z虚部是（　　）
A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i
3．已知复数z＝﹣2+i，则（　　）
A．z的虚部为i B．|z|＝5
C． D．
4．复数z＝1+2i，则（i为虚数单位）的虚部为（　　）
A． B． C．3 D．3i
5．已知复数，则z的虚部为（　　）
A．1 B． C． D．
▉题型2 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
【解题方法点拨】
复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．
实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．
6．复数z＝m2﹣3m+（m2﹣9）i是纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．0 B．±3 C．3 D．0或3
7．若（x+3i）2是纯虚数（其中i为虚数单位），则实数x＝（　　）
A．3 B．±1 C．﹣1 D．±3
8．已知复数z＝（1﹣i）（2+ai）（a∈R）为纯虚数，则a＝ 　　 ．
9．已知复数z＝1+i是关于x的方程x2+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，复数z1＝a+bi．
（1）求|z1|；
（2）若复数z2＝z1+（m﹣1）+（m﹣2）i（m∈R）为纯虚数，求．
▉题型3 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
【解题方法点拨】
﹣比较分量：通过比较两个复数的实部和虚部，判断它们是否相等．
﹣应用：在复数方程中使用复数相等的条件求解未知数．
10．已知复数z满足（i+3）z＝2，则z＝（　　）
A． B． C． D．
11．已知i为虚数单位，，则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
12．已知复数z1＝m+（4﹣m2）i（m∈R），z2＝2cosθ+（λ+3sinθ）i（λ，θ∈R），并且z1＝z2，则λ的取值范围为（　　）
A．﹣7≤λ B．λ≤7 C．﹣1≤λ＜1 D．λ≤7
▉题型4 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．
﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．
13．复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．已知i是虚数单位，在复平面内，复数z＝i （3+i），则z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．当时，复数Z＝m（3+i）﹣（2﹣i）在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．在复平面内，复数2﹣3i、﹣1+2i对应的向量分别是、，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为 　．
▉题型5 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
【解题方法点拨】
﹣从点到复数：通过点的坐标（x，y），直接确定复数x+yi．
﹣几何解释：理解复数的几何意义并应用于实际问题中．
（多选）17．在复平面内，，对应的复数分别为，z2＝cosθ+isinθ，且，则z2可能是（　　）
A． B． C． D．
▉题型6 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
18．已知复数，则（　　）
A．2+i B．﹣2+i C．﹣2﹣i D．1﹣2i
19．若复数，则复数z的共轭复数（　　）
A．1+2i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣2i
20．已知复数z满足（i为虚数单位，是z的共轭复数），则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
21．已知复数z满足z+34+2i，则z的虚部为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i
▉题型7 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
22．已知z＝1﹣3i，则（　　）
A．2 B．3 C． D．
23．已知复数z＝4+2i，则|z|＝（　　）
A． B． C． D．20
24．若复数z满足|z+i|+|z﹣i|＝2，那么|z﹣1|的最大值是（　　）
A．1 B． C．2 D．

展开更多......

收起↑