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第5章第2节 复数的四则运算
题型1 复数的加、减运算及其几何意义 题型2 复数的乘法及乘方运算
题型3 复数的除法运算 题型4 复数的混合运算
▉题型1 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对复数的实部和虚部进行加减．
﹣几何解释：将复数加减看作平面上的向量操作，如平移或位移．
1．已知i为虚数单位，若复数z满足|z﹣4i|＝2，则|z+1﹣i|的最大值是　　 ．
【答案】．
【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），
则，
即a2+（b﹣4）2＝4，则点（a，b）的轨迹为圆心在（0，4），半径为2的圆，
，其表示点（a，b）到点（﹣1，1）的距离，
其最大值为（﹣1，1）到圆心的距离加上半径，即．
故答案为：．
2．已知z1＝3+4i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝ 　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：由z1＝3+4i，z2＝1﹣i，得z1+z2＝3+4i+1﹣i＝4+3i，
则．
故答案为：5．
3．计算：
（1）（2+i）﹣[（6+5i）﹣（4+3i）]+（﹣1+i）；
（2）（1﹣2i）+（﹣2+3i）+（3﹣4i）+（﹣4+5i）+…+（﹣2016+2017i）+（2017﹣2018i）．
【答案】（1）﹣1；（2）1009﹣1010i．
【解答】解：（1）（2+i）﹣[（6+5i）﹣（4+3i）]+（﹣1+i）
＝（2+i）﹣（2+2i）+（﹣1+i）
＝﹣1；
（2）（1﹣2i）+（﹣2+3i）+（3﹣4i）+（﹣4+5i）+…+（﹣2016+2017i）+（2017﹣2018i）
＝（1﹣2+3﹣4+...+2015﹣2016+2017）+（﹣2+3﹣4+5﹣...﹣2016+2017﹣2018）i
＝1009﹣1010i．
▉题型2 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
4．若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i
【答案】B
【解答】解：∵z1＝（2﹣i）（b+i）＝（2b+1）+（2﹣b）i∈R，复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，
∴2﹣b＝0，解得b＝2，
∴z＝（2﹣i）i＝1+2i，则复数z的虚部为2．
故选：B．
5．已知复数z1＝2﹣i，z2＝1+i，则z1z2＝（　　）
A．﹣1+i B．1﹣2 i C．2+i D．3+i
【答案】D
【解答】解：由z1＝2﹣i，z2＝1+i，
得z1 z2＝（2﹣i）（1+i）＝2+2i﹣i﹣i2＝3+i．
故选：D．
6．若（a∈R，i为虚数单位），则a的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．5 D．2
【答案】B
【解答】解：因为，
所以a＝（﹣1+2i）（1+i）﹣i＝﹣1﹣i+2i+2i2﹣i＝﹣3．
故选：B．
7．计算（2+2i）（1﹣2i）（i为虚数单位）的结果是（　　）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
【答案】D
【解答】解：（2+2i）（1﹣2i）＝2+4﹣2i＝6﹣2i．
故选：D．
（多选）8．设复数为z＝1+i，则下列命题正确的是（　　）
A． B． C． D．|z2|＝|z|2
【答案】AD
【解答】解：z＝1+i，
则z2＝（1+i）2＝2i，|z|2＝12+12＝2，，故A正确，B错误；
，故C错误；
|z2|＝|2i|＝2，故|z2|＝|z|2，故D正确．
故选：AD．
（多选）9．已知复数z（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（　　）
A．在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
【答案】CD
【解答】解：z，
在复平面内复数z所对应的点为（，），位于第三象限，A错误，
i，B错误，
z |z|2＝（）2+（）2，C正确，
（i）2（i）（2i）i，故D正确．
故选：CD．
10．已知i为虚数单位，（1+i）（3﹣i）﹣i＝a+bi，（a，b∈R），则ab＝ 　4　 ．
【答案】4
【解答】解：（1+i）（3﹣i）﹣i＝a+bi，（a，b∈R），
则4+i＝a+bi，
故a＝4，b＝1，
故ab＝4．
故答案为：4．
11．已知复数z是方程x2+6x+13＝0的一个复数根，且z的虚部大于零．
（1）求z；
（2）若az＝b﹣i（a，b∈R，i为虚数单位），求ab．
【答案】（1）z＝﹣3+2i；
（2）．
【解答】解：（1）由x2+6x+13＝（x+3）2+4＝0，即（x+3）2＝﹣4，
可得x+3＝±2i，解得x＝﹣3±2i，
因为z的虚部大于零，所以z＝﹣3+2i
（2）由（1）知z＝﹣3+2i，因为az＝b﹣i，所以az＝a（﹣3+2i）＝﹣3a+2ai＝b﹣i
则，
解得，，
所以．
▉题型3 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
12．已知复数z满足（1﹣i）z＝1+5i，则z的共轭复数是（　　）
A．2+3i B．2﹣3i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i
【答案】D
【解答】解：由题可得：，
故z的共轭复数为﹣2﹣3i．
故选：D．
13．若复数z满足z（1+2i）＝5﹣i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由z（1+2i）＝5﹣i，
，
所以z的虚部为．
故选：A．
14．已知复数z满足（1﹣3i）z＝2i，复数z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：zi，在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故选：B．
15．若复数z满足，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为2i2ii，
所以，其z的虚部为．
故选：A．
16．已知复数z满足1﹣i（其中i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由1﹣i，
得z，
则z的虚部为．
故选：B．
▉题型4 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
【解题方法点拨】
﹣运算顺序：根据运算优先级（括号、乘除、加减）进行混合运算．
﹣应用：在复数计算中应用混合运算解决复杂问题．
17．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
所以z1i．
故选：A．
18．已知，（m，n∈R），则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由得2﹣mi＝i（1+ni），即2﹣mi＝﹣n+i，
所以m＝﹣1，n＝﹣2，所以．
故选：A．
（多选）19．若z1，z2是复数，则下列说法错误的是（　　）
A．若|z1|＝1，则
B．若，则z1＝z2
C．若z1z2∈R，|z2|≠0，则
D．若，则z1＝z2或z1＝﹣z2
【答案】BCD
【解答】解：A选项，设z1＝a+bi，a，b∈R，由|z1|＝1，
得，故A选项正确；
B选项，当时，满足，但z1≠z2，故B选项错误；
C选项，当z1＝1+i，z2＝1﹣i时，满足z1z2＝（1+i）（1﹣i）＝2∈R，
但，故C选项错误；
D选项，当z1＝1，z2＝i时，满足，但z1≠±z2，故D选项错误．
故选：BCD．
（多选）20．已知i为虚数单位，复数z满足，则（　　）
A．z的实部为3
B．z的虚部为2i
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】ACD
【解答】解：由题意结合复数的除法运算可得，
则z的实部为3，z的虚部为2，不是2i，所以选项A正确，选项B错误；
由于在复平面内对应的点（3，﹣2）在第四象限，所以选项C、选项D都正确．
故选：ACD．
21．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数．事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式方程f（x）＝0至少有一个复数根．
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式f（x）在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．
设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）
在复数集C内的根为x1、x2，容易得到
设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a3≠0）①
在复数集C内的根为x1、x2、x3，可以得到，方程①可变形为a3（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0
展开得：a3x3﹣a3（x1+x2+x3）x2+a3（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣a3x1x2x3＝0②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
（1）对于方程3x3+2x2﹣x+5＝0在复数集C内的根为x1、x2、x3，求的值；
（2）如果实系数一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a4≠0）在复数集C内的根为x1、x2、x3、x4，试找到根与系数之间的关系；
（3）已知函数g（x）＝x3+bx+2，对于方程g（x）＝k在复数集C内的根为x1、x2、x3，当k∈[0，1]时，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）答案见解析；
（3）﹣3．
【解答】解：（1）由阅读材料可知：，，
故；
（2）因为实系数一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a4≠0）在复数集C内的根为x1、x2、x3、x4，
由材料可知：一元四次方程可改写为a4（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）＝0，
展开得：a4（x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4）x+a4x1x2x3x4＝0，
故可得：；
（3）由题有g（x）﹣k＝0的三个实根为x1，x2，x3，
设x3+bx+（2﹣k）＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），
展开，
故x1+x2+x3＝0，
则
＝3k﹣6，
又k∈[0，1]，故3k﹣6∈[﹣6，﹣3]，
综上：当k∈[0，1]时，的最大值为﹣3．第5章第2节 复数的四则运算
题型1 复数的加、减运算及其几何意义 题型2 复数的乘法及乘方运算
题型3 复数的除法运算 题型4 复数的混合运算
▉题型1 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
【解题方法点拨】
﹣坐标运算：直接对复数的实部和虚部进行加减．
﹣几何解释：将复数加减看作平面上的向量操作，如平移或位移．
1．已知i为虚数单位，若复数z满足|z﹣4i|＝2，则|z+1﹣i|的最大值是　　 ．
2．已知z1＝3+4i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝ 　　 ．
3．计算：
（1）（2+i）﹣[（6+5i）﹣（4+3i）]+（﹣1+i）；
（2）（1﹣2i）+（﹣2+3i）+（3﹣4i）+（﹣4+5i）+…+（﹣2016+2017i）+（2017﹣2018i）．
▉题型2 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
【解题方法点拨】
﹣直接计算：使用复数的分量进行乘法运算．
﹣极坐标形式：利用极坐标形式进行复数乘方运算，简化计算过程．
4．若复数z1＝（2﹣i）（b+i）（b∈R）为实数，则复数z＝（b﹣i）i的虚部为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2i D．﹣2i
5．已知复数z1＝2﹣i，z2＝1+i，则z1z2＝（　　）
A．﹣1+i B．1﹣2 i C．2+i D．3+i
6．若（a∈R，i为虚数单位），则a的值为（　　）
A．1 B．﹣3 C．5 D．2
7．计算（2+2i）（1﹣2i）（i为虚数单位）的结果是（　　）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
（多选）8．设复数为z＝1+i，则下列命题正确的是（　　）
A． B． C． D．|z2|＝|z|2
（多选）9．已知复数z（i为虚数单位），复数z的共轭复数为，则下列结论正确的是（　　）
A．在复平面内复数z所对应的点位于第四象限
B．
C．
D．
10．已知i为虚数单位，（1+i）（3﹣i）﹣i＝a+bi，（a，b∈R），则ab＝ 　 ．
11．已知复数z是方程x2+6x+13＝0的一个复数根，且z的虚部大于零．
（1）求z；
（2）若az＝b﹣i（a，b∈R，i为虚数单位），求ab．
▉题型3 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
【解题方法点拨】
﹣化简复数：将复数除法转换为分数形式，乘以分母的共轭复数，化简得到标准形式．
﹣应用：在实际问题中如何处理复数的除法及其应用．
12．已知复数z满足（1﹣i）z＝1+5i，则z的共轭复数是（　　）
A．2+3i B．2﹣3i C．﹣2+3i D．﹣2﹣3i
13．若复数z满足z（1+2i）＝5﹣i（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
14．已知复数z满足（1﹣3i）z＝2i，复数z所对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．若复数z满足，则z的虚部为（　　）
A． B． C． D．
16．已知复数z满足1﹣i（其中i为虚数单位），则z的虚部是（　　）
A． B． C． D．
▉题型4 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
【解题方法点拨】
﹣运算顺序：根据运算优先级（括号、乘除、加减）进行混合运算．
﹣应用：在复数计算中应用混合运算解决复杂问题．
17．已知复数z满足（1+z）（2﹣i）＝i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A． B． C． D．
18．已知，（m，n∈R），则（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
（多选）19．若z1，z2是复数，则下列说法错误的是（　　）
A．若|z1|＝1，则
B．若，则z1＝z2
C．若z1z2∈R，|z2|≠0，则
D．若，则z1＝z2或z1＝﹣z2
（多选）20．已知i为虚数单位，复数z满足，则（　　）
A．z的实部为3
B．z的虚部为2i
C．
D．在复平面内对应的点在第四象限
21．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数．事实上，数学中有如下定理：
代数基本定理：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式方程f（x）＝0至少有一个复数根．
材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元n（n∈N*）次复系数多项式f（x）在复数集中可以分解为n个一次因式的乘积．进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）．
下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系．
设实系数一元二次方程a2x2+a1x+a0＝0（a2≠0）
在复数集C内的根为x1、x2，容易得到
设实系数一元三次方程a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a3≠0）①
在复数集C内的根为x1、x2、x3，可以得到，方程①可变形为a3（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0
展开得：a3x3﹣a3（x1+x2+x3）x2+a3（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣a3x1x2x3＝0②
比较①②可以得到根与系数之间的关系：
阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题：
（1）对于方程3x3+2x2﹣x+5＝0在复数集C内的根为x1、x2、x3，求的值；
（2）如果实系数一元四次方程a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0＝0（a4≠0）在复数集C内的根为x1、x2、x3、x4，试找到根与系数之间的关系；
（3）已知函数g（x）＝x3+bx+2，对于方程g（x）＝k在复数集C内的根为x1、x2、x3，当k∈[0，1]时，求的最大值．

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