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第5章第3节 两角和与差的三角函数公式
题型1 复数的三角表示 题型2 复数的代数形式与三角形式互化
题型3 复数的辐角和辐角主值 题型4 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
▉题型1 复数的三角表示
【知识点的认识】
在复平面中，我们设，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在射线为终边的角，
则a＝rcosθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），
我们把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模，是复数的辐角．
【解题方法点拨】
（1）复数的三角形式Z＝r（cosθ+isinθ）满足以下条件：
①r≥0；
②加号连接；
③cos在前，sin在后；
④θ前后一致，可为任意值．
（2）代数式化三角式的步骤：
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角；
④求出复数三角式．
注意：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值．
1．已知，则|Z1 Z2|＝（　　）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
2．下列复数中与复数相等的是（　　）
A． B．
C． D．
3．若复数z＝r（cosθ+isinθ）（r＞0，θ∈R），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）4．设z为复数，且z不为0，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．5+i＞4+i
B．若，则|z|＝1
C．若z＝1+i，则
D．
（多选）5．欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A．
B．为纯虚数
C．复数exi的模长等于1
D．的共轭复数为
6．已知复数，z2＝1+（2cosθ）i，θ∈[0，π]．
（1）若z1＝z2，求角θ；
（2）复数z1，z2对应的向量分别是，．
（i）求的取值范围；
（ii）存在θ使等式（λ） （λ）＝0成立，求实数λ的取值范围．
7．形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式，而任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．复数z＝r（cosθ+isinθ）叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
（1）试将z＝3i写成三角形式（辐角取主值）；
（2）复平面内，将z＝3i对应的向量绕原点O顺时针方向旋转60°，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为z1，求；
（3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数f（x）＝x2，x∈C．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数t，使得f（x）≥t成立，复数x在复平面上对应的点为A，O为坐标原点，点P（3，0），以PA为边作正方形PAMN，其中M，N在PA上方，求线段OM的最大值．
8．已知复数z＝a+bi（a，b∈R）可以表示为三角形式：z＝r（cosθ+isinθ），其中，θ是以x轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知z1＝r1（cosθ1+isinθ1）与z2＝r2（cosθ2+isinθ2）的乘积z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
（1）试将i写成三角形式；
（2）当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值；
（3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ，cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ．
9．定义：复数z＝a+bi（a，b∈R）的三角形式为z＝r（cosθ+isinθ），其中r，sinθ，r是复数z的模，θ是复数z的辐角，规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
（1）求出方程x2+6x+12＝0的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
（2）已知z1＝5（cos50°+icos320°），z2＝3（sin130°+icos490°），求arg（z1 z2）．
10．形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式．任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数．z＝a+bi的辐角，规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．z＝r（cosθ+isinθ）叫做复数的三角形式．根据复数乘法运算的三角表示知：z2＝（r（cosθ+isinθ））2＝r2（cos2θ+isin2θ）．推广，到n次幂有：zn＝（r（cosθ+isinθ））n＝rn（cosnθ+isinnθ）此结论称为棣莫弗定理．下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z＝r（cosθ+isinθ）（r＞0）是1的3次方根，则z3＝1＝cos0+isin0．所以（r（cosθ+isinθ））3＝r3（cos3θ+isin3θ）＝cos0+isin0．因为相等的复数的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．所以，所以1的3次方根是.由三角函数周期性可得，1的3次方根为：请结合材料回答以下问题：
（1）将表示成三角形式（辐角取主值）；
（2）在复数范围内，求出1的8次方根；
（3）在复数范围内是否存在满足以下条件的集合S＝{a0，a1，a2，…，a7}；
（ⅰ）0 S；
（ⅱ）任意m，n∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，都有aman∈S．若存请确定集合S；若不存在，请说明理由．
11．已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；
（1）求证：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2）设，求ω2024；
（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．
12．一般地，任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R），i称为虚数单位，都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．特别是当r＝1时，cosθ+isinθ＝eiθ，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系．请你根据材料解决以下问题：
（1）设复数，，求z1 z2、的三角形式；
（2）设复数，，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A，B，C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：b2＝a2+c2﹣2accosB．
温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分．
▉题型2 复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（cosθ+isinθ），其中r为模，θ为辐角．两种形式可以通过公式互相转换．
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模和辐角θ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcosθ和b＝rsinθ转换．
13．复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
14．写出复数的三角形式是 　　 ．（辐角θ∈[0，2π））
15．欧拉公式：eix＝cosx+isinx（e是自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式．
（I）根据欧拉公式将化成复数的代数形式；
（Ⅱ）设函数f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcosx，0≤x，求f（x）的值域．
▉题型3 复数的辐角和辐角主值
【知识点的认识】
复数a+bi的辐角是复平面中该复数点与正实轴的夹角．辐角主值是[0，2π）范围内的角度．
【解题方法点拨】
﹣计算辐角．
﹣主值范围：将计算得到的角度调整到[0，2π）范围内．
16．我们知道复数有三角形式，z＝r（cosθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
已知圆O半径为1，圆O的内接正方形ABCD的四个顶点均在圆O上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的复数为z1，B点所对应的复数为z2，C点所对应的复数为z3，D点所对应的复数为z4．
（1）若，求出z2，z3；
（2）如图，若P（2，0），以PA为边作等边△PAQ，且Q在AP上方．
（ⅰ）求线段OQ长度的最小值；
（ⅱ）若（x，y∈R），求x+y的取值范围．
▉题型4 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝r1（cosθ1+isinθ1）和z2＝r2（cosθ2+isinθ2）的乘积是z1z2＝r1r2（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2））．
﹣除法：复数z1除以复数z2是．
【解题方法点拨】
﹣三角形式计算：利用三角形式进行复数乘法和除法，简化计算．
﹣几何意义：理解复数乘法和除法在复平面中的几何意义，如旋转和缩放．
17．计算：　　 ．第5章第3节 两角和与差的三角函数公式
题型1 复数的三角表示 题型2 复数的代数形式与三角形式互化
题型3 复数的辐角和辐角主值 题型4 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
▉题型1 复数的三角表示
【知识点的认识】
在复平面中，我们设，θ是以x轴的非负半轴为始边，以OZ所在射线为终边的角，
则a＝rcosθ，b＝rsinθ，z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ），
我们把r（cosθ+isinθ）叫做复数a+bi的三角形式，其中r是复数的模，是复数的辐角．
【解题方法点拨】
（1）复数的三角形式Z＝r（cosθ+isinθ）满足以下条件：
①r≥0；
②加号连接；
③cos在前，sin在后；
④θ前后一致，可为任意值．
（2）代数式化三角式的步骤：
①先求复数的模；
②决定辐角所在的象限；
③根据象限求出辐角；
④求出复数三角式．
注意：一般在复数三角式中的辐角，常取它的主值，这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定要主值．
1．已知，则|Z1 Z2|＝（　　）
A．4 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【解答】解：∵，
且Z2＝cosθ+isinθ，
∴Z1 Z2，
则|Z1 Z2|＝2．
故选：C．
2．下列复数中与复数相等的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：1，则CD错误；
21，则A错误；
，故B正确．
故选：B．
3．若复数z＝r（cosθ+isinθ）（r＞0，θ∈R），则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r为复数z的模，θ为复数z的辐角，则复数的三角形式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：的模为1，辐角为，
则复数 的三角形式为．
故选：A．
（多选）4．设z为复数，且z不为0，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．5+i＞4+i
B．若，则|z|＝1
C．若z＝1+i，则
D．
【答案】BD
【解答】解：因为虚数不能比较大小，故A错误；
因为，所以，故B正确；
因为z＝1+i，所以，故C错误；
设z＝a+bi（a，b∈R），
则，，
所以，
所以，故D正确．
故选：BD．
（多选）5．欧拉公式exi＝cosx+isinx（其中i为虚数单位，x∈R）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　）
A．
B．为纯虚数
C．复数exi的模长等于1
D．的共轭复数为
【答案】BCD
【解答】解：A．，故A错误；
B．i，∴为纯虚数，故B正确；
C．exi＝cosx+isinx，∴复数exi的模长为1，故C正确；
D．，∴的共轭复数为，故D正确．
故选：BCD．
6．已知复数，z2＝1+（2cosθ）i，θ∈[0，π]．
（1）若z1＝z2，求角θ；
（2）复数z1，z2对应的向量分别是，．
（i）求的取值范围；
（ii）存在θ使等式（λ） （λ）＝0成立，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【解答】解：（1）∵，z2＝1+（2cosθ）i，且z1＝z2，
∴2sinθ＝1，，即，，
又θ∈[0，π]，故．
（2）（ⅰ）由复数的坐标表示可得，，，
∴，
又θ∈[0，π]，则．
∴当时，取最大值为4，
当时，取最小值为，
∴的取值范围为；
（ⅱ）∵，，
∴，．
又，则，
化简得，，
∴．
由（ⅰ）的结论可知，
∴，
解得或，
综上所述，λ的取值范围为：．
7．形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式，而任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．复数z＝r（cosθ+isinθ）叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
（1）试将z＝3i写成三角形式（辐角取主值）；
（2）复平面内，将z＝3i对应的向量绕原点O顺时针方向旋转60°，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为z1，求；
（3）类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数f（x）＝x2，x∈C．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数x和实数t，使得f（x）≥t成立，复数x在复平面上对应的点为A，O为坐标原点，点P（3，0），以PA为边作正方形PAMN，其中M，N在PA上方，求线段OM的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由z＝3i，得z；
（2）∵
[cos（）+isin（）]，
∴
＝z1（cosπ+isinπ）＝﹣z1；
（3）设x＝a+bi（a，b∈R，a≠0，b＞0），
则f（x）
．
由题意可知，f（x）为实数，则，
∵a≠0，b＞0，∴a2+b2＝1，
当a2+b2＝1时，f（x）＝2（a2﹣b2）＝2（2a2﹣1）＞﹣2（a≠0），符合题意，
则点A的轨迹为单位圆的一部分．
设A（cosθ，sinθ），θ∈（0，）∪（，π），
所表示的复数为z1，
则z1＝（cosθ﹣3）+isinθ，
记所表示的复数为z2，则z2＝z1 [cos（）+isin（）]
＝[（cosθ﹣3）+isinθ] （）（cosθ+sinθ﹣3）+（sinθ﹣cosθ+3）i．
故M（cosθ+sinθ，sinθ﹣cosθ+3），
|OM|．
∴当sin（）＝1，即，．
8．已知复数z＝a+bi（a，b∈R）可以表示为三角形式：z＝r（cosθ+isinθ），其中，θ是以x轴非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角．已知z1＝r1（cosθ1+isinθ1）与z2＝r2（cosθ2+isinθ2）的乘积z1z2＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．
（1）试将i写成三角形式；
（2）当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值；
（3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ，cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ．
【答案】（1）z＝2（cosα+isinα），其中；
（2）|z2﹣z+1|的最大值为3，最小值为0；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1），
其中，则，
故z＝2[cos（）+isin（）]，k∈Z；
（2）已知|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ（θ∈R），
则|z2﹣z+1|＝|cos2θ+isin2θ﹣cosθ﹣isinθ+1|
＝|（cos2θ﹣cosθ+1）+（sin2θ﹣sinθ）i|
，
∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣1≤1﹣2cosθ≤3，可得0≤|1﹣2cosθ|≤3，
故|z2﹣z+1|的最大值为3，此时cosθ＝﹣1，最小值为0，此时；
（3）设z＝cosθ+isinθ，则z3＝（cosθ+isinθ）3＝cos3θ+isin3θ，
而（cosθ+isinθ）3＝cos3θ+3icos2θsinθ﹣3cosθsin2θ﹣isin3θ
＝cos3θ﹣3cosθ（1﹣cos2θ）+3i（1﹣sin2θ）sinθ﹣isin3θ
＝4cos3θ﹣3cosθ+i（3sinθ﹣4sin3θ），
故sin3θ＝3sinθ﹣4sin3θ，cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ．
9．定义：复数z＝a+bi（a，b∈R）的三角形式为z＝r（cosθ+isinθ），其中r，sinθ，r是复数z的模，θ是复数z的辐角，规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz．
（1）求出方程x2+6x+12＝0的所有复数根，并求这些根的辐角的主值；
（2）已知z1＝5（cos50°+icos320°），z2＝3（sin130°+icos490°），求arg（z1 z2）．
【答案】（1）方程的复数根为，辐角主值分别为和．
（2）．
【解答】解：（1）方程x2+6x+12＝0，配方得（x+3）2＝﹣3．
因为﹣3＝3（cosπ+isinπ），根据复数开方运算，（k＝0，1）．
当k＝0时，，解得；
当k＝1时，，解得．
对于，模，
，，结合0≤θ＜2π，得．
对于，模，
，，结合0≤θ＜2π，得．
故方程的复数根为，辐角主值分别为和．
（2）先化简z1：cos320°＝cos（360°﹣40°）＝cos（﹣40°）＝cos40°＝sin50°，
所以z1＝5（cos50°+isin50°）．
再化简z2：sin130°＝sin（90°+40°）＝cos40°，cos490°＝cos（360°+130°）＝cos130°＝cos（90°+40°）＝﹣sin40°＝sin（﹣40°），
所以z2＝3（cos40°+isin（﹣40°））＝3（cos（﹣40°）+isin（﹣40°））．
根据复数三角形式乘法法则，z1 z2＝5×3[cos（50°﹣40°）+isin（50°﹣40°）]＝15（cos10°+isin10°）．
所以．
故arg（z1 z2）的值为．
10．形如z＝a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式．任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数．z＝a+bi的辐角，规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为argz．z＝r（cosθ+isinθ）叫做复数的三角形式．根据复数乘法运算的三角表示知：z2＝（r（cosθ+isinθ））2＝r2（cos2θ+isin2θ）．推广，到n次幂有：zn＝（r（cosθ+isinθ））n＝rn（cosnθ+isinnθ）此结论称为棣莫弗定理．下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z＝r（cosθ+isinθ）（r＞0）是1的3次方根，则z3＝1＝cos0+isin0．所以（r（cosθ+isinθ））3＝r3（cos3θ+isin3θ）＝cos0+isin0．因为相等的复数的模相等，辐角可以相差2π的整数倍．所以，所以1的3次方根是.由三角函数周期性可得，1的3次方根为：请结合材料回答以下问题：
（1）将表示成三角形式（辐角取主值）；
（2）在复数范围内，求出1的8次方根；
（3）在复数范围内是否存在满足以下条件的集合S＝{a0，a1，a2，…，a7}；
（ⅰ）0 S；
（ⅱ）任意m，n∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，都有aman∈S．若存请确定集合S；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）以
（2）．
（3）存在这样的集合，
【解答】解：（1）对于，在复平面内对应点，位于第一象限．
计算模r：．
求辐角θ：，又因点在第一象限，且0≤θ＜2π，故．
所以z的三角形式为．
（2）1的三角形式为1＝cos0+isin0．设z＝r（cosθ+isinθ）（r＞0）是1的8次方根，则z8＝1．
根据棣莫弗定理，[r（cosθ+isinθ）]8＝r8（cos8θ+isin8θ）＝cos0+isin0．
由复数相等条件，模相等得r8＝1（r＞0），故r＝1；辐角满足8θ＝2kπ（k∈Z），即（k∈Z）．
取k＝0，1，2， ，7，得到8个不同的根：
当k＝0时，z0＝cos0+isin0＝1；
当k＝1时，；
当k＝2时，；
当k＝3时，；
当k＝4时，z4＝cosπ+isinπ＝﹣1；
当k＝5时，；
当k＝6时，；
当k＝7时，．
故（1）；（2）1的8次方根为．
（3）取，
，
，
则
，
因为n＝0，1，2，…，7，m＝0，1，2，…，7，所以m+n＝0，1，2，…，14，
所以是的整数倍，故zm zn∈S．
所以在复数范围内存在满足以下条件的集合S＝{a0，a1，a2，.....，a7}；
（i） 0 S；
（ii） 任意m，n∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，都有 aman∈S．
11．已知：
①任何一个复数z＝a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式．其中r是复数z的模，θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a+bi的辐角，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．
②方程xn＝1（n为正整数）有n个不同的复数根；
（1）求证：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2）设，求ω2024；
（3）试求出所有满足方程x6＝1的复数x的值所组成的集合．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）
＝r1r2[cosθ1cosθ2﹣sinθ1sinθ2+（cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）i]
＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]；
（2），
则；
（3）设x＝cosθ+isinθ，则x6＝（cosθ+isinθ）6＝cos6θ+isin6θ＝1，
因此sin6θ＝0，cos6θ＝1，6θ＝2kπ，k∈Z，解得，
取k＝0，1，2，3，4，5，则对应的θ依次为，
因此对应的x依次为，
可得所求的集合是．
12．一般地，任何一个复数z＝a+bi（a，b∈R），i称为虚数单位，都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式，即，其中r为复数z的模，θ叫做复数z的辐角，我们规定0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记作argz，r（cosθ+isinθ）叫做复数z＝a+bi的三角形式．特别是当r＝1时，cosθ+isinθ＝eiθ，即是欧拉发明的欧拉公式——复数的指数形式，建立了三角函数和指数函数的关系．请你根据材料解决以下问题：
（1）设复数，，求z1 z2、的三角形式；
（2）设复数，，其中θ∈（π，2π），求argz3+argz4；
（3）在△ABC中，已知a、b、c为三个内角A，B，C的对应边．借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：b2＝a2+c2﹣2accosB．
温馨提示：使用复数以外的方法证明不给分．
【答案】（1）z1 z2＝r1r2ei（α+β），ei（α﹣β）；（2）；（3）证明见解析．
【解答】解：（1）因为复数r1（cosα+isinα），复数r2（cosβ+isinβ），
所以z1 z2＝r1（cosα+isinα） r2（cosβ+isinβ）＝r1r2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）+i（sinαcosβ+sinβcosα）
＝r1r2[cos（α+β）+isin（α+β）]＝r1r2ei（α+β），

[cos（α﹣β）+isin（α﹣β）]ei（α﹣β）．
综上所述，z1 z2＝r1r2ei（α+β），ei（α﹣β）．
（2）因为复数1﹣cos（﹣θ）﹣isin（﹣θ）＝1﹣cosθ+isinθ＝22isincos2sin（sinicos）
＝2sin[cos（）+isin（）]，
1+cosθ+isinθ＝22isincos2cos（cosisin）＝﹣2cos[cos（π）+isin（π）]．
因为θ∈（π，2π），所以sin0，﹣cos0，2π，π2π，
所以argz3，argz4＝π，
所以argz3+argz4π．
（3）证明：以B为原点，为实轴正方向确定复平面，并不妨设点A在实轴上方，则点A，B，C在复平面上分别表示复数ceiB，0，a，
所以|ceiB﹣a|2＝|ccosB﹣a+icsinB|2＝（ccosB﹣a）2+c2sin2B＝a2+c2﹣2accosB．
▉题型2 复数的代数形式与三角形式互化
【知识点的认识】
复数的代数形式为a+bi，三角形式为r（cosθ+isinθ），其中r为模，θ为辐角．两种形式可以通过公式互相转换．
【解题方法点拨】
﹣代数形式转三角形式：计算复数的模和辐角θ．
﹣三角形式转代数形式：使用公式a＝rcosθ和b＝rsinθ转换．
13．复数的三角形式是（　　）
A．cos60°+isin60° B．﹣cos60°+isin60°
C．cos120°+isin60° D．cos120°+isin120°
【答案】D
【解答】解：令，
则r＝|z|＝1，所以，
因为0°≤θ＜360°，所以θ＝120°，
的三角形式是cos120°+isin120°．
故选：D．
14．写出复数的三角形式是 　．　 ．（辐角θ∈[0，2π））
【答案】．
【解答】解：复数．
故答案为：．
15．欧拉公式：eix＝cosx+isinx（e是自然对数的底数，i为虚数单位，x∈R），建立了指数函数和三角函数之间的关系，进而可以化成复数的代数形式．
（I）根据欧拉公式将化成复数的代数形式；
（Ⅱ）设函数f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcosx，0≤x，求f（x）的值域．
【答案】（I）；
（Ⅱ）．
【解答】解：（I）；
（Ⅱ）f（x）＝e2ix+e﹣2ix+4sinxcosx＝（cos2x+isin2x）+（cos2x﹣isin2x）+2sin2x
，
∵x∈[0，]，∴2x∈[0，π]，∈[，]，
当，即时，；
当，即时，f（x）min＝﹣2；
∴f（x）的值域为．
▉题型3 复数的辐角和辐角主值
【知识点的认识】
复数a+bi的辐角是复平面中该复数点与正实轴的夹角．辐角主值是[0，2π）范围内的角度．
【解题方法点拨】
﹣计算辐角．
﹣主值范围：将计算得到的角度调整到[0，2π）范围内．
16．我们知道复数有三角形式，z＝r（cosθ+isinθ），其中r为复数的模，θ为辐角主值．由复数的三角形式可得出，若，，则r1（cosθ1+isinθ1） r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]．其几何意义是把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2（如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|），再把它的模变为原来的r2倍．
已知圆O半径为1，圆O的内接正方形ABCD的四个顶点均在圆O上运动，建立如图所示坐标系，设A点所对应的复数为z1，B点所对应的复数为z2，C点所对应的复数为z3，D点所对应的复数为z4．
（1）若，求出z2，z3；
（2）如图，若P（2，0），以PA为边作等边△PAQ，且Q在AP上方．
（ⅰ）求线段OQ长度的最小值；
（ⅱ）若（x，y∈R），求x+y的取值范围．
【答案】（1）z2，z3；
（2）（ⅰ）1；
（ⅱ）[，]．
【解答】解：（1）∵，
∴，；
（2）（ⅰ）设z1＝cosθ+isinθ，θ∈[0，2π），所表示的复数为z5，所表示的复数为z6，
则z5＝cosθ﹣2+isinθ，，
故，
得
，其中，
当1时，线段OQ长度取最小值为1；
（ⅱ）设z1＝cosθ+isinθ，则z4＝sinθ﹣icosθ，即D点坐标为（sinθ，﹣cosθ），
此时，，，
由（x，y∈R），
得：，
即，解得，
∴，
故，其中，
可得．
▉题型4 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝r1（cosθ1+isinθ1）和z2＝r2（cosθ2+isinθ2）的乘积是z1z2＝r1r2（cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2））．
﹣除法：复数z1除以复数z2是．
【解题方法点拨】
﹣三角形式计算：利用三角形式进行复数乘法和除法，简化计算．
﹣几何意义：理解复数乘法和除法在复平面中的几何意义，如旋转和缩放．
17．计算：　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：i，
则i6＝﹣1．
故答案为：﹣1．

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