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第6章第1节 基本立体图形
题型1 构成空间几何体的基本元素 题型2 棱柱的结构特征
题型3 棱锥的结构特征 题型4 棱台的结构特征
题型5 圆锥的结构特征 题型6 圆台的结构特征
▉题型1 构成空间几何体的基本元素
【知识点的认识】
1．空间几何体：一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这个空间部分叫做空间几何体（含内部）．
2．构成空间几何体的基本要素：
名称 特征 图形表示 符号表示
点 无大小 点A
直线 无粗细 无限延伸 直线AB 直线l
平面 处处平直 无厚度 无限延伸 面α 面ABCD或面AC
1．如图所示，在三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，则剩余的部分是（　　）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
2．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？
▉题型2 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
3．下列命题中为真命题的有（　　）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱
D．正四棱锥的侧面均为等边三角形
4．下列说法正确的是（　　）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
（多选）5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点E和点F分别在线段AB1和B1M上运动（不包含端点），下列说法正确的有（　　）
A．正方体被平面AB1M截得的截面面积为
B．BE+EF的最小值为2
C．三棱锥C﹣EMC1的体积为
D．直线A1E与平面AB1M可能垂直
6．如图，多面体ABCDA1B1C1D1是用平面α截底面边长AB＝2，侧棱长AA′＝4的长方体A′B′C′D′﹣ABCD剩下的一部分几何体，其中，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则截面四边形BED1F的周长的最小值为 　　 ．
7．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．
▉题型3 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
8．如图，正四面体P﹣ABC的棱长均为2，M是棱PA的中点，N是棱AC上一动点，则MN+BN的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
9．在空间四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（　　）
A．M，N，P，Q四点共面 B．△BCD∽△MEQ
C．四边形MNPQ为梯形 D．∠QME＝∠CBD
10．下列说法不正确的是（　　）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
11．九棱锥共有（　　）
A．9条棱 B．10条棱 C．12条棱 D．18条棱
12．如图（1），在梯形PBCD中，PD∥BC，PD＝2CD＝4，点A在边PD上，且四边形ABCD是正方形，现将正方形ABCD沿直线AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的四棱锥P﹣ABCD．若M是棱PB的中点，则cos∠DMC＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）13．下列有6个面的多面体是（　　）
A．五棱锥 B．四棱柱 C．四棱锥 D．圆柱
14．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，M，N分别是BP，BC的中点，T是△AMC所在平面内的一点，则BT+NT的最小值为　　 ．
▉题型4 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
15．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（　　）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
16．下列说法中错误的是（　　）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
17．如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯，该几何体由（　　）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
18．下列叙述正确的是（　　）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
19．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为 　　 ；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 　　 ．
▉题型5 圆锥的结构特征
【知识点的认识】
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
【解题方法点拨】
﹣底面圆的性质：计算底面圆的面积和周长．
﹣侧面扇形：侧面的面积为扇形的面积，计算公式为，其中l为母线长度．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
20．已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
21．下列说法不正确的是（　　）
A．圆柱的轴截面是矩形
B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体
D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
（多选）22．下列说法中正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
（多选）23．已知圆锥的底面半径为，高为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的体积为8π
B．圆锥侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面SAB面积的最大值为
D．若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为
▉题型6 圆台的结构特征
【知识点的认识】
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
【解题方法点拨】
﹣底面和顶面圆的性质：分别计算底面和顶面的面积．
﹣侧面带弯的矩形：计算侧面面积，公式为π（r1+r2）l，其中l为母线长度．
﹣表面积：计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
（多选）24．下列说法不正确的是（　　）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有4个侧面第6章第1节 基本立体图形
题型1 构成空间几何体的基本元素 题型2 棱柱的结构特征
题型3 棱锥的结构特征 题型4 棱台的结构特征
题型5 圆锥的结构特征 题型6 圆台的结构特征
▉题型1 构成空间几何体的基本元素
【知识点的认识】
1．空间几何体：一切物体都占据着空间的一部分，如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么这个空间部分叫做空间几何体（含内部）．
2．构成空间几何体的基本要素：
名称 特征 图形表示 符号表示
点 无大小 点A
直线 无粗细 无限延伸 直线AB 直线l
平面 处处平直 无厚度 无限延伸 面α 面ABCD或面AC
1．如图所示，在三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，则剩余的部分是（　　）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．组合体
【答案】B
【解答】解：如图所示，
三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，
剩余部分是四棱锥A′﹣BCC′B′．
故选：B．
2．如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成，有几个面、几个顶点、几条棱？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：此几何体是由两个四棱锥组成，有8个面，6个顶点，12条棱组成．
▉题型2 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
3．下列命题中为真命题的有（　　）
A．以直角三角形的一边所在直线为轴，旋转一周所得的旋转体是圆锥
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱
D．正四棱锥的侧面均为等边三角形
【答案】C
【解答】解：对于选项A，当以直角三角形的一条直角边为旋转轴，得到圆锥，
若以斜边为轴旋转，得到两个圆锥的组合体，所以选项A错误；
对于选项B，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，所以选项B错误；
对于选项C，由棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱，所以选项C正确；
对于选项D，正四棱锥的四个侧面是全等的等腰三角形，所以选项D错误．
故选：C．
4．下列说法正确的是（　　）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
【答案】C
【解答】解：选项A，如图1所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，
但该几何体不是棱柱，故A选项错误；
选项B，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面三角形面积为，
显然当，面积S最大，
故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故B选项错误；
选项C，棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，
所以该棱锥为四棱锥，故C选项正确；
选项D，棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点．
有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，
不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，
如图2所示的几何体中，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1均为矩形，
且AB＝4，BC＝2，A1B1＝1，B1C1＝2，且平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且AB∥A1B1，CD∥D1C1，
则该几何体满足D，但不是棱台；
如图3所示，由两个棱台组合而成的几何体满足D，但这个几何体不是棱台，
故D选项错误．
故选：C．
（多选）5．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点E和点F分别在线段AB1和B1M上运动（不包含端点），下列说法正确的有（　　）
A．正方体被平面AB1M截得的截面面积为
B．BE+EF的最小值为2
C．三棱锥C﹣EMC1的体积为
D．直线A1E与平面AB1M可能垂直
【答案】AC
【解答】解：对于选项A，取C1D1的中点G，连接GB1，GM，DC1，
因为M为DD1的中点，所以MG∥DC1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB1∥DC1，所以AB1∥MG，
则正方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面AB1M所截得的截面为四边形AMGB1，
且四边形AMGB1为等腰梯形，，，，
在等腰梯形AMGB1中，过点M，G分别作MH⊥AB1，GJ⊥AB1，垂足为H，J，
则，所以，
所以等腰梯形AMGB1的面积为，故选项A正确；
对于选项B，将平面AB1M以AB1为轴旋转展开，与平面ABB1在同一个平面内，如图所示，
由于AB＝BB1＝2，，，MB1＝3，
则，则∠AB1M＝45°，
则∠BB1M为直角，所以当E，F都到达B1时，BE+EF的值取得最小值2，但E，F不能取端点，故选项B错误．
对于选项C，由，故选项C正确．
对于选项D，若直线A1E与平面AB1M垂直，则必有A1E⊥AB1，此时E为AB1的中点，
又因为AD⊥平面ABB1A1，A1E 平面ABB1A1，所以AD⊥A1E，
又因为AB1∩AD＝A，AB1，AD 平面A1B1C1D，所以A1E⊥平面A1B1C1D，
又因为A1E⊥平面AB1M，所以平面AB1M∥平面AB1C1D，而平面AB1M与平面AB1C1D相交，矛盾，
所以A1E与平面AB1M不可能垂直，故选项D错误．
故选：AC．
6．如图，多面体ABCDA1B1C1D1是用平面α截底面边长AB＝2，侧棱长AA′＝4的长方体A′B′C′D′﹣ABCD剩下的一部分几何体，其中，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，则截面四边形BED1F的周长的最小值为 　10　 ．
【答案】10．
【解答】解：多面体ABCDA1B1C1D1是用平面α截底面边长AB＝2，
侧棱长AA′＝4的长方体A′B′C′D′﹣ABCD剩下的一部分几何体，
其中，点E在线段CC1上，平面BED1交线段AA1于点F，
由题意，平面ADD1A1∥平面BCB1C1，
平面ADD1A1∩平面BED1＝D1F，平面BCB1C1∩平面BED1＝BE，
∴D1F∥BE，同理可得BF∥D1E，
∴四边形BED1F为平行四边形，
则周长l＝2（BE+ED1），沿CC1将右面和后面相邻两面展开，
当B，E，D1三点共线时，BE+ED1最小，
最小值为，
∴截面四边形BED1F的周长的最小值为10．
故答案为：10．
7．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据正六棱锥的底面边长为1，高为，则侧棱长为2，斜高等于，
所以正六棱锥的底面积，侧面积，
正六棱锥的体积，
设正六棱锥的内切球的半径为r，
则，解得，
要使正方体能在该正六棱锥内任意转动，则正方体的外接球直径不超过正六棱锥的内切球直径，
若正方体的棱长为a，则正方体的外接球直径为，
可得，解得，所以正方体的棱长的最大值为．
故答案为：．
▉题型3 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
8．如图，正四面体P﹣ABC的棱长均为2，M是棱PA的中点，N是棱AC上一动点，则MN+BN的最小值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：将△PAC与△ABC展开至位于同一平面内且位于直线AC的两侧，连接BM，与AC交于点N，
则此时MN+BN最小．
在△ABM中，因为AM＝1，AB＝2，∠BAM＝120°，
所以BM2＝AM2+AB2﹣2×AM×AB×cos∠BAM＝7，
所以，
故MN+BN的最小值为．
故选：B．
9．在空间四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（　　）
A．M，N，P，Q四点共面 B．△BCD∽△MEQ
C．四边形MNPQ为梯形 D．∠QME＝∠CBD
【答案】C
【解答】解：对于A选项，由条件可得，MQ∥BD，NP∥BD，
所以MQ∥NP，
所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；
对于B选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，
所以△BCD∽△MEQ，故B正确；
对于C选项，由三角形中位线的性质知MQ∥BD，，NP∥BD，，
所以MQ∥NP，MQ＝NP，
所以四边形MNPQ为平行四边形，故C不正确．
对于D选项，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故D正确．
故选：C．
10．下列说法不正确的是（　　）
A．正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B．棱台的各侧棱延长线必交于一点
C．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，A正确；
对于B，棱台的各侧棱延长线必交于一点，B正确；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，C错误；
对于D，由棱柱的定义，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，D正确．
故选：C．
11．九棱锥共有（　　）
A．9条棱 B．10条棱 C．12条棱 D．18条棱
【答案】D
【解答】解：根据题意，九棱锥共有18条棱．
故选：D．
12．如图（1），在梯形PBCD中，PD∥BC，PD＝2CD＝4，点A在边PD上，且四边形ABCD是正方形，现将正方形ABCD沿直线AB折起，使得平面PAB⊥平面ABCD，得到如图（2）所示的四棱锥P﹣ABCD．若M是棱PB的中点，则cos∠DMC＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意知，△CDM中，CM＝DM，CD＝2，
所以cos∠DMC．
故选：D．
（多选）13．下列有6个面的多面体是（　　）
A．五棱锥 B．四棱柱 C．四棱锥 D．圆柱
【答案】AB
【解答】解：对于选项A，五棱锥是有5个侧面，1个底面，共6个面的多面体，故选项A正确；
对于选项B，四棱柱是有4个侧面2个底面，共6个面的多面体，故选项B正确；
对于选项C，四棱锥是有4个侧面1个底面，共5个面的多面体，不符合题意，故选项C错误；
对于D，圆柱为旋转体，不符合题意，故选项D错误．
故选：AB．
14．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD的棱长均为2，M，N分别是BP，BC的中点，T是△AMC所在平面内的一点，则BT+NT的最小值为　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，连接PN．因为△PBC，△PAB都为正三角形，M为BP的中点，
所以CM⊥BP，AM⊥BP，所以BP⊥平面 MAC，所以B，P关于平面 MAC对称，
所以BT＝PT，BT+NT＝PT+NT≥PN，当且仅当P，T，N三点共线时，等号成立，
即BT+NT的最小值为．
故答案为：．
▉题型4 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
15．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是（　　）
A．棱柱的侧棱互相平行
B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥
C．正三棱锥的各个面都是正三角形
D．棱台各侧棱所在直线会交于一点
【答案】C
【解答】解：根据棱柱的性质可知A正确；
当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；
正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；
棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确．
故选：C．
16．下列说法中错误的是（　　）
A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
【答案】C
【解答】解：由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确；
由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确；
直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥，
是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误；
在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线，
只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确．
故选：C．
17．如图所示的几何体是数学奥林匹克竞赛的奖杯，该几何体由（　　）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】B
【解答】解：由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成．
故选：B．
18．下列叙述正确的是（　　）
A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．棱台的侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【解答】解：棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
对于A，当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，A错误；
对于B，C，如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，B，C错误；
对于D，由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点，D正确．
故选：D．
19．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，则正三棱台的体积为 　　 ；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 　185π　 ．
【答案】；185π．
【解答】解：因为正三棱台的上下底面的边长分别为和，
所以上下底面的面积分别为S1，S2，
又正三棱台的高为h＝1，
故正三棱台的体积为；
如图，设正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1、O，
由正三棱台的几何性质可知，外接球球心E在直线OO1上，
正△A1B1C1的外接圆半径为，
正△ABC的外接圆半径为，
设OE＝d，若球心在线段OO1上，则0＜d＜1，O1E＝1﹣d，
设外接球E的半径为R，
则，
即16+d2＝4+（1﹣d）2，
解得，不合乎题意；
故球心E在射线O1O上，则O1E＝d+1，
同理由，
即16+d2＝4+（d+1）2，解得．
所以，
故该正三棱台的外接球表面积为S＝4πR2＝185π．
故答案为：；185π．
▉题型5 圆锥的结构特征
【知识点的认识】
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
【解题方法点拨】
﹣底面圆的性质：计算底面圆的面积和周长．
﹣侧面扇形：侧面的面积为扇形的面积，计算公式为，其中l为母线长度．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
20．已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，设该圆锥的截面为△SMN，
由于该圆锥母线长为，底面半径为2，
则，MN＝4，
则，
所以，
故截面三角形面积的最大值为．
故选：A．
21．下列说法不正确的是（　　）
A．圆柱的轴截面是矩形
B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体
D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
【答案】C
【解答】解：对于A，圆柱的轴截面是矩形，所以A正确，
对于B，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以B正确，
对于C，因为旋转体不是多面体，所以C项不正确，
对于D，如图，三棱锥A﹣BCD中，当AB⊥平面BCD时，AB⊥BC，AB⊥BD，
所以△ABC，△ABD，△ACD，△BCD均为直角三角形，所以D正确．
故选：C．
（多选）22．下列说法中正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以选项A错误；
对于选项B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故选项B正确；
对于选项C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，
圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故选项C错误；
对于选项D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）23．已知圆锥的底面半径为，高为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（　　）
A．圆锥的体积为8π
B．圆锥侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面SAB面积的最大值为
D．若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为
【答案】ABD
【解答】解：∵圆锥的底面半径为，高为h＝2，
∴圆锥的母线长，
∴圆锥的体积，故A正确；
设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为α，则，，故B正确；
当圆锥截面SAB为圆锥的轴截面时，此时SA＝SB＝4，，
则，又∠ASB∈（0，π），∴，
则当时，截面SAB的面积最大，
此时，故C错误；
圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥有外接球，
设圆锥外接球半径为R，由球的性质可知R2＝（h﹣R）2+r2，即，
解得R＝4，∴外接球的体积．故D正确．
故选：ABD．
▉题型6 圆台的结构特征
【知识点的认识】
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
【解题方法点拨】
﹣底面和顶面圆的性质：分别计算底面和顶面的面积．
﹣侧面带弯的矩形：计算侧面面积，公式为π（r1+r2）l，其中l为母线长度．
﹣表面积：计算公式为．
﹣体积：计算公式为．
（多选）24．下列说法不正确的是（　　）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有4个侧面
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故A正确；
对于选项B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误；
对于选项C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误；
对于选项D，多面体至少有4个面，故D错误．
故选：BCD．

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