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第6章第2节 直观图
题型1 平面图形的直观图 题型2 空间几何体的直观图
题型3 斜二测法画直观图 题型4 由斜二测直观图还原图形
▉题型1 平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
1．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：在直观图中，∵∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC
∴AD＝1，BC＝1，
∴原来的平面图形上底长为1，下底为1，高为2，
∴平面图形的面积为2＝2．
故选：B．
2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2+3cm D．2+2cm
【答案】A
【解答】解：正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图是平行四边形，相邻边长为：1和3，
原图的周长是：8．
故选：A．
3．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）
A．8 B．6 C．2（1） D．2（1）
【答案】A
【解答】解：由斜二测画法的规则可知，
原图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴，长度不变，
原图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y'轴，且长度为原来一半，
由于y'轴上的线段长度为，故在原图形中，其长度为，且在原图形的y轴上，
原图形如图所示，
所以原图形的周长为8．
故选：A．
4．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'＝2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是，
∴原平面图形的面积是1×22
故选：D．
（多选）5．如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中，则在原平面图形ABC中有（　　）
A．AC＜BC B．AB＝2
C． D．
【答案】ACD
【解答】解：在直观图△A′B′C′中，，取A′B′中点D′，连接C′D′，
则C′D′⊥A′B′，而∠B′O′C′＝45°，于是，
则O′A′＝1，，B′O′＝3，
由斜二测画法规则作出△ABC，如图，
则，AB＝4，
所以，，
所以，
显然AC＜BC，A、C、D正确，B错误．
故选：ACD．
6．已知水平放置的四边形ABCD按斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′如图所示，其中A′D′∥B′C′，A′D′＝2，B'C'＝4，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：根据斜二测画法，画出原图形如图所示，
因为A′B′＝1，所以原高为|AB|＝2，
过点D作DE⊥BC于E，而横向长度不变，且梯形ABCD是直角梯形，
则．
故答案为：6．
7．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 　16　 cm．
【答案】16．
【解答】解：由已知可得，，
则将直观图还原为原图形如下图：
原图形为平行四边形，其中，OA＝BC＝2，，
所以，
所以平行四边形OABC的周长为OA+AB+BC+CO＝2+6+2+6＝16．
故答案为：16．
8．如图，△A'B'C'是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D'是B'C'的中点，且A'D'∥y轴，B'C'∥x轴，A'D'＝2，B'C'＝2，则△ABC的面积是 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由直观图画出△ABC的原图形，如图所示：
由题意知，AD⊥BC，且AD＝2A′D'＝2×2＝4，BC＝B'C'＝2，
所以△ABC的面积是S2×4＝4．
故答案为：4．
▉题型2 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
【解题方法点拨】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
空间几何体的直观图特点：原来平行关系不变，平行于y轴的线段长度减半，平行于x、z轴的线段长度不变．
9．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　）
A．2cm B．3cm C．2.5cm D．5cm
【答案】D
【解答】解：已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，
其直观图如下图所示：
由图可得：直观图中这两个顶点之间的距离为5cm，
故选：D．
10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
【答案】答案见解析．
【解答】解：（1）画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°，∠xOz＝90°，如图①；
（2）画底面．在平面Oxy内，以O为中心画出正方形的直观图ABCD；
（3）画顶点．在Oz轴上截取OP，OP的长度为四棱锥的高；
（4）成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，可得四棱锥的直观图，如图②．
▉题型3 斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
11．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：根据题意，平面图形的直观图是一个边长为1的正方形，则直观图的面积S′＝1，
故原图的面积S＝2S′＝2．
故选：A．
12．如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），用斜二测画法画出它的直观图A'B'C'O'，则点B'到x'轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，由斜二测画法作出直观图，
其中B'C'＝1，∠B'C'x'＝45°，
则点B'到x'轴的距离d＝1×sin45°．
故选：C．
13．如图所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的平面图形ABCD根据斜二测画法得到的直观图，B′C′∥A′D′，B′C′′＝2，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，在直观图中，，B′C′＝2，，
则，
由斜二测画法可以还原原图，如图：
，AD＝A′D′＝4，BC＝B′C′＝2，
故平面图形ABCD的面积为．
故选：D．
14．在△ABC中，A为直角，AC＝3，BC＝4，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，△ABC中，A为直角，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得，
故在直观图△A′B′C′中，
∠B′A′C′＝45°，A′C′＝AC＝3，，
故△A′B′C′的面积．
故选：B．
15．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′（如图所示），其中B′O′＝C′O′＝1，，那么△ABC是一个（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】A
【解答】解：根据斜二测画法还原直线△ABC在直角坐标系的图形，如下图所示：
由图易得AB＝BC＝AC＝2
故△ABC为等边三角形，
故选：A．
16．已知正四棱锥的体积为，其底面的斜二测直观图面积为4，则此正四棱锥的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，已知正四棱锥的体积为8，其底面的斜二测直观图面积为4，
如图所示，设底面正方形边长为a，四棱锥的高为h，由直观图的性质得高为，
直观图面积为，解得，因为正四棱锥的体积为，所以，解得．
故选：A．
17．如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为的正三角形，原△ABC的面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，△ABC的直观图是边长为的正三角形，
则其直观图的面积S′，
故原图面积S＝2S′．
故答案为：．
▉题型4 由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【解题方法点拨】
﹣解析图形：通过观察斜二测图的长度和角度信息，恢复图形的空间关系．
﹣几何知识：利用几何知识推断图形的真实尺寸和结构．
18．正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（　　）
A．12 B． C．16 D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，直观图为正方形O′A′B′C′，且其边长为2，
故，
由斜二测画法还原原图形，如图：
则四边形OABC为平行四边形，其中，
，
所以其周长为（2+6）×2＝16．
故选：C．
19．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解答】解：由△O′A′B′中O′A′＝O′B′＝2，
可知△OAB中，OA⊥OB，OA＝2，OB＝4，
所以△OAB的面积为．
故选：C．
20．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C'，则原四边形OABC的面积是（　　）
A． B． C．16 D．8
【答案】B
【解答】解：在正方形O'A'B'C'中可得，
由斜二测画法可知，AO＝A'O'＝2，
且OA⊥OB，OA∥BC，AB∥CO，
所以四边形OABC为平行四边形，
所以．
故选：B．
21．把水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法，得到如图所示的直观图A′B′C′D′，其中B′C′＝2A′D′＝4，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：由直观图A′B′C′D′中B′C′＝2A′D′＝4，A′B′＝1，
可得：原图为直角梯形，上底长为2，下底长为4，高为2，
所以其面积为．
故答案为：6．
22．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：根据题意，直观图为边长为2的正方形O′A′B′C′，其面积S′＝2×2＝4，
则原图四边形OABC的面积S＝2S′＝8．
故答案为：8．第6章第2节 直观图
题型1 平面图形的直观图 题型2 空间几何体的直观图
题型3 斜二测法画直观图 题型4 由斜二测直观图还原图形
▉题型1 平面图形的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示平面图形的平面图形叫做平面图形的直观图，它不是平面图形的真实形状．
2．斜二测画法画平面图形直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
1．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图）．∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这个平面图形的面积为（　　）
A． B．2 C． D．
2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2+3cm D．2+2cm
3．如图正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）
A．8 B．6 C．2（1） D．2（1）
4．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是（　　）
A． B．1 C． D．
（多选）5．如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中，则在原平面图形ABC中有（　　）
A．AC＜BC B．AB＝2
C． D．
6．已知水平放置的四边形ABCD按斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′如图所示，其中A′D′∥B′C′，A′D′＝2，B'C'＝4，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为 　　 ．
7．如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 　　 cm．
8．如图，△A'B'C'是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D'是B'C'的中点，且A'D'∥y轴，B'C'∥x轴，A'D'＝2，B'C'＝2，则△ABC的面积是 　　 ．
▉题型2 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
【解题方法点拨】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
空间几何体的直观图特点：原来平行关系不变，平行于y轴的线段长度减半，平行于x、z轴的线段长度不变．
9．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为（　　）
A．2cm B．3cm C．2.5cm D．5cm
10．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．
▉题型3 斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
11．如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（　　）
A． B． C． D．1
12．如图所示为水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，2），用斜二测画法画出它的直观图A'B'C'O'，则点B'到x'轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
13．如图所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的平面图形ABCD根据斜二测画法得到的直观图，B′C′∥A′D′，B′C′′＝2，则平面图形ABCD的面积为（　　）
A． B． C． D．
14．在△ABC中，A为直角，AC＝3，BC＝4，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（　　）
A． B． C． D．
15．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′（如图所示），其中B′O′＝C′O′＝1，，那么△ABC是一个（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
16．已知正四棱锥的体积为，其底面的斜二测直观图面积为4，则此正四棱锥的高为（　　）
A． B． C． D．
17．如图，已知用斜二测画法画出的△ABC的直观图是边长为的正三角形，原△ABC的面积为 　　 ．
▉题型4 由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
【解题方法点拨】
﹣解析图形：通过观察斜二测图的长度和角度信息，恢复图形的空间关系．
﹣几何知识：利用几何知识推断图形的真实尺寸和结构．
18．正方形O′A′B′C′的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的周长是（　　）
A．12 B． C．16 D．
19．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二测画法画出的直观图，其中O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
20．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O'A'B'C'，则原四边形OABC的面积是（　　）
A． B． C．16 D．8
21．把水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法，得到如图所示的直观图A′B′C′D′，其中B′C′＝2A′D′＝4，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为　　 ．
22．如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是 　　 ．

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