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第6章第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
题型1 异面直线的判定 题型2 空间中直线与直线之间的位置关系
题型3 空间中直线与平面之间的位置关系 题型4 平面与平面之间的位置关系
题型5 空间点、线、面的位置
▉题型1 异面直线的判定
【知识点的认识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
【答案】C
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，取DD1中点R，连接AR，RM，RN，
则RN∥DC且PR＝DC，AB∥DC且AB＝DC，
所以RN∥AB且RN＝AB，
所以四边形ARNB为平行四边形，
则AR∥BN，
所以∠RAM是直线AM与BN夹角或其补角．
设正方体棱长为2a，
则，，
，
则AR2+MR2＝7a2＜AM2，
则∠RAM为锐角，不是直角，所以直线AM与BN不垂直．
因为A∈平面ARNB，M 平面ARNB，BN 平面ARNB，A BN，
所以AM，BN为异面直线，
综上所得，AM与BN异面且不垂直．
故选：C．
2．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线AF与直线BQ是异面直线；
②直线BE与直线MN是异面直线；
③直线BQ与直线MN共面；
④直线BE与直线AF是异面直线．
其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对②，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，
所以FN∥CD，又AB∥CD，则FN∥AB，故F，N，A，B四点共面，
故直线AF与直线BQ是共面直线，①错误；
对②，E在过F，N，A，B四点的平面外，
故直线BE与直线MN是异面直线，②正确；
对③，N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，③正确；
对④，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线BE与直线AF是异面直线，④正确；
综上有②③④正确．
故选：B．
▉题型2 空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：已知在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，
延长DC，AB交于G，连接GP，连接GE交PC于点F，
则由BC∥AD，AD＝2BC，
得C是DG中点，
因为E是PD中点，
所以F是△PDG的重心，
则，
即λ＝3．
故选：A．
4．如图，点N为正方形ABCD的中心，点E在平面ABCD外，M是线段ED的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（　　）
A．AB与DE B．BC与EN C．CD与BM D．BM与EN
【答案】D
【解答】解：根据异面直线的判定定理可得：
AB与DE为异面直线；
BC与EN为异面直线；
CD与BM为异面直线；
BM与EN共面于平面EDB．
故选：D．
5．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1DD1，侧面CC1DD1的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：如图，
连接AD1，CD1，则E，F分别为AD1，CD1 的中点，
由三角形中位线定理可得EF∥AC，GH∥AC，
由平行公理可得EF∥GH．
故选：C．
6．已知直线a与平面α没有公共点，直线b α，则a与b的位置关系是（　　）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
【答案】D
【解答】解：根据题意，直线a与平面α没有公共点，即直线a∥平面α，
又由直线b α，故a与b的位置关系是平行或异面．
故选：D．
7．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b（　　）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
【答案】D
【解答】解：根据题意，直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，
则a与b不会相交，即平行或异面，
故选：D．
8．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，
“b∥α”，由线面垂直的性质得“a⊥b”，即充分性成立；
“a⊥b”，则b∥α或b α，即必要性不成立，
∴“b∥α”是“a⊥b”的充分不必要条件．
故选：A．
（多选）9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（　　）
A．若m∥α，l⊥m，则l⊥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
【答案】ABC
【解答】解：若m∥α，l⊥m，则l与α可以成[0，]的任意角，所以A选项错误；
若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，所以B选项错误；
若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a，c异面或a，c相交，所以C选项错误；
若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n，所以D选项正确．
故选：ABC．
▉题型3 空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A
直线和平面平行 无 a∥α
10．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若m∥α，n α，则m与n平行或异面，A错误；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n异面、平行或相交，B错误；
对于C，设直线l，满足l α且l∥m，
若n⊥α，则n⊥l，而l∥m，则m⊥n，C正确；
对于D，若m∥α，n⊥α，则m与n相交或异面，D错误．
故选：C．
11．下列命题正确的是（　　）
A．若直线a∥b，a∥平面α，则b∥平面α
B．若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个
C．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域
D．已知直线a与b异面，不同的两点P∈a，Q∈a，不同的两点M∈b，N∈b，则直线PM与QN可能相交
【答案】C
【解答】解：对于A：若直线a∥b，a∥平面α，则b∥平面α或b 平面α，故A错误；
对于B：若直线a与b异面，则过空间任意一点（不妨设为A）与a和b都平行的平面可以没有，如果有只有一个，
事实上，过直线a上任一点P作b的平行线c，则a，c相交，a，c确定的平面为γ，
若A∈γ，则过A点作不出平面与a，b都平行，故B错误；
对于C：当三个平面两两相交且3条交线平行时，可以把空间分为7个部分；
当三个平面两两相交且3条交线共点时，可以把空间分为8个部分，故C正确；
对于D：已知直线a与b异面，不同的两点P∈a，Q∈a，不同的两点M∈b，N∈b，
则直线PM与QN不可能相交，
若PM与QN相交，则PM与QN确定一个平面（不妨记作τ），
则P∈τ，Q∈τ，所以a τ，同理b τ，则a与b共面，矛盾，故D错误．
故选：C．
12．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列表述正确的是（　　）
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若α⊥β，α∩β＝c，m⊥c，则m⊥β
C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
D．若α∩β＝c，n∥α，n∥β，则n与c不一定平行
【答案】C
【解答】解：若m∥α，m⊥n，则n⊥α或n α，所以A选项错误；
若α⊥β，α∩β＝c，m⊥c，但m没说明在α内，所以m⊥β不一定成立，所以B选项错误；
若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n，所以C选项正确．
对于D，设过直线n的平面γ，满足α∩γ＝a，β∩γ＝b，a，b，c互不重合，
因为n∥α，n∥β，根据线面平行的性质定理可知，n∥a，n∥b，所以a∥b，
再根据线面平行的判定可知，a∥β，又a α，α∩β＝c，所以a∥c，
所以n∥c，所以D选项错误．
故选：C．
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（　　）
A．直线BC 平面AA1C1
B．直线AB∥直线A1C1
C．直线CD⊥平面AA1C1
D．直线BC与直线A1C1是异面直线
【答案】D
【解答】解：对于选项A，平面AA1C1即平面AA1C1C，显然直线BC与平面AA1C1相交，故A错误；
对于选项B，由正方体性质可知AC∥A1C1，而直线AB与直线AC相交，
所以直线AB与直线A1C1不平行，故B错误；
对于选项C，假设CD⊥平面AA1C1，即CD⊥平面AA1C1C，
因为AC 平面AA1C1C，
所以CD⊥AC，
在正方体中显然CD与AC不垂直，所以假设不成立，故C错误；
对于选项D，因为直线BC与直线A1C1不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线BC与直线A1C1为异面直线，故D正确．
故选：D．
14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m α，n β，α∥β，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
【答案】C
【解答】解：若m α，n α，m∥β，n∥β，
当没说明m与n相交，则α∥β不一定成立，所以A选项错误；
若m α，n β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以B选项错误；
若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n，所以C选项正确；
若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n或m与n相交或异面，所以D选项错误．
故选：C．
15．设m，n表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m⊥n，m β，则n⊥β
D．存在一对异面直线m，n，m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β
【答案】D
【解答】解：若m∥α，m⊥n，则n与α可以平行，也可以垂直，也可以n在α中，所以A选项错误；
若m α，n α，m∥β，n∥β，但没说明m与n为相交直线，所以α∥β不一定成立，所以B选项错误；
若m⊥n，m β，则n与β可以成任意角，所以C选项错误；
若存在一对异面直线m，n，m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β，所以D选项正确．
故选：D．
16．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，m β，α∩β＝n，则m∥n
D．若m∥α，n α，则m∥n
【答案】C
【解答】解：若m∥α，m∥n，则n∥α或n α，故A错误；
若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故B错误；
若m∥α，m β，α∩β＝n，由直线与平面平行的性质可得m∥n，故C正确；
若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故D错误．
故选：C．
（多选）17．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（　　）
A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．如果α∥β，m α，那么m∥β
D．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
【答案】BCD
【解答】解：α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，
对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，
不妨设AA'为直线m，CD为直线n，四边形ABCD所在的平面为α，四边形ABC'D'所在的平面为β，
由图知这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立，故A错误；
对于B，设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α，知m⊥l，从而m⊥n，故B正确；
对于C，由平面与平面平行的定义知，如果α∥β，m α，那么m∥β，故C正确；
对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，
如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等，D正确．
故选：BCD．
▉题型4 平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
两平面平行 无 α∥β
两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l
18．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
【答案】D
【解答】解：对A选项，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m α，故A选项错误；
对B选项，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m α，故B选项错误；
对C选项，若m⊥α，α⊥β，则m∥β或m β，故C选项错误；
对D选项，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故D选项正确．
故选：D．
19．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
C．若m α，n α，m∥β，n∥γ，则β∥γ
D．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
【答案】D
【解答】解：若m∥α，α∥β，则m∥β或m β，∴A选项错误；
若α⊥β，α⊥γ，则β与γ可以成任意角，∴B选项错误；
若m α，n α，m∥β，n∥γ，但没说明m与n是否相交，则β∥γ不一定成立，∴C选项错误；
若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β，∴D选项正确．
故选：D．
（多选）20．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
【答案】CD
【解答】解：对于A项，当m γ，n γ且α∥β∥γ时符合要求，
但α⊥β，故A不正确；
若n α，则α⊥β，故B不正确；
若m⊥α，m∥n，
则n⊥α，
又n⊥β，
∴α∥β，故C正确；
因为m⊥α，若m与n平行，则n⊥α，
又m，n不平行，
则n与α平行或相交或m在α内，但不垂直，故D正确．
故选：CD．
▉题型5 空间点、线、面的位置
【知识点的认识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
21．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点N在线段BF上运动，点M在正方形ABCD内运动，MN＝2，且始终保持MN⊥AB，则DM的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，过点N作NH⊥AB，垂足为H，连接MH．
因为MN⊥AB，HN⊥AB，MN∩HN＝N，MN，HN 平面MNH，
所以AB⊥平面MNH．因为MH 平面MNH，所以AB⊥MH．
因为 HN＝HB，MH＝MH，MH⊥HN，MH⊥HB，所以△BHM≌NHM．
所以MN＝MB＝2，所以点M的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆弧，所以DM的最小值为DB﹣2．
故选：B．第6章第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
题型1 异面直线的判定 题型2 空间中直线与直线之间的位置关系
题型3 空间中直线与平面之间的位置关系 题型4 平面与平面之间的位置关系
题型5 空间点、线、面的位置
▉题型1 异面直线的判定
【知识点的认识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则直线AM与BN的关系是（　　）
A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直
2．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线AF与直线BQ是异面直线；
②直线BE与直线MN是异面直线；
③直线BQ与直线MN共面；
④直线BE与直线AF是异面直线．
其中正确结论的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
▉题型2 空间中直线与直线之间的位置关系
【知识点的认识】
空间两条直线的位置关系：
位置关系 共面情况 公共点个数 图示
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内 无
异面直线 不同时在任何一个平面内 无
3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设CP＝λCF，则λ＝（　　）
A．3 B．2 C． D．
4．如图，点N为正方形ABCD的中心，点E在平面ABCD外，M是线段ED的中点，则下列各选项中两条直线不是异面直线的为（　　）
A．AB与DE B．BC与EN C．CD与BM D．BM与EN
5．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1DD1，侧面CC1DD1的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（　　）
A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定
6．已知直线a与平面α没有公共点，直线b α，则a与b的位置关系是（　　）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行或异面
7．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b（　　）
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
8．若a，b是两条不同的直线，α是一个平面，a⊥α，则“b∥α”是“a⊥b”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）9．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题错误的是（　　）
A．若m∥α，l⊥m，则l⊥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
D．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n
▉题型3 空间中直线与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
空间中直线与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
直线在平面内 有无数个公共点 a α
直线和平面相交 有且只有一个公共点 a∩α＝A
直线和平面平行 无 a∥α
10．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m∥α，n α，则m∥n
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m⊥n
D．若m∥α，n⊥α，则m与n相交
11．下列命题正确的是（　　）
A．若直线a∥b，a∥平面α，则b∥平面α
B．若直线a与b异面，则过空间任意一点与a和b都平行的平面有且仅有一个
C．三个平面两两相交于三条直线，则它们将空间分成7个或8个区域
D．已知直线a与b异面，不同的两点P∈a，Q∈a，不同的两点M∈b，N∈b，则直线PM与QN可能相交
12．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列表述正确的是（　　）
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若α⊥β，α∩β＝c，m⊥c，则m⊥β
C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n
D．若α∩β＝c，n∥α，n∥β，则n与c不一定平行
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列判断正确的是（　　）
A．直线BC 平面AA1C1
B．直线AB∥直线A1C1
C．直线CD⊥平面AA1C1
D．直线BC与直线A1C1是异面直线
14．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
B．若m α，n β，α∥β，则m∥n
C．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
D．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
15．设m，n表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
B．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若m⊥n，m β，则n⊥β
D．存在一对异面直线m，n，m α，n β，m∥β，n∥α，则α∥β
16．已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m∥α，m∥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥α，m β，α∩β＝n，则m∥n
D．若m∥α，n α，则m∥n
（多选）17．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（　　）
A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β
B．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n
C．如果α∥β，m α，那么m∥β
D．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等
▉题型4 平面与平面之间的位置关系
【知识点的认识】
平面与平面之间的位置关系：
位置关系 公共点个数 符号表示 图示
两平面平行 无 α∥β
两平面相交 有一条公共直线 α∩β＝l
18．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥α，α⊥β，则m∥β D．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
19．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题是真命题的是（　　）
A．若m∥α，α∥β，则m∥β
B．若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ
C．若m α，n α，m∥β，n∥γ，则β∥γ
D．若α⊥β，α∩β＝m，n α，n⊥m，则n⊥β
（多选）20．设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D．若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
▉题型5 空间点、线、面的位置
【知识点的认识】
空间点、直线、平面的位置关系：
1、平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
2、直线与直线的位置关系
（1）位置关系的分类
（2）异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）．
②范围：（0，]．
3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．
4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5、公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6、定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【解题方法点拨】
1、主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．
2、判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
4、注意事项：
（1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
（2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
21．如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直，点N在线段BF上运动，点M在正方形ABCD内运动，MN＝2，且始终保持MN⊥AB，则DM的最小值为（　　）
A． B． C． D．

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