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第6章第4节 平行关系
题型1 直线与平面平行 题型2 平面与平面平行
▉题型1 直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
（多选）1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，点Q满足，λ∈（0，1），则下列结论正确的是（　　）
A．PQ∥平面ADD1A1
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与DB1，AA1都相交
D．若，点F在侧面BB1C1C上（包括边界），且A1F∥平面APQ，则点F的轨迹长度为
（多选）2．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是A1B1的中点，过点A1作与平面PBC1平行的截面A1ECF，E，F为截面和棱的交点，则（　　）
A．BC1∥截面A1ECF B．F为棱C1D1的中点
C．该截面的面积为 D．该截面的面积为
（多选）3．在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AM＝D1N＝1，点Q在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部或表面，且A1Q∥平面C1MN，则点Q组成的图形的面积是 　　 ．
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，平面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形的周长为 　　 ，若F是侧面CDD1C1上的动点，且满足B1F∥平面A1BE，则点F的轨迹长度为 　　 ．
6．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面A′B′C′D′（含边界）上运动，若满足BC′∥平面EFG，则点G的轨迹长度为 　　 ．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F，G，H分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
（1）求证：CF∥平面PAD；
（2）若△PAD为等边三角形，CD＝AD＝2，判断几何体EFGH﹣ABCD是什么几何体，并求其体积．
8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
（1）求证：QN∥平面PAD；
（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
9．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，，面PBC∩面PAD＝l，E是PD的中点．
（1）求证：l∥AD；
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．
10．如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（1）求证：直线EF∥平面ABC；
（2）求证：直线l∥平面PBC．
▉题型2 平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
11．设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
12．已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B．若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
D．若l∥m，m α，则l∥α
13．a，b，c是两两不同的三条直线，α、β是两个不同平面，下面四个命题中，正确的是（　　）
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若a∥α，a∥β，则α∥β
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
14．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β
C．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
D．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，c γ，c与α，β不相交，则c∥a∥b
15．已知α和β是两个不重合的平面，则下列条件中可判定α∥β的是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α和β垂直于同一条直线
C．α和β平行于同一条直线
D．α和β都垂直于同一平面
16．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）17．下列说法正确的是（　　）
A．一个棱柱至少有5个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面α内任意直线和平面β平行，则平面α∥平面β
D．若直线a平行于平面β，则直线a与平面β内的无数条直线垂直
18．如图，平面α∥平面β，平面ABC∩α＝DE，平面ABC∩β＝BC，D∈AB，E∈AC，AD＝2，DB＝3，DE＝1，则BC＝　　 ．
19．平面α∥平面β，A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CP＝16，则CD＝　　 ．
20．在如图所示的几何体中，直线PD⊥底面ABCD，MA∥PD，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，AD＝PD＝2．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求证：平面EFG∥平面ADPM；
（3）求直线PB与平面EFG所成角的正弦值．
21．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD＝l．
（1）判断直线l与BC的位置关系并证明；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E是AB的中点．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）设AC与BD交于O点，是否存在PC上一点F，使得平面EOF∥平面PAD，若存在请指出F点的位置，并说明理由．
23．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，，FB＝3，M为AD的中点．
（1）证明：平面BMF∥平面CDE；
（2）求平面ABF与平面CDE所成角的正弦值；
（3）求点M到平面ABF的距离．第6章第4节 平行关系
题型1 直线与平面平行 题型2 平面与平面平行
▉题型1 直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
（多选）1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，点Q满足，λ∈（0，1），则下列结论正确的是（　　）
A．PQ∥平面ADD1A1
B．若Q，M，N，P四点共面，则
C．过点Q有且仅有一条直线与DB1，AA1都相交
D．若，点F在侧面BB1C1C上（包括边界），且A1F∥平面APQ，则点F的轨迹长度为
【答案】ACD
【解答】解：选项A，由正方体的性质知，平面BB1C1C∥平面ADD1A1，
因为PQ 平面BB1C1C，所以PQ∥平面ADD1A1，故选项A正确；
选项B，分别取A1D1，AB，CC1的中点S，R，T，连接线段，可构成平面正六边形MSNRPT，如图所示，
所以若Q，M，N，P四点共面，则Q与T重合，即点Q是CC1的中点，
所以λ，故选项B错误；
选项C，由题意知，DB1和AA1是异面直线，
因为AA1∥CC1，所以A1，A，C，C1四点共面，
而Q在线段CC1上运动，且DB1与平面A1ACC1有且只有一个交点，设为点O，
所以过点Q有且仅有一条直线与DB1，AA1都相交，且该直线就是直线OQ，故选项C正确；
选项D，取B1C1的中点E，取BB1的靠近点B1的三等分点G，连接A1E，EG，A1G，
因为P是BC的中点，
所以AA1∥PE，AA1＝PE，所以四边形AA1EP是平行四边形，
所以A1E∥AP，
又Q是CC1的靠近点C的三等点，
所以EG∥PQ，
因为A1E∩EG＝E，AP∩PQ＝P，
所以平面A1EG∥平面APQ，
因为A1F∥平面APQ，且平面A1EG∩平面BB1C1C＝EG，
所以点F的轨迹就是线段EG，
而B1E＝1，B1G，所以EG，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）2．如图，在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是A1B1的中点，过点A1作与平面PBC1平行的截面A1ECF，E，F为截面和棱的交点，则（　　）
A．BC1∥截面A1ECF B．F为棱C1D1的中点
C．该截面的面积为 D．该截面的面积为
【答案】AB
【解答】解：对于选项A：连接EF，平面PBC1∥截面A1ECF，平面PBC1∩平面FC1BE＝BC1，截面A1ECF∩平面FC1BE＝EF，
所以BC1∥EF，又EF 截面A1ECF，而BC1 截面A1ECF，所以BC1∥截面A1ECF，故选项A正确；
对于选项B：平面PBC1∥截面A1ECF，平面PBC1∩平面A1B1C1D1＝PC1，
截面A1ECF∩平面A1B1C1D1＝A1F，
所以A1F∥PC1，C1F∥A1P，
所以四边形A1PC1F为平行四边形，
所以FC1＝A1P，又P为A1B1的中点，所以F为D1C1的中点，故选项B正确．
对于C，D：由前面可知F为D1C1的中点，C1B∥EF，
因为FC1∥EB，所以四边形FC1BE为平行四边形，
所以FC1＝EB，所以E为AB的中点．
所以．
又A1F∥EC，FC∥A1E，
所以四边形A1FCE为菱形．
而，．
所以该截面面积为，所以选项CD均错误．
故选：AB．
（多选）3．在下列四棱锥中，底面为平行四边形，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解答】解：对于A，设P为AB的中点，底面为平行四边形BEFC，连接MP，PC，
则，而BE∥CF，BE＝CF，
故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，
故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，
故MN∥平面ABC，A正确；
对于B，设P为AB的中点，底面为平行四边形BCFE，连接MP，PC，
则，而BE∥CF，BE＝CF，
故PM∥CN，PM＝CN，即四边形PMNC为平行四边形，
故MN∥PC，而PC 平面ABC，MN 平面ABC，
故MN∥平面ABC，B正确；
对于C，设P为AE的中点，底面为平行四边形BEFG，连接NP，PB，
设NP交AC于H，连接BH，
则，而FE∥GB，FE＝GB，
故PN∥MB，PN＝MB，即四边形PNMB为平行四边形，
故MN∥PB，
又MN 平面PNMB，MN 平面ABC，平面PNMB∩平面ABC＝BH，
假设MN∥平面ABC，则MN∥BH，
即在平面PNMB内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，
故此时MN∥平面ABC不成立，C错误；
对于D，设底面为平行四边形ANEF，连接AE，FN交于点H，FN交AC于G，
则H为FN的中点，连接BH，BG，
由于B为MF的中点，故BH∥MN；
又MN 平面NMF，MN 平面ABC，平面NMF∩平面ABC＝BG，
假设MN∥平面ABC，则MN∥BG，
即在平面NMF内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，
故此时MN∥平面ABC不成立，D错误；
故选：AB．
4．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点M，N分别在棱AA1，A1D1上，满足AM＝D1N＝1，点Q在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内部或表面，且A1Q∥平面C1MN，则点Q组成的图形的面积是 　　 ．
【答案】
【解答】解：作出示意图如下：
取点E，F，使得BB1＝3EB1，B1C1＝3B1F，
因为A1D1＝3D1N，可得A1N∥C1F，且A1N＝C1F，
所以四边形A1FC1N为平行四边形，所以C1N∥A1F，
由BB1＝3EB1且B1C1＝3B1F，可得EF∥BC1，
又由AA1＝3AM且A1D1＝3D1N，所以MN∥AD1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得AD1∥BC1，所以EF∥MN，
又A1F 平面C1NM，且C1N 平面C1NM，
所以A1F∥平面C1NM，
同理可证EF∥平面C1NM，又A1F∩EF＝F，
所以平面A1EF∥平面C1NM，
因此点Q的轨迹组成的图形为△A1EF，
又，
所以EF边上的高为，
所以其面积为．
故答案为：．
5．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，平面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形的周长为 　　 ，若F是侧面CDD1C1上的动点，且满足B1F∥平面A1BE，则点F的轨迹长度为 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：取CD中点G，连接BG、EG，
正方体中，BC∥A1D1，BC＝A1D1，四边形BCD1A1为平行四边形，则BA1∥CD1，
E是DD1中点，G是CD中点，GE∥CD1∥BA1，则等腰梯形A1EGB为截面，
而，，
故梯形A1EGB的周长为，
取C1D1中点M，CC1中点N，连接B1M，B1N，MN，NE，MG，
则NE∥A1B1，NE＝A1B1，故四边形A1B1NE为平行四边形，
则得B1N∥A1E，而B1N 平面A1BE，A1E 平面A1BE，
故B1N∥平面A1BE，同理B1M∥平面A1BE，
而B1N∩B1M＝B1，B1N，B1M 平面B1MN，故平面B1MN∥平面A1BE，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为．
故答案为：；．
6．如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面A′B′C′D′（含边界）上运动，若满足BC′∥平面EFG，则点G的轨迹长度为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：取BB′，B′C′，C′D′，DD′的中点分别为Q，M，N，P，
连接BD，B′D′，FQ，QM，MN，NP，PE，
因为E，F分别为AD，AB的中点，所以EF∥BD，
同理可得MN∥B′D′，
正方体中，易知四边形BB′D′D是平行四边形，
可得B′D′∥BD，
所以EF∥MN，同理可证明PE∥QM，PN∥FQ，
所以E，F，Q，M，N，P共面，
因为BC′∥QM，BC′ 面EFQMNP，QM 面EFQMNP，
所以BC′∥平面EFQMNP，
若BC′∥平面EFG，则点G在平面EFQMNP内，
又因为点G在上底面A′B′C′D′（含边界），
所以点G在面EFQMNP与面A′B′C′D′的交线上，
所以点G在线段MN上，则点G轨迹长度为．
故答案为：．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F，G，H分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
（1）求证：CF∥平面PAD；
（2）若△PAD为等边三角形，CD＝AD＝2，判断几何体EFGH﹣ABCD是什么几何体，并求其体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）几何体EFGH﹣ABCD是棱台，其体积为．
【解答】（1）证明：如图，连接DE，
因为E，F分别为PA，PB的中点，
所以，
又因为AB∥CD，AB＝2CD，
所以EF∥CD，EF＝CD，即四边形EFCD是平行四边形，
所以CF∥DE，
又因为CF 平面PAD，DE 平面PAD，
所以CF∥平面PAD；
（2）解：因为E，F，G，H分别是棱PA，PB，PC，PD的中点．
所以，
因为EH 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以EH∥平面ABCD，
同理可得HG∥平面ABCD，
又因为EH∩HG＝H，EH 平面EHGF，HG 平面EHGF，
所以平面EHGF∥平面ADCB，
所以几何体EFGH﹣ABCD是棱台，
过点P作PQ⊥AD于点Q，
因为AB⊥平面PAD，PQ 平面PAD，
所以PQ⊥AB，
又因为PQ⊥AD，A B∩A D＝A，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PQ⊥平面ABCD，
由以上分析可知四边形EHGF与四边形ADCB相似，且相似比，
而△PAD为等边三角形，CD＝AD＝2，
设棱台EFGH﹣ABCD的高、体积分别为h，V，棱台的下底面ADCB、上底面EHGF的面积分别为S1，S2，
所以，棱台的下底面ADCB是分别以CD＝2，AB＝2CD＝4为底，以AD＝2为高的直角梯形，
所以，
所以，
即棱台EFGH﹣ABCD的体积为．
8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
（1）求证：QN∥平面PAD；
（2）记平面CMN与底面ABCD的交线为l，试判断直线l与平面PBD的位置关系，并证明．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）直线l与平面PBD平行，证明过程见解答．
【解答】解：（1）证明：∵底面ABCD是菱形，
N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点．
∴QN∥BC，BC∥AD，∴QN∥AD，
∵QN 平面PAD，AD 平面PAD，
∴QN∥平面PAD；
（2）直线l与平面PBD平行，证明如下：
连接BD，∵N，M，Q分别为PB，PD，PC的中点，
∴MN∥BD，
∵BD 平面ABCD，MN 平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD，
∵平面CMN与底面ABCD的交线为l，∴由线面平行的性质得MN∥l，
∵MN∥BD，∴BD∥l，
∵C∈l，C BD，且BD 平面PBD，l 平面PBD，
∴l∥平面PBD．
9．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，，面PBC∩面PAD＝l，E是PD的中点．
（1）求证：l∥AD；
（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，理由见解析．
【解答】（1）证明：因为在梯形ABCD中，BC∥AD，又BC 面PAD，AD 面PAD，
所以BC∥面PAD，因为BC 面PBC，面PBC∩面PAD＝l，所以BC∥l，
因为BC∥AD，所以l∥AD．
（2）存在点N，使MN∥平面PAB，理由如下：
取AD中点N，连接CN，EN，
因为E，N分别为PD，AD的中点，
所以EN∥PA，因为EN 平面PAB，PA 平面PAB，
所以EN∥平面PAB，
取PA的中点F，连接EF，BF，则EF∥AD，则EF∥BC，且EF＝BC，
所以四边形BCEF为平行四边形，则CE∥BF，
因为BF 平面PAB，CE 平面PAB，
所以CE∥平面PAB，CE∩EN＝E，CE、EN 平面CEN，所以平面CEN∥平面PAB，
因为M是CE上的动点，MN 平面CEN，所以MN∥平面PAB，
所以当N为中点时，MN∥平面PAB．
10．如图，点C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．
（1）求证：直线EF∥平面ABC；
（2）求证：直线l∥平面PBC．
【答案】（1）见解析．
（2）见解析．
【解答】解：（1）∵E，F分别是PC，PB的中点，∴EF∥BC，
∵EF 平面ABC，BC 平面ABC，
∴直线EF∥平面ABC；
（2）由（1）知，直线EF∥平面ABC，EF 平面AEF，
平面AEF与平面ABC的交线为直线l，
∴EF∥l，
∵l 平面PBC，EF 平面PBC，
∴直线l∥平面PBC．
▉题型2 平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
平面与平面平行的性质：
性质定理1：两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面．
性质定理2：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
性质定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．
11．设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由α∩γ＝l，β∩γ＝m，l∥m，则α，β可能相交，
故“l∥m”推不出“α∥β”，
由α∩γ＝l，β∩γ＝m，α∥β，由面面平行的性质定理知l∥m，
故“α∥β”能推出“l∥m”，
故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
12．已知l，m，n是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若α∥β，β∥γ，则α∥γ
B．若l α，m α，l∥β，m∥β，则α∥β
C．若l∥α，l∥β，则α∥β
D．若l∥m，m α，则l∥α
【答案】A
【解答】解：对于A选项，由平行的传递性可知A选项成立；
对于B选项，直线l，m不一定相交，根据面面平行的判定定理易知面面平行不一定成立，错；
对于C选项，α与β也有可能相交，错；
对于D选项，直线l不一定在平面α外，也可能在面α内，故不成立，错．
故选：A．
13．a，b，c是两两不同的三条直线，α、β是两个不同平面，下面四个命题中，正确的是（　　）
A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面
B．若a∥α，a∥β，则α∥β
C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c
【答案】C
【解答】解：a，b，c是两两不同的三条直线，α、β是两个不同平面，
对于A，若直线a，b异面，b，c异面，
则a，c可能平行、相交或异面，
如在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD与BD1异面，BD1与B1C1异面，AD∥B1C1，
或AD与BD1异面，BD1与CD异面，AD与CD相交于点D，
或AD与BD1异面，BD1与A1B1异面，AD与A1B1异面，故A错误；
对于B，若a∥α，a∥β，则α，β可能是平行或相交，故B错误；
对于C，由异面直线所成角的定义或共面直线所成角的定义可知：
若a∥b，则a，b与c所成的角相等，故C正确；
对于D，若a⊥b，b⊥c，则a与c可能平行、相交或异面，
如在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥AA1，AA1⊥A1B1，AB∥A1B1，
或AB⊥AA1，AA1⊥BC，AB与BC相交于点B，
或AB⊥AA1，AA1⊥A1D1，AB与A1D1异面，故D错误．
故选：C．
14．已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）
A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ
B．平面α内有不共线的三个点A，B，C到平面β的距离相等，则α∥β
C．若a⊥b，a⊥c，则b∥c
D．若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，c γ，c与α，β不相交，则c∥a∥b
【答案】D
【解答】解：由a，b，c是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交，选项A错误；
对于B，α∥β或α与β相交，选项B错误；
对于C，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能相交或平行或异面，选项C错误；
对于D，由两平面平行的性质定理知a∥b，由已知a，b，c共面且无公共点，所以a∥b∥c，选项D正确．
故选：D．
15．已知α和β是两个不重合的平面，则下列条件中可判定α∥β的是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α和β垂直于同一条直线
C．α和β平行于同一条直线
D．α和β都垂直于同一平面
【答案】B
【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，则α，β可能相交，即这无数条直线都与两平面的交线平行，故α内有无数条直线与β平行得不出α与β平行，所以A错误；
对于B，α，β垂直于同一条直线时，可得α与β平行，所以B正确；
对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α∥β，所以C错误；
对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α∥β，所以D错误．
故选：B．
16．已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，则“m∥n”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：若α∩γ＝m，β∩γ＝n，α∥β，则m∥n，即充分性成立，
若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α与β可能平行，也可能相交，即必要性不成立．
故选：B．
（多选）17．下列说法正确的是（　　）
A．一个棱柱至少有5个面
B．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
C．若平面α内任意直线和平面β平行，则平面α∥平面β
D．若直线a平行于平面β，则直线a与平面β内的无数条直线垂直
【答案】ACD
【解答】解：对于A，一个棱柱最少有5个面，且此棱柱为三棱柱，故A正确；
对于B，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是由两个同底的两个圆锥拼接而成的组合体，故B错误；
对于C，若平面α内任意直线和平面β平行，
则平面α内任选两条相交直线与平面β平行，
由面面平行判定定理可知平面α∥β，故C正确；
对于D，若直线a平行于平面β，则在平面β内存在直线b，使得a∥b，
则在平面β内垂直于直线b的直线都垂直于直线a，
∴若直线a平行于平面β，则直线a与平面β内的无数条直线垂直，故D正确．
故选：ACD．
18．如图，平面α∥平面β，平面ABC∩α＝DE，平面ABC∩β＝BC，D∈AB，E∈AC，AD＝2，DB＝3，DE＝1，则BC＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为平面α∥平面β，平面ABC∩α＝DE，平面ABC∩β＝BC，
所以DE∥BC，因∠DAE＝∠BAC，则△DAE∽△BAC，
则．
故答案为：．
19．平面α∥平面β，A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CP＝16，则CD＝　2或34　 ．
【答案】2或34
【解答】解：∵平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点P，
∴AB，CD共面，且AC∥BD，
①若点P在平面α，β的外部，
∴，
∵AP＝8，BP＝9，CP＝16，
∴，解得PD＝18，
∴CD＝PD﹣PC＝18﹣16＝2．
②点P在平面α，β的之间，
则，即，解得PD＝18，
则CD＝CP+PD＝18+16＝34，
故答案为：2或34．
20．在如图所示的几何体中，直线PD⊥底面ABCD，MA∥PD，底面ABCD是正方形，E，F，G分别为MB，PC，PB的中点，AD＝PD＝2．
（1）求证：PB⊥AC；
（2）求证：平面EFG∥平面ADPM；
（3）求直线PB与平面EFG所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）．
【解答】解：（1）证明：连接BD，∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，AC 平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵BD∩PD＝D，BD，PD 平面PBD，∴AC⊥平面PBD，
∵PB 平面PBD，∴AC⊥PB．
（2）证明：∵G，F分别为PB，PC的中点．∴GF∥BC，
∵BC∥AD，∴GF∥AD，
∵GF 平面ADPM，AD 平面ADPM，
∴GF∥平面ADPM，
同理可证GE∥平面ADPM，∵GF∩GE＝G，GF、GE 平面EFG
∴平面EFG∥平面ADPM．
（3）∵PD⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，∴PD⊥AB，
又AD⊥AB，PD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADPM，
连接PA，则∠APB为直线PB与平面ADPM所成的角，
∵AD＝PD＝2，∴，，
∴．
由（2）知平面EFG∥平面ADPM，
∴直线PB与平面EFG所成的角与PB与平面ADPM所成的角相等，
∴直线PB与平面EFG所成角的正弦值为．
21．如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面PBC∩平面APD＝l．
（1）判断直线l与BC的位置关系并证明；
（2）求证：MN∥平面PAD；
（3）直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）l∥BC，证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）存在，H为PB中点，证明见解答．
【解答】解：（1）l∥BC，证明如下：
依题意，BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，
则BC∥平面PAD，
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC 平面PBC，
所以l∥BC；
（2）证明：取PD中点F，连接AF，FN，
在△PCD中，，
在 ABCD中，，
则AM∥FN，AM＝FN，
即四边形AFNM为平行四边形，
因此AF∥NM，
又AF 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD；
（3）当H为PB中点时，平面KNH∥平面ABCD，证明如下：
取PB的中点为H，连接KH，NH，
在△PBC中，HN∥BC，HN 平面ABCD，BC 平面ABCD，
则HN∥平面ABCD，同理可证，KH∥平面ABCD，
又KH，HN 平面KNH，KH∩HN＝H，
所以平面KNH∥平面ABCD．
22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E是AB的中点．
（1）求证：CD⊥PD；
（2）设AC与BD交于O点，是否存在PC上一点F，使得平面EOF∥平面PAD，若存在请指出F点的位置，并说明理由．
【答案】（1）见解析．
（2）F为PC的中点．
【解答】解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，
侧棱PA垂直于底面，E是AB的中点
∵侧棱PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
PA，AD 平面PAD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，PD 平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）AC与BD交于O点，假设F为PC的中点，连接FO，
在△PAC中，FO∥PA，
∴FO 平面PAD，PA 平面PAD，∴FO∥平面PAD，
在△ABD中，EO∥AD，
∴EO 平面PAD，AD 平面PAD，∴EO∥平面PAD，
EO∩FO＝O，∴平面EOF∥平面PAD．
∴假设成立，∴F为PC的中点．
23．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，，FB＝3，M为AD的中点．
（1）证明：平面BMF∥平面CDE；
（2）求平面ABF与平面CDE所成角的正弦值；
（3）求点M到平面ABF的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：∵AD＝4且M为AD的中点，∴MD＝2，
∵BC＝MD，BC∥MD，∴四边形BCDM是平行四边形，则BM∥CD，
∵BM 平面CDE，CD 平面CDE，∴BM∥平面CDE，
同理可得MF∥平面CDE，
又∵BM∩MF＝M，BM 平面BMF，MF 平面BMF，∴平面BMF∥平面CDE．
（2）解：由（1）知平面ABF与平面CDE所成角即为平面ABF与平面BMF所成角，
如图，过点A作AG⊥BF交BF于点G，连接MG，
易知△ABF △MBF，∴MG⊥BF，则平面ABF与平面BMF所成角的平面角为∠AGM或其补角，
在△ABF中，由余弦定理得，
则，
∵，解得，
在△AGM中，由余弦定理得，
∴平面ABF与平面CDE所成角的正弦值为．
（3）解：取AM的中点为H，连接BH、FH，
∵△AFM为等腰三角形、△ABM为等边三角形，∴FH⊥AM，BH⊥AM，
∴，，
∵BH2+FH2＝BF2，∴，FH⊥BH，
∵FH⊥BH，FH⊥AM，BH∩AM＝H，BH 平面ABM，AM 平面ABM，
∴FH⊥平面ABM，
设点M到平面ABF的距离为h，
，
∴点M到平面ABF的距离为．

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