资源简介

第6章第5节 垂直关系
题型1 直线与平面垂直 题型2 平面与平面垂直
▉题型1 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
1．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥α；
③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且α∩β＝b，则“a⊥b”是“a⊥α”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则下列结论正确的是（　　）
A．平面PAB与平面PBC垂直
B．△PDC为钝角三角形
C．平面PBC与平面PDC垂直
D．BD⊥PC
（多选）4．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有（　　）
A．AD⊥平面A1B1CD
B．A1B∥平面ACD1
C．异面直线AD1与B1C所成角为60°
D．B1D⊥平面ACD1
5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB＝90°，M是PB的中点．
（1）求证：BC⊥平面PAC．
（2）若，求AM与平面PBC所成角的正弦值．
6．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E，F分别是AB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若AB，AD，AP两两垂直且相等，证明：EF⊥平面PCD．
7．如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD．
8．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB．
9．如图示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．
（1）求证：PQ⊥BQ；
（2）在线段AB上是否存在一点N，使面PCN⊥面PQB？并证明你的结论．
10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D为AB的中点．
（1）证明：AB⊥平面CC1D．
（2）求异面直线BC1与CD所成角的余弦值．
（3）在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求的值；若不存出在，说明理由．
▉题型2 平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
（多选）11．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点（不含端点），且MN∥AB，MN与AC交于点E．现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD⊥平面ABNM，则（　　）
A．AM⊥CN
B．AC与MN所成角为定值
C．∠AEC为定值
D．存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为
12．已知边长为2的正方形ABCD，沿对角线BD折起，得到三棱锥A﹣BCD，当该三棱锥体积最大时，线段AC的长为　　 ．
13．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝AD＝2，四边形ABCD为正方形，E、M分别为AD、BC的中点．
（1）求证：EM∥平面SCD；
（2）求证：平面SAD⊥平面SCD；
（3）在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求；若不存在，说明理由．
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，A1A＝AC＝2，BC＝1，E是A1C1的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，PD＝3PE，PC＝3PF，AB＝1，PA＝2．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为a，点R是棱PC的中点，点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧面PAB，PBC，PCD，PDA的距离分别为d1，d2，d3，d4．
（1）证明：平面PBC⊥平面BRD；
（2）求d1+d2+d3+d4；
（3）记PQ与侧面PAB，PBC，PCD，PDA所成的角分别为α，β，γ，δ，证明：cos2α+cos2β+cos2γ+cos2δ．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝30°，∠CDA＝45°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E，F分别为棱CD，B1C1的中点，G是棱A1B1上的一点，A1G＝3GB1，H是棱AB上的一点，．
（1）求证：平面HGF∥平面AEC1；
（2）求证：平面CDD1C1⊥平面AEC1．
19．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
21．如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，垂足为E，BF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求证：AE AC＝AF AD．第6章第5节 垂直关系
题型1 直线与平面垂直 题型2 平面与平面垂直
▉题型1 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
1．已知l，m是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥α；
③l⊥α．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，则三个命题中真命题的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解答】解：若l⊥m，m//α，则l⊥α，该命题为假命题，
因为l⊥m，m//α，只能推出l与平面内所有与m平行的直线垂直，不满足直线与平面垂直的判定定理，所以是假命题；
若l⊥m，l⊥α，则m//α，该命题为真命题，因为l⊥m，l⊥α，则平面α内必存在一直线与α外直线m平行，
所以m//α，
所以是真命题；
若m//α，l⊥α，则l⊥m，该命题为真命题，因为m//α，
所以α内必存在一直线n与直线m平行，l⊥α可得l⊥n，
所以l⊥m，命题为真．
综上可知，真命题的个数为2．
故选：C．
2．已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且α∩β＝b，则“a⊥b”是“a⊥α”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，分别记平面ABCD，平面ADD1A1为平面α，β，直线a为AB1、直线b为直线AD，
如图所示：
由于AB1⊥AD，但AB1不垂直于平面ADD1A1，
所以“a⊥b”得不到“a⊥α”；
若a⊥α，b α，则可得a⊥b，
所以“a⊥b”是“a⊥α”的必要不充分条件．
故选：B．
3．在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则下列结论正确的是（　　）
A．平面PAB与平面PBC垂直
B．△PDC为钝角三角形
C．平面PBC与平面PDC垂直
D．BD⊥PC
【答案】A
【解答】解：对于A：因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥AB，
又PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，
又AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，
又BC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB，故A正确；
对于B：同理BC⊥平面PAB的证明方法可证CD⊥平面PAD，
又PD 平面PAD，所以CD⊥PD，
所以△PDC为直角三角形，故B正确；
对于C：假设平面PBC⊥平面PCD，过点B作BE⊥PC，
由平面PBC∩平面PDC＝PC，BE 平面PBC，
可得BE⊥平面PCD，
因为CD 平面PCD，所以BE⊥CD，又由CD⊥BC，且BE∩BC＝B，
所以CD⊥平面PBC，PC 平面PBC，可得CD⊥PC，这与CD⊥PD矛盾，
所以平面PBC与平面PCD不垂直，故C错误；
对于D：因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PA⊥BD，
若BD⊥PC，PA∩PC＝P，PA，PC 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
又AC 平面PAC，所以AC⊥BD，因为四边形ABCD为矩形，
所以AC⊥BD不一定成立，故BD⊥PC不一定成立，故D错误．
故选：A．
（多选）4．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出以下判断，其中正确的有（　　）
A．AD⊥平面A1B1CD
B．A1B∥平面ACD1
C．异面直线AD1与B1C所成角为60°
D．B1D⊥平面ACD1
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
显然AD与平面A1B1CD不垂直，所以A错误；
对于选项B，因为A1B∥CD1，A1B 平面ACD1，CD1 平面ACD1，
所以A1B∥平面ACD1，所以B正确；
对于选项D，因为A1B1⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以A1B1⊥AD1，而AD1⊥A1D且A1B1∩A1D＝A1，
所以AD1⊥平面A1B1D，而B1D 平面A1B1D，
所以AD1⊥B1D，
同理AC⊥B1D，
又因为AC∩AD1＝A，
所以B1D⊥平面ACD1，所以D正确；
对于选项C，因为A1D∥B1C，所以AD1与B1C所成角即为AD1与A1D的夹角，
而在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，该角为90°，所以C错误．
故选：BD．
5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB＝90°，M是PB的中点．
（1）求证：BC⊥平面PAC．
（2）若，求AM与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：因为PA⊥底面ABC，BC 平面ABC，
所以PA⊥BC，且BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC
（2）解：由（1）可知，BC⊥平面PAC，BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC，且平面PBC∩平面PAC＝PC，
平面PAC内作AN⊥PC，连结MN，
所以AN⊥平面PBC，
且PA＝AC，则N是PC的中点，
则∠AMN为AM与平面PBC所成角，
由条件可知，，，
，
点M是PB的中点，所以，，
所以．
即AM与平面PBC所成角的正弦值为．
6．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E，F分别是AB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若AB，AD，AP两两垂直且相等，证明：EF⊥平面PCD．
【答案】（1）见证明过程；
（2）见证明过程．
【解答】证明：（1）如图，取PD中点Q、连接AQ、FQ，
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB∥CD，
因为点E是AB的中点，
所以AE∥CD，且AECD，
因为Q、F分别为PD、PC的中点，
所以QF∥CD，且QFCD，
所以AE∥QF且AE＝QF，
所以四边形AEFQ为平行四边形，
所以EF∥AQ，
因为EF 平面PAD，AQ 平面PAD，
所以EF∥平面PAD，得证；
（2）因为AB⊥AD，AB⊥AP，且AD∩AP＝A，AD，AP 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB∥CD，
所以CD⊥平面PAD，
所以CD⊥AQ，
在△PAD中，PA＝AD，Q为PD的中点，
所以AQ⊥PD，
又因为CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，
所以AQ⊥平面PCD，
由（1）知AQ∥EF，
所以EF⊥平面PCD，得证．
7．如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）如图，取BD的中点M，连接PM，CM，
在等腰Rt△BCD中，BC＝CD，M为BC的中点，
所以CM⊥BD，
在等边△PBD中，BD⊥PM，
又PM∩CM＝M，
所以BD⊥平面PCM，
又PC 平面PCM，所以BD⊥PC．
（2）因为在Rt△BCD中，BC⊥CD，
又BC⊥DP，CD∩DP＝D，
所以BC⊥平面PCD，
又PC 平面PCM，
所以BC⊥PC，
由（1）知PC⊥BD，BC∩BD＝B，
所以PC⊥平面BCD．
8．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD的中点．求证：
（1）BG⊥平面PAD；
（2）AD⊥PB．
【答案】（1）BG⊥平面PAD；
（2）以AD⊥PB．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，
所以△ABD为等边三角形，又G为AD的中点，
所以BG⊥AD，
又因为面PAD⊥面ABCD，BG 面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，
所以BG⊥平面PAD；
（2）∵△PAD为正三角形，G为AD的中点．
所以PG⊥AD，又BG⊥AD，BG∩PG＝G，BG 面PBG，PG 面PBG，
所以AD⊥面PBG，又因为PB 面PBG，
所以AD⊥PB．
9．如图示，正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点．
（1）求证：PQ⊥BQ；
（2）在线段AB上是否存在一点N，使面PCN⊥面PQB？并证明你的结论．
【答案】（1）证明见解答；（2）在线段AB上存在一点N，且N为AB的中点，使面PCN⊥面PQB，证明见解答．
【解答】解：（1）证明：由正方形ABCD与正三角形ADP所在平面互相垂直，Q是AD的中点，
可得PQ⊥AD，PQ⊥平面ABCD，
而BQ 平面ABCD，则PQ⊥BQ；
（2）在线段AB上存在一点N，且N为AB的中点，使面PCN⊥面PQB．
证明：由（1）可得PQ⊥平面ABCD，
又CN 平面ABCD，可得PQ⊥CN．
由N为AB的中点，可得BNAB，
在直角三角形BCN中，tan∠BCN，
在直角三角形AQB中，tan∠AQB2，
而∠CBQ＝AQB，则tan∠CBQ＝tan∠AQB＝2，
tan∠CBQ tan∠BCN＝1，
可得∠CBQ+∠BCN＝90°，
即有CN⊥BQ，
可得CN⊥平面PBQ，
又CN 平面PCN，可得面PCN⊥面PQB．
10．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D为AB的中点．
（1）证明：AB⊥平面CC1D．
（2）求异面直线BC1与CD所成角的余弦值．
（3）在C1D上是否存在点E，使得平面BCE⊥平面ABC1？若存在，求的值；若不存出在，说明理由．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，则△ABC为等边三角形，D为AB的中点，
所以CD⊥AB，而CC1⊥平面ABC，AB 平面ABC，
所以CC1⊥AB，又因为CD∩CC1＝C，
所以AB⊥平面平面CC1D；
（2）解：取到A1B1的中点D1，连接C1D1，DD1，BD1，
由题意可得C1D1∥CD，
所以∠BC1D1或其补角为异面直线BC1与CD所成的角，
因为ABAA1，
由题意可得CDABAA1，BD1AA1，
BC12AA1，
在△BCD1中，由余弦定理可得cos∠BC1D1
，
所以异面直线BC1与CD所成角的余弦值为；
（3）解：由（1）可得AB⊥CC1，过C作CE⊥C1D交DC1于E，
此时AB⊥CE，AB∩DC1＝D，
所以CE⊥平面ABC1，而CE 平面BCE，
所以平面BCE⊥平面ABC1，
在Rt△CDC1中，由面积相等可得：C1D CE＝CD CC1
可得CE，而CDAA1，CC1＝AA1，C1DAA1，
所以CEAA1，
可得C1EAA1，
DE＝C1D﹣C1E＝（）AA1AA1，
所以．
▉题型2 平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
（多选）11．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是线段AD，BC上的动点（不含端点），且MN∥AB，MN与AC交于点E．现将四边形MNCD沿直线MN折起，使平面MNCD⊥平面ABNM，则（　　）
A．AM⊥CN
B．AC与MN所成角为定值
C．∠AEC为定值
D．存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为
【答案】AC
【解答】解：在正方形ABCD中，令AB＝2，CN＝x（0＜x＜2），则EN＝x，ME＝AM＝BN＝2﹣x，
ECx，AE（2﹣x），连接AN，则AN，
由题意知，CN⊥MN，平面MNCD⊥平面ABNM，平面MNCD∩平面ABNM＝MN，CN 平面MNCD，
所以CN⊥平面ABNM，又AM，BN，AN 平面ABNM，
所以CN⊥BN，CN⊥AN，AM⊥CN，选项A正确；
AC，BC，
因为cos∠AEC，
所以∠AEC为定值，选项C正确；
因为AB2+BC2＝AC2，所以AB⊥BC，因为AB∥MN，∴∠BAC是AC与MN所成的角，
cos∠BAC，当且仅当x＝1时取等号，
所以AC与MN所成角不为定值，选项B错误；
AM⊥MN，平面MNCD⊥平面ABNM，平面MNCD∩平面ABNM＝MN，
AM 平面ABNM，则AM⊥平面CDMN，所以∠MCA是AC与平面CDMN所成的角，
从而tan∠MCA，当∠MCA时，tan∠MCA，
化简得x2+2x+4＝0，方程无解，
所以不存在点M、N，使得直线AC与平面CDMN所成角为，选项D错误．
故选：AC．
12．已知边长为2的正方形ABCD，沿对角线BD折起，得到三棱锥A﹣BCD，当该三棱锥体积最大时，线段AC的长为　2　 ．
【答案】2
【解答】解：取BD的中点O，连接AO、OC，
边长为2的正方形ABCD，
则AO⊥BD、OC⊥BD，AO＝COBD，
当平面ABD⊥平面BCD时，三棱锥A﹣BCD的体积取得最大值，
又平面ABD∩平面BCD＝BD，AO 平面ABD，所以AO⊥平面BCD，
又OC 平面BCD，所以AO⊥OC，
所以AC2，
所以当该三棱锥体积最大时，线段AC的长为2．
故答案为：2．
13．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝AD＝2，四边形ABCD为正方形，E、M分别为AD、BC的中点．
（1）求证：EM∥平面SCD；
（2）求证：平面SAD⊥平面SCD；
（3）在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（2）存在，理由见解答．
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，E、M分别为AD、BC的中点，
所以EM∥CD，因为EM 平面SCD，CD 平面SCD，
所以EM∥平面SCD；
（2）证明：由于平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，
因为CD⊥AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，又因为CD 平面SCD，
所以平面SAD⊥平面SCD；
（3）存在，当N为SC中点时，平面DMN⊥平面ABCD，
证明如下：连接EC，DM交于点O，连接SE，
因为ED∥CM，并且ED＝CM，
所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，
又因为N为SC中点，
所以NO∥SE，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，
又SE 平面SAD，由已知SE⊥AD，
所以SE⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD，
又因为NO 平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．
所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，．
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，A1A＝AC＝2，BC＝1，E是A1C1的中点．
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC．
由于AB 底面ABC，则BB1⊥AB．又因为AB⊥BC，BB1，BC 平面B1BCC1，BB1∩BC＝B，
所以AB⊥平面B1BCC1，又AB 平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1．
（2）解：因为A1A＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，
所以．
所以三棱锥E﹣ABC的体积为：．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，PA⊥平面ABCD，PD＝3PE，PC＝3PF，AB＝1，PA＝2．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【解答】解：（1）证明：四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝∠CDA＝30°，
PA⊥平面ABCD，PD＝3PE，PC＝3PF，AB＝1，PA＝2，
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD．
∴PA⊥CD，因为在△PCD中，E，F为三等分点，∴EF∥CD．
∴PA⊥EF．
∵∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∵CD∥EF，∴EF⊥AC，
又PA∩AC＝A，∴EF⊥平面PAC．
又EF 平面AEF，∴平面PAC⊥平面AEF．
（2）过点E作EG⊥AD交AD于G，过点G作GH⊥AC交AC于点H，连接EH．
∵EG∥PA，PA⊥平面ABCD，∴EG⊥平面ABCD，
∵AC 平面ABCD，∴EG⊥AC，
又AC⊥GH，GH∩EG＝G，∴AC⊥平面EGH，
又EH 平面EGH，∴AC⊥EH．
∴∠EHG为二面角E﹣AC﹣D的平面角，
∴二面角E﹣AC﹣B的平面角角度为π﹣∠EHG，
∵EG∥PA，PD＝3PE，根据相似可得，
在Rt△ABC中，AB＝1，∠BCA＝30°，∴AC＝2AB＝2，
在Rt△ACD中，∠CDA＝30°，∴，
∵∠ACD＝90°，GH⊥AC，∴GH∥CD，
根据相似可得，
在Rt△EGH中，，
∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．
16．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为a，点R是棱PC的中点，点Q是底面ABCD内任意一点，点Q到侧面PAB，PBC，PCD，PDA的距离分别为d1，d2，d3，d4．
（1）证明：平面PBC⊥平面BRD；
（2）求d1+d2+d3+d4；
（3）记PQ与侧面PAB，PBC，PCD，PDA所成的角分别为α，β，γ，δ，证明：cos2α+cos2β+cos2γ+cos2δ．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）．
（3）证明过程见解答．
【解答】解：（1）因为在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为a，点R是棱PC的中点，
所以PC⊥DR，PC⊥BR，
又DR∩BR＝R，DR，BR 平面BRD，所以PC⊥平面BRD，
又PC 平面PBC，所以平面PBC⊥平面BRD．
（2）设AC∩BD＝O，连接PO，则PO⊥平面ABCD，
设点P到平面ABCD的距离为h，因为在正四棱锥P﹣ABCD中，所有棱长均为a，
所以四个侧面的正三角形的面积均为，底面正方形的面积为a2，
又因为h．
依题意可得VP﹣ABCD＝VQ﹣PAB+VQ﹣PBC+VQ﹣PCD+VQ﹣PDA，
所以，
，解得．
（3）证明：设平面PAB与PCD的交线为l，P∈l，P′∈l，
过点Q作平面P′MN使得PP′⊥平面P′MN，
即过点Q作MN∥BC交AB于点M、交DC于点N，再在平面PAB内作MP′⊥AB，连接P′N，
则AB⊥MN，又MN∩MP′＝M，MN，MP′ 平面P′MN，所以AB⊥平面P′MN，
又AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
又平面PAB与PCD的交线为PP′，AB 平面PAB，所以AB∥PP′，所以PP′⊥平面P′MN，
设QH＝m．P′M，P′H＝PO，MN＝a，
所以P′M d1＝MQ P'H，即（），
所，同理可得．
所，
设OH＝n，同上方法可得，
所以，
而，
所以，
又PQ与侧面PAB，PBC，PCD，PDA所成的角分别为α，β，y，δ，
则，．，，
而，
所．
17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BCA＝30°，∠CDA＝45°，PA⊥平面ABCD，E，F分别为PD，PC的中点，PA＝2AB．
（1）求证：平面PAC⊥平面AEF；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，由PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，得CD⊥PA，
又∠ACD＝90°，即CD⊥AC，而PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
则CD⊥平面PAC，
又在△PCD中，E，F分别为PD，PC中点，即有EF∥DC，
因此EF⊥平面PAC，而EF 平面AEF，
所以平面PAC⊥平面AEF．
（2）如图，取AD的中点M，连接EM，取AC的中点H，连接EH，MH，
由EM∥PA，PA⊥平面ABCD，得EM⊥平面ABCD，而AC 平面ABCD，
则EM⊥AC，由MH∥CD，CD⊥AC，得MH⊥AC，
又EM∩MH＝M，EM，MH 平面EMH，
于是AC⊥平面EMH，又EH 平面EMH，
因此AC⊥EH，∠EHM是二面角E﹣AC﹣D的平面角，
设AB＝1，则PA＝2，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，则AC＝2，
在△ACD中，∠ACD＝90°，∠ADC＝45°，则CD＝2，
在Rt△EHM中，MH＝EM＝1，因此∠EHM＝45°，
所以二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．
18．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E，F分别为棱CD，B1C1的中点，G是棱A1B1上的一点，A1G＝3GB1，H是棱AB上的一点，．
（1）求证：平面HGF∥平面AEC1；
（2）求证：平面CDD1C1⊥平面AEC1．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解．
【解答】证明：（1）分别取AB，A1B1的中点M，N，连接ME，MB1，NC1，NA，
如图所示，
因为M是AB的中点，E是CD的中点，易得四边形B1C1EM是平行四边形，
所以B1M∥C1E，
因为G是棱A1B1上的一点，A1G＝3GB1，H是棱AB上的一点，，
所以B1G＝HM，B1G∥HM，
所以四边形B1GHM是平行四边形，
所以B1M∥GH，所以C1E∥GH，又GH 平面AEC1，C1E 平面AEC1，
所以GH∥平面AEC1，
因为N是A1B1的中点，E是CD的中点，易得四边形NAEC1是平行四边形，
所以NC1∥AE，
又G是棱A1B1上的一点，A1G＝3GB1，
所以G是B1N的中点，又F是B1C1的中点，
所以GF∥NC1，C1E∥GH，
又GF∩GH＝G，GF，GH 平面HGF，AE∩C1E＝E，AE，C1E 平面AEC1，
所以平面HGF∥平面AEC1；
（2）连接AC，因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
所以△ACD是等边三角形，
又E是CD的中点，所以AE⊥CD，
因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，
所以CC1⊥平面ABCD，又AE 平面ABCD，
所以CC1⊥AE，
又CC1∩CD＝C，CC1，CD 平面CDD1C1，
所以AE⊥平面CDD1C1，
又AE 平面AEC1，
所以平面CDD1C1⊥平面AEC1．
19．如图：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，
所以PA⊥BC
因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，
所以∠BCA＝90°，即BC⊥AC
又因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC
又因为BC 平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC．
20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）设AC交BD于M，连接ME，因为ABCD为正方形，
所以M为AC中点，
又因为E为PA的中点，所以ME∥PC，
又因为ME 平面BDE，PC 平面BDE，
所以PC∥平面BDE；
（2）因为ABCD为正方形，所以BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，
所以BD⊥平面PAC，
因为BD 平面BDE，
所以平面PAC⊥平面BDE．
21．如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，BE⊥AC，垂足为E，BF⊥AD，垂足为F．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求证：AE AC＝AF AD．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）因为AB⊥平面BCD，CD 平面BCD，
所以CD⊥AB，又BC⊥CD，AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
所以CD⊥平面ABC，又CD 平面ACD，
所以平面ABC⊥平面ACD；
（2）因为AB⊥平面BCD，BD，BC 平面BCD，
所以AB⊥BC，AB⊥BD．
又BE⊥AC，∠BAE＝∠CAB，∠BEA＝∠CBA＝90°，
则△BAE∽△CAB，所以，所以AB2＝AE AC．
因为BF⊥AD，∠BAF＝∠DAB，∠BFA＝∠DBA＝90°，
所以△BAF∽△DAB，所以．所以AB2＝AF AD．
所以AE AC＝AF AD．

展开更多......

收起↑