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第6章第6节 简单几何体的再认识
题型1 棱柱的侧面积和表面积 题型2 棱台的侧面积和表面积
题型3 棱柱的体积 题型4 棱锥的体积
题型5 棱台的体积 题型6 圆柱的侧面积和表面积
题型7 圆锥的侧面积和表面积 题型8 圆台的侧面积和表面积
题型9 圆柱的体积 题型10 圆锥的体积
题型11 圆台的体积 题型12 球的表面积
题型13 球的体积
▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为底面周长P与高h的乘积，即．
﹣表面积：包括底面和顶面的面积及侧面的面积，计算公式为，其中B为底面的面积．
1．高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 　18　 cm2．
【答案】18．
【解答】解：设正四棱柱上底面所在圆的半径为r，高为h，
则正四棱柱底面棱长为，
因为圆锥的底面圆半径为3，高为，
且，
得，
所以正四棱柱的侧面积为，
当时，侧面积的最大值为18．
故答案为：18．
▉题型2 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：侧面体形的面积之和．
﹣表面积：侧面积与上下底面的面积之和．
2．正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积和体积分别为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：如图在正六棱台ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1中，
因为A1B1＝2，AB＝6，AA1＝5，
所以侧面的梯形ABB1A1的高即正六棱台斜高为：，
所以梯形ABB1A1的面积为：，
所以该正六棱台的上底面积为：，
同理下底面积为：，
所以正六棱台的表面积为：，
正六棱台的高为，
所以正六棱台的体积为：，
故选：C．
▉题型3 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
（多选）3．如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，PA＝AB＝2，⊙O上异于A，B一点，且E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则下列说法正确的是（　　）
A．EF∥平面ABC
B．AF⊥PB
C．AF2+EF2＝2
D．当三棱锥P﹣AEF的体积最大时，PC与底面ABC所成的角为
【答案】BCD
【解答】解：对于A，由题意得AE⊥PB，∵PA＝AB，
∴E为PB的中点，
连接AC，由题意得AF⊥PC，∵PA≠AC，
∴F不是PC的中点，故EF与BC不平行，
∴在平面PBC内，直线EF与BC为相交直线，
故EF与平面ABC相交，故选项A错误；
对于B，∵C是⊙O上异于A、B的一点，∴AC⊥BC，
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PA∩AC＝A，PA、AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，
∵AF 平面PAC，∴AF⊥BC，
∵AF⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
∵PB 平面PBC，∴AF⊥PB，故选项B正确；
对于C，∵PA⊥平面ABC，AB 平面ABC，∴PA⊥AB，
∵PA＝AB＝2，∴，
∵E为PB的中点，∴．
∵AF⊥平面PBC，EF 平面PBC，∴AF⊥EF，
∴AF2+EF2＝AE2＝2，故选项C正确；
对于D，由选项B得，AF⊥PB．
∵AE⊥PB，AE∩AF＝A，AE、AF 平面AEF，∴PB⊥平面AEF，
∵，
∴三棱锥P﹣AEF的体积．
∵AF2+EF2＝AE2＝2，∴，当且仅当AF＝EF＝1时等号成立，
此时三棱锥P﹣AEF的体积最大，
由AF⊥PC，AF＝1，PA＝2，得，
由PA⊥平面ABC得PA⊥AC，且∠PCA为PC与底面ABC所成的角，
∴，
即PC与底面ABC所成的角为，故选项D正确．
故选：BCD．
4．我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．已知平面α截半球所得截面是半径为1的圆，则平面α截新几何体所得截面面积为 　π　 ．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为 　　 ．
【答案】π；．
【解答】解：第一空：由祖暅原理可得，平面α截新几何体所得截面面积为πr2＝π×1＝π；
第二空：如图，
设截面与底面的距离为h，平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷所得截面为A′B′C′D′，
设底面中心为O，截面A′B′C′D′中心为O′，则，
所以，所以截面为A′B′C′D′的面积为2（1﹣h2），
设截面截正四棱柱得四边形为A1B1C1D1，截正四棱锥得四边形为A2B2C2D2，
底面中心O与截面A2B2C2D2中心O2之间的距离为OO2＝h，
在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为1，AO＝1，
所以∠AOA2＝∠COC2＝45°，所以∠A2OC2＝90°，△A2OC2为等腰直角三角形，
所以A2C2＝2h，所以四边形A2B2C2D2边长为，所以四边形A2B2C2D2面积为2h2，
所以图2中阴影部分的面积为，与截面AB′C′D′面积相等，
由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，
即．
故答案为：．
▉题型4 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，，，则该四棱锥的体积为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，
取AB，CD的中点E，F，连接PE，PF，EF，
则PE⊥AB，EF⊥AB，且PE∩EF＝E，PE，EF 平面PEF，
故AB⊥平面PEF，
AB 平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF，
平面ABCD∩平面PEF＝EF，
过P作EF的垂线，垂足为O，即OP⊥EF，OP 平面PEF，故OP⊥平面ABCD，
由题意可知，，
由余弦定理可得，
因为∠PFE∈（0，π），所以，
故，
所以四棱锥的高为1，则四棱锥的体积为．
故选：B．
6．如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，且BE＝1，BC＝2，△ABC的面积为3，若点P为线段DE上一点，则三棱锥P﹣ACE的最大体积为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解答】解：过点A作AF⊥CB的延长线于F，在线段ED上任取一点P，连接CP，AP，
因为平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AF 平面ABC，所以AF⊥平面BCDE，
又因为△ABC的面积为3，BC＝2，所以S△ABC，所以AF＝3，
所以，
当P在点D时，取等号，故三棱锥P﹣ACE的最大体积为1．
故选：B．
（多选）7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，AA1＝4，点P为侧面BCC1B1内一点（含边界），则下列说法正确的是（　　）
A．直线AP与平面ADD1A1所成角的最大值为
B．若P到直线C1D1的距离等于到点B的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分
C．三棱锥P﹣ADD1的体积为定值
D．当BP＝2时，点P的轨迹长度为π
【答案】CD
【解答】解：对于选项A：因为线面夹角最大为，
所以当P和B重合时，直线AP与平面ADD1A1所成角最大为，故选项A错误；
对于选项B：如图示：
在平面BCC1B1内，P到直线C1D1的距离等于PC1，
所以PC1＝PB，即P的轨迹为直线，故选项B错误；
对于选项C：如图示：
三棱锥P﹣ADD1的底面ADD1固定，高为P到平面ADD1的距离，
由于P在侧面BCC1B1内运动，平面BCC1B1和平面ADD1平行，
则高为两平面间的距离，且保持不变，故体积是定值，故选项C正确；
对于选项D：如图示：
当BP＝2时，在矩形BCC1B1中，
以B为圆心，2为半径画圆，与侧面交出的长为圆周长的，即，故选项D正确．
故选：CD．
（多选）8．在矩形ABCD中，AB＝1，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A'BD，连接A′C得到三棱锥A′﹣BCD，在翻折过程中，（　　）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为
B．点A′，B，C，D都在同一球面上
C．存在点A′在某一位置时，可使BD⊥A′C
D．当A′B⊥DC时，
【答案】ABD
【解答】解：如图所示：分别过A，C作AM⊥BD，CN⊥BD，
对于选项A，当平面A′BD⊥平面BCD时，
三棱锥A′﹣BCD的高最大为，
所以三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为，故选项A正确；
对于选项B，因为∠BA′D＝∠BCD＝90°，
BD的中点为O，则OB＝OD＝OC＝OA′，
故O为三棱锥A′﹣BCD的外接球球心，故选项B正确；
对于选项C，若存在点A′在某一位置，使BD⊥A′C，连接A′N，
由于BD⊥A′C，CN⊥BD，A′C∩CN＝C，A′C，CN 平面A′CN，
则BD⊥平面A′CN，又A′N 平面A′CN，
所以A′N⊥BD，这与A′M⊥BD相矛盾（M，N不重合），
所以不存在点A′在某一位置，使BD⊥A′C，故选项C错误；
对于选项D，当A′B⊥DC，又BC⊥DC，A′B∩BC＝B，
A′B∩BC＝B，A′B，BC 平面A′BC，
所以DC⊥平面A′BC，又A′C 平面A′BC，
所以DC⊥A′C，又，CD＝1，所以，故选项D正确．
故选：ABD．
▉题型5 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
9．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为28，AB＝4，A1B1＝2，则正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连分别取B1D1，BD中点为O1，O，连接O1O，
过D1做O1O平行线，交BD于E，
设正四棱台的高为h，又正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为28，AB＝4，A1B1＝2，
所以，所以h＝3，
又，
则．
过C1做DC垂线，垂足为F，则，
所以侧面梯形的高为，
所以四个侧面面积之和为：，
又上下底面面积之和为：22+42＝20，
故表面积为：．
故选：C．
10．正四棱台的上、下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，则该棱台的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为正四棱台的上、下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，
所以棱台的高，
所以该圆台的体积为．
故选：B．
11．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，
由已知，AC2，A1C14，
因为侧棱与底面所成的角为45°，所以该四棱台的高h1，
所以该四棱台的体积V．
故答案为：．
12．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 　148cm3 ．
【答案】148cm3．
【解答】解：依题意，该四棱台的上、下底面边长分别为8cm，6cm，而棱台的高为3cm，
所以该香料收纳罐的容积为．
故答案为：148cm3．
▉题型6 圆柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆柱的侧面积和表面积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
13．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的，则圆柱部分的侧面积为（　　）
A．6726πcm2 B．9136πcm2 C．6762πcm2 D．9163πcm2
【答案】C
【解答】解：由题可得整体的高为115cm，
所以陀螺圆柱部分的高为，
故圆柱部分的侧面积为98π 69＝6762πcm2．
故选：C．
14．已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设圆柱的半径为r，
作出圆锥的轴截面，如图：
由圆锥的底面半径为1，高为1，
可得，即r＝1﹣x，0＜x＜1，
则圆柱的侧面积S＝2πrx＝2π（1﹣x）x，（0＜x＜1），
而，
∴当时，圆柱的侧面积S取最大值．
故答案为：．
15．已知一圆柱的底面半径r＝2，母线长l与底面圆的周长相等，则该圆柱的表面积为　16π2+8π　 ．
【答案】16π2+8π．
【解答】解：由题意，一圆柱的底面半径r＝2，母线长l与底面圆的周长相等，
可得圆柱的母线l＝2πr＝4π，
所以该圆柱的表面积S＝2πrl+2πr2＝16π2+8π．
故答案为：16π2+8π．
16．将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为 　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意可得圆锥的底面半径r，母线长为l＝2．
则圆锥的侧面积．
故答案为：．
▉题型7 圆锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
17．已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为12π，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．6π B．9π C．12π D．15π
【答案】D
【解答】解：设圆锥的高为h，母线长为l，则V，可得h＝4，
母线长l．
∴该圆锥的侧面积为S＝π×3×5＝15π．
故选：D．
18．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，圆锥的底面半径为2，高为，
则该圆锥的母线长l6，
则其侧面积S＝πrl＝12π．
故选：B．
19．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设圆锥的高为h，
又圆锥的底面半径和球的半径都为，
则母线长．
根据已知条件有，
解得，
所以．
故圆锥的侧面积．
故选：A．
20．某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】D
【解答】解：设圆锥的高为h，又圆锥的体积为，底面半径为1，
所以，解得，可得母线长为，
所以圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为．
故选：D．
▉题型8 圆台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆台的侧面积和表面积依赖于底面和顶面圆的半径r1、r2以及母线l和两个底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为π（r1+r2）l．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
21．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，
可得圆台体积，
如图所示，设圆台较大的底面半径为O1A＝2r，则较小的底面半径为O2B＝r，
于是，解得，
过点B作BB1⊥O1A，垂足为B1，由圆台的结构特征得BB1⊥底面O1，
母线，
圆台表面积．
故选：B．
22．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
【答案】A
【解答】解：设上底面半径为r，
因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，
所以π（r+3r）l＝84π，解得r＝7，
所以圆台较小底面的半径为7．
故选：A．
23．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，
则有2πr＝2，2πR＝3，
解得，
又圆台的高为1丈，
所以圆台的母线长为l，
所以圆台的侧面积为．
故选：B．
24．已知一个圆台的上下底面直径分别为6和8，母线长为，则该圆台的侧面积为　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为圆台的上下底面直径分别为6和8，
所以圆台的上下底面半径为3和4，
根据题意可知：圆台的侧面积为．
故答案为：．
▉题型9 圆柱的体积
【知识点的认识】
圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．
25．已知一圆柱的底面半径为2，体积为16π，若该圆柱的底面圆周都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）
A．32π B．40π C．64π D．80π
【答案】A
【解答】解：设圆柱高为h，由已知得，圆柱底面半径为r＝2，所以π×22h＝16π，h＝4，
圆柱的轴截面是球O的大圆的内接矩形，矩形的对角线是球的直径，
设球半径为R，
则，，
球表面积为．
故选：A．
▉题型10 圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
26．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（　　）
A．9π B．12π C．16π D．20π
【答案】B
【解答】解：由题意，可得底面半径，
则．
故选：B．
27．已知Rt△ABC，分别以直角边AC，以直角边BC，以斜边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的三个几何体的体积为V1，V2，V，则V1，V2，V的关系为（　　）
A．V＝V1+V2 B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：以直角边AC所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为，
以直角边BC所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为，
以斜边AB所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为，
所以，
所以．
故选：C．
28．半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：显然圆锥的母线长为 l＝4，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝4π，即r＝2，
所以圆锥的高，
圆锥的体积 ，
故选：C．
29．已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（　　）
A．12π B．9π C．3π D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设该圆锥的高为h，母线长为l，底面半径r，
若其侧面展开图是一个半圆面，则有2πr＝πl，则l＝2r＝2，
故h3，
故该圆锥的体积V3π．
故选：C．
▉题型11 圆台的体积
【知识点的认识】
圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．
30．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，
所以台体的高为，
所以该圆台的体积为．
故选：B．
31．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V＝（　　）
A．29π B．31π C．87π D．93π
【答案】B
【解答】解：设该圆台的母线长为l，
根据题意可得π（1+5）l＝30π，
解得l＝5，
所以该圆台的高为，
则．
故选：B．
32．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，．若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设圆台的内切球的半径为R，
由于r2＝2r1，，解可得r1，r2＝2，
如图为该几何体的轴截面，其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆，
设圆O与梯形的腰相切于点E，与上、下底分别切于点O1，O2，则有ED＝r1，EA＝r2＝2，
注意到OD与OA均为角平分线，因此∠DOA＝90°，
Rt△DOA中，OE⊥DA，则有OE2＝DE EA，即R224，则R＝2，
故圆台的高为4，
故该圆台的体积V（2π+8π）×4．
故选：C．
33．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°（如图），那么圆台的体积是 　cm3 ．
【答案】cm3．
【解答】解：设圆台的母线长为l，
由题意可得，，
解得l＝20cm，
所以圆台的高hcm，
故圆台的体积为cm3．
故答案为：cm3．
▉题型12 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
34．如果一个棱长为a的正方体的外接球的表面积为π，则a＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设一个棱长为a的正方体的外接球的半径为R，
则球的表面积为4πR2＝π，解得，
所以正方体的体对角线，所以．
故选：D．
35．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为（　　）
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为
③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
⑤三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是3π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：如图，连接B1D1，正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
因为正方体的棱BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥A1C1，
又因为BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1 平面BB1D1，
所以A1C1⊥平面BB1D1，
又BD1 平面BB1D1，所以A1C1⊥BD1，
同理A1D⊥BD1．
又A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1 平面A1C1D，
所以BD1⊥平面A1C1D，故①正确；
因为CD⊥平面BCB1，CB1 平面BCB1，所以CD⊥CB1，
又平面B1CD∩平面BCD＝CD，BC⊥CD，BC 平面BCD，B1C 平面B1CD，
则∠B1CB是平面B1CD与平面BCD的夹角，因为△B1BC为等腰直角三角形，
所以该角大小为，故②错误；
因为A1B1∥AB，A1B1＝AB，AB∥CD，AB＝CD，
所以A1B1∥CD，A1B1＝CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，因此有A1D∥B1C，
又因为A1D 平面A1C1D，B1C 平面A1C1D，
所以B1C∥平面A1C1D，
又P∈B1C，所以P到平面A1C1D的距离为定值，
故三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值，故③正确；
因为A1D∥B1C，所以异面直线AP与A1D所成角就是AP与B1C所成的角，
即图中∠APC或∠APB，设正方体棱长为1，
所以，
当点P为B1C中点时，此时AP⊥B1C，
因为△AB1C是等边三角形，P在线段B1C上，
所以∠APC或∠APB中较小的角的范围是，故④错误；
三棱锥A1﹣BDC1的外接球即为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，
因为，
所以，
所以三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是πR2＝3π，故⑤正确．
故选：C．
36．已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
【答案】C
【解答】解：圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为R，则外接球体积为，
则R＝2，
即|AO|＝|OC|＝2，
设圆锥的高为|AO1|＝h，圆锥的底面圆半径为|O1C|＝r，
则，
由（h﹣R）2+r2＝R2，
解得h＝3，r，
则此圆锥的表面积为πr2+πrl＝9π．
故选：C．
37．魔方，Rubik'sCube又叫魔术方块，也称鲁毕克方块．是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的．若正方体魔方的体积为，则该正方体魔方外接球的表面积为（　　）
A．81π B．9π C． D．
【答案】B
【解答】解：由正方体魔方的体积为，
设正方体的棱长为a，
则，
解得a，
所以该正方体体对角线长为，
故外接球直径为3，半径，
所以该正方体魔方外接球的表面积为4πR2＝9π．
故选：B．
▉题型13 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
38．已知球的半径为2，则该球的体积为（　　）
A． B． C．4π D．16π
【答案】B
【解答】解：因为球的半径为2，
所以该球的体积为．
故选：B．
39．海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史．图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球O被一个平面截得的一部分，若AB是截面圆O′的直径，，圆O′的面积为27πcm2，则球O的体积为（　　）
A． B．432πcm3
C．288πcm3 D．144πcm3
【答案】C
【解答】解：由圆O′的面积为27πcm2，得圆O′的半径，
又等腰△AOB的顶角，则球半径（cm），
所以球O的体积（cm3）．
故选：C．
40．一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为（　　）
A． B． C． D．2π
【答案】B
【解答】解：设正四棱台的内切球的半径r，
则根据题意可得该正四棱台的高为2r，
所以r，
所以该球的体积为．
故选：B．
41．已知正六棱锥S﹣ABCDEF底面边长为2，体积为，则S﹣ABCDEF外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由正六棱锥S﹣ABCDEF得，底面ABCDEF为正六边形，设底面ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，
则CO＝2，SO⊥底面ABCDEF，SO为正六棱锥S﹣ABCDEF的高，
所以，
因为正六棱锥的体积为，所以，即SO＝2＝CO，
故点O为S﹣ABCDEF外接球的球心，半径为2，
故S﹣ABCDEF外接球的体积．
故选：C．
（多选）42．下列说法正确的有（　　）
A．若球O的体积为36π，则球O表面积也为36π
B．若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍
C．若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为
D．棱长为a的正方体的外接球半径为
【答案】AC
【解答】解：对于选项A，因为球O的体积为36π，
所以，
S＝4πR2＝4π×9＝36π，故选项A正确；
对于选项B，由球的体积与半径R3成正比，
所以半径变为原来的3倍，体积变为原来的27倍，故选项B错误；
对于选项C，由于球O为圆台的内切球，设内切球半径为R，根据轴截面可知，
球O中的最大圆为轴截面等腰梯形的内切圆，即等腰梯形的高为2R，
根据圆台上下底面半径分别为1和3，可知等腰梯形的上下底边长分别是2和6，
即由勾股定理可得腰长为，
再利用等面积法，则有，
解得，故选项C正确；
对于选项D，棱长为a的正方体的外接球直径等于体对角线长，即，
故正方体的外接球半径为，故选项D错误．
故选：AC．
43．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 　　 ．
【答案】
【解答】解：因为正三棱柱的高为2，底面边长为，
所以底面等边三角形的外接圆半径，
则外接球的半径，
所以该三棱柱的外接球的体积为．
故答案为：．第6章第6节 简单几何体的再认识
题型1 棱柱的侧面积和表面积 题型2 棱台的侧面积和表面积
题型3 棱柱的体积 题型4 棱锥的体积
题型5 棱台的体积 题型6 圆柱的侧面积和表面积
题型7 圆锥的侧面积和表面积 题型8 圆台的侧面积和表面积
题型9 圆柱的体积 题型10 圆锥的体积
题型11 圆台的体积 题型12 球的表面积
题型13 球的体积
▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为底面周长P与高h的乘积，即．
﹣表面积：包括底面和顶面的面积及侧面的面积，计算公式为，其中B为底面的面积．
1．高中某DIY社团一学生想把实心的圆锥木块改造成一个正四棱柱木块，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，底面在圆锥的底面内．已知该圆锥的底面圆半径为3cm，高为cm，则该正四棱柱侧面积的最大值为 　　 cm2．
▉题型2 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：侧面体形的面积之和．
﹣表面积：侧面积与上下底面的面积之和．
2．正六棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则它的表面积和体积分别为（　　）
A． B．
C． D．
▉题型3 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
（多选）3．如图所示，PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，PA＝AB＝2，⊙O上异于A，B一点，且E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则下列说法正确的是（　　）
A．EF∥平面ABC
B．AF⊥PB
C．AF2+EF2＝2
D．当三棱锥P﹣AEF的体积最大时，PC与底面ABC所成的角为
4．我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出以下体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．用现代语言可以描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．利用祖暅原理计算球的体积时，如图1，将同底等高的半球与圆柱放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体，用任意一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．已知平面α截半球所得截面是半径为1的圆，则平面α截新几何体所得截面面积为 　　 ．如图2是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，类比上述半球的体积计算方法，运用祖暅原理可求得该帐篷的体积为 　　 ．
▉题型4 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：底面面积B可以根据底面多边形的性质计算．
5．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，，，则该四棱锥的体积为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．如图，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为矩形，且BE＝1，BC＝2，△ABC的面积为3，若点P为线段DE上一点，则三棱锥P﹣ACE的最大体积为（　　）
A． B．1 C． D．
（多选）7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝2，AD＝3，AA1＝4，点P为侧面BCC1B1内一点（含边界），则下列说法正确的是（　　）
A．直线AP与平面ADD1A1所成角的最大值为
B．若P到直线C1D1的距离等于到点B的距离，则点P的轨迹为抛物线的一部分
C．三棱锥P﹣ADD1的体积为定值
D．当BP＝2时，点P的轨迹长度为π
（多选）8．在矩形ABCD中，AB＝1，，以对角线BD为折痕将△ABD进行翻折，折后为△A'BD，连接A′C得到三棱锥A′﹣BCD，在翻折过程中，（　　）
A．三棱锥A′﹣BCD体积的最大值为
B．点A′，B，C，D都在同一球面上
C．存在点A′在某一位置时，可使BD⊥A′C
D．当A′B⊥DC时，
▉题型5 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣底面面积计算：两个底面的面积B1和B2可以根据底面多边形的性质计算．
9．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为28，AB＝4，A1B1＝2，则正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的表面积为（　　）
A． B． C． D．
10．正四棱台的上、下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，则该棱台的体积是（　　）
A． B． C． D．
11．已知正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积为　　 ．
12．某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为32cm，24cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 　 ．
▉题型6 圆柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆柱的侧面积和表面积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
13．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，世界“最大最重”陀螺就出自六盘水（水城区野玉海景区），重达3018斤，直径98cm，高115cm，可视作一个圆柱和一个圆锥的组合体，圆柱部分的高是陀螺高的，则圆柱部分的侧面积为（　　）
A．6726πcm2 B．9136πcm2 C．6762πcm2 D．9163πcm2
14．已知一个圆锥的底面半径为1，高为1，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱，则此圆柱侧面积的最大值为 　　 ．
15．已知一圆柱的底面半径r＝2，母线长l与底面圆的周长相等，则该圆柱的表面积为　 ．
16．将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为 　　 ．
▉题型7 圆锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆锥的侧面积和表面积依赖于底面圆的半径r、母线长度l和底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为．
﹣表面积：包括底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
17．已知一个圆锥的底面半径为3，其体积为12π，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．6π B．9π C．12π D．15π
18．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的侧面积为（　　）
A．4π B．12π C．16π D．
19．已知某圆锥的底面半径和球的半径都为，且它们的体积相等，则圆锥的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
20．某圆锥的体积为，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图所对应的扇形的圆心角为（　　）
A． B． C． D．π
▉题型8 圆台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
圆台的侧面积和表面积依赖于底面和顶面圆的半径r1、r2以及母线l和两个底面圆的面积．
【解题方法点拨】
﹣侧面积：计算公式为π（r1+r2）l．
﹣表面积：包括两个底面圆的面积和侧面的面积，计算公式为．
21．中国冶炼铸铁的技术起源于春秋时期，并在战国时期取得了显著的进步，推动了当时社会的发展．现将一个半径为2cm的实心铁球熔化后，浇铸成一个圆台状的实心铁锭（不考虑损耗），若该圆台的一个底面周长是另一个底面周长的2倍，高为2cm，则该圆台的表面积为（　　）
A． B．
C． D．
22．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
23．《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（　　）
A． B．
C． D．
24．已知一个圆台的上下底面直径分别为6和8，母线长为，则该圆台的侧面积为　　 ．
▉题型9 圆柱的体积
【知识点的认识】
圆柱的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆柱的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆柱尺寸进行体积计算．
25．已知一圆柱的底面半径为2，体积为16π，若该圆柱的底面圆周都在球O的表面上，则球O的表面积为（　　）
A．32π B．40π C．64π D．80π
▉题型10 圆锥的体积
【知识点的认识】
圆锥的体积计算依赖于底面圆的半径r和圆锥的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆锥尺寸进行体积计算．
26．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（　　）
A．9π B．12π C．16π D．20π
27．已知Rt△ABC，分别以直角边AC，以直角边BC，以斜边AB所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的三个几何体的体积为V1，V2，V，则V1，V2，V的关系为（　　）
A．V＝V1+V2 B．
C． D．
28．半径为4的半圆卷成一个圆锥，则该圆锥的体积为（　　）
A． B． C． D．
29．已知圆锥的底面圆半径为，侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（　　）
A．12π B．9π C．3π D．
▉题型11 圆台的体积
【知识点的认识】
圆台的体积计算依赖于底面圆的半径r1、顶面圆的半径r2和圆台的高度h．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的圆台尺寸进行体积计算．
30．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
31．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则该圆台的体积V＝（　　）
A．29π B．31π C．87π D．93π
32．已知某圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r2＝2r1，．若存在一球与圆台上、下底面及所有母线均相切，则该圆台的体积为（　　）
A． B． C． D．
33．圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°（如图），那么圆台的体积是 　 ．
▉题型12 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：表面积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行表面积计算．
34．如果一个棱长为a的正方体的外接球的表面积为π，则a＝（　　）
A．1 B． C． D．
35．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则以下命题正确的个数为（　　）
①直线BD1⊥平面A1DC1
②平面B1CD与平面BCD的夹角大小为
③三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
④异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
⑤三棱锥A1﹣BDC1外接球表面积是3π
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
36．已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（　　）
A．3π B．6π C．9π D．12π
37．魔方，Rubik'sCube又叫魔术方块，也称鲁毕克方块．是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克教授在1974年发明的．若正方体魔方的体积为，则该正方体魔方外接球的表面积为（　　）
A．81π B．9π C． D．
▉题型13 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为．
【解题方法点拨】
﹣计算公式：体积计算公式为．
﹣实际应用：如何根据实际问题中的球尺寸进行体积计算．
38．已知球的半径为2，则该球的体积为（　　）
A． B． C．4π D．16π
39．海南椰雕不仅仅是一门传统手艺，更是一段传承千年的文化史．图（1）是一个椰雕工艺台灯，其灯罩的几何模型如图（2）所示，相当于球O被一个平面截得的一部分，若AB是截面圆O′的直径，，圆O′的面积为27πcm2，则球O的体积为（　　）
A． B．432πcm3
C．288πcm3 D．144πcm3
40．一个正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球与该正四棱台的各面均相切，则该球的体积为（　　）
A． B． C． D．2π
41．已知正六棱锥S﹣ABCDEF底面边长为2，体积为，则S﹣ABCDEF外接球的体积为（　　）
A． B． C． D．
（多选）42．下列说法正确的有（　　）
A．若球O的体积为36π，则球O表面积也为36π
B．若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍
C．若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为
D．棱长为a的正方体的外接球半径为
43．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 　　 ．

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