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第1章第3节 弧度制
题型1 终边相同的角（弧度制） 题型2 弧度制
题型3 弧长公式 题型4 扇形面积公式
▉题型1 终边相同的角（弧度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
【解题方法点拨】
利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和．
﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和（其中k为整数）．
﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．
1．下列与角的终边一定相同的角是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）2．若α与的终边相同，β与的终边关于y轴对称，则（　　）
A．
B．
C．
D．
▉题型2 弧度制
【知识点的认识】
弧度制的有关概念与公式
1.1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知扇形的半径为4cm，弧长为2cm，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（　　）
A． B． C． D．2
4．45°角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．
（多选）5．下列转化结果正确的是（　　）
A．150°化成弧度是
B．化成角度是45°
C．﹣120°化成弧度是
D．化成角度是30°
（多选）6．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
（多选）7．下列弧度与角度的转化正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是 　　 ．
▉题型3 弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
9．某扇形的周长为100，圆心角为2弧度，则该扇形的半径为（　　）
A．12.5 B．50 C．25 D．20
10．已知扇形的周长是5cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（　　）
A．3 B． C． D．2
11．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为（0，π）时，其所对的“古典正弦”为|BC|（D为BC的中点）．根据以上信息，当圆心角θ对应弧长时，θ的“古典正弦”值为（　　）
A．2sin1° B．2sin1 C． D．sin2
12．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
13．半径为2cm，圆心角为的弧长为 　　 cm．
14．若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为　　 ．
15．在半径为10的圆中，圆心角为240°的扇形所对的弧的长度为 　　 ．
▉题型4 扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
16．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A．π B． C． D．
17．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（　　）
A．4 B．1 C． D．2
18．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
19．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的简化示意图，若OA＝2OB，则图形ABCD的面积与扇形AOD的面积的比值是（　　）
A． B． C． D．
20．若一扇形的圆心角为，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）
A．40πcm2 B．80πcm2 C．40cm2 D．80cm2
21．《九章算术》是我国算术名著，有这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形田的面积（单位：平方步）是（　　）
A．64π B．128π C．120 D．240
22．下列命题错误的是（　　）
A．是第三象限角
B．角θ为第二或第三象限角的充要条件是sinθtanθ＜0
C．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
D．若圆心角为60°的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
23．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；第1章第3节 弧度制
题型1 终边相同的角（弧度制） 题型2 弧度制
题型3 弧长公式 题型4 扇形面积公式
▉题型1 终边相同的角（弧度制）
【知识点的认识】
终边相同的角：
2kπ+α（k∈Z）它是与α角的终边相同的角，（k＝0时，就是α本身），凡是终边相同的两个角，则它们之差一定是2π的整数倍，应该注意的是：两个相等的角终边一定相同，而有相同的终边的两个角则不一定相等，也就是说，终边相同是两个角相等的必要条件，而不是充分条件．
【解题方法点拨】
利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ+α，k∈Z}判断一个角β时，只需把这个角写成[0，2π）范围内的一个角α与2π的整数倍的和．
﹣利用终边相同的角的性质，设定角度θ和（其中k为整数）．
﹣确定具体问题中角度的表达形式，求解相关角度值．
1．下列与角的终边一定相同的角是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：与角的终边一定相同的角是2kπ，k∈Z，A，B，D都不满足，C满足．
故选：C．
（多选）2．若α与的终边相同，β与的终边关于y轴对称，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解答】解：由α与的终边相同，得α2k1π，k1∈Z，
由β与的终边关于y轴对称，得βπ+2k2π，k2∈Z，
则，故AB正确；
①+②得，，
则，故C错误，D正确．
故选：ABD．
▉题型2 弧度制
【知识点的认识】
弧度制的有关概念与公式
1.1弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α|，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
2．弧度制
把弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
【解题方法点拨】
角度制与弧度制不可混用
角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．已知扇形的半径为4cm，弧长为2cm，则此扇形的圆心角（正角）的弧度数是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：由题意扇形的半径为4cm，弧长为2cm，
设扇形的圆心角为α，
则由扇形的弧长公式l＝αR，可得．
故选：B．
4．45°角的弧度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵180°＝π弧度，
∴1°弧度，
则45°＝45弧度弧度，
故选：C．
（多选）5．下列转化结果正确的是（　　）
A．150°化成弧度是
B．化成角度是45°
C．﹣120°化成弧度是
D．化成角度是30°
【答案】ACD
【解答】解：150°化成弧度是，A选项正确．
化成角度是﹣45°，B选项错误．
﹣120°化成弧度是，C选项正确．
化成角度是30°，D选项正确．
故选：ACD．
（多选）6．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解答】解：设这条弦所对的圆周角为α，
则其圆心角为2α或2π﹣2α，由于弦长等于半径，
所以可得或，
解得或．
故选：AD．
（多选）7．下列弧度与角度的转化正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解答】解：对于A，，A对；
对于B，，B错；
对于C，，C对；
对于D，，D错．
故选：AC．
8．半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：因为半径为4厘米、弧长为8厘米，
则．
故答案为：2．
▉题型3 弧长公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slrr2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②SlR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
9．某扇形的周长为100，圆心角为2弧度，则该扇形的半径为（　　）
A．12.5 B．50 C．25 D．20
【答案】C
【解答】解：设该扇形的半径为r，圆心角为α，则α＝2弧度，
则扇形的弧长为αr＝2r，
因为扇形的周长为100，
所以扇形的周长为αr+2r＝2r+2r＝4r＝100，解得r＝25．
故选：C．
10．已知扇形的周长是5cm，面积是cm2，则扇形的中心角的弧度数是（　　）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为 l，则：
l+2r＝5，Slr，
∴解得r＝1，l＝3或r，l＝2，
∴α3或，
故选：C．
11．“古典正弦”定义为：在如图所示的单位圆中，当圆心角∠BOC的范围为（0，π）时，其所对的“古典正弦”为|BC|（D为BC的中点）．根据以上信息，当圆心角θ对应弧长时，θ的“古典正弦”值为（　　）
A．2sin1° B．2sin1 C． D．sin2
【答案】B
【解答】解：由题意可知，OB＝1，
，
则圆心角，
|BC|＝2BD＝2×OB×sin1＝2sin1．
故选：B．
12．已知扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为（　　）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】B
【解答】解：扇形的圆心角为，半径为5，
则扇形的弧长为．
故选：B．
13．半径为2cm，圆心角为的弧长为 　　 cm．
【答案】．
【解答】解：半径为2cm，圆心角为的弧长为cm．
故答案为：．
14．若一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，则扇形的周长为　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：一个扇形所在圆的半径为2，圆心角为1弧度，
则扇形的周长为2×2+2×1＝6．
故答案为：6．
15．在半径为10的圆中，圆心角为240°的扇形所对的弧的长度为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：扇形圆心角的弧度数为α，r＝10，
∴弧长l＝αr．
故答案为：．
▉题型4 扇形面积公式
【知识点的认识】
弧长、扇形面积的公式
设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，则l＝rα，扇形的面积为Slr＝r2α．
【解题方法点拨】
弧长和扇形面积的计算方法
（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．
（2）从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值．
（3）记住下列公式：①l＝αR；②S＝lR；③SαR2．其中R是扇形的半径，l是弧长，α（0＜α＜2π）为圆心角，S是扇形面积．
16．已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设扇形的圆心角为α，弧长为l，
根据题意得扇形的半径r3，
可得该扇形的面积Sαr232．
故选：B．
17．一个扇形的圆心角为150°，面积为，则该扇形半径为（　　）
A．4 B．1 C． D．2
【答案】D
【解答】解：设扇形的半径为R，
则，解得R＝2．
故选：D．
18．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，扇形的圆心角，
设扇形的半径为r，
由扇形的弧长，
所以r＝2，
所以该扇形的面积为．
故选：B．
19．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的简化示意图，若OA＝2OB，则图形ABCD的面积与扇形AOD的面积的比值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设扇形AOD的面积为S1，扇形BOC的面积为S2，
根据扇形BOC与扇形AOD相似，且OA＝2OB，
可得4，即S1＝4S2，
因此，图形ABCD的面积与扇形AOD的面积比为．
故选：D．
20．若一扇形的圆心角为，半径为20cm，则扇形的面积为（　　）
A．40πcm2 B．80πcm2 C．40cm2 D．80cm2
【答案】B
【解答】解：因为扇形的圆心角为，半径等于20cm，
故扇形的面积为400＝80πcm2．
故选：B．
21．《九章算术》是我国算术名著，有这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”意思是说“现有扇形田，弧长30步，直径16步，问面积是多少？”在此问题中，扇形田的面积（单位：平方步）是（　　）
A．64π B．128π C．120 D．240
【答案】C
【解答】解：扇形田的弧长30步，直径16步，则其半径为8步，
所以其面积S120平方步．
故选：C．
22．下列命题错误的是（　　）
A．是第三象限角
B．角θ为第二或第三象限角的充要条件是sinθtanθ＜0
C．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
D．若圆心角为60°的扇形的弧长为π，则该扇形面积为
【答案】C
【解答】解：A.，是第三象限角，则是第三象限角，A正确；
B.等价于，等价于角θ在第二或第三象限，
所以角θ为第二象限或第三象限角的充要条件是sinθtanθ＜0，B正确；
C．经过30分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过﹣π弧度，故C错误，
D．由于圆心角为的扇形的弧长为π，可知扇形的半径为，
所以该扇形面积为，故D正确．
故选：C．
23．已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l．
（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；
（2）若，求扇形的弧所在的弓形的面积；
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵α＝60°，化为弧度为，
又R＝10cm，∴l＝10（cm）；
（2）设弓形面积为S弓．由（1）知．
则cm2．

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