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第1章第5节 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
题型1 三角函数的周期性 题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域 题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性 题型6 余弦函数的图象
题型7 余弦函数的定义域和值域 题型8 余弦函数的单调性
题型9 余弦函数的对称性 题型10 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A，y＝tan2x的最小正周期为，故A错误；
对于B，为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，，易知为奇函数，且最小正周期为，故C正确；
对于D，为偶函数，故D错误．
故选：C．
2．函数y＝3cos（x）的最小正周期是（　　）
A． B． C．2π D．5π
【答案】D
【解答】解：由周期公式可得：函数y＝3cos（x）的最小正周期T5π．
故选：D．
3．已知ω＞1，函数的最小正周期与函数g（x）＝tan（ω﹣1）x的最小正周期相等．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）解不等式；
（3）若，求f（x）在上的值域．
【答案】（1）π；
（2）；
（3）[2，4]．
【解答】解：（1）由题意得，解得ω＝2，
所以f（x）＝4sin（2x+φ），最小正周期．
（2）由（1）知，g（x）＝tanx，不等式即，
结合正切函数的性质，解得，
即，
所以不等式的解集为．
（3）由（1）知f（x）＝4sin（2x+φ），
根据f（0），解得，
结合，可知，，
当时，，
因为f（x）max＝f（）＝4sin4，f（x）min＝f（）＝4sin2，
所以f（x）在上的值域为[2，4]．
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
4．在[0，2π]内函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，，解得，
所以，即函数定义域为．
故选：C．
5．函数在一个周期内的图象可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：根据原函数的周期为π排除AB；
x＝0时，，排除D．
故选：C．
6．已知方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
【答案】C
【解答】解：方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，
因为x∈[0，8π]，所以，故，
而方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根，
且令，则在区间上有两个不相等的实数根，
故，，两个根为t1，t2，
则y＝sint与在区间上有两个不同的交点，
记两个交点横坐标为t1，t2，由正弦函数性质得y＝sint关于对称，
则，解得t1+t2＝π，而，
得到，即x1+x2＝5π，故C正确．
故选：C．
（多选）7．已知a是实数，则函数f（x）＝1+asinax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝1，故C正确；
当a≠0时，函数f（x）＝1+asinax的周期，振幅为|a|，
所以当|a|＜1时，T＞2π，选项A中图象可能出现，故A正确；
当|a|＞1时，T＜2π，选项B中图象可能出现，故B正确；
当|a|＝1时，T＝2π，题中没有选项对应；
综上，可知D中图象不可能出现，故D错误．
故选：ABC．
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
8．函数的值域为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由函数，
因为，当时，函数取得最大值，
当时，函数取得最小值ymin＝﹣2，
所以函数的值域为．
故答案为：．
9．已知函数的定义域为[m，n]（m＜n），值域为，则n﹣m的取值范围为 　[，]　 ．
【答案】[，]．
【解答】解：f（x）＝sinx sin（x）
＝sinx（sinxcosx）
sin2xsinxcosx
（1﹣cos2x）sin2x
（sin2xcos2x）
sin（2x），值域为[，]，
sin（2x）∈[﹣1，]，
所以2x∈[2kπ，2kπ]，
故x∈[kπ，kπ]，k∈Z，
kπ（kπ），
所以n﹣m最大值为；
令2x，得x，
令2x，得x，
所以n﹣m的最小值为（），
所以n﹣m的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．
10．已知函数，a为常数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若时，|f（x）|的最大值为3，求a的值．
【答案】（1）π；（2）a＝﹣2或a＝1．
【解答】解：（1）因为，所以f（x）的最小正周期．
（2）当时，，f（x）∈[﹣1+a，2+a]，
即﹣1+a＝﹣3，2+a≤3；或2+a＝3，﹣1+a≥﹣3，故a＝﹣2或a＝1．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
11．若函数y＝sin（πx）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解答】解：由y＝sin（πx），可得当2kπ≤πx2kπ，k∈Z时函数单调递增，
即x∈[2k，2k]，k∈Z，
当k＝0时，x∈[，]，
又函数在[0，m]上单调递增，
所以0＜m，即m的最大值为．
故选：C．
12．若函数（ω＞0）在（，π）上单调，且在（0，）上存在极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：函数在（0，）上存在极值点，
故该极值点满足ω；
所以ω，
由于函数f（x）在（，π）上单调，
故，
所以ω≤2；
所以ω≤2；
当x时，ωx；
当x＝π时，ωπ，解得：ω．
综上所述：ω．
即ω的取值范围是（]．
故选：C．
13．已知函数在上单调递减，则ω的取值范围为 　（0，4]　 ．
【答案】（0，4]．
【解答】解：函数在上单调递减，
故，（k∈Z）整理得：，（k∈Z）；
故（k∈Z）；
故：，（k∈Z），由于ω＞0，解得0＜ω≤4．
故ω的范围为（0，4]．
故答案为：（0，4]．
14．将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到y＝f（x）的图象．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据函数图象变换，可得，
令，得，
所以f（x）的递增区间为；
（2）令，得，
所以f（x）图象的对称轴方程为；
（3）由f（x）＞0，得，
所以，解得，
所以f（x）＞0的解集为．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝　　 ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x，
而函数y＝sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，
ωx+φ∈（φ，φ），
直线和为函数f（x）的两条对称轴，
∴φ＝2kπ，φ＝2kπ，k∈Z，且．
解得ω＝2且φ．
可得f（x）＝sin（2x），
则sin（）＝sin．
故选：D．
16．已知在函数的图象上，相邻两条对称轴之间的距离为．若函数的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解答】解：由函数y＝f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为π，
∴．
∵函数的图象关于y轴对称，
∴，即，
又，∴，
∴，
则，故不是对称中心，直线不是对称轴，
，∴其图象关于点对称．
故选：B．
17．已知函数f（x）＝sinxcos2x+1，若，则f（﹣α）＝（　　）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【解答】解：f（x）＝sinxcos2x+1的定义域为R，
且f（﹣x）+f（x）＝﹣sinxcos2x+1+sinxcos2x+1＝2，
又，
则f（﹣α）＝2．
故选：D．
▉题型6 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
18．不等式在[﹣π，π]上的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：∵，则，
作出y＝cosx在x∈[﹣π，π]的图象如下，
解得．
故选：D．
19．已知直线是函数（其中ω＞0）的图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间上单调，则ω的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：因为是f（x）图象的一条对称轴，
所以，解得，
根据f（x）在区间上单调，
可知f（x）的周期T满足，可得，
所以，解得，可知k＝0，．
故选：A．
20．若函数，（ω＞0，|φ|＜π）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：若函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，
则T＝2，ω＝2，f（x）cos（2x+φ），
因为恒成立，所以f（）为函数的最大值，
则φ＝2kπ，k∈Z，
因为|φ|＜π，
所以．
故选：B．
▉题型7 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
21．已知函数，若f（x）在区间[0，π）内有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：当x∈[0，π）时，，
由于函数f（x）在区间[0，π）上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据余弦函数的图象与性质，
可得，解得，即．
故选：A．
22．已知函数f（x）＝acosx+b的最大值为1，最小值为﹣3，则函数g（x）＝absinx+3的最大值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：f（x）＝acosx+b，
若a＞0，由题意可得，解得，
所以g（x）＝﹣2sinx+3≤5（当sinx＝﹣1时取等号）；
若a＜0，由题意可得，解得，
所以g（x）＝2sinx+3≤5（当sinx＝1时取等号）．
综上所述，g（x）的最大值为5．
故选：A．
23．函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为x∈[，]，所以2x∈[，]，
所以cos（2x）∈[，1]，所以cos（2x）∈[，]，
所以f（x）的值域为[1，]．
故选：C．
24．已知，t是函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的两个零点，的最小值为，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的值域．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设f（x）的最小正周期为T，
因为，t是函数f（x）的两个零点，的最小值为，
所以，ω＝2．
由得，
因为，所以，，
由，可得，
解得A＝2，
所以．
（2）当时，，
因为y＝cosx在上单调递减，在上单调递增，
且，cos（﹣π）＝﹣1，，
所以，
即f（x）在上的值域为．
▉题型8 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
25．若函数在区间上单调递减，则ω的取值范围为（　　）
A． B．（0，1] C． D．（0，2]
【答案】D
【解答】解：由题意函数在区间上单调递减，
由，可得，
可知，
解得ω≤2，
综上可知，ω的取值范围是（0，2]．
故选：D．
26．若函数在上单调递增，则ω的取值范围为　（0，7]　 ．
【答案】（0，7]．
【解答】解：当时，，
根据f（x）＝cos（ωx）在上单调递增，
结合余弦函数的性质，可知∈[﹣π，0]，
所以，解得ω≤7，结合ω＞0，可得ω的取值范围为（0，7]．
故答案为：（0，7]．
27．函数y＝cosx在区间[﹣π，a]上单调递增，则实数a的取值范围是 　（﹣π，0]　 ．
【答案】（﹣π，0]．
【解答】解：根据三角函数的性质可得，y＝cosx在区间[﹣π，0]上单调递增，
又y＝cosx在区间[﹣π，a]上单调递增，
则﹣π＜a≤0，
则a的取值范围为（﹣π，0]．
▉题型9 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
【解题方法点拨】
例：（中，三角函数的对称性）若函数（ω＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为，则ω等于
解：因为y＝cosx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使的图象相邻两条对称轴的距离为，则其周期缩小为原来的一半，所以ω＝2．
这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．
28．已知函数，则“函数f（x）的图象关于原点对称”是a6k（k∈Z）”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：∵的图象关于原点对称，
∴f（x）为奇函数，
∴kπ（k∈Z），
∴a＝﹣3k（k∈Z），
∴“函数的图象关于原点对称”是“a6k（k∈Z）”的必要不充分条件．
故选：B．
29．设函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．是偶函数
D．f（x）在区间上单调递增
【答案】C
【解答】解：∵，
∴f（）＝cos（）＝0≠±1，
∴f（x）的图象不关于直线对称，A错误；
又f（）＝cos0＝1，
∴f（x）的图象不关于点对称，B错误；
又f（x）＝cos[2（x）]＝cos2x为偶函数，C正确；
∵当x∈时，2x∈[，]，
∴在区间上不单调，D错误；
故选：C．
（多选）30．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．
C．函数是奇函数
D．f（x）图象的对称中心为点
【答案】AC
【解答】解：由题意得f（x）的周期T，解得，故A项正确；
根据f（），可得，
结合，取k＝0得，可知B不正确；
根据f（x）＝3cos（x），
可得，
结合正弦函数为奇函数，可知f（x）是奇函数，所以C项正确；
令，得，
所以f（x）图象的对称中心为，可知D不正确．
故选：AC．
（多选）31．下列说法正确的是（　　）
A．使有意义的实数x的取值范围为[﹣4，1）
B．由幂函数f（x）＝（m2﹣3）xm的定义域是R，可知m＝±2
C．若函数f（x）＝cos（2x+φ）的图像关于原点对称，则φ的一个可能取值为2023π
D．若a＝cos64°cos19°+sin64°sin19°，则
【答案】AD
【解答】解：使有意义需要满足，解得﹣4≤x＜1，A正确；
幂函数f（x）＝（m2﹣3）xm需要满足m2﹣3＝1，解得m＝±2，
但m＝﹣2时，定义域不是R，B错误；
函数f（x）＝cos（2x+φ）的图像关于原点对称，
则f（0）＝cos（φ）＝0，即，C错误；
，
，，，D正确．
故选：AD．
▉题型10 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：
x
ωx+φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
32．函数的一个对称中心是．
（1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到；
（2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图．
【答案】（1）当时，函数f（x）取得最大值2；当时，函数f（x）取得最小值﹣2；
（2）图象见解答．
【解答】解：（1）由题意得，
则，解得，
因为，所以k＝1时，，
所以，其最大值为2，最小值为﹣2，
当，即时，函数f（x）取得最大值2；
当，即时，函数f（x）取得最小值﹣2．
（2）列表如下：
π 2π
x 0 π
y 2 0 ﹣2 0
函数f（x）在[0，π]上的简图如下，
33．，x∈[﹣1，7]．
（1）运用“五点作图法”，列表—描点—连线，做出，x∈[﹣1，7]的图像．
（2）写出函数的振幅，最小正周期，初相．
x
y
【答案】（1）画图像见解析；
（2）振幅为2，最小正周期为8，初相为．
【解答】解：（1）由y＝2sin（x），x∈[﹣1，7]，列表如下；
x ﹣1 1 3 5 7
x 0 π 2π
y＝2sin（ x） 0 2 0 ﹣2 0
描点、连线，画出y＝2sin（x），x∈[﹣1，7]的图像，如图所示：
（2）函数y＝2sin（x）的振幅为2，最小正周期为8，初相为．
34．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若x∈[0，m]时，方程f（x）恰有2个解，求实数m的取值范围．
（3）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数g（x）的图象，用“五点法”画出g（x）在[0，2π]上的图象．
【答案】（1）函数的最小正周期T＝π，单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）[，）；
（3）
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离，
可得，解得ω＝2，φ，
即f（x）＝2sin2x，
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，
解得kπ≤xkπ，k∈Z
可得函数的最小正周期T＝π，单调递增区间为[kπ，kπ]，k∈Z；
（2）若x∈[0，m]时，方程f（x）恰有2个解，
可得sin2x，
且2x∈[0，2m]，
所以2m∈[，），解得m∈[，），
即实数m的取值范围[，）；
（3）函数f（x）的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin[2（x）]＝2sin（2x），
再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数g（x），
则g（x）＝2sin（x）+1，
x∈[0，2π]，可得x∈[，]，
x 0 2π
x π 2π 2π
2sin（x） 1 2 0 ﹣2 0 1
y＝2sin（x）+1 2 3 1 ﹣1 1 2
如下图所示：第1章第5节 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
题型1 三角函数的周期性 题型2 正弦函数的图象
题型3 正弦函数的定义域和值域 题型4 正弦函数的单调性
题型5 正弦函数的奇偶性和对称性 题型6 余弦函数的图象
题型7 余弦函数的定义域和值域 题型8 余弦函数的单调性
题型9 余弦函数的对称性 题型10 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
▉题型1 三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
1．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为（　　）
A．y＝tan2x B．
C． D．
2．函数y＝3cos（x）的最小正周期是（　　）
A． B． C．2π D．5π
3．已知ω＞1，函数的最小正周期与函数g（x）＝tan（ω﹣1）x的最小正周期相等．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）解不等式；
（3）若，求f（x）在上的值域．
▉题型2 正弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最　值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
4．在[0，2π]内函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
5．函数在一个周期内的图象可以是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知方程在区间[0，8π]上有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝（　　）
A．3π B．4π C．5π D．6π
（多选）7．已知a是实数，则函数f（x）＝1+asinax的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
▉题型3 正弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
8．函数的值域为 　　 ．
9．已知函数的定义域为[m，n]（m＜n），值域为，则n﹣m的取值范围为 　 ．
10．已知函数，a为常数．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若时，|f（x）|的最大值为3，求a的值．
▉题型4 正弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
11．若函数y＝sin（πx）在[0，m]上单调递增，则m的最大值为（　　）
A． B． C． D．1
12．若函数（ω＞0）在（，π）上单调，且在（0，）上存在极值点，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
13．已知函数在上单调递减，则ω的取值范围为 　　 ．
14．将的图象上每个点的横坐标都缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向上平移1个单位长度，得到y＝f（x）的图象．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）的图象的对称轴方程；
（3）求不等式f（x）＞0的解集．
▉题型5 正弦函数的奇偶性和对称性
【知识点的认识】
正弦函数的对称性
正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ，k∈z．
【解题方法点拨】
例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝　　 ．
解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x，
而函数y＝sint的对称轴为
则，解得（k∈Z）
则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为
故答案为．
这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x看成一个整体，最后根据公式把单调性求出来即可．
15．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间上单调递增，直线和为函数f（x）的两条对称轴，则（　　）
A． B． C． D．
16．已知在函数的图象上，相邻两条对称轴之间的距离为．若函数的图象关于y轴对称，那么函数y＝f（x）的图象（　　）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
17．已知函数f（x）＝sinxcos2x+1，若，则f（﹣α）＝（　　）
A．0 B． C．1 D．
▉题型6 余弦函数的图象
【知识点的认识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最　值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
18．不等式在[﹣π，π]上的解集为（　　）
A． B．
C． D．
19．已知直线是函数（其中ω＞0）的图象的一条对称轴，且函数f（x）在区间上单调，则ω的值为（　　）
A． B． C．2 D．
20．若函数，（ω＞0，|φ|＜π）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则φ＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 余弦函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
21．已知函数，若f（x）在区间[0，π）内有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．已知函数f（x）＝acosx+b的最大值为1，最小值为﹣3，则函数g（x）＝absinx+3的最大值为（　　）
A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1
23．函数的值域为（　　）
A． B． C． D．
24．已知，t是函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的两个零点，的最小值为，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在上的值域．
▉题型8 余弦函数的单调性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
25．若函数在区间上单调递减，则ω的取值范围为（　　）
A． B．（0，1] C． D．（0，2]
26．若函数在上单调递增，则ω的取值范围为　　 ．
27．函数y＝cosx在区间[﹣π，a]上单调递增，则实数a的取值范围是 　 ．
▉题型9 余弦函数的对称性
【知识点的认识】
余弦函数的对称性
余弦函数y＝cosx是定义域为R的偶函数，也是周期函数，其对称轴为x＝kπ，k∈z．可以看出余弦函数在对称轴上的值为最值，也可以看做是y轴平移kπ个单位后依然还是对称轴．
【解题方法点拨】
例：（中，三角函数的对称性）若函数（ω＞0）的图象相邻两条对称轴间距离为，则ω等于
解：因为y＝cosx的图象相邻两条对称轴距离为π，要使的图象相邻两条对称轴的距离为，则其周期缩小为原来的一半，所以ω＝2．
这里面应用了余弦函数的对称轴之间的间隔为半个周期的性质，从而转化为求周期的问题．
28．已知函数，则“函数f（x）的图象关于原点对称”是a6k（k∈Z）”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
29．设函数，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的图象关于点对称
C．是偶函数
D．f（x）在区间上单调递增
（多选）30．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）
A．
B．
C．函数是奇函数
D．f（x）图象的对称中心为点
（多选）31．下列说法正确的是（　　）
A．使有意义的实数x的取值范围为[﹣4，1）
B．由幂函数f（x）＝（m2﹣3）xm的定义域是R，可知m＝±2
C．若函数f（x）＝cos（2x+φ）的图像关于原点对称，则φ的一个可能取值为2023π
D．若a＝cos64°cos19°+sin64°sin19°，则
▉题型10 五点法作函数y＝Asin（ωx+φ）的图象
【知识点的认识】
1．五点法作y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的简图
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点．其步骤为：
（1）先确定周期T，在一个周期内作出图象；
（2）令X＝ωx+φ，令X分别取0，，π，，2π，求出对应的x值，列表如下：
x
ωx+φ 0 π 2π
y＝Asin（ωx+φ） 0 A 0 ﹣A 0
由此可得五个关键点；
（3）描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到y＝Asin（ωx+φ）的简图．
2．振幅、周期、相位、初相
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈（﹣∞，+∞）表示一个振动量时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做初相．
函数y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝Atan （ωx+φ）的最小正周期为．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
32．函数的一个对称中心是．
（1）求函数f（x）的最值及x为何值时取到；
（2）用“五点法”画出函数f（x）在[0，π]上的简图．
33．，x∈[﹣1，7]．
（1）运用“五点作图法”，列表—描点—连线，做出，x∈[﹣1，7]的图像．
（2）写出函数的振幅，最小正周期，初相．
x
y
34．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π，x∈R）为奇函数，且相邻两个对称轴之间的距离．
（1）求f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）若x∈[0，m]时，方程f（x）恰有2个解，求实数m的取值范围．
（3）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向上平移一个单位，得到函数g（x）的图象，用“五点法”画出g（x）在[0，2π]上的图象．

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