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第1章第5节 函数y＝Asin（ωx+φ）的性质与图
题型1 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 题型2 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
题型3 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
▉题型1 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
1．把函数y＝sin（2x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得函数y＝g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）
A．g（x）＝sin（4x） B．g（x）＝sin（4x）
C．g（x）＝sin（4x） D．g（x）＝sin（4x）
2．将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位后得到函数y＝cos2x的图象，则φ可以是（　　）
A． B． C． D．π
3．为了得到函数的图象，只需将函数y＝cos3x的图象（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
4．若函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度后得到函数y＝sin2x的图象，则a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．将函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0）图象向右平移个单位得到奇函数，则φ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f（x）＝（　　）
A． B．
C． D．
7．将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（π，2π）上没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．
C． D．
8．将正弦曲线y＝sinx向左平移个单位得到曲线C1，再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线C2，最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C3．若曲线C3恰好是函数f（x）的图象，则f（x）在区间上的值域是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，2] C．[1，2] D．[﹣2，2]
（多选）9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f′（x）＝g（x）
B．若，则
C．将f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到g（x）的图象
D．将f（x）的图象关于y轴对称，可得到g（x）的图象
（多选）10．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在区间上单调递增
D．将f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象
▉题型2 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
11．已知函数f（x）＝sinπx的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）中的函数图象所对应的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．y＝f（2x﹣1）
12．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
13．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（﹣5）＝（　　）
A．1 B． C． D．2
14．已知函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象如图所示，则ω φ＝（　　）
A． B． C． D．
（多选）15．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
16．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最小值为 　　 ．
17．函数的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调区间；
（3）已知α∈（0，π），，求cosα．
▉题型3 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【知识点的认识】
函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相．
18．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝4sin（100πt），y2＝4cos（100πt），则这两个声波合成后即y＝y1+y2的振幅为（　　）
A． B．8 C．4 D．
19．简谐运动可用函数，x∈[0，+∞）表示，则这个简谐运动的初相为（　　）
A． B． C． D．8x
20．已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动初相φ为 　　 ．第1章第5节 函数y＝Asin（ωx+φ）的性质与图
题型1 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 题型2 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
题型3 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
▉题型1 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换
【知识点的认识】
函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤
两种变换的差异
先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．
【解题方法点拨】
1．一个技巧
列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标．
2．两个区别
（1）振幅A与函数y＝Asin （ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A．
（2）由y＝sin x变换到y＝Asin （ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sin x的图象变换到y＝Asin （ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
3．三点提醒
（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；
（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（3）由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．
1．把函数y＝sin（2x）的图象沿x轴向右平移个单位，再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得函数y＝g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）
A．g（x）＝sin（4x） B．g（x）＝sin（4x）
C．g（x）＝sin（4x） D．g（x）＝sin（4x）
【答案】C
【解答】解：把函数y＝sin（2x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到y＝sin[2（x）]＝sin（2x）的图象，
再把所得图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得函数y＝g（x）＝sin（4x）的图象．
故选：C．
2．将函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位后得到函数y＝cos2x的图象，则φ可以是（　　）
A． B． C． D．π
【答案】A
【解答】解：函数y＝sin2x的图象向左平移φ个单位后得到函数y＝sin（2x+2φ）的图象，即函数y＝cos2x的图象，
故22kπ（k∈Z），当k＝0时，解得．
故选：A．
3．为了得到函数的图象，只需将函数y＝cos3x的图象（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【答案】C
【解答】解：∵，
∴将函数y＝cos3x的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象．
故选：C．
4．若函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度后得到函数y＝sin2x的图象，则a的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
可得，
解得，
又a＞0，
令k＝0，可得a的最小值为．
故选：B．
5．将函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0）图象向右平移个单位得到奇函数，则φ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：将函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ＞0）图象向右平移个单位，
可得，
∵g（x）为奇函数，
∴，
∴，
∵φ＞0，∴．
故选：B．
6．把函数y＝f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f（x）＝（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：为得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位，得到y＝sin（x）的图象，
再将函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，即得到f（x）＝sin（2x）的图象即可；
故选：D．
7．将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）的图象．若g（x）在（π，2π）上没有零点，则ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：将函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得y＝sinωx，
再把所得图象的所有点向左平移个单位长度，得到函数g（x）＝sin（），的图象，
若g（x）在（π，2π）上没有零点，则，
所以0＜ω≤1，
因为0＜x＜π，所以，
当g（x）在（π，2π）上没有零点时，或，
解得或，
故ω的范围为{ω|或}．
故选：D．
8．将正弦曲线y＝sinx向左平移个单位得到曲线C1，再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线C2，最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C3．若曲线C3恰好是函数f（x）的图象，则f（x）在区间上的值域是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣1，2] C．[1，2] D．[﹣2，2]
【答案】B
【解答】解：将正弦曲线y＝sinx向左平移个单位得到曲线C1：y＝sin（x）的图象；
再将曲线C1上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线C2：y＝sin（2x）的图象；
最后将曲线C2上的每个点的纵坐标变为原来的2倍得到曲线的C3：y＝2sin（2x）的图象．
由于曲线C3恰好是函数f（x）＝2sin（2x）的图象．
在区间上，2x∈[，]，sin（2x）∈[，1]，2sin（2x）∈[﹣1，2]．
故f（x）在区间上的值域是[﹣1，2]．
故选：B．
（多选）9．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．f′（x）＝g（x）
B．若，则
C．将f（x）的图象向右平移个单位长度，可得到g（x）的图象
D．将f（x）的图象关于y轴对称，可得到g（x）的图象
【答案】ABD
【解答】解：函数，
对于A，，故A正确；
对于B，，
则，
得，故，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：ABD．
（多选）10．已知函数，则（　　）
A．f（x）的最小正周期为π
B．f（x）的图象关于点对称
C．f（x）在区间上单调递增
D．将f（x）的图象向右平移个单位长度后，得到函数g（x）＝sin2x的图象
【答案】ABD
【解答】解：f（x）的最小正周期T＝π，A正确；
令得，当k＝0时，为，B正确；
当f（x）单调递增时，满足，
解得，当k＝0时，得f（x）一个单调递增区间为，
所以f（x）在区间上不单调，C错误；
将f（x）右移得，D正确，
故选：ABD．
▉题型2 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的认识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
11．已知函数f（x）＝sinπx的图象的一部分如图（1）所示，则图（2）中的函数图象所对应的函数解析式是（　　）
A． B．
C． D．y＝f（2x﹣1）
【答案】D
【解答】解：图1的横坐标先缩短为原来的，再向右平移个单位长度，纵坐标均不改变，可得到图2对应的图象，
所以图2对应的函数解析式为y＝f（2x﹣1）．
故选：D．
12．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：由图象得，T＝2×[（）]＝π．所以ω2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
由图象知，函数f（x）的图象过点（，0），
所以f（）＝2sin（2φ）＝0，即sin（2φ）＝0，
所以2φ＝π+2kπ，k∈Z，解得φ2kπ，k∈Z，
因为0＜φ＜π，所以φ．
所以，
所以，
故选：B．
13．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（﹣5）＝（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解答】解：由函数f（x）的部分图象知，A＝2，T＝2×（6﹣2）＝8，
所以ω，所以f（x）＝2sin（x+φ），
又f（2）＝2sin（φ）＝2，则φ＝2kπ，k∈Z，
所以f（x）＝2sin（2kπ）＝2sin（x），
则f（﹣5）＝2sin（）＝﹣2sin2×（）．
故选：B．
14．已知函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象如图所示，则ω φ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，当x＝0时，y＝2sinφ＝﹣1，
即sinφ，结合，可得．
函数的周期T满足，可得，解得，
由，解得，所以．
因为函数图象经过点，
所以，解得，即，
结合，取k＝0，得ω＝3，所以．
故选：A．
（多选）15．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|）的部分图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】ABD
【解答】解：由函数f（x）的图象可得A＝2，T，解得T＝π，所以ω2，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），
又f（）＝2sin（2φ）＝2，即sin（φ）＝1，
所以φ2kπ，k∈Z，又|φ|，所以φ，所以f（x）＝2sin（2x）．
对于A，当x时，f（x）＝2sin（）＝0，选项A正确；
对于B，当x时，f（x）＝2sin（）＝﹣2为最小值，
所以f（x）的图像关于直线x对称，选项B正确；
对于C，将函数y＝2sin（2x）的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin[2（x）]＝2sin（2x）的图像，选项C错误；
对于D，x∈[，0]时，2x∈[，]，
则当2x∈[，]，即x∈[，]时，f（x）单调递减；
当2x∈[，]，即x∈[，0]时，f（x）单调递增，
因为2sin（），2sin（）＝﹣2，2sin（）＝﹣2，2sin，
所以方程f（x）＝m在[，0]上有两个不相等的实数根时，
m的取值范围是（﹣2，]，选项D正确．
故选：ABD．
16．如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此图象可知，这段时间水深（单位：m）的最小值为 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：根据函数y＝4sin（x+φ）+k的图象知，这段时间水深最大值为4+k＝10，
解得k＝6，所以这段时间水深的最小值为﹣4+6＝2．
故答案为：2．
17．函数的部分图象如图所示：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调区间；
（3）已知α∈（0，π），，求cosα．
【答案】（1）．
（2）函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）．
【解答】解：（1）由图知：，
所以，
又函数图象经过点，
所以，
则，
故．
（2）由图知：函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）已知α∈（0，π），，
则，
所以，
所以，
所以．
▉题型3 y＝Asin（ωx+φ）中参数的物理意义
【知识点的认识】
函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的物理意义
当函数y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，x∈[0，+∞））表示一个简谐振动时，则A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，ωx+φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相．
18．在自然界中，存在着大量的周期函数，比如声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y1＝4sin（100πt），y2＝4cos（100πt），则这两个声波合成后即y＝y1+y2的振幅为（　　）
A． B．8 C．4 D．
【答案】D
【解答】解：由y1＝4sin（100πt），y2＝4cos（100πt），
所以y＝y1+y2
＝4sin（100πt）+4cos（100πt）
＝4[sin（100πt）coscos（100πt）sin]
＝4sin（100πt），
所以振幅为4．
故选：D．
19．简谐运动可用函数，x∈[0，+∞）表示，则这个简谐运动的初相为（　　）
A． B． C． D．8x
【答案】B
【解答】解：简谐运动可用函数，x∈[0，+∞）表示，
当x＝0时，8×0，则这个简谐运动的初相为．
故选：B．
20．已知简谐运动的图象经过点（0，1），则该简谐运动初相φ为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为f（x）的图象经过点（0，1），所以2sinφ＝1，解得sinφ；
又因为|φ|，所以φ，即该简谐运动的初相为．
故答案为：．

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