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第1章第7节 正切函数
题型1 诱导公式 题型2 运用诱导公式化简求值
题型3 正切函数的定义域和值域 题型4 正切函数的单调性和周期性
题型5 正切函数的奇偶性与对称性
▉题型1 诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【解题方法点拨】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα．
公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα．
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
1．已知，则cos（30°﹣α）的值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知cos（π﹣α），则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知α、β均为第二象限角，且，．
（1）求cosα的值；
（2）求tan（α+β）的值．
▉题型2 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
5．（　　）
A． B． C． D．
6．cos480°的值为　　 ．
7．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若θ是第三象限角，且，求的值．
8．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2）．
（1）求sinα和tanα的值；
（2）若，化简并求值．
9．已知点P（﹣12，5）为角θ终边上一点．
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）求的值．
▉题型3 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
【解题方法点拨】
例：函数的值域为 　{﹣2，0，2}　 ．
解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，
当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，
当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，
可知函数的值域是{﹣2，0，2}，
故答案为：{﹣2，0，2}．
10．函数y＝tan（x）的定义域是（　　）
A．{x|x} B．{x|x}
C．{x|x≠kπ，k∈Z} D．{x|xkπ，k∈Z}
11．函数的定义域为 　　 ．
12．函数的定义域是 　　 ．
13．设函数．
（1）求函数f（x）的定义域、周期和单调区间；
（2）求不等式的解集．
▉题型4 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
14．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若f（x）的最小正周期是2π，则ω＝2
B．当ω＝1时，f（x）的对称中心为
C．当ω＝2时，
D．若f（x）在区间上单调递增，则
（多选）15．已知函数f（x）＝tan（cosx），则（　　）
A．f（x）为偶函数
B．π为f（x）的一个周期
C．f（x）的最大值为tan1
D．f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）
（多选）16．已知函数在上单调递增，则m可能的取值为（　　）
A． B． C． D．
17．函数的单调递增区间为 　　 ．
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间．
▉题型5 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
19．“函数的图象关于点对称”是“φkπ，k∈Z”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
20．“x0＝π”是“函数y＝tanx的一个对称中心是（x0，0）”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
21．函数的图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
22．函数f（x）＝3tan（4x）的对称中心为　　 ．第1章第7节 正切函数
题型1 诱导公式 题型2 运用诱导公式化简求值
题型3 正切函数的定义域和值域 题型4 正切函数的单调性和周期性
题型5 正切函数的奇偶性与对称性
▉题型1 诱导公式
【知识点的认识】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
公式
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx；sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【解题方法点拨】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα．
公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα．
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
1．已知，则cos（30°﹣α）的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
2．已知cos（π﹣α），则sin（α）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵cos（π﹣α），
∴cosα，
∴sin（α）＝cosα．
故选：B．
3．已知，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设θα，则cosθ，αθ，
则sin（θ）＝sin（π﹣θ）＝sinθ，
∵，∴θ∈（，），
则sinθ，
故选：C．
4．已知α、β均为第二象限角，且，．
（1）求cosα的值；
（2）求tan（α+β）的值．
【答案】（1）；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）由诱导公式可知，
所以；
（2）由第一问可知，同理，
所以．
▉题型2 运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
5．（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵sinsin（π）＝﹣sin．
故选：A．
6．cos480°的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：∵cos480°＝cos（360°+120°）＝c0s120°．
∴cos480°的值为．
故答案为：．
7．已知．
（1）化简f（α）；
（2）若θ是第三象限角，且，求的值．
【答案】（1）f（α）＝﹣cosα；
（2）．
【解答】解：（1）．
（2）因为f（α）＝﹣cosα，，所以，
又因为θ是第三象限角，所以为第三象限角，
所以，
故．
8．平面直角坐标系中，若角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（﹣1，2）．
（1）求sinα和tanα的值；
（2）若，化简并求值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，由三角函数的定义得，tanα＝﹣2；
（2）∵，
∴．
9．已知点P（﹣12，5）为角θ终边上一点．
（1）求sinθ，cosθ的值；
（2）求的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解答】解：（1）由题意得r＝|OP|13，
所以，．
（2）根据诱导公式可得sin（θ）＝cosθ，
sin（﹣π﹣θ）＝﹣sin（π+θ）＝﹣（﹣sinθ）＝sinθ，cos（﹣θ）＝cosθ，
所以．
▉题型3 正切函数的定义域和值域
【知识点的认识】
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
正切函数的值域
正切函数的值域可以从他的表达式来求，是正弦函数也余弦函数的比值，所以它的值域为R．
【解题方法点拨】
例：函数的值域为 　{﹣2，0，2}　 ．
解：当角是第一象限中的角时，y＝1+1＝2，
当角是第二象限的角时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，
当角是第三象限的角时，y＝﹣1+1＝0，
当角是第四象限的角时，y＝1﹣1＝0，
可知函数的值域是{﹣2，0，2}，
故答案为：{﹣2，0，2}．
10．函数y＝tan（x）的定义域是（　　）
A．{x|x} B．{x|x}
C．{x|x≠kπ，k∈Z} D．{x|xkπ，k∈Z}
【答案】D
【解答】解：函数y＝tan（x）＝﹣tan（x），
令xkπ，k∈Z，
解得xkπ，k∈Z，
∴函数y的定义域是{x|xkπ，k∈Z}．
故选：D．
11．函数的定义域为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：对于函数，
由，即，
所以函数的定义域为．
故答案为：．
12．函数的定义域是 　{x|x}　 ．
【答案】{x|x}．
【解答】解：令x，
解得x，
所以函数y＝3tan（x）的定义域为{x|x}，
故答案为：{x|x}．
13．设函数．
（1）求函数f（x）的定义域、周期和单调区间；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）f（x）的定义域是，2π；
单调增区间是（k∈Z）；
（2）解集是．
【解答】解：（1）由，
得（k∈Z），
∴f（x）的定义域是，
∵，∴最小正周期，
由（k∈Z），得（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调增区间是（k∈Z）．
综上，所以函数f（x）定义域是，最小正周期2π，
单调增区间是（k∈Z）．
（2）由，得（k∈Z）．
解得（k∈Z）．
∴不等式的解集是．
▉题型4 正切函数的单调性和周期性
【知识点的认识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
正切函数的周期性
正切函数y＝tanx的最小正周期为π，即tan（kπ+x）＝tanx．
14．已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．若f（x）的最小正周期是2π，则ω＝2
B．当ω＝1时，f（x）的对称中心为
C．当ω＝2时，
D．若f（x）在区间上单调递增，则
【答案】D
【解答】解：对于A选项：函数，由于f（x）的最小正周期是，所以，故A错误；
对于B选项：当ω＝1时，令，则，所以f（x）的对称中心为，故B错误；
对于C选项；ω＝2时，，
，
，y＝tanx在上单调递增，所以，即，故C错误；
对于D选项：若f（x）在区间上单调递增，则，又因为ω＞0，所以，故D正确．
故选：D．
（多选）15．已知函数f（x）＝tan（cosx），则（　　）
A．f（x）为偶函数
B．π为f（x）的一个周期
C．f（x）的最大值为tan1
D．f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）
【答案】ACD
【解答】解：对于A，f（x）＝tan（cosx）的定义域为R，∵f（﹣x）＝tan[cos（﹣x）]＝tan（cosx）＝f（x），∴f（x）为偶函数，选项A正确；
对于B，∵f（π+x）＝tan[cos（π+x）]＝tan（﹣cosx）＝﹣tan（cosx）＝﹣f（x），∴π不是f（x）的一个周期，选项B错误；
对于C，∵﹣1≤cosx≤1，函数y＝tanx在[﹣1，1]上单调递增，∴f（x）的最大值为tan1，选项C正确；
对于D，∵函数y＝cosx在[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）上单调递增，且函数y＝tanx在[﹣1，1]上单调递增，
∴f（x）的单调递增区间为[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z），选项D正确．
故选：ACD．
（多选）16．已知函数在上单调递增，则m可能的取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解答】解：令，解得，
故的单调递增区间为，
令k＝1得，一个单调递增区间为，
要想函数在上单调递增，
故，所以满足要求，不合要求．
故选：ABC．
17．函数的单调递增区间为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：对于函数，由，
可得，
所以，函数f（x）的单调递增区间为．
故答案为：．
18．已知函数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的单调区间．
【答案】（1）；
（2）递增区间为，无递减区间．
【解答】解：（1）由题意函数，
令，
可得，
可得f（x）的定义域为；
（2）令，
解得：，
可得f（x）的递增区间为，无递减区间．
▉题型5 正切函数的奇偶性与对称性
【知识点的认识】
三角函数的奇偶性、周期性和对称性
1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．
2．求三角函数的周期主要有三种方法：（1）周期定义；（2）利用正（余）弦型函数周期公式；（3）借助函数的图象．
19．“函数的图象关于点对称”是“φkπ，k∈Z”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：函数的图象关于点对称，则φ，k∈Z，
可得φ，k∈Z，
所以{φ|φkπ，k∈Z} {φ|φ，k∈Z}，
所以“函数的图象关于点对称”是“φkπ，k∈Z”的必要不充分条件．
故选：B．
20．“x0＝π”是“函数y＝tanx的一个对称中心是（x0，0）”的（　　）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，当x0＝π时，此时tanx0＝0，y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称，
当函数y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称时，，此时x0不一定为π，
所以“x0＝π”是“函数y＝tanx的图像关于（x0，0）中心对称”的充分不必要条件．
故选：A．
21．函数的图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，，
令3x，解可得x，k∈Z，
即函数的图象的对称中心为（，0），k∈Z，
分析选项：B符合．
故选：B．
22．函数f（x）＝3tan（4x）的对称中心为　（，0）（k∈Z）　 ．
【答案】（，0）（k∈Z）．
【解答】解：f（x）＝3tan（4x），
令，
解得，
所以的对称中心为（，0）（k∈Z）．
故答案为：（，0）（k∈Z）．

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