资源简介

第1章第8节 三角函数的简单应用
题型1 三角函数应用
▉题型1 三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
1．受潮汐影响，某港口一天的水深f（t）（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：
时刻t 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00
水深f（t） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）来表示，则下列结论正确的是（　　）
A．B＝3
B．
C．13：00时的水深约为6.25m
D．一天中水深低于3.75m的时间为4小时
【答案】C
【解答】解：根据题目：若该天从0：00～24：00，
f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|），
由数据知f（t）max＝A+B＝7.5，f（t）min＝﹣A+B＝2.5，所以A＝2.5，B＝5，A错误；
，故B错误；
由f（3）＝7.5，
得，故C正确；
由f（t）＜3.75，得，或19＜t＜23，故水深低于3.75的时间为8小时，故D错误．
故选：C．
2．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（　　）
A．s B．s C．1s D．s
【答案】D
【解答】解：∵（t1+t2）＝1，
（t2+t3）＝3，
∴函数y＝sin（ωt+φ）的周期为T＝2×（3﹣1）＝4，
∵y＝sinx在周期[0，2π）内时，
y＞0.5的区间为（，），
区间长度是周期的，
∴在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为4s，
故选：D．
3．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．60cm
【答案】D
【解答】解：如图设EF＝10cm，FG＝20cm，
令∠AEF＝α，则AF＝10sinα，，∠BFG＝α，BF＝20cosα，BG＝20sinα，，
则∠CGM＝α，CG＝10cosα，
∴周长＝2AB+2BC＝2（10sinα+20cosα）+2（20sinα+10cosα）
，当时取等号，
即矩形框架周长的最大值为60cm．
故选：D．
（多选）4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．若规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与t的关系为．下列说法正确的是（　　）
A．
B．点P第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点P在水中的时间是
D．若h（t）在[0，a]上的值域为[0，3.6]，则a的取值范围是
【答案】ACD
【解答】解：由题：h与t的关系为．
对于A，因为筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，
所以点P距离水面的高度h的最值为，所以，
因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，
因为h（t）＝2.4sinφ+1.2＝0，所以，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由已知得，OP0与x轴正方向的夹角为，
所以点P第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B错误；
对于C，在转动的一个周期内，点P在水中转动，则需要的时间是，故C正确；
对于D，若在[0，a]上的值域为[0，3.6]，
则在[0，a]上的值域为，因为t∈[0，a]，所以，
所以，则，故D正确．
故选：ACD．
（多选）5．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为H（t）（单位：m），下述结论正确的是（　　）
A．
B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m
C．在运行一周的过程中，H（t）＞90的时间超过10min
D．游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等
【答案】ACD
【解答】解：由题意可得H（t）是关于t的三角函数，
以摩天轮轴心为原点，以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，
设摩天轮距地面最近点为P，
根据题意：已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，
开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min，
游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为H（t），
则当t＝0时，游客甲位于P（0，﹣55），以OP为终边的角为，
而转一圈需要大约30min，可知角速度大约为，
由题意可得：，即A正确；
当t＝10时，，即B错误；
由，
由正弦函数的性质可得：，
则有，
即高度超过90+2.5米时时间长20﹣10＝10min，显然高度达到或超过90米的时间超过10min，故C正确；
甲乙所在位置分别设为A、B两点，甲乙座舱差5个，则，
故t分钟后甲乙的高度分别为：，，
由，可得：，
即，可得：，
即，解得，当时，符合题意，正确．
故选：ACD．
（多选）6．记max{a，b}表示a，b中的较大者，若函数f（x）＝emax{sinx，cosx}，则（　　）
A．f（x）是周期函数
B．是函数f（x）的图象的对称轴
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递减
【答案】ABD
【解答】解：对于A，f（x）是周期函数，令g（x）＝max{sinx，cosx}，因为y＝sinx，y＝cosx都是最小正周期为2π的函数，所以g（x）是最小正周期为2π的函数，因此f（x）是周期函数，故A正确；
对于B，是函数f（x）的图象的对称轴，作出g（x）＝max{sinx，cosx}的部分图象如图（实线）所示，
由图可知，结合周期性得，曲线y＝g（x）关于直线对称，
则是函数g（x）的图象的对称轴，再结合A项，可得是函数f（x）的图象的对称轴，故B正确；
对于C，由图象可知，g（x）的值域为，所以f（x）的值域为，故C错误；
对于D，f（x）在上单调递减，由图象可知，g（x）在上单调递减，
根据复合函数的单调性可知，f（x）在上单调递减，D正确．
故选：ABD．
（多选）7．如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮．以摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度h（t）（单位：米）的函数关系式为，A＞0，|θ|＜π，且开始转动5分钟后，座舱P距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱P距离地面的高度为92.5米，则（　　）
A．
B．该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C．A＝55
D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米
【答案】BCD
【解答】解：由题意知，函数中，h（0）＝﹣A+h＝Asinθ+h，所以sinθ＝﹣1，因为|θ|＜π，所以θ，选项A不正确；
h（t）的最小正周期为T30，所以该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟，选项B正确；
由h（t）＝Asin（t）+h＝﹣Acos（t）+h，所以h（5）＝﹣AcoshA+h＝37.5，
h（10）＝﹣AcoshA+h＝92.5，解得A＝55，h＝65，选项C正确；
又A+h＝120，所以该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米，选项D正确．
故选：BCD．
（多选）8．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（　　）
A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m
B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒
D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
【答案】ABC
【解答】解：以O为坐标原点，平行于水面为x轴，垂直于水面为y轴建立平面直角坐标系，
如图，则OC＝2m，则sin∠AOx＝sin，故，
筒车按逆时针方向每分钟转2圈，故筒车转1圈的时间为30秒，即，解得．
因为，故当t＝10 秒时，筒车第一次到达最高点，
此时d＝2+4＝6，故B正确；同理可得，当t＝25秒时，筒车第一次到达最低点，
此时d＝﹣2，设，则，解得，
故，又当t＝0 时，d＝0，
故4sinφ+2＝0，解得，取，故，
A选项，当t＝5时，，即当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m，A正确；
C选项，令，当 时，盛水桶第二次距离水面4m，解得 t＝15，
故盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒，C正确；
D选项，令，解得，
20≤t≤30，故盛水桶入水后至少需要10秒才可浮出水面，D错误．
故选：ABC．
（多选）9．水车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图是水车示意图，其半径为3m，中心O距水面2m，一盛水斗从点处出发，逆时针匀速旋转，60s转动一周．假设经t秒后，该盛水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h，则下列说法正确的是（　　）
A．高度h表示为时间t的函数为：
B．高度h表示为时间t的函数为：
C．当t＝50s时，该盛水斗在水面下1m处
D．该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为20s
【答案】ACD
【解答】解：设高度h表示为时间t的函数为：
，
由题意可得，所以，hmax＝5，hmin＝﹣1，
所以A+B＝5，﹣A+B＝﹣1，所以A＝3，B＝2，
则，
当t＝0时，则，所以，
则或，
又，所以，
所以，故A正确，B错误；
当t＝50s时，，
所以当t＝50s时，该盛水斗在水面下1m处，故C正确；
令，
则，所以，
则t＝20+60k，k∈Z，
所以该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为20s，故D正确．
故选：ACD．
10．如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2h后，船到达B处，观测个灯塔C在北偏东15°方向，此时船与灯塔C的距离为　40　 km．
【答案】40．
【解答】解：由题意知，△ABC中，AB＝20×2＝40，∠C＝180°﹣45°﹣15°﹣90°＝30°，
由正弦定理得，，
解得BC40（km），
即船与灯塔C的距离为40km．
故答案为：．
11．已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，t∈[0，24），且这天的最大温差为8℃，则A＝ 　4　 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 　6　 h．
【答案】4；6
【解答】解：对于函数，其最小正周期，最大值为A+28，最小值为﹣A+28，
因为这天的最大温差为8℃，
所以（A+28）﹣（﹣A+28）＝2A＝8，解得A＝4；
令f（t）≥30，则，即，
因为t∈[0，24），所以∈[，），
所以或，解得，
所以一天中需要降温的时长为：小时．
故答案为：4；6．
12．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），则曼哈顿距离为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；余弦相似度为：；余弦距离为1﹣cos（A，B）．若，则A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离和为 　　 ；已知M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，﹣cosβ），若，则tanαtanβ的值为 　﹣3　 ．
【答案】；﹣3．
【解答】解：，
，
故余弦距离等于，
即A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离和为；
，
，
故，，则．
故答案为：；﹣3．
13．伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑．钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系式为h（t）＝Acos（ωt+θ）+b（A＞0，ω＞0，0≤θ＜2π，0≤t≤60），则函数h（t）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：h（t）＝Acos（ωt+θ）+b（A＞0，ω＞0，0≤0＜2π，0≤t≤60），
由题意可得A＝3.5，b＝63.，
可得，
当t＝0时，h＝67，
可得h（0）＝67，即3.5cosθ+63.5＝67，
又0≤θ＜2π，
所以θ＝0，
所以函数的解析式为．
故答案为：．
14．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）当t∈[35，55]时，求点P到x轴的距离的最大值；
（3）当t＝20时，求|PA|的大小．
【答案】（1）；
（2）6；
（3）．
【解答】解：（1）由题意，，
T＝60，所以ω，
将点代入，
得﹣3＝6sinφ，
又因为，
所以φ．
所以y＝f（t）；
（2）f（t），
当t∈[35，55]时，，
所以sin（t）∈[﹣1，0]，
所以|f（t）|∈[0，1]，
所以点P到x轴的距离的最大值为6；
（3）当t＝20时，，P的纵坐标为6，
即P（0，6），，
|PA|．
15．如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP＝α，
（1）请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；
（2）若．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记（其中x，y∈R），求x+2y的取值范围．
【答案】（1）；
（2）①，；②x+2y∈（1，2）．
【解答】解：（1）过点P作OA的垂线，垂足为D，
在Rt△PDO中，|PD|＝sinα，|OD|＝cosα，
在Rt△PDC中，|PD|＝|CD|tanθ，
则，
所以，
所以；
（2）①若，由题意可得，
所以平行四边形OCPQ的面积
，
由于，
故当时，即时，S（α）取得最大值为；
②根据题意，建立如图所示的坐标系，
则，即，
又∠POC＝α，
则，
因，即，
则，，
解得：，，
所以，
由点P是弧上一动点，则，
则，
所以，即x+2y∈（1，2），
所以x+2y的取值范围为（1，2）．
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点P从水面浮现时（图中点P0位置）开始计时，记点P距离水面的高度h（m）关于时间t（s）的函数解析式为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，）．（在水面下则h为负数）
（1）求点P距离水面高度h（m）关于时间t（s）的函数解析式；
（2）若水面下降，在水轮转动的一周内，求点P在水面下方的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题：记点P距离水面的高度h（m）关于时间t（s）的函数解析式为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，）．
已知水轮半径为4米，水轮圆心O距离水面2米．根据h（t）＝Asin（ωt+φ）+B的性质，A为振幅，B为平衡位置的值．则A＝4，B＝2．
因为水轮每12s转动1圈，根据周期T的定义，T＝12s．又因为，
所以，此时函数为．
当t＝0时，点P从水面浮现，即h（0）＝0．将t＝0，h（0）＝0代入中，得到0＝4sinφ+2．
化简可得，又因为，所以．
综上，．
（2）若水面下降，则新的水面高度为，
如下图所示，则，
此时三角形OAB是等边三角形，所以，
所以点P在水面下方的时间为．
17．摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色．某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，y＝Asin（ωt+φ）+m（A＞0，ω＞0，|φ|，0≤t≤48），求y关于t的函数解析式；
（2）在（1）条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离；
（3）游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间x，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差h最大时运行时间x的值．
（参考公式：sinθ﹣sinφ＝2cos；sinθ+sinφ＝2sin）
【答案】（1）；
（2）30米；
（3）x＝10或x＝34．
【解答】解：（1）因为摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，
所以ymax＝90，ymin＝10，且当t＝0时，y＝10，
又转一周需要48分钟，所以周期T＝48，
所以，其中A＞0，ω＞0，，
所以A＝40，m＝50，，，
所以．
（2）由（1）知，，
当t＝8时，，
所以游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离为30米．
（3）设甲、乙都坐进座舱，并记两人位置为点A，B，则，
结合（1），当乙运行x（0≤x≤48）分钟后，乙离地面距离，
甲离地面距离，
结合题目所给提示公式：sinθ﹣sinφ＝2cos；sinθ+sinφ＝2sin，
所以甲、乙两人距离地面高度差
，
当0≤x≤48时，，
所以当或，
即x＝10或x＝34时，取得最大值1，
所以从乙坐进座舱开始计时运行时间x，至乙运行一周结束计时，在这过程中，甲、乙两人距离地面高度差h最大时运行时间x的值为10或34．
18．设函数f（x）＝﹣cos2x+asinx+a+3（a∈R）．
（1）求函数f（x）在R上的最小值；
（2）若不等式f（x）＜0在上恒成立，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）＝1在（0，π）上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
【答案】（1）．
（2）（﹣∞，﹣2）．
（3）．
【解答】解：（1）设sinx＝t，则t∈[﹣1，1]，
所以函数．
①当，即﹣2≤a≤2时，．
②当，即a＜﹣2时，f（x）min＝g（1）＝2a+3．
③当，即a＞2时，f（x）min＝g（﹣1）＝3．
综上可知，；
（2）令sinx＝t，由题意可知当时，f（x）max＜0，而f（x）＝g（t）＝t2+at+a+2，t∈[0，1]的图象是开口向上的抛物线的一部分，
最大值一定在端点处取得，所以有，
解得a＜﹣2，故a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；
（3）令sinx＝t，x∈（0，π）．由题意可知，当0＜t＜1时，
关于x的方程sinx＝t有两个不等实数解，
所以原题可转化为g（t）＝t2+at+a+2＝1，
即t2+at+a+1＝0在（0，1）内有两个不等实数根，
令h（t）＝t2+at+a+1，则有，
解得，
故a的取值范围是．
19．如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）．
（Ⅰ）求劣弧PQ的弧长l（单位：m）；
（Ⅱ）设游客丙从最低点M处进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；
（Ⅲ）若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．
【答案】（Ⅰ）l＝12.5m；
（Ⅱ）H＝50sin（）+60（0≤t≤12）；
（Ⅲ）有min甲乙都有最佳视觉效果．
【解答】解：（Ⅰ）∠POQ，由弧长公式可得，lm；
（Ⅱ）设H＝Asin（ωx+φ）+B，由题意，T＝12，∴ω，
A＝r＝50，B＝OM＝110﹣50＝60，∴H＝50sin（φ）+60，
当x＝0时，可得sinφ＝﹣1，∴φ，得H＝50sin（）+60（0≤x≤12）；
（Ⅲ）H＝50sin（）+60≥85，∴sin（），
令，k∈Z，
∴4+12k≤x≤8+12k，k∈Z，
而甲乙相差min，
又4min，∴有min甲乙都有最佳视觉效果．
20．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α．
（Ⅰ）将矩形ABCD的面积S表示成关于α的函数f（α）的形式；
（Ⅱ）求f（α）的最大值，及此时的角α．
【答案】（Ⅰ）（0≤α）；
（Ⅱ），．
【解答】解：（Ⅰ）依题意，在Rt△OBC中，，
所以AD＝BC＝OCsin∠POC＝sinα，OB＝OCcos∠POC＝cosα，
在Rt△OAD中，，，则OA＝AD，
因此AB＝OB﹣OA＝cosα﹣sinα，
所以S＝AB BC＝sinα （cosα﹣sinα）＝sinαcosα﹣sin2α
（sin2α+cos2α﹣1）sin（2α），
所以面积S表示为角α的函数是f（α）（0≤α）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0≤α时，，
所以当，即时，，
所以当时，．
21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于赤峰摩尔城的摩天轮，该摩天轮其中心O距离地面40.5米，半径为40米．摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t（分钟）的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，）
（1）求摩天轮转动一周的解析式H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到60.5米？
【答案】（1），t≥0；
（2）4分钟．
【解答】解：（1）因为H关于t（分钟）的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B，
根据题意得，A＝40，T＝12，所以，，
由﹣40+B＝0.5，解得B＝40.5，所以，
由H（0）＝40sinφ+40.5＝0.5，解得sinφ＝﹣1，
因为，所以，
所以，t≥0．
（2）由（1）知，
令H（t）＝60.5，得，即，
解得，即t＝4+12k，k∈Z，
当k＝0时，得t＝4，
所以游客甲坐上摩天轮4分钟后，距离地面的高度第一次恰好达到60.5米．
22．近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为S（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．
（1）求S（t）的解析式；
（2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．
【答案】（1）；
（2）秒．
【解答】解：（1）如图，建立平面直角坐标系，
当t＝0时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设为P0，则P0（0，60），
由题意得，，且，
解得，
所以；
（2）令S（t）≥80，则，
即，
所以，解得，
当k＝0时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长为秒．第1章第8节 三角函数的简单应用
题型1 三角函数应用
▉题型1 三角函数应用
【知识点的认识】
1．三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2．解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
1．受潮汐影响，某港口一天的水深f（t）（单位：m）与时刻t的部分记录如下表：
时刻t 0：00 3：00 6：00 9：00 12：00
水深f（t） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
若该天从0：00～24：00，f（t）与t的关系可近似地用函数f（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|）来表示，则下列结论正确的是（　　）
A．B＝3
B．
C．13：00时的水深约为6.25m
D．一天中水深低于3.75m的时间为4小时
2．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y（m）和时间t（s）的函数关系为y＝sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜π），如图2．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t1，t2，t3（0＜t1＜t2＜t3），且t1+t2＝2，t2+t3＝6，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（　　）
A．s B．s C．1s D．s
3．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最大值为（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．60cm
（多选）4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为2.4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为1.2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈．若规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即P0时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy．设盛水筒M从点P0运动到点P时所经过的时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）（在水面下则h为负数），则h与t的关系为．下列说法正确的是（　　）
A．
B．点P第一次到达最高点需要的时间为
C．在转动的一个周期内，点P在水中的时间是
D．若h（t）在[0，a]上的值域为[0，3.6]，则a的取值范围是
（多选）5．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为H（t）（单位：m），下述结论正确的是（　　）
A．
B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m
C．在运行一周的过程中，H（t）＞90的时间超过10min
D．游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等
（多选）6．记max{a，b}表示a，b中的较大者，若函数f（x）＝emax{sinx，cosx}，则（　　）
A．f（x）是周期函数
B．是函数f（x）的图象的对称轴
C．f（x）的值域为
D．f（x）在上单调递减
（多选）7．如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮．以摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的转动时间t（单位：分钟）与座舱P距离地面的高度h（t）（单位：米）的函数关系式为，A＞0，|θ|＜π，且开始转动5分钟后，座舱P距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱P距离地面的高度为92.5米，则（　　）
A．
B．该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C．A＝55
D．该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米
（多选）8．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则（　　）
A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4m
B．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点
C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒
D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面
（多选）9．水车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如图是水车示意图，其半径为3m，中心O距水面2m，一盛水斗从点处出发，逆时针匀速旋转，60s转动一周．假设经t秒后，该盛水斗旋转到点P处，此时水斗距离水面高度为h，则下列说法正确的是（　　）
A．高度h表示为时间t的函数为：
B．高度h表示为时间t的函数为：
C．当t＝50s时，该盛水斗在水面下1m处
D．该盛水斗第一次到达最高点，需要的时间为20s
10．如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2h后，船到达B处，观测个灯塔C在北偏东15°方向，此时船与灯塔C的距离为　　 km．
11．已知某地区某天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，t∈[0，24），且这天的最大温差为8℃，则A＝ 　　 ；若温度不低于30℃需要开空调降温，则这天需要降温的时长为 　　 h．
12．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），则曼哈顿距离为：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|；余弦相似度为：；余弦距离为1﹣cos（A，B）．若，则A，B之间的曼哈顿距离d（A，B）和余弦距离和为 　　 ；已知M（sinα，cosα），N（sinβ，cosβ），Q（sinβ，﹣cosβ），若，则tanαtanβ的值为 　　 ．
13．伊丽莎白塔是联合王国国会大厦威斯敏斯特宫的附属钟塔，是世界上著名的哥特式建筑之一，是伦敦乃至英国的标志性建筑．钟楼上的钟也是世界上第二大的同时朝向四个方向的时钟，其中一个钟盘如图所示，分针尖端到中心的距离为3.5米，尖端最低位置距地面约60米，若分针尖端从最高位置沿顺时针方向绕中心匀速旋转一周，分针尖端与地面的距离h（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系式为h（t）＝Acos（ωt+θ）+b（A＞0，ω＞0，0≤θ＜2π，0≤t≤60），则函数h（t）＝　　 ．
14．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设P的坐标为（x，y），其纵坐标满足y＝f（t）＝Rsin（ωt+φ）（t≥0，ω＞0，|φ|）．
（1）求函数f（t）的解析式；
（2）当t∈[35，55]时，求点P到x轴的距离的最大值；
（3）当t＝20时，求|PA|的大小．
15．如图，已知AOB是半径为1，圆心角为θ的扇形，P是扇形弧上的动点，记∠AOP＝α，
（1）请用θ，α来表示平行四边形OCPQ的面积；
（2）若．
①求平行四边形OCPQ面积的最大值，以及面积最大时角α的值；
②记（其中x，y∈R），求x+2y的取值范围．
16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用．假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），一个半径为4米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2米，且按逆时针方向匀速转动，每12s转动1圈．如果以水轮上点P从水面浮现时（图中点P0位置）开始计时，记点P距离水面的高度h（m）关于时间t（s）的函数解析式为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，）．（在水面下则h为负数）
（1）求点P距离水面高度h（m）关于时间t（s）的函数解析式；
（2）若水面下降，在水轮转动的一周内，求点P在水面下方的时间．
17．摩天轮是一种大型的转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处观赏四周景色．某摩天轮最高点距离地面的高度为90米，转盘直径为80米，设置有24个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要48分钟．
（1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动t分钟后距离地面的高度为y米，在转动一周的过程中，y＝Asin（ωt+φ）+m（A＞0，ω＞0，|φ|，0≤t≤48），求y关于t的函数解析式；
（2）在（1）条件下，求游客甲在开始转动8分钟后距离地面距离；
（3）游客甲、乙两人先后坐进座舱，甲先坐进去，并且乙与甲中间恰好间隔一个座舱，从乙坐进座舱开始计时运行时间x，至乙运行一周结束计时，在这过程中，求甲、乙两人距离地面高度差h最大时运行时间x的值．
（参考公式：sinθ﹣sinφ＝2cos；sinθ+sinφ＝2sin）
18．设函数f（x）＝﹣cos2x+asinx+a+3（a∈R）．
（1）求函数f（x）在R上的最小值；
（2）若不等式f（x）＜0在上恒成立，求a的取值范围；
（3）若方程f（x）＝1在（0，π）上有四个不相等的实数根，求a的取值范围．
19．如图所示，摩天轮的半径为50m，最高点距离地面高度为110m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12min．甲，乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）．
（Ⅰ）求劣弧PQ的弧长l（单位：m）；
（Ⅱ）设游客丙从最低点M处进舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；
（Ⅲ）若游客在距离地面至少85m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果．
20．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角．C是扇形圆弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形，记∠POC＝α．
（Ⅰ）将矩形ABCD的面积S表示成关于α的函数f（α）的形式；
（Ⅱ）求f（α）的最大值，及此时的角α．
21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于赤峰摩尔城的摩天轮，该摩天轮其中心O距离地面40.5米，半径为40米．摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t（分钟）的函数关系式满足H（t）＝Asin（ωt+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，）
（1）求摩天轮转动一周的解析式H（t）；
（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到60.5米？
22．近年来，我国逐渐用风能等清洁能源替代传统能源，目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高100米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每5秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面60米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为S（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）．
（1）求S（t）的解析式；
（2）求叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于80米的时长．

展开更多......

收起↑