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第2章第1节 从位移、速度、力到向量
题型1 平面向量的概念与几何表示 题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量 题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量
▉题型1 平面向量的概念与几何表示
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||．
【解题方法点拨】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示．
1．以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
2．若向量分别表示两个力，则（　　）
A． B．2 C． D．
▉题型2 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【解题方法点拨】
﹣计算模：也就是的长度．
﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．
3．已知和都是单位向量，则的取值范围（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．[0，2] D．[0，1]
4．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足||，||＝|2|，则||＝（　　）
A． B． C． D．1
6．已知，则的取值范围为 　 ．
▉题型3 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若||＝||，则或．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故答案为：①．
7．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
9．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　　 ．
11．已知A（﹣1，2），B（3，5），则与向量方向相同的单位向量为 　　 ．
▉题型4 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
（多选）12．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
（多选）13．下列说法正确的是（　　）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量
B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行
D．向量的模可以比较大小
▉题型5 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
14．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
15．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
16．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
17．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
18．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
19．设，为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）20．下列关于平面向量的说法错误的是（　　）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
21．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为　　 ．
22．已知向量，当x＝ 　　 时，与方向相反．
23．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为　　 ．第2章第1节 从位移、速度、力到向量
题型1 平面向量的概念与几何表示 题型2 平面向量的模
题型3 平面向量中的零向量与单位向量 题型4 平面向量的相等向量
题型5 平面向量的平行向量
▉题型1 平面向量的概念与几何表示
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||．
【解题方法点拨】用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示．
1．以下选项中，都是向量的是（　　）
A．时间、海拔 B．质量、位移
C．加速度、体积 D．浮力、速度
【答案】D
【解答】解：时间、海拔、质量、体积只有大小没有方向，不是向量；
浮力和速度既有大小又有方向，是向量．
故选：D．
2．若向量分别表示两个力，则（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以．
故选：C．
▉题型2 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【解题方法点拨】
﹣计算模：也就是的长度．
﹣实际应用：用于求解平面几何中的距离问题，如两点间的距离等．
3．已知和都是单位向量，则的取值范围（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．[0，2] D．[0，1]
【答案】C
【解答】解：和都是单位向量，
则根据向量的三角不等式，
故．
故选：C．
4．已知向量，且，则△ABC的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以，
化简得，所以AB⊥AC，
又因为，
所以，解得，
所以，
则，，
所以△ABC的面积为．
故选：A．
5．已知向量，满足||，||＝|2|，则||＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：向量，满足，所以；
因为，所以，
所以．
故选：A．
6．已知，则的取值范围为 　[3，17]　 ．
【答案】[3，17]．
【解答】解：因为，所以，
又，
，
故，所以．
故答案为：[3，17]．
▉题型3 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
﹣零向量：它的模为0，方向是任意的．
﹣单位向量：模为1的向量，用于表示方向．任何非零向量可以通过转换为单位向量．
【解题方法点拨】
﹣零向量的应用：在向量加法中，零向量不会改变其他向量的值．
﹣单位向量的使用：将向量标准化为单位向量以简化方向的表示和计算．
给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的；
②若，都是单位向量，则；
③若||＝||，则或．
则所有正确命题的序号是_____．
解：①零向量的长度为零，方向是任意的，故①正确，
②若，都是单位向量，则和不一定相等，方向可能不同，故②错误，
③若||＝||，只能说明其大小相等，推不出或，故③错误，
故答案为：①．
7．与向量（﹣3，4）反向的单位向量是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：设与向量（﹣3，4）反向的单位向量是，
则．
故答案为：A．
8．下列命题正确的是（　　）
A．平面内所有的单位向量都相等
B．模为0的向量与任意非零向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．若满足，且同向，则
【答案】B
【解答】解：A．单位向量的方向可能不同，所以所有的单位向量不相等，A错误；
B．零向量和任何非零向量共线，B正确；
C．平行向量一定是共线向量，C错误；
D．向量不能比较大小，D错误．
故选：B．
9．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
10．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　或　 ．
【答案】或．
【解答】解：设与垂直的单位向量的坐标为，
则，解得或，
故答案为：或．
11．已知A（﹣1，2），B（3，5），则与向量方向相同的单位向量为 　（）　 ．
【答案】（）．
【解答】解：，
∴与向量方向相同的单位向量为：．
故答案为：．
▉题型4 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
（多选）12．关于平面向量，，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若向量不共线，对于平面内任一向量，都存在唯一实数λ，μ使
C．若不相等，则一定不共线
D．若，则
【答案】BD
【解答】解：A：当，可满足，但不一定得到，故A错误；
B：根据平面向量基本定理知道B正确；
C：当时，与不相等，但与共线，故C错误；
D：由，两边同时平方得，解得，即，故D正确．
故选：BD．
（多选）13．下列说法正确的是（　　）
A．我们把既有大小又有方向的量叫作向量
B．单位向量是相等向量
C．零向量与任意向量平行
D．向量的模可以比较大小
【答案】ACD
【解答】解：对于A，根据向量的定义知A正确；
对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误；
对于C，零向量与任意向量平行，C正确；
对于D，向量的模长是实数，故向量的模可以比较大小，D正确．
故选：ACD．
▉题型5 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
【解题方法点拨】
平行向量与相等向量的关系：
（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向线段表示平行向量时，向量所在的直线重合或平行；
（2）平行向量要求两个向量均为非零向量，规定：零向量与任一向量平行．相等向量则没有这个限制，零向量与零向量相等．
（3）借助相等向量，可以把一组平行向量移动到同一直线上．因此，平行向量也叫做共线向量．
（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．
14．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：∵A，B，C三点共线，∴与共线，
∴存在实数k，使，即，
又向量不共线，∴，
由λ＞0，μ＞0，∴，
当且仅当λ＝4μ时，取“＝”号．
故选：B．
15．已知，是两个不共线的向量，且向量x3，y同向，则x+2y的最小值为（　　）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【解答】解：由向量，同向，，是两个不共线的向量，
得，且x＞0，y＞0，则xy＝3，
因此x+2y，当且仅当，时取等号，
所以x+2y的最小值为．
故选：C．
16．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
17．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：，
由，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以．
故选：A．
18．设，是两个不共线的向量，若向量与的方向相同，则k＝（　　）
A． B． C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：由题意知，即，解得，．
故选：B．
19．设，为两个非零向量，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：由，可得，
因为为常数，所以由向量共线定理可得，
所以由“”可以推出“”，
当时，由向量共线定理可得，
此时λ或λ，
所以由“”推不出“”，
所以“”是“”充分不必要条件．
故选：A．
（多选）20．下列关于平面向量的说法错误的是（　　）
A．若是共线的单位向量，则
B．若，则
C．若，则不是共线向量
D．若，则一定存在实数λ，使得
【答案】ACD
【解答】解：若是共线的单位向量，则或，故A错误；
两向量相等，即大小相等，方向相同，故B正确；
若，的长度可能不等，但方向相同或相反，
此时共线，故C错误；
若，如且时，
则不存在实数λ，使得成立，故D错误．
故选：ACD．
21．已知向量不共线，，其中λ＞0，μ＞0，若A，B，C三点共线，则λ+4μ的最小值为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：向量不共线，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，由λ＞0，μ＞0，所以，
当且仅当λ＝4μ＝2时，取等号，即λ+4μ的最小值为4．
故答案为：4．
22．已知向量，当x＝ 　﹣2　 时，与方向相反．
【答案】﹣2．
【解答】解：当时，x2﹣1×4＝0，解出x＝2或x＝﹣2，
当x＝2时，，此时，与方向相同，不满足条件；
当x＝﹣2时，，此时，与方向相反，满足条件．
故答案为：﹣2．
23．设和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：因为A，B，D三点共线，所以，
又，
所以存在实数λ使得，
所以，
解得m＝λ＝﹣1．
故答案为：﹣1．

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