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第二章 1 平均变化率与瞬时变化率
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 极限及其运算
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
1．某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为y（t）＝3t2+2t+3，则该质点在t＝2秒时的瞬时速度是（　　）
A．14米/秒 B．17米/秒 C．19米/秒 D．21米/秒
【答案】A
【解答】解：某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为y（t）＝3t2+2t+3，
则y′（t）＝6t+2，则y′（2）＝6×2+2＝14（米/秒）．
故选：A．
2．已知点P（1，2）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
【答案】B
【解答】解：y′|x＝1＝4x|x＝1＝4
故选：B．
3．一质点做直线运动，由始点起经过ts后的距离为st4﹣4t3+16t2，则速度为零的时刻是（　　）
A．4s末 B．8s末
C．0s与8s末 D．0s，4s，8s末
【答案】D
【解答】解：由题意可知：
S′＝t3﹣12t2+32t
由导函数的几何意义知：在t＝0时刻的速度的大小即距离关于时间函数的导函数在t＝0时的值．
又∵由t3﹣12t2+32t＝0解得：
t＝0或4或8
故选：D．
4．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（　　）
A．1秒末 B．0秒末 C．4秒末 D．0，1，4秒末
【答案】D
【解答】解：∵，
∴v＝s′＝t3﹣5t2+4t＝t（t﹣1）（t﹣4）
令v＝s′＝0
则t＝0，t＝1或t＝4
故速度为零的时刻是0，1，4秒末
故选：D．
5．路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，则人影长度的变化速率为（　　）m/s．
A． B． C． D．21
【答案】B
【解答】解：如图：设人的高度BE，则BE＝1.6，人的影子长AB＝h，
由直角三角形相似得，即，
解得 h＝21t （m/min）＝21t（m/s）t m/s，
∴h′m/s，
故选：B．
6．一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝﹣t2+2t，则t＝0时其速度为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【答案】D
【解答】解：∵s'（t）＝﹣2t+2，
∴s'（0）＝2，
故选：D．
7．若函数f（x）＝2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（　　）
A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2
【答案】C
【解答】解：∵△y＝[2（1+△x）2﹣1]﹣1＝2△x2+4△x，
∴4+2△x，
故选：C．
8．一物体做直线运动，其运动方程为s＝3t﹣t2，其中位移s单位为米，时间t的单位为秒，那么该物体的初速度为（　　）
A．0米/秒 B．﹣2米/秒 C．3米/秒 D．3﹣2t米/秒
【答案】C
【解答】解：∵位移s与时间t的关系为s＝3t﹣t2，
∴s′＝3﹣2t，
当t＝0时，s′＝3，
∴物体的初速度为3
故选：C．
9．一物体的运动方程是s＝3+t2，则t＝2时刻的瞬时速度是（　　）
A．3 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：∵v＝s′＝2t，
∴此物体在t＝1时的瞬时速度＝2×2＝4．
故选：C．
10．某物体的运动方程为s＝3t2+t，那么，此物体在t＝1时的瞬时速度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【解答】解：∵v＝s′＝6t+1，
∴此物体在t＝1时的瞬时速度＝6×1+1＝7．
故选：D．
11．已知函数f（x），当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数（　　）
A．在x0处的变化率
B．在区间[x0，x1]上的平均变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
【答案】B
【解答】解：当自变量由x0变化到x1时，自变量的“增量”为x1﹣x0，对应的函数值的“增量”为f（x1）﹣f（x0），
比值为函数在区间[x0，x1]上的平均变化率．
故选：B．
12．如图，函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：有图可知f（3）＝1，f（1）＝3，
∴f（3）﹣f（1）＝1﹣3＝﹣2，
∴函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率是1．
故选：B．
13．已知函数f（x），当自变量x由x0增加到x0+△x时，函数值的增量与自变量的增量的比值为（　　）
A．函数在x0处的变化率
B．函数在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率
C．函数在x0+△x处的变化率
D．函数在x0处的导数
【答案】B
【解答】解：当自变量从x0变到x1时，
函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率．
只有当x0变到x1的变化量趋向于0时，
函数值的增量与相应自变量的增量之比的极限值才是函数在区间[x0，x0+△x]上的导数．
故选：B．
14．设函数y＝f（x）可导，则等于（　　）
A．f'（1） B．3f'（1）
C． D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：由题意函数y＝f（x）可导
∴
故选：C．
15．若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+△x，3+△y），则（　　）
A．4 B．4△x C．4+2△x D．2△x
【答案】C
【解答】解：由题意，△y＝f（1+△x）﹣f（1）＝2（1+△x）2+1﹣3＝4△x+2△2x
∴4+2△x
故选：C．
16．对于以下四个函数：①：y＝x②：y＝x2③：y＝x3④：y，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解答】解：①1，②，③7，④．
故选：C．
17．已知函数y＝x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（　　）
A．2 B．2x C．2+（△x）2 D．2+△x
【答案】D
【解答】解：．
故选：D．
18．一物体的运动方程为s＝t2﹣2t+5，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（　　）
A．8米/秒 B．7米/秒 C．6米/秒 D．5米/秒
【答案】C
【解答】解：∵s＝t2﹣2t+5，
求导函数可得s′＝2t﹣2
当t＝4时，s′＝2t﹣2＝2×4﹣2＝6，
故物体在4秒末的瞬时速度是6米/秒，
故选：C．
19．一物体以速度v（t）＝3t2﹣2t+3做直线运动，它在t＝1到t＝3这段时间内的位移是（　　）
A．27 B．24 C．6 D．3
【答案】B
【解答】解：由题意可得，
物体在t＝1和t＝3这段时间内的位移是S（3t2﹣2t+3）dt＝（t3﹣t2+3t）33﹣32+3×3﹣（1﹣1+3）＝24，
故选：B．
20．若，则等于（　　）
A．2k B．k
C．k D．以上都不是
【答案】A
【解答】解：222k．
故选：A．
21．某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程s（米）与着陆时间t（秒）之间的函数关系为s＝60t﹣1.5t2，则此飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是 　45　 米/秒．
【答案】45．
【解答】解：根据题意，s＝60t﹣1.5t2，则s′＝60﹣3t，即v＝60﹣3t，
当t＝5时，v＝60﹣15＝45，
即飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是45米/秒；
故答案为：45．
22．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数s＝3t2+2t+1，则质点在t＝2时的瞬时速度为　14　 ．
【答案】14
【解答】解：∵s＝3t2+2t+1，
∴s′＝6t+2，
∴s′|t＝2＝6×2+2＝14，
故答案为：14．
23．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2（t的单位是秒，s的单位是米），则它在3秒末的瞬时速度为　　 ．
【答案】
【解答】解：根据题意，s＝t2，
则其导数s′＝2t，
该物体在3秒末的瞬时速度就是t＝3时的导数值，即s′|t＝3＝6，
故答案为．
24．已知函数y＝2，当x由1变到2时，函数的增量△y＝　　 ．
【答案】
【解答】解：函数f（x）＝2，当x由1变到2时，函数的增量△y＝f（2）﹣f（1）．
25．y＝﹣2x2+1在（0，1）处的平均变化率为　﹣2　 ．
【答案】﹣2
【解答】解：函数y＝f（x）＝﹣2x2+1在（0，1）处的平均变化率为：2．
故答案为：﹣2．
26．在曲线y＝x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+△x，2+△y），则　2　 ．
【答案】2
【解答】解：y′|x＝1＝2x|x＝1＝2，
又就是（1，3）点处的瞬时变化率，即为曲线y＝x2+1在x＝1时的导数，
则2．
故答案为：2．
27．函数y在x＝x0≠0附近的平均变化率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：函数y在x＝x0≠0附近的平均变化率．
故答案为：．
28．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m，底面直径为6m，水以5πm3/s的速度流入，则当水流入时间为1s时，水面上升的速度为　　 ．
【答案】
【解答】解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h，则V＝5πt，
由图知
∴rh
∴Vπr2hπh3，
∴5πtπh3，
∴h＝4
∴v＝h′（t）＝4
∴v，
故答案为：
29．若一物体的运动方程如下：（t（单位：s）是时间，s（单位：m）是位移），则此物体在t＝4时的瞬时速度为　6m/s m/s．
【答案】6m/s
【解答】解：∵s＝3（t﹣3）2+29，t≥3，
∵v＝s′＝6（t﹣3），
∴此物体在t＝4时的瞬时速度v＝6×（4﹣3）＝6m/s，
故答案为：6m/s
30．一汽车按s＝3t2+1做运动，那么它在t＝3s时的瞬时速度为　18　 m/s．
【答案】18
【解答】解：由已知s′＝（3t2+1）′＝6t，
t＝3时，6×3＝18；
故答案为：18．
31．设函数f（x）可导，f′（1）＝1则　　 ．
【答案】
【解答】解：f′（1），
故答案为：．
32．求下列函数的导数
（1）y＝x2+log3x；
（2）y＝x3 ex；
（3）y
（4）y＝sin2（2x）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）y′＝2x，
（2）y′＝3x2 ex+x3 ex，
（3）y′，
（4）y′＝2sin（2x） [sin（2x）]′＝2sin（2x） cos（2x） （2x）′＝2sin（4x）
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
33．函数从1到4的平均变化率为（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【解答】解：根据题意，函数，f（1）1，f（4）2，
则f（x）从1到4的平均变化率；
故选：A．
34．函数f（x）＝2x2﹣1在区间（1，1+△x）上的平均变化率等于（　　）
A．4 B．4+2△x C．4+2（△x）2 D．4x
【答案】B
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝2x2﹣1在区间（1，1+△x）上，
其平均变化率4+2△x，
故选：B．
35．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
【答案】B
【解答】解：∵f（2.5）＝16.25，f（2）＝11，
∴该函数在区间[2，2.5]上的平均变化率为10.5，
故选：B．
36．函数f（x）＝2x2+1在区间[1，1+Δx]上的平均变化率是（　　）
A．4+2Δx B．2Δx C．4 D．2
【答案】A
【解答】解：由题意可知，函数f（x）＝2x2+1的平均变化率是：
．
故选：A．
37．已知函数，则式子表示（　　）
A．f（x）在x＝1+Δx处的导数
B．f（x）在x＝1处的导数
C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均变化率
D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均变化率
【答案】C
【解答】解：因为函数，则f（1）＝1，f（1+Δx），
则式子表示在[1，1+Δx]上的平均变化率．
故选：C．
38．函数f（x）＝x2+2x﹣1从x＝0到x＝Δx（Δx＞0）的平均变化率为（　　）
A．Δx﹣2 B．2Δx﹣1 C．Δx+2 D．2Δx+2
【答案】C
【解答】解：函数f（x）＝x2+2x﹣1从x＝0到x＝Δx（Δx＞0）的平均变化率为：
．
故选：C．
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
39．已知某质点的位移y（单位：m）与时间x（单位：s）满足函数关系式y＝x4+3x2，则当x＝1时，该质点的瞬时速度为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【解答】解：函数关系式y＝x4+3x2，
则y′＝4x3+6x，则y′|x＝1＝4+6＝10．
故选：A．
40．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的关系式为，则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的（　　）
A．2倍 B．4倍 C． D．
【答案】B
【解答】解：因为，所以，
则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的倍．
故选：B．
41．一个物体的运动方程为s＝﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（　　）
A．8米/秒 B．7米/秒 C．6米/秒 D．5米/秒
【答案】D
【解答】解：∵s＝s（t）＝﹣t+t2，
∴s'（t）＝﹣1+2t，
∴根据导数的物理意义可知物体在3秒末的瞬时速度为s'（3），
即s'（3）＝﹣1+2×3＝6﹣1＝5（米/秒），
故选：D．
42．酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深9cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意，如图，设t时刻水面高为h，水面圆半径是r，
由图知可得rh，此时水的体积为π×r2×hπh3，
又由题设条件知，此时的水量为20t，
故有20tπh3，
故有h，
∴h′，
又当h＝3时，此时t，
故h＝3时，h'，
当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率vcm/s．
故答案为：．
▉题型4 极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
43．若f′（x0）＝2，则等于（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．
【答案】A
【解答】解析：因为f′（x0）＝2，由导数的定义
即2 1
故选：A．
44．设f（x）为可导函数，且满足条件，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为（　　）
A． B．3 C．6 D．无法确定
【答案】C
【解答】解：∵f（x）为可导函数，且满足条件，
∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）2 2×3＝6，
故选：C．
45．（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：2，
故选：B．
46．（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：
，
故选：B．
47．（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：
．
故选：B．
48．已知f（3）＝2，f′2，则（　　）
A．﹣4 B．0 C．8 D．不存在
【答案】C
【解答】解：
＝2﹣3
＝2﹣3
＝2﹣3f′（3）
＝2﹣3×（﹣2）
＝8．
故选：C．
49．设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y＝f（x）上点（1，f（1））处的切线率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵，即y'|x＝1＝﹣1，
∴y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣1，
故选：B．
50．若f′（x0）＝﹣3，则等于（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12
【答案】D
【解答】解：
＝4f′（x0）
＝﹣12．
故选：D．
51．已知（an）＝b，则常数a、b的值分别为（　　）
A．a＝2，b＝﹣4 B．a＝﹣2，b＝4
C．a，b＝﹣4 D．a，b
【答案】A
【解答】解：∵an＝（2﹣a）n﹣4，．
∴b4，2﹣a＝0．
∴a＝2，b＝﹣4．
故选：A．
52．已知f（x）在x＝x0处的导数为4，则（　　）
A．4 B．8 C．2 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：∵f′（x0）＝4，∴2 2f′（x0）＝8．
故选：B．
53．设f（x）在x＝x0可导，且f′（x0）＝﹣2，则等于（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不存在
【答案】C
【解答】解：∵f′（x0）＝﹣2，
故选：C．
54．若f′（x0）＝2，则的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】C
【解答】解：∵f′（x0）＝2，
∴
f′（x0）1．
故选：C．
55．计算（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设f（x）＝sinx，f′（x）＝cosx，
则cos，
故选：B．
56．已知f（x），则的值是（　　）
A． B． C．2 D．ln2
【答案】B
【解答】解：f（x），求导，f′（x），
f′（2），
故选：B．
57．函数f（x）在x＝1处的导数为1，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，，
又由f（x）在x＝1处的导数为1，则有1，
则，
故选：D．
58．若　　 ．
【答案】
【解答】解：∵f′（x0），
∴f′（x0），
故答案为 ．
59．若f（x），则　　 ．
【答案】
【解答】解：∵f（x），
∴，
∴，
∴
＝﹣2f′（1）．
故答案为：．
60．，计算a，b．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵，
∴（）（a）＝1﹣a＝0；
∴a＝1．
∴b（ax）（x）0．
即a＝1，b＝0．第二章 1 平均变化率与瞬时变化率
题型1 变化的快慢与变化率 题型2 平均变化率
题型3 瞬时变化率 题型4 极限及其运算
▉题型1 变化的快慢与变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
1．某质点沿直线运动，位移y（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系为y（t）＝3t2+2t+3，则该质点在t＝2秒时的瞬时速度是（　　）
A．14米/秒 B．17米/秒 C．19米/秒 D．21米/秒
2．已知点P（1，2）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．
3．一质点做直线运动，由始点起经过ts后的距离为st4﹣4t3+16t2，则速度为零的时刻是（　　）
A．4s末 B．8s末
C．0s与8s末 D．0s，4s，8s末
4．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（　　）
A．1秒末 B．0秒末 C．4秒末 D．0，1，4秒末
5．路灯距地平面为8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，则人影长度的变化速率为（　　）m/s．
A． B． C． D．21
6．一物体做直线运动，其运动方程为s（t）＝﹣t2+2t，则t＝0时其速度为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
7．若函数f（x）＝2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（　　）
A．4 B．4x C．4+2△x D．4+2△x2
8．一物体做直线运动，其运动方程为s＝3t﹣t2，其中位移s单位为米，时间t的单位为秒，那么该物体的初速度为（　　）
A．0米/秒 B．﹣2米/秒 C．3米/秒 D．3﹣2t米/秒
9．一物体的运动方程是s＝3+t2，则t＝2时刻的瞬时速度是（　　）
A．3 B．7 C．4 D．5
10．某物体的运动方程为s＝3t2+t，那么，此物体在t＝1时的瞬时速度为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．已知函数f（x），当自变量由x0变化到x1时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数（　　）
A．在x0处的变化率
B．在区间[x0，x1]上的平均变化率
C．在x1处的变化率
D．以上结论都不对
12．如图，函数y＝f（x）在A，B两点间的平均变化率是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
13．已知函数f（x），当自变量x由x0增加到x0+△x时，函数值的增量与自变量的增量的比值为（　　）
A．函数在x0处的变化率
B．函数在区间[x0，x0+△x]上的平均变化率
C．函数在x0+△x处的变化率
D．函数在x0处的导数
14．设函数y＝f（x）可导，则等于（　　）
A．f'（1） B．3f'（1）
C． D．以上都不对
15．若函数f（x）＝2x2+1，图象上P（1，3）及邻近上点Q（1+△x，3+△y），则（　　）
A．4 B．4△x C．4+2△x D．2△x
16．对于以下四个函数：①：y＝x②：y＝x2③：y＝x3④：y，在区间[1，2]上函数的平均变化率最大的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
17．已知函数y＝x2+1的图象上一点（1，2）及邻近一点（1+△x，2+△y），则等于（　　）
A．2 B．2x C．2+（△x）2 D．2+△x
18．一物体的运动方程为s＝t2﹣2t+5，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在4秒末的瞬时速度是（　　）
A．8米/秒 B．7米/秒 C．6米/秒 D．5米/秒
19．一物体以速度v（t）＝3t2﹣2t+3做直线运动，它在t＝1到t＝3这段时间内的位移是（　　）
A．27 B．24 C．6 D．3
20．若，则等于（　　）
A．2k B．k
C．k D．以上都不是
21．某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程s（米）与着陆时间t（秒）之间的函数关系为s＝60t﹣1.5t2，则此飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是 　 　 米/秒．
22．设质点做直线运动，已知路程s是时间t的函数s＝3t2+2t+1，则质点在t＝2时的瞬时速度为　 　 ．
23．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2（t的单位是秒，s的单位是米），则它在3秒末的瞬时速度为　 　 ．
24．已知函数y＝2，当x由1变到2时，函数的增量△y＝　 　 ．
25．y＝﹣2x2+1在（0，1）处的平均变化率为　 　 ．
26．在曲线y＝x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+△x，2+△y），则　 　 ．
27．函数y在x＝x0≠0附近的平均变化率为 　 　 ．
28．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24m，底面直径为6m，水以5πm3/s的速度流入，则当水流入时间为1s时，水面上升的速度为　 　 ．
29．若一物体的运动方程如下：（t（单位：s）是时间，s（单位：m）是位移），则此物体在t＝4时的瞬时速度为　 　 m/s．
30．一汽车按s＝3t2+1做运动，那么它在t＝3s时的瞬时速度为　 　 m/s．
31．设函数f（x）可导，f′（1）＝1则　 　 ．
32．求下列函数的导数
（1）y＝x2+log3x；
（2）y＝x3 ex；
（3）y
（4）y＝sin2（2x）
▉题型2 平均变化率
【知识点的认识】
平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
33．函数从1到4的平均变化率为（　　）
A． B． C．1 D．3
34．函数f（x）＝2x2﹣1在区间（1，1+△x）上的平均变化率等于（　　）
A．4 B．4+2△x C．4+2（△x）2 D．4x
35．设函数，当自变量t由2变到2.5时，函数的平均变化率是（　　）
A．5.25 B．10.5 C．5.5 D．11
36．函数f（x）＝2x2+1在区间[1，1+Δx]上的平均变化率是（　　）
A．4+2Δx B．2Δx C．4 D．2
37．已知函数，则式子表示（　　）
A．f（x）在x＝1+Δx处的导数
B．f（x）在x＝1处的导数
C．f（x）在[1，1+Δx]上的平均变化率
D．f（x）在[1﹣Δx，1]上的平均变化率
38．函数f（x）＝x2+2x﹣1从x＝0到x＝Δx（Δx＞0）的平均变化率为（　　）
A．Δx﹣2 B．2Δx﹣1 C．Δx+2 D．2Δx+2
▉题型3 瞬时变化率
【知识点的认识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
39．已知某质点的位移y（单位：m）与时间x（单位：s）满足函数关系式y＝x4+3x2，则当x＝1时，该质点的瞬时速度为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
40．吹气球时，气球的半径r（单位：dm）与体积V（单位：L）之间的关系式为，则V＝2L时气球的瞬时膨胀率大约是V＝16L时气球的瞬时膨胀率的（　　）
A．2倍 B．4倍 C． D．
41．一个物体的运动方程为s＝﹣t+t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（　　）
A．8米/秒 B．7米/秒 C．6米/秒 D．5米/秒
42．酒杯的形状为倒立的圆锥（如图），杯深9cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为3cm时，水升高的瞬时变化率为　 　 ．
▉题型4 极限及其运算
【知识点的认识】
1．数列极限
（1）数列极限的表示方法：
（2）几个常用极限：
③对于任意实常数，
当|a|＜1时，an＝0，
当|a|＝1时，若a＝1，则an＝1；若a＝﹣1，则an＝（﹣1）n不存在
当|a|＞1时，an＝不存在．
（3）数列极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么．
（4）数列极限的应用：
求无穷数列的各项和，特别地，当|q|＜1时，无穷等比数列的各项和为S（|q|＜1）．
（化循环小数为分数方法同上式）
注：并不是每一个无穷数列都有极限．a
2．函数极限；
（1）当自变量x无限趋近于常数x0（但不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋进于一个常数a，就是说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限为a．记作a或当x→x0时，f（x）→a．
注：当x→x0时，f（x）是否存在极限与f（x）在x0处是否定义无关，因为x→x0并不要求x＝x0．（当然，f（x）在x0是否有定义也与f（x）在x0处是否存在极限无关．函数f（x）在x0有定义是存在的既不充分又不必要条件．）
如P（x）在x＝1处无定义，但存在，因为在x＝1处左右极限均等于零．
（2）函数极限的四则运算法则：
如果，那么
特别地，如果C是常数，那么
．
注：①各个函数的极限都应存在．
②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况．
（3）几个常用极限：
3．函数的连续性：
（1）如果函数f（x），g（x）在某一点x＝x0连续，那么函数f（x）±g（x），f（x），g（x），（g（x）≠0）在点 x＝x0处都连续．
（2）函数f（x）在点x＝x0处连续必须满足三个条件：
①函数f（x）在点x＝x0处有定义；②存在；③函数f（x）在点x＝x0处的极限值等于该点的函数值，即．f（x0）．
（3）函数f（x）在点x＝x0处不连续（间断）的判定：
如果函数f（x）在点x＝x0处有下列三种情况之一时，则称x0为函数f（x）的不连续点．
①f（x）在点x＝x0处没有定义，即f（x0）不存在；②不存在；③存在，但f（x0）．
43．若f′（x0）＝2，则等于（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．
44．设f（x）为可导函数，且满足条件，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为（　　）
A． B．3 C．6 D．无法确定
45．（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
46．（　　）
A． B． C． D．
47．（　　）
A．﹣1 B． C． D．1
48．已知f（3）＝2，f′2，则（　　）
A．﹣4 B．0 C．8 D．不存在
49．设f（x）为可导函数，且满足，则过曲线y＝f（x）上点（1，f（1））处的切线率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
50．若f′（x0）＝﹣3，则等于（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣9 D．﹣12
51．已知（an）＝b，则常数a、b的值分别为（　　）
A．a＝2，b＝﹣4 B．a＝﹣2，b＝4
C．a，b＝﹣4 D．a，b
52．已知f（x）在x＝x0处的导数为4，则（　　）
A．4 B．8 C．2 D．﹣4
53．设f（x）在x＝x0可导，且f′（x0）＝﹣2，则等于（　　）
A．0 B．2 C．﹣2 D．不存在
54．若f′（x0）＝2，则的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
55．计算（　　）
A． B． C． D．
56．已知f（x），则的值是（　　）
A． B． C．2 D．ln2
57．函数f（x）在x＝1处的导数为1，则的值为（　　）
A．3 B． C． D．
58．若　 　 ．
59．若f（x），则　 　 ．
60．，计算a，b．

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