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第二章 2 导数的概念及其几何意义
题型1 导数及其几何意义 题型2 变化率的极限与导数的概念
题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型4 导数与切线的斜率
题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
▉题型1 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
1．设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）
A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]
2．已知点P在曲线y上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）
A．[0，） B．[，） C．（，] D．[，π）
3．曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．e D．
4．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
（多选）7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（x）满足f（2+5x）＝f（﹣5x），g（x﹣3）关于x＝3对称，且g（0）＝1，则（　　）
A．g（1）＝0 B．f（x）是奇函数
C．8是f（x）的一个周期 D．
8．已知函数，则该函数的图象在x＝﹣2处的切线的倾斜角为 　 　 ．
9．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是yx+2，则f（1）+f′（1）＝　 　 ．
10．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
▉题型2 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
11．若函数f（x）＝x2，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知函数f（x）可导，且满足，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
13．若，则f′（2）＝（　　）
A．12 B．6 C．3 D．﹣3
14．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣2025 B．0 C．1 D．2025
15．已知函数f（x）＝cosx﹣1，则（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
16．若，则f'（2）＝（　　）
A． B．6 C．3 D．﹣3
17．已知函数f（x）＝x3+ln2，则（　　）
A．1 B． C．3 D．
18．如果函数y＝f（x）在x＝2处的导数为1，那么（　　）
A．1 B． C． D．
19．已知函数f（x）＝x3，则（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
20．已知函数y＝f（x）可导，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线倾斜角为（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
（多选）21．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（　　）
A．若f（x）＝ln3，则
B．若f（x）＝tanx，则f′（x）＝1+tan2x
C．f（x）＝2x在x＝1处的切线斜率是ln4
D．f（x）＝x3+1过点（2，5）的切线方程是12x﹣y﹣19＝0
22．若，则f′（1）＝ 　 　 ．
23．已知函数f（x）＝10x+x2．
（1）用导数的定义求函数y＝f（x）的导数；
（2）求出f′（5），f′（0）的值．
▉题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
24．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f′（x0），则（　　）
A． B．﹣3f′（x0）
C．3f′（x0） D．
25．若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则等于（　　）
A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0
26．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则（　　）
A．3 B．1 C．2 D．
27．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则（　　）
A．﹣36 B．﹣4 C．4 D．36
28．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣1 D．1
29．已知，则f'（x0）＝（　　）
A． B． C． D．
30．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
31．设函数f（x）＝x2，则（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
32．已知函数f（x）＝2x2﹣5，则的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．8 D．16
33．设函数f（x）在x＝1处存在导数为2，则（　　）
A． B．6 C． D．
34．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为6，则（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
35．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则（　　）
A．3 B． C．6 D．
36．若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数等于a，则的值为（　　）
A．a B．2a C．3a D．4a
37．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为6，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣12 D．12
38．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则实数a的值为（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
39．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（　　）
A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0
40．设f（x）为可导函数，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．
41．已知函数f（x）＝2x2+1，则 　 　 ．
42．若函数f（x）＝sin2x，则 　 　 ．
43．若R上的可导函数y＝f（x）在x＝x0处满足3，则f′（x0）＝　 　 ．
▉题型4 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
44．函数在x＝0处的切线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
45．已知直线l与曲线f（x）＝ex+sinx在点（0，f（0））处的切线垂直，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2
46．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
47．已知函数f（x）＝aex﹣1+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A． B．﹣2 C．﹣3 D．1
48．设f（x）为可导函数且满足，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
49．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
50．曲线y＝sinx+cosx在处切线的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
51．曲线y＝x3﹣2lnx在点（1，1）处的切线的斜率为 　 　 ．
52．若f（x）＝x3﹣x+3在x＝1处的切线为l，直线l的倾斜角为θ，则　 　 ．
53．在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数f（x）＝ex，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为 　 　 ，用此结论“近似计算”的值为 　 　 （结果用分数表示）．
54．已知曲线f（x）＝mx2﹣mx+1在点（1，f（1））处的切线被圆x2﹣4x+4+y2﹣6y＝0所截弦长最短，则m＝　 　 ．
▉题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
55．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
56．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（　　）
A． B．
C． D．
57．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
58．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝﹣xf'（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
59．已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
B．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）
C．2f′（2）＜2f′（4）＜f（4）﹣f（2）
D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）
（多选）60．如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．（3，5）为函数y＝f（x）的单调递减区间
B．（4，5）为函数y＝f（x）的单调递增区间
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝4处取得极小值第二章 2 导数的概念及其几何意义
题型1 导数及其几何意义 题型2 变化率的极限与导数的概念
题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系 题型4 导数与切线的斜率
题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
▉题型1 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
1．设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）
A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]
【答案】A
【解答】解：设点P的横坐标为x0，
∵y＝x2+2x+3，
∴y′2x0+2，
利用导数的几何意义得2x0+2＝tanα（α为点P处切线的倾斜角），
又∵，∴0≤2x0+2≤1，
∴．
故选：A．
2．已知点P在曲线y上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）
A．[0，） B．[，） C．（，] D．[，π）
【答案】D
【解答】解：因为y上的导数为y′，
∵ex+e﹣x≥22，
∴ex+e﹣x+2≥4，
∴y′∈[﹣1，0）
即tanα∈[﹣1，0），
∵0≤α＜π
∴π≤α＜π．
即α的取值范围是[π，π）．
故选：D．
3．曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．e D．
【答案】A
【解答】解：由y＝ex，得到y′＝ex，
把x＝0代入得：y′（0）＝e0＝1，
则曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为1．
故选：A．
4．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，，f′（x）＝x，所以f′（1）＝1，
所以．
故选：D．
5．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：已知曲线的一条切线的斜率为，∵，
∴x＝1，则切点的横坐标为1，
故选：A．
6．曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5，∴f′（x）＝ex+2x﹣2，
故f′（0）＝﹣1，
即对应切线斜率为﹣1，故曲线f（x）＝ex+x2﹣2x﹣5在x＝0处的切线的倾斜角是．
故选：D．
（多选）7．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（x）满足f（2+5x）＝f（﹣5x），g（x﹣3）关于x＝3对称，且g（0）＝1，则（　　）
A．g（1）＝0 B．f（x）是奇函数
C．8是f（x）的一个周期 D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A选项，因为f（2+5x）＝f（﹣5x），令t＝5x，可得f（t+2）＝f（﹣t），
即f（x+2）＝f（﹣x），
等式f（x+2）＝f（﹣x）两边求导得f′（x+2）＝﹣f′（﹣x），即g（x+2）+g（﹣x）＝0，
所以，函数g（x）的图象关于点（1，0）对称，
在等式g（x+2）+g（﹣x）＝0中，令x＝﹣1可得2g（1）＝0，可得g（1）＝0，A对；
对于B选项，因为函数g（x﹣3）的图象关于直线x＝3对称，
所以函数g（x）的图象关于直线x＝0对称，
所以函数g（x）为偶函数，
又因为g（x）＝f′（x），则f′（﹣x）＝f′（x），
令h（x）＝f（x）+f（﹣x），则h′（x）＝f′（x）﹣f′（﹣x）＝0，所以，h（x）为常值函数，
设h（x）＝f（x）+f（﹣x）＝C，其中C为常数，
当C≠0时，f（﹣x）＝C﹣f（x）≠﹣f（x），此时，函数f（x）不是奇函数，B错；
对于C选项，因为f（x）+f（﹣x）＝C，则f（x+2）+f（x）＝C，
可得f（x+2）＝C﹣f（x），
所以，f（x+4）＝C﹣f（x+2）＝C﹣[C﹣f（x）]＝f（x），
显然有f（x+8）＝f（x+4）＝f（x），即8是f（x）的一个周期，C对；
对于D选项，在等式f（x）＝f（x+4）两边同时求导得f′（x）＝f′（x+4），即g（x）＝g（x+4），
所以，函数g（x）是以4为周期的周期函数，
因为g（x+2）+g（﹣x）＝g（x+2）+g（x）＝0，所以，g（1）＝0，，
g（2）+g（0）＝g（2）+1＝0，可得g（2）＝﹣1，
，g（3）＝g（3﹣4）＝g（﹣1），
由g（x+2）+g（﹣x）＝g（x+2）+g（x）＝0中令x＝1，可得g（3）+g（﹣1）＝0，
则g（3）＝0，g（4）＝g（0）＝1，
所以，
＝g（1）+g（2）+g（3）+g（4）＝0﹣1+0+1＝0，
因为2024＝4×506，则，D对．
故选：ACD．
8．已知函数，则该函数的图象在x＝﹣2处的切线的倾斜角为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以，
所以y'|x＝﹣2＝1﹣2＝﹣1，
即切线的斜率为﹣1，倾斜角为．
故答案为：．
9．已知函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是yx+2，则f（1）+f′（1）＝　3　 ．
【答案】3
【解答】解：∵点M（1，f（1））是切点，
∴点M在切线上，
∴f（1）2，
∵函数y＝f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线的方程是yx+2，
∴切线斜率是，
即f′（1），
∴f（1）+f'（1）3．
故答案为：3．
10．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意，得：f′（x）＝3x2﹣6x+2，∴f″（x）＝6x﹣6．
由f″（x）＝0，即 6x﹣6＝0．∴x＝1，又 f（1）＝2，
∴f（x）＝x3﹣3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
而f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+2（1+x）+2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2（1﹣x）+2
＝2+6x2﹣6﹣6x2+4+4＝4＝2f（1），
由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）一般地，三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（，f（）），它就是f（x）的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）
▉题型2 变化率的极限与导数的概念
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
11．若函数f（x）＝x2，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝x2，
∴f′（x）＝2x，
∴f′（1）＝2，
故选：B．
12．已知函数f（x）可导，且满足，则函数y＝f（x）在x＝3处的导数为（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：2，
则f'（3）＝2．
故选：A．
13．若，则f′（2）＝（　　）
A．12 B．6 C．3 D．﹣3
【答案】C
【解答】解：因为，
所以f′（2）3．
故选：C．
14．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣2025 B．0 C．1 D．2025
【答案】A
【解答】解：因为，
所以由导数的定义可知f′（x0）2025．
故选：A．
15．已知函数f（x）＝cosx﹣1，则（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【解答】解：因为f（x）＝cosx﹣1，
所以f′（x）＝﹣sinx，
所以f′（π）＝0．
故选：B．
16．若，则f'（2）＝（　　）
A． B．6 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：若，
则f'（2）＝6．
故选：B．
17．已知函数f（x）＝x3+ln2，则（　　）
A．1 B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝x3+ln2，
所以f′（x）＝3x2，
所以f′（1）＝3．
故选：C．
18．如果函数y＝f（x）在x＝2处的导数为1，那么（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解答】解：函数y＝f（x）在x＝2处的导数为1，
则f'（2）＝1，
故f'（2）＝1．
故选：A．
19．已知函数f（x）＝x3，则（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解答】解：由f（x）＝x3，求导得f′（x）＝3x2，
则f'（2）＝3×22＝12．
故选：C．
20．已知函数y＝f（x）可导，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线倾斜角为（　　）
A．45° B．60° C．120° D．135°
【答案】A
【解答】解：根据题意，设曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线倾斜角为θ，
由于函数y＝f（x）可导，且，
由导数的定义可得f'（1）＝1，则曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为k＝f'（1）＝1，
则有tanθ＝1，而θ∈[0°，180°），故θ＝45°．
故选：A．
（多选）21．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（　　）
A．若f（x）＝ln3，则
B．若f（x）＝tanx，则f′（x）＝1+tan2x
C．f（x）＝2x在x＝1处的切线斜率是ln4
D．f（x）＝x3+1过点（2，5）的切线方程是12x﹣y﹣19＝0
【答案】BC
【解答】解：由f（x）＝ln3，得f′（x）＝0，故A错误；
由，得，故B正确；
由f（x）＝2x，得f′（x）＝2xln2，故f′（1）＝2ln2＝ln4，
∴f（x）＝2x在x＝1处的切线斜率是ln4，故C正确；
f′（x）＝3x2，设切点为，得，
故f（x）＝x3+1过点（2，5）的切线方程是，
将（2，5）代入切线方程中，，
即，
变形得到，即，
解得x0＝1或，
故切线方程的斜率为3或，
故切线方程不为12x﹣y﹣19＝0，D错误．
故选：BC．
22．若，则f′（1）＝ 　﹣9　 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：由导数的定义可知3，
所以f′（1）＝﹣9．
故答案为：﹣9．
23．已知函数f（x）＝10x+x2．
（1）用导数的定义求函数y＝f（x）的导数；
（2）求出f′（5），f′（0）的值．
【答案】（1）f′（x）＝2x+10；
（2）f′（5）＝20；f′（0）＝10．
【解答】解：（1）函数f（x）＝10x+x2，
则Δy＝f（x+Δx）﹣f（x）＝10（x+Δx）+（x+Δx）2﹣10x﹣x2＝（Δx）2+（2x+10）Δx，
所以，
则当Δx→0时，，
故f′（x）＝2x+10；
（2）由（1）可知f′（x）＝2x+10，
所以f′（5）＝2×5+10＝20，f′（0）＝2×0+10＝10
▉题型3 含Δx表达式的极限计算与导数的关系
【知识点的认识】
导数的概念：
函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即
f′（x0）
24．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为f′（x0），则（　　）
A． B．﹣3f′（x0）
C．3f′（x0） D．
【答案】C
【解答】解：∵函数f（x）在x＝x0处的导数为f′（x0），
∴33f'（x0）．
故选：C．
25．若函数y＝f（x）在x＝x0处可导，则等于（　　）
A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0
【答案】C
【解答】解：∵函数y＝f（x）在x＝x0处可导，
∴．
故选：C．
26．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则（　　）
A．3 B．1 C．2 D．
【答案】B
【解答】解：因为函数f（x）在x＝x0处的导数为3，
所以f'（x0）＝3，
所以．
故选：B．
27．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为12，则（　　）
A．﹣36 B．﹣4 C．4 D．36
【答案】C
【解答】解：f′（x0）＝12，
∴．
故选：C．
28．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣9 B．9 C．﹣1 D．1
【答案】B
【解答】解：函数f（x）在x＝x0处可导，且，
则f′（x0）3＝9．
故选：B．
29．已知，则f'（x0）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，，则有，
则f'（x0）．
故选：B．
30．已知函数f（x）在x＝x0处可导，且，则f′（x0）＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C． D．1
【答案】B
【解答】解：因为，
所以．
故选：B．
31．设函数f（x）＝x2，则（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
32．已知函数f（x）＝2x2﹣5，则的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．8 D．16
【答案】C
【解答】解：因为函数f（x）＝2x2﹣5，
可得f′（x）＝4x，则f′（2）＝8，
由导数的定义知，．
故选：C．
33．设函数f（x）在x＝1处存在导数为2，则（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【解答】解：∵函数f（x）在x＝1处存在导数为2，
∴f′（1）．
故选：A．
34．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为6，则（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6
【答案】A
【解答】解：由题意得函数f（x）在x＝x0处的导数f′（x0）＝6，
所以f′（x0）3．
故选：A．
35．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为3，则（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】B
【解答】解；因为函数f（x）在x＝x0处的导数为3，
所以，
所以．
故选：B．
36．若函数y＝f（x）在x＝x0处的导数等于a，则的值为（　　）
A．a B．2a C．3a D．4a
【答案】D
【解答】解：函数y＝f（x）在x＝x0处的导数等于a，
则f'（x0）＝a，
故4f'（x0）＝4a．
故选：D．
37．已知函数f（x）在x＝x0处的导数为6，则（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣12 D．12
【答案】A
【解答】解；函数f（x）在x＝x0处的导数为6，
则．
故选：A．
38．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且，则实数a的值为（　　）
A．﹣2 B． C． D．2
【答案】D
【解答】解：，
解得a＝2．
故选：D．
39．若函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，且x0∈（a，b），则的值为（　　）
A．f′（x0） B．2f′（x0） C．﹣2f′（x0） D．0
【答案】B
【解答】解：由题意，根据导数的定义，可知f′（x0），
∴2f′（x0），
故选：B．
40．设f（x）为可导函数，且，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．
【答案】D
【解答】解：因为f（x）为可导函数，且，
则2＝2f′（1）＝﹣1，
所以f′（1），即为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，
故选：D．
41．已知函数f（x）＝2x2+1，则 　﹣4　 ．
【答案】﹣4．
【解答】解：f（x）＝2x2+1，
则f'（x）＝4x，
故f'（1）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
42．若函数f（x）＝sin2x，则 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：因为函数f（x）＝sin2x，
所以33f′（x）＝3×2cos2x6cos0＝6．
故答案为：6．
43．若R上的可导函数y＝f（x）在x＝x0处满足3，则f′（x0）＝　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：3，
则，解得f'（x0）＝6．
故答案为：6．
▉题型4 导数与切线的斜率
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
44．函数在x＝0处的切线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：，
则f'（x），
故f'（0）3，即所求切线斜率为3．
故选：C．
45．已知直线l与曲线f（x）＝ex+sinx在点（0，f（0））处的切线垂直，则直线l的斜率为（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．2
【答案】C
【解答】解：由函数f（x）＝ex+sinx，可得f′（x）＝ex+cosx，
则f′（0）＝2，所以直线l的斜率为．
故选：C．
46．函数f（x）＝aex﹣sinx在点（0，f（0））处的切线斜率为2，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：由函数f（x）＝aex﹣sinx，
可得f′（x）＝aex﹣cosx，
所以f′（0）＝2 a﹣1＝2 a＝3．
故选：B．
47．已知函数f（x）＝aex﹣1+lnx的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则实数a的值为（　　）
A． B．﹣2 C．﹣3 D．1
【答案】C
【解答】解：，
可得切线的斜率．
将直线x﹣2y﹣3＝0转化为斜截式，可知直线斜率．
因为函数f（x）的图像在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，
根据两直线垂直斜率之积为﹣1，可得k×k1＝﹣1，即．
可得：a+1＝﹣2，
故a＝﹣3．
故选：C．
48．设f（x）为可导函数且满足，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（　　）
A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由导数的几何意义，可知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为f′（1），
根据导数概念，f′（1）1，
即曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为1．
故选：C．
49．已知函数f（x）在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，如图：
由导数的几何意义，f′（1）为曲线在x＝1处切线的斜率，
f′（3）为曲线在x＝1处切线的斜率，
kAB，为割线AB的斜率，
则有．
故选：B．
50．曲线y＝sinx+cosx在处切线的倾斜角为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为y′＝cosx﹣sinx，
所以曲线在处的切线的斜率为k＝﹣1，
结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为．
故选：D．
51．曲线y＝x3﹣2lnx在点（1，1）处的切线的斜率为 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由题可得：，
当x＝1时，y′＝1，
所以曲线在点（1，1）处的切线的斜率为1．
故答案为：1．
52．若f（x）＝x3﹣x+3在x＝1处的切线为l，直线l的倾斜角为θ，则　﹣1　 ．
【答案】﹣1．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣1，
所以f′（1）＝2，即tanθ＝2，
所以．
故答案为：﹣1．
53．在微积分中“以直代曲”是最基本、最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正n边形和内接正n边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想方法进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．若函数f（x）＝ex，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为 y＝x+1　 ，用此结论“近似计算”的值为 　　 （结果用分数表示）．
【答案】y＝x+1；．
【解答】解：函数f（x）＝ex的导数为f'（x）＝ex，所以f'（0）＝1，
函数f（x）＝ex在点（0，1）处的切线为y＝x+1，
所以f（x）＝ex在x＝0附近可以用y＝x+1代替，
即f（x）＝ex≈x+1，又非常接近0，
．
故答案为：y＝x+1；．
54．已知曲线f（x）＝mx2﹣mx+1在点（1，f（1））处的切线被圆x2﹣4x+4+y2﹣6y＝0所截弦长最短，则m＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：若m＝0，则函数f（x）＝1，不符合题意，
故m≠0，f′（x）＝2mx﹣m，则f′（1）＝2m﹣m＝m，又f（1）＝1，
所以曲线在（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝m（x﹣1），则直线恒过定点（1，1）．
x2﹣4x+4+y2﹣6y＝0 （x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，定点（1，1）在圆内．
因为切线被该圆所截的弦长最短，所以定点与圆心的连线与切线垂直，
则，解得．
故答案为：．
▉题型5 函数图象趋势与导数大小的关系
【知识点的认识】
导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
55．函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，
则由导函数y＝f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，
且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，
故选：D．
56．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由y＝f'（x）的图象易得当x＜0或x＞2时，f'（x）＞0，
故函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）和（2，+∞）上单调递增；
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，故函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递减；
故选：C．
57．已知函数y＝xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中y＝f（x）的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由函数y＝xf′（x）的图象可知：
当x＜﹣1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当﹣1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
故选：C．
58．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），若函数f（x）在x＝1处取得极大值，则函数y＝﹣xf'（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝1处取得极大值，
∴当x＞1时，f′（x）＜0；
当x＝1时，f′（x）＝0；
当x＜1时，f′（x）＞0．
∴x＜0时，y＝﹣xf'（x）＞0，
0＜x＜1时，y＝﹣xf'（x）＜0，
当x＝0或x＝1时，y＝﹣xf′（x）＝0；
当x＞1时，﹣xf′（x）＞0．
故选：B．
59．已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（　　）
A．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
B．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）
C．2f′（2）＜2f′（4）＜f（4）﹣f（2）
D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）
【答案】A
【解答】解：由函数f（x）的图象知：
当x≥0时，f（x）单调递增，且当x＝0时，f（0）＞0，
∴f′（2），f′（4），f（4）﹣f（2）＞0，
由此可知f′（x）在（0，+∞）上恒大于0，其图象为一条直线，
∵直线的斜率逐渐增大，
∴f′（x）单调递增，
∴f′（2）＜f′（4），
∴2f′（2）＜2f′（4），
∵f′（2）f′（4），
∴2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）
故选：A．
（多选）60．如图是导函数y＝f′（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）
A．（3，5）为函数y＝f（x）的单调递减区间
B．（4，5）为函数y＝f（x）的单调递增区间
C．函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值
D．函数y＝f（x）在x＝4处取得极小值
【答案】AC
【解答】解：由图象可知，x∈（3，5）时，f′（x）＜0，
所以（3，5）为函数y＝f（x）的单调递减区间，故A正确；
由图象可知，x∈（4，5）时，f′（x）＜0，
所以（4，5）为函数y＝f（x）的单调递减区间，故B错误；
由图象可知，f′（3）＝0，
且当x∈（0，3）时，f′（x）＞0，当x∈（3，5）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，5）上单调递减，
故函数y＝f（x）在x＝3处取得极大值，故C正确；
由图象可知，f′（4）≠0，故x＝4不是函数的极值点，故D错误．
故选：AC．

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