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第二章 3 导数的计算
题型1 基本初等函数的导数
▉题型1 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．已知，则f'（8）等于（　　）
A．0 B． C． D．﹣1
2．已知函数f（x）＝﹣6xx2，且f'（x0）＝2，则x0＝（　　）
A． B．2 C．3 D．4
3．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）﹣f（a）＝f′（c）（b﹣a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．已知下列四个命题，其中正确的是（　　）
A． B．
C．（sin2x）′＝cos2x D．（2x）′＝x 2x﹣1
5．已知函数f（x）＝sinx+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则（　　）
A．f′（x）＝sinx+cosx B．f′（x）＝sinx﹣cosx
C．f′（x）＝﹣sinx+cosx D．f′（x）＝﹣sinx﹣cosx
6．已知函数f（x）＝x3+f'（1）x2，则f'（1）＝（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
7．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），其中x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的“中值点”．请问函数f（x）＝5x3﹣3x在区间[﹣1，1]上的“中值点”的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函数f（x）＝f′（1） x2﹣lnx，则f'（1）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
9．下列求导运算正确的是（　　）
A．y＝ln2，则y′
B．若f（x）＝2xlnx，则f'（x）
C．若f（x）＝cos（2x+3），则f′（x）＝2sin（2x+3）
D．若f（x），则f'（x）
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（　　）
A．e B． C．﹣1 D．﹣e
11．已知，则f'（0）＝（　　）
A．0 B．2 C． D．
12．已知函数，则（　　）
A．0 B．﹣2025 C．2025 D．4050
13．若，则f'（x）等于（　　）
A．sin2x B．cos2x
C．sinx D．
14．已知函数f（x）＝f′（1）ex﹣lnx+2x，则f′（1）＝（　　）
A．
B．
C．e﹣1
D．1﹣e
15．设函数f（x）＝ln（2﹣3x），则f′（）＝（　　）
A． B． C．﹣3 D．﹣2
16．已知函数f（x）＝3lnx+2，则f′（1）＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
17．已知函数f（x）的导函数是f′（x），若f（x）＝f′（π）x2﹣cosx，则（　　）
A． B．0 C． D．
18．已知函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（3）＝（　　）
A． B． C． D．
19．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝x2f'（2）﹣lnx，则f（1）＝（　　）
A．1 B． C． D．
20．下列求导运算错误的是（　　）
A．（2x）′＝2xln2 B．（sin2x）′＝2cos2x
C． D．
21．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（　　）
A．26 B．29 C．212 D．215
22．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式x f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（，2） B．（﹣∞，）∪（2，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，3） D．（﹣∞，0）∪（，2）
23．下列求导运算正确的是（　　）
A．（cos x）'＝sin x B．（log2x）'
C．（）' D．（3x）'＝3xlog3e
24．已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
25．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2+2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
26．下列导数运算正确的是（　　）
A．（2x2+3）'＝4x+3 B．
C． D．（e﹣x）'＝e﹣x
27．下列导数运算正确的是（　　）
A．(2x)′＝x 2x﹣1
B．(sinxcosx+1)′＝cos2x
C．(lgx)
D．(x﹣1)′＝x﹣2
28．下列求导正确的是（　　）
A．（sinx﹣sin）′＝cosx﹣sin
B．[（2x+1）2]′＝2（2x+1）
C．（log2x ）′
D．（2x+x2）′＝2x+2x
29．设f（x）＝ax3+x，若f'（﹣1）＝4，则a＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣1
30．若f（x）＝ln（﹣x），则f′（﹣2024）＝（　　）
A． B．﹣2024 C． D．2024
31．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．（3x）′＝3x
32．下列求导运算正确的是（　　）
A．（cosx）′＝sinx B．
C．（x3ex）′＝sinx D．
33．已知，则f′（2024）＝（　　）
A．0 B．﹣2023 C．﹣2024 D．2023
34．已知函数（f′（x）是f（x）的导函数），则f（1）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
35．已知，则若f′（1）＝6，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
36．函数f（x）＝x2+2x﹣1，则f'（0）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
37．已知函数f（x）满足，则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
38．已知f1（x）＝sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn+1（x）＝fn′（x），n∈N*，则f2023（x）＝（　　）
A．﹣sinx﹣cosx B．sinx﹣cosx
C．﹣sinx+cosx D．sinx+cosx
（多选）39．已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．f（2）＝﹣1 B．f（1） f（2）＞4
C．f′（1） f′（2）＜0 D．方程f′（x）＝0无解
（多选）40．下列求导正确的有（　　）
A．若f（x）＝lnx，则
B．若f（x）＝3e﹣x，则f′（x）＝3e﹣x
C．若f（x）＝x2+log2x，则
D．若，则
（多选）41．下列函数的求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（x3+x﹣1）'＝3x2﹣x﹣2 D．（xe2x）'＝（x+1）e2x
（多选）42．下列求导运算正确的是（　　）
A．（）'
B．（x2ex）'＝2x+ex
C．[cos（2x）]'＝﹣sin（2x）
D．（x）'＝1
（多选）43．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．（sin2x）′＝2cos2x
C． D．
（多选）44．下列求导运算中错误的是（　　）
A． B．
C．（x2cosx）′＝﹣2xsinx D．
（多选）45．下列求导正确的是（　　）
A．若，则
B．若y＝xsinx，则y′＝sinx﹣xcosx
C．若，则
D．若y＝（2x+1）4，则y′＝4（2x+1）2
（多选）46．下列求导数运算正确的是（　　）
A．[ln（1﹣2x）]'
B．（lgx）'
C．（x2sinx）'＝2xcosx
D．（）'
（多选）47．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx+cosx B．f（x）＝lnx﹣2x
C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝xex
（多选）48．下列求导运算正确的有（　　）
A．（（2x+1）2）′＝2（2x+1） B．
C． D．（xsinx）′＝cosx
（多选）49．下列求导错误的是（　　）
A．（e3x）′＝3ex
B．
C．（2sinx﹣3）′＝2cosx
D．（xcosx）′＝cosx﹣xsinx
（多选）50．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若存在x0使得f′（x0）＝f（x0），则称x0是f（x）的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（　　）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝x3 C．f（x）＝lnx D．f（x）＝xex
（多选）51．下列函数求导运算正确的是（　　）
A．
B．（e﹣x）'＝e﹣x
C．（xcosx）'＝cosx+xsinx
D．
（多选）52．下列式子正确的有（　　）
A．（e3）′＝3e2 B．
C． D．，（m＞0）
53．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝　 　 ．
54．已知函数f（x）＝e2x+f'（0）ln（x+4），则f'（0）＝　 　 ．
55．若函数f（x）＝x+sinx，则f′（x）＝　 　 ．
56．已知f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝lnx﹣f′（1）x2，则f′（1）＝ 　 　 ．
57．函数的导数为 　 　 ．
58．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f（x）＝　 　 ．
①f（x1+x2）＝f（x1） f（x2）；
② x∈R，f′（x）＜0．
59．求下列函数的导函数：
（1）y＝excosx﹣t2（t为常数）；
（2）．
60．帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f（x）在x＝0处的[m，n]阶帕德近似定义为：，且满足：f（0）＝R（0），f'（0）＝R'（0），f″（0）＝R″（0）…，f（m+n）（0）＝R（m+n）（0）．已知f（x）＝ln（x+1）在x＝0处的[1，1]阶帕德近似为．
注：f″（x）＝[f'（x）]′，f″'（x）＝[f″（x）]′，f（4）（x）＝[f″'（x）]′，f（5）（x）＝[f（4）（x）]′，…
（1）求实数a，b的值；
（2）求证：；
（3）求不等式的解集，其中e＝2.71828 ．第二章 3 导数的计算
题型1 基本初等函数的导数
▉题型1 基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．已知，则f'（8）等于（　　）
A．0 B． C． D．﹣1
【答案】C
【解答】解：，得f′（x）x，
∴，
故选：C．
2．已知函数f（x）＝﹣6xx2，且f'（x0）＝2，则x0＝（　　）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣6xx2，则f′（x）＝﹣6+2x，
若f'（x0）＝2，则有﹣6+2x0＝2，解可得x0＝2，
故选：B．
3．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象连续不间断，在开区间（a，b）内的导数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点c，使得f（b）﹣f（a）＝f′（c）（b﹣a）成立，其中c叫做f（x）在[a，b]上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数f（x）＝x3﹣3x在[﹣2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解答】解：函数f（x）＝x3﹣3x，
则有f（2）＝2，f（﹣2）＝﹣2，f'（x）＝3x2﹣3，
由f（2）﹣f（﹣2）＝f'（c）（2+2），
可得f'（c）＝1，即3c2﹣3＝1，解得，
f（x）在[﹣2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2．
故选：B．
4．已知下列四个命题，其中正确的是（　　）
A． B．
C．（sin2x）′＝cos2x D．（2x）′＝x 2x﹣1
【答案】B
【解答】解：∵（ln2）′＝0，（log2x）′，（sin2x）′＝2cos2x，（2x）′＝2xln2，
∴只有B正确，
故选：B．
5．已知函数f（x）＝sinx+cosx，f′（x）为f（x）的导函数，则（　　）
A．f′（x）＝sinx+cosx B．f′（x）＝sinx﹣cosx
C．f′（x）＝﹣sinx+cosx D．f′（x）＝﹣sinx﹣cosx
【答案】C
【解答】解：由f（x）＝sinx+cosx可得，f′（x）＝cosx﹣sinx．
故选：C．
6．已知函数f（x）＝x3+f'（1）x2，则f'（1）＝（　　）
A． B． C．3 D．﹣3
【答案】D
【解答】解：因为f（x）＝x3+f'（1）x2，所以f'（x）＝3x2+2xf'（1），
所以f'（1）＝3+2f'（1），解得f'（1）＝﹣3．
故选：D．
7．以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，则（a，b）内至少存在一个点x0∈（a，b），使得f（b）﹣f（a）＝f′（x0）（b﹣a），其中x＝x0称为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的“中值点”．请问函数f（x）＝5x3﹣3x在区间[﹣1，1]上的“中值点”的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：由拉格朗日中值定理，f（﹣1）＝﹣2，f（1）＝2，f′（x）＝15x2﹣3，
则f（1）﹣f（﹣1）＝f′（x0）×2 f′（x0）＝2，则，共2个解．
故选：B．
8．已知函数f（x）＝f′（1） x2﹣lnx，则f'（1）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由于函数 f（x）＝f′（1） x2﹣lnx，则其导函数为：，
代入x＝1，可得：f'（1）＝2f'（1）﹣1，解得：f'（1）＝1．
故选：A．
9．下列求导运算正确的是（　　）
A．y＝ln2，则y′
B．若f（x）＝2xlnx，则f'（x）
C．若f（x）＝cos（2x+3），则f′（x）＝2sin（2x+3）
D．若f（x），则f'（x）
【答案】D
【解答】解：（ln2）′＝0，A错误；
（2xlnx）′＝2lnx+2x（lnx）′＝2lnx+2，B错误；
f′（x）＝cos′（2x+3）＝﹣2sin（2x+3），C错误；
（）′，D正确．
故选：D．
10．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（e）+lnx，则f（e）＝（　　）
A．e B． C．﹣1 D．﹣e
【答案】C
【解答】解：由f（x）＝2xf′（e）+lnx，得f′（x）＝2f′（e），则f′（e）＝2f′（e），所以f′（e），
故f（x）x+lnx，所以f（e）＝﹣1．
故选：C．
11．已知，则f'（0）＝（　　）
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为，
所以f′（x）e﹣x，
所以f'（0）＝1﹣e0＝1﹣1＝0．
故选：A．
12．已知函数，则（　　）
A．0 B．﹣2025 C．2025 D．4050
【答案】B
【解答】解：因为函数，
所以f′（x）＝﹣4050sin（2x），
故4050sin（）＝﹣4050cos40502025．
故选：B．
13．若，则f'（x）等于（　　）
A．sin2x B．cos2x
C．sinx D．
【答案】C
【解答】解：因为，所以．
故选：C．
14．已知函数f（x）＝f′（1）ex﹣lnx+2x，则f′（1）＝（　　）
A．
B．
C．e﹣1
D．1﹣e
【答案】A
【解答】解：f（x）＝f′（1）ex﹣lnx+2x，
，
令x＝1得f′（1）＝ef′（1）﹣1+2，解得．
故选：A．
15．设函数f（x）＝ln（2﹣3x），则f′（）＝（　　）
A． B． C．﹣3 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：f′（x） （2﹣3x）′，
则f′（）3，
故选：C．
16．已知函数f（x）＝3lnx+2，则f′（1）＝（　　）
A．3 B．5 C．8 D．10
【答案】A
【解答】解：f（x）＝3lnx+2，
则，
所以f′（1）3．
故选：A．
17．已知函数f（x）的导函数是f′（x），若f（x）＝f′（π）x2﹣cosx，则（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【解答】解：f′（x）＝2xf′（π）+sinx，
∴f′（π）＝2πf′（π），
∴f′（π）＝0，
∴f（x）＝﹣cosx，
∴．
故选：A．
18．已知函数f（x）＝lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（3）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为f（x）＝lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则，
所以，f′（1）＝4﹣2f′（1），解得，所以，，
因此，．
故选：A．
19．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝x2f'（2）﹣lnx，则f（1）＝（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：已知函数f（x）的导函数为f'（x），且f（x）＝x2f'（2）﹣lnx，∴，
所以，解得，
可得，故．
故选：D．
20．下列求导运算错误的是（　　）
A．（2x）′＝2xln2 B．（sin2x）′＝2cos2x
C． D．
【答案】D
【解答】解：对于A选项，（2x）′＝2xln2，A对；
对于B选项，根据复合函数的求导法则可得，（sin2x）′＝2cos2x，B对；
对于C选项，，C对；
对于D选项，根据函数的求导法则可得，，D错．
故选：D．
21．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f（x）＝x（x﹣a1）（x﹣a2）…（x﹣a8），则f′（0）＝（　　）
A．26 B．29 C．212 D．215
【答案】C
【解答】解：考虑到求导中f′（0），含有x项均取0，
得：f′（0）＝a1a2a3…a8＝（a1a8）4＝212．
故选：C．
22．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则不等式x f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（，2） B．（﹣∞，）∪（2，+∞）
C．（﹣1，0）∪（1，3） D．（﹣∞，0）∪（，2）
【答案】D
【解答】解：由图象知f（x）在（﹣∞，）和（2，+∞）上单调递增，在上单调递减
∴f'（x）＞0的解集为（﹣∞，）∪（2，+∞），f'（x）＜0的解集为（，2）
又∵x f′（x）＜0等价于或
∴x＜0或x＜2
∴原不等式的解集为（﹣∞，0）∪（，2）
故选：D．
23．下列求导运算正确的是（　　）
A．（cos x）'＝sin x B．（log2x）'
C．（）' D．（3x）'＝3xlog3e
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（cosx）′＝﹣sinx，A错误；
对于B，（log2x）′，B错误；
对于C，（）′（）′，C正确；
对于D，（3x）′＝3xln3，D错误；
故选：C．
24．已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝x2f'（1）+lnx，∴f′（x）＝2xf′（1），∴f′（1）＝﹣1，
∴f′（x）＝﹣2x，∴f′（）＝﹣1+2＝1．
故选：B．
25．一物体做直线运动，其位移s与时间t的关系是s＝t2+2t，则物体在t＝2时的瞬时速度为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解答】解：根据题意，s＝t2+2t，其导数s′＝2t+2，
则有s′|t＝2＝2×2+2＝6，
即物体在t＝2时的瞬时速度为6，
故选：B．
26．下列导数运算正确的是（　　）
A．（2x2+3）'＝4x+3 B．
C． D．（e﹣x）'＝e﹣x
【答案】C
【解答】解：对A，∵（2x2+3）'＝4x，∴A错误；
对B，∵，∴B错误；
对C，∵，∴C正确；
对D，∵（e﹣x）′＝﹣e﹣x，∴D错误．
故选：C．
27．下列导数运算正确的是（　　）
A．(2x)′＝x 2x﹣1
B．(sinxcosx+1)′＝cos2x
C．(lgx)
D．(x﹣1)′＝x﹣2
【答案】B
【解答】解：对于A，(2x)'＝2xln2，故选项A错误；
对于B，(sinxcosx+1)′＝cos2x﹣sin2x＝cos2x,故选项B正确；
对于C,，故选项C错误；
对于D，（x﹣1）'＝﹣x﹣2，故选项D错误．
故选：B．
28．下列求导正确的是（　　）
A．（sinx﹣sin）′＝cosx﹣sin
B．[（2x+1）2]′＝2（2x+1）
C．（log2x ）′
D．（2x+x2）′＝2x+2x
【答案】C
【解答】解：（sinx﹣sin）′＝cosx，故A错误；
[（2x+1）2]′＝2（2x+1）×2＝4（2x+1），故B错误；
（log2x ）′，故C正确；
（2x+x2）′＝2xln2+2x，故D错误．
故选：C．
29．设f（x）＝ax3+x，若f'（﹣1）＝4，则a＝（　　）
A．1 B．﹣2 C．3 D．﹣1
【答案】A
【解答】解：∵f'（x）＝3ax2+1，∴f'（﹣1）＝3a+1＝4，解得：a＝1．
故选：A．
30．若f（x）＝ln（﹣x），则f′（﹣2024）＝（　　）
A． B．﹣2024 C． D．2024
【答案】A
【解答】解：，则．
故选：A．
31．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．（3x）′＝3x
【答案】C
【解答】解：A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，（3x）′＝3xln3，D错误．
故选：C．
32．下列求导运算正确的是（　　）
A．（cosx）′＝sinx B．
C．（x3ex）′＝sinx D．
【答案】D
【解答】解：对于A，（cosx）′＝﹣sinx，所以A错误，
对于B，（x2+ln3）′＝2x，所以B错误，
对于C，（x3ex）′＝3x2ex+x3ex，所以C错误，
对于D，，所以D正确．
故选：D．
33．已知，则f′（2024）＝（　　）
A．0 B．﹣2023 C．﹣2024 D．2023
【答案】C
【解答】解：因为，
所以f′（x）x+1，
令x＝2024，则，解得f′（2024）＝﹣2024．
故选：C．
34．已知函数（f′（x）是f（x）的导函数），则f（1）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：由函数，可得，
令x＝1，可得f′（1）＝3f′（1）﹣1，解得，
则，所以．
故选：A．
35．已知，则若f′（1）＝6，则a＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：因为，所以f′（x）＝x2+2x+a，
又f′（1）＝6，即f′（1）＝12+2×1+a＝6，解得a＝3．
故选：B．
36．函数f（x）＝x2+2x﹣1，则f'（0）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：因为f（x）＝x2+2x﹣1，
所以f′（x）＝2x+2，
则f'（0）＝2．
故选：D．
37．已知函数f（x）满足，则的值为（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【答案】C
【解答】解：因为，
由题意得，．
故选：C．
38．已知f1（x）＝sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，fn+1（x）＝fn′（x），n∈N*，则f2023（x）＝（　　）
A．﹣sinx﹣cosx B．sinx﹣cosx
C．﹣sinx+cosx D．sinx+cosx
【答案】A
【解答】解：f1（x）＝sinx+cosx，
则f2（x）＝cosx﹣sinx，
f3（x）＝﹣sinx﹣cosx，
f4（x）＝﹣cosx+sinx，
f5（x）＝sinx+cosx，
故fn（x）是以4为周期的函数，
f2019（x）＝f3（x）＝﹣sinx﹣cosx．
故选：A．
（多选）39．已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列结论中正确的是（　　）
A．f（2）＝﹣1 B．f（1） f（2）＞4
C．f′（1） f′（2）＜0 D．方程f′（x）＝0无解
【答案】BC
【解答】解：由图可知f（﹣1）＝2，f（﹣2）＞2，又∵函数分f（x）是奇函数，
∴f（1）＝﹣2，f（2）＜﹣2，∴f（1） f（2）＞4，∴B对；
由f（x）是奇函数，结合图象可知f′（1）＜0，f′（2）＞0，∴f′（1） f′（2）＜0，∴C对；
由图象可知f（2）＝﹣f（﹣2）＜﹣2，f′（x）＝0有解，∴AD错误．
故选：BC．
（多选）40．下列求导正确的有（　　）
A．若f（x）＝lnx，则
B．若f（x）＝3e﹣x，则f′（x）＝3e﹣x
C．若f（x）＝x2+log2x，则
D．若，则
【答案】AC
【解答】解：若f（x）＝lnx，则f′（x），∴A对；
若f（x）＝3e﹣x，则f′（x）＝﹣3e﹣x，∴B错；
若f（x）＝x2+log2x，则f′（x）＝2x，∴C对；
若f（x）＝sinx+cos，则f′（x）＝cosx，∴D错．
故选：AC．
（多选）41．下列函数的求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（x3+x﹣1）'＝3x2﹣x﹣2 D．（xe2x）'＝（x+1）e2x
【答案】BC
【解答】解：对于A，（ln2024）′＝0，故A错误；
对于B，（tanx）′，故B正确；
对于C，（x3+x﹣1）'＝3x2﹣x﹣2，故C正确；
对于D，（xe2x）'＝e2x+x 2e2x＝e2x（1+2x），故D错误．
故选：BC．
（多选）42．下列求导运算正确的是（　　）
A．（）'
B．（x2ex）'＝2x+ex
C．[cos（2x）]'＝﹣sin（2x）
D．（x）'＝1
【答案】AD
【解答】解：对于A，，故A正确，
对于B，（x2ex）'＝2xex+x2ex，故B错误，
对于C，[cos（2x）]'＝﹣sin（2x） 2＝﹣2sin（2x），故C错误，
对于D，'＝1，故D正确，
故选：AD．
（多选）43．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．（sin2x）′＝2cos2x
C． D．
【答案】BCD
【解答】解：（2x）′＝2xln2，（sin2x）′＝2cos2x，，．
故选：BCD．
（多选）44．下列求导运算中错误的是（　　）
A． B．
C．（x2cosx）′＝﹣2xsinx D．
【答案】ACD
【解答】解：对于A：，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故C错误；
对于D：，故D错误．
故选：ACD．
（多选）45．下列求导正确的是（　　）
A．若，则
B．若y＝xsinx，则y′＝sinx﹣xcosx
C．若，则
D．若y＝（2x+1）4，则y′＝4（2x+1）2
【答案】AC
【解答】解：A，2x，A正确；
B，y′＝（xsinx）′＝sinx+xcosx，B错误；
C，，C正确；
D，y′＝[（2x+1）4]′＝4（2x+1）3×（2x+1）′＝8（2x+1）3，D错误．
故选：AC．
（多选）46．下列求导数运算正确的是（　　）
A．[ln（1﹣2x）]'
B．（lgx）'
C．（x2sinx）'＝2xcosx
D．（）'
【答案】ABD
【解答】解：，，（x2sinx）′＝2xsinx+x2cosx，．
故选：ABD．
（多选）47．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f′（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx+cosx B．f（x）＝lnx﹣2x
C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝xex
【答案】ABC
【解答】解：对于A：f′（x）＝cosx﹣sinx，f″（x）＝﹣sinx﹣cosx，
∵x∈，∴f″（x）＜0，f（x）在上是凸函数，
故A正确；
对于B：f′（x）2，f″（x）0，
故f（x）在上是凸函数，
故B正确；
对于C：f′（x）＝﹣3x2+2，f″（x）＝﹣6x＜0，
故f（x）在上是凸函数，
故C正确；
对于D：f′（x）＝（x+1）ex，f″（x）＝（x+2）ex＞0，
故f（x）在上不是凸函数，
故D错误；
故选：ABC．
（多选）48．下列求导运算正确的有（　　）
A．（（2x+1）2）′＝2（2x+1） B．
C． D．（xsinx）′＝cosx
【答案】BC
【解答】解：∵（（2x+1）2）′＝2（2x+1）×2＝4（2x+1），∴A错误，
∵（）′，∴B正确，
∵（log2x）′，∴C正确，
∵（xsinx）′＝sinx+xcosx，∴D错误，
故选：BC．
（多选）49．下列求导错误的是（　　）
A．（e3x）′＝3ex
B．
C．（2sinx﹣3）′＝2cosx
D．（xcosx）′＝cosx﹣xsinx
【答案】AB
【解答】解：∵（e3x）′＝3e3x，∴A错误，
∵，∴B错误，
∵（2sinx﹣3）′＝2cosx，∴C正确，
∵（xcosx）′＝cosx﹣xsinx，∴D正确，
故选：AB．
（多选）50．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若存在x0使得f′（x0）＝f（x0），则称x0是f（x）的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（　　）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝x3 C．f（x）＝lnx D．f（x）＝xex
【答案】ABC
【解答】解：f（x）＝sinx，∴f′（x）＝cosx，则sinx＝cosx，显然有解，故具有“新驻点”；
f（x）＝x3，∴f′（x）＝3x2，则x3＝3x2，显然有解，故具有“新驻点”；
f（x）＝lnx，，则lnx，显然有解，故具有“新驻点”；
f（x）＝xex，f′（x）＝（x+1）ex，则xex＝（x+1）ex，显然无解，故不具有“新驻点”；
故选：ABC．
（多选）51．下列函数求导运算正确的是（　　）
A．
B．（e﹣x）'＝e﹣x
C．（xcosx）'＝cosx+xsinx
D．
【答案】AD
【解答】解：，（e﹣x）＝﹣e﹣x，（xcosx）′＝cosx﹣xsinx，．
故选：AD．
（多选）52．下列式子正确的有（　　）
A．（e3）′＝3e2 B．
C． D．，（m＞0）
【答案】CD
【解答】解：对于选项A，（e3）′＝0，所以选项A错误；
对于选项B，，所以选项B错误．
对于选项C，，所以选项C正确；
对于选项D，，所以选项D正确．
故选：CD．
53．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则f′（2）＝　﹣2　 ．
【答案】﹣2
【解答】解：由f（x）＝x2+3xf′（2），
得：f′（x）＝2x+3f′（2），
所以，f′（2）＝2×2+3f′（2），
所以，f′（2）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
54．已知函数f（x）＝e2x+f'（0）ln（x+4），则f'（0）＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵f（x）＝e2x+f'（0）ln（x+4），
∴f′（x）＝2e2x+f'（0） ，
∴f′（0）＝2f'（0），
∴f'（0）．
故答案为：．
55．若函数f（x）＝x+sinx，则f′（x）＝　1+cosx ．
【答案】1+cosx．
【解答】解：因为f（x）＝x+sinx，
所以f′（x）＝（x+sinx）′＝x′+（sinx）′＝1+cosx．
故答案为：1+cosx．
56．已知f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝lnx﹣f′（1）x2，则f′（1）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由f（x）＝lnx﹣f′（1）x2，
得，
把x＝1代入，可得f′（1）＝1﹣2f′（1），即．
故答案为：．
57．函数的导数为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，，
其导数．
故答案为：．
58．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f（x）＝ax（0＜a＜1）（答案不唯一）　 ．
①f（x1+x2）＝f（x1） f（x2）；
② x∈R，f′（x）＜0．
【答案】ax（0＜a＜1）（答案不唯一）．
【解答】解：由性质②，f（x）是R上的减函数，
且满足性质①f（x1+x2）＝f（x1） f（x2），可以是指数函数，
所以函数f（x）＝ax（0＜a＜1）符合题意．
故答案为：ax（0＜a＜1）（答案不唯一）．
59．求下列函数的导函数：
（1）y＝excosx﹣t2（t为常数）；
（2）．
【答案】（1）y′＝ex（cosx﹣sinx）；
（2）．
【解答】解：（1）y′＝excosx﹣exsinx＝ex（cosx﹣sinx）；
（2）．
60．帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f（x）在x＝0处的[m，n]阶帕德近似定义为：，且满足：f（0）＝R（0），f'（0）＝R'（0），f″（0）＝R″（0）…，f（m+n）（0）＝R（m+n）（0）．已知f（x）＝ln（x+1）在x＝0处的[1，1]阶帕德近似为．
注：f″（x）＝[f'（x）]′，f″'（x）＝[f″（x）]′，f（4）（x）＝[f″'（x）]′，f（5）（x）＝[f（4）（x）]′，…
（1）求实数a，b的值；
（2）求证：；
（3）求不等式的解集，其中e＝2.71828 ．
【答案】（1）a＝1，b；
（2）证明过程见解析；
（3）（0，+∞）．
【解答】解：（1）因为，
所以R′（x），R″（x），
因为f（x）＝ln（x+1），
所以f′（x），f″（x），
由题知f′（0）＝R′（0），f″（0）＝R″（0），
所以，
解得a＝1，b；
（2）证明：由（1）知，要证，
即证，
不妨令，则t＞0且t≠1，
即证当t∈（0，1）∪（1，+∞）时，，
不妨设，函数定义域为t∈（0，1）∪（1，+∞），
则φ′（t），
所以φ（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递增，
当t∈（0，1）时，φ（t）＜φ（1）＝0，
可得，
即成立，
当t∈（1，+∞）时，φ（t）＞φ（1）＝0，
可得，
即成立，
综上可得当t∈（0，1）∪（1，+∞）时，，
所以成立，
即证成立；
（3）由题意知，欲使得不等式成立，
则至少有10，即x＞0或x＜﹣1，
首先考虑e＜（1，
该不等式等价于ln（11，
即（x）ln（1）＞1，
由（2）知（x）ln（1）＞1成立，
所以使e＜（1成立的x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞），
再考虑（1）x＜e，
该不等式等价于xln（1）＜1，
不妨令h（x）＝lnx﹣x+1，函数定义域为（0，1）∪（1，+∞），
可得h′（x）1，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）＜h（1）＝0，
即当（0，1）∪（1，+∞）时，lnx＜x﹣1，
所以当（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）时，ln（1），
当x＞0时，由ln（1）可得xln（1）＜1成立；
当x＜﹣1时，由ln（1）可得xln（1）＜1不成立，
所以要使（1）x＜e成立的x的取值范围为（0，+∞），
综上可得不等式的解集为（0，+∞）．

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