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第二章 4 导数的四则运算法则
题型1 导数的加法与减法法则 题型2 导数的乘法与除法法则
▉题型1 导数的加法与减法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．已知函数f（x）＝sinx+lnx，则f′（1）的值为（　　）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
2．已知函数f（x）＝﹣cosx+lnx，则f′（1）的值为（　　）
A．sin1﹣1 B．1﹣sin1 C．1+sin1 D．﹣1﹣sin1
3．已知f（x）＝（2x+1）33a，若f′（﹣1）＝8，则f（﹣1）＝（　　）
A．4 B．5 C．﹣2 D．﹣3
4．设函数f（x）的导数f′（x），且f（x）＝f′（）cosx+sinx，则f′（）＝（　　）
A．1 B．0 C． D．
5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（　　）
A．函数h（x）有最大值也有最小值
B．函数h（x）只有最小值
C．函数h（x）只有最大值
D．函数h（x）没有最大值也没有最小值
6．一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数关系为V（t）＝0.3t2+0.2t（0≤t≤10），则在t＝5s时刻，赛车的加速度为（　　）
A．3m/s2 B．3.2m/s2 C．6m/s2 D．8.5m/s2
7．已知f（x）＝2x2+3xf′（2），则f′（0）＝　 　 ．
8．已知函数f（x）＝cosx+sinx，则　 　 ．
9．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝2x﹣f′（1）lnx+f′（2），则f′（2）的值是　 　 ．
10．设函数f（x）＝x3+bx2+cx（x∈R），若g（x）＝f（x）﹣f′（x）是奇函数，则b+c的值为　 　 ．
11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3x2+2xf′（2），则f′（5）＝　 　 ．
12．已知函数f（x）＝x2f′（3）+5x﹣7，则函数f（x）的解析式为 　 　 ．
▉题型2 导数的乘法与除法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
13．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）＝0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
14．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x） D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（　　）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
16．函数的导数为（　　）
A．
B．
C．
D．
17．若y，则y′＝（　　）
A．
B．
C．
D．
18．函数f（x） sinx的导数为（　　）
A．f′（x）＝2 cosx
B．f′（x） cosx
C．f′（x）＝2 cosx
D．f′（x） cosx
19．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
20．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．（5x）′＝5x D．（5x）′＝5xln5
21．函数f（x）ex（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（　　）
A．[，] B．（，）
C．[1，] D．（1，）
22．函数f（x）＝xsinx+cosx的导数是（　　）
A．xcosx+sinx B．xcosx
C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx
23．函数y＝xcosx﹣sinx的导数为（　　）
A．xsinx B．﹣xsinx C．xcosx D．﹣xcosx
24．设y＝﹣2exsinx，则y′等于（　　）
A．﹣2excosx B．﹣2exsinx
C．2exsinx D．﹣2ex（sinx+cosx）
25．（文）已知函数f（x）＝f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
26．函数y＝exsinx的导数等于（　　）
A．excosx B．exsinx
C．﹣excosx D．ex（sinx+cosx）
（多选）27．下列命题正确的有（　　）
A．（2025x）′＝x2025x﹣1
B．已知的数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
28．设f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），则f′（0）＝　 　 ．
29．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）＝6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为　 　 ．
30．已知函数f（θ），则 f′（0）＝　 　 ．
31．求下列函数的导数：
（1）y；
（2）y；
（3）y＝﹣2sin（2sin21）．
32．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．第二章 4 导数的四则运算法则
题型1 导数的加法与减法法则 题型2 导数的乘法与除法法则
▉题型1 导数的加法与减法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．已知函数f（x）＝sinx+lnx，则f′（1）的值为（　　）
A．1﹣cos1 B．1+cos1 C．cos1﹣1 D．﹣1﹣cos1
【答案】B
【解答】解：因为f′（x）＝cosx，则f′（1）＝cos1+1．
故选：B．
2．已知函数f（x）＝﹣cosx+lnx，则f′（1）的值为（　　）
A．sin1﹣1 B．1﹣sin1 C．1+sin1 D．﹣1﹣sin1
【答案】C
【解答】解：∵函数f（x）＝﹣cosx+lnx，
∴f′（x）＝sinx，
∴f'（1）＝sin1+1，
故选：C．
3．已知f（x）＝（2x+1）33a，若f′（﹣1）＝8，则f（﹣1）＝（　　）
A．4 B．5 C．﹣2 D．﹣3
【答案】A
【解答】解：已知，
∴f′（x）＝3（2x+1）2×2，
∵f'（﹣1）＝8，
∴3×2+2a＝8，故有a＝1，
∴，
∴f（﹣1）＝﹣1+2+3＝4，
故选：A．
4．设函数f（x）的导数f′（x），且f（x）＝f′（）cosx+sinx，则f′（）＝（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】B
【解答】解：由f（x）＝f′（）cosx+sinx，得f′（x）＝﹣f′（）sinx+cosx，
则f′（）＝﹣f′（） sincos，解得f′（），
所以f′（）＝﹣f′（）sincos0，
故选：B．
5．已知函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，则（　　）
A．函数h（x）有最大值也有最小值
B．函数h（x）只有最小值
C．函数h（x）只有最大值
D．函数h（x）没有最大值也没有最小值
【答案】B
【解答】解：函数，对任意x∈（0，3]，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x）恒成立，
故有 h′（x）0，
∴ 在（0，3]上是减函数，故当x＝3时，h（x）有最小值为h（3），没有最大值，
故选：B．
6．一辆赛车在跑道上做速度测试，已知测试的速度V（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数关系为V（t）＝0.3t2+0.2t（0≤t≤10），则在t＝5s时刻，赛车的加速度为（　　）
A．3m/s2 B．3.2m/s2 C．6m/s2 D．8.5m/s2
【答案】B
【解答】解：因为V（t）＝0.3t2+0.2t，所以V′（t）＝0.6t+0.2，
所以t＝5s时刻加速度为V′（5）＝0.6×5+0.2＝3.2（m/s2）．
故选：B．
7．已知f（x）＝2x2+3xf′（2），则f′（0）＝　﹣12　 ．
【答案】﹣12
【解答】解：∵已知f（x）＝2x2+3xf′（2），∴f′（x）＝4x+3f′（2）．
令x＝2可得 f′（2）＝8+3f′（2），∴f′（2）＝﹣4，∴f′（x）＝4x﹣12，∴f′（0）＝12，
故答案为﹣12．
8．已知函数f（x）＝cosx+sinx，则　0　 ．
【答案】0
【解答】解：由导数的求导法则结合题意可得：f′（x）＝﹣sinx+cosx
所以sincos0
故答案为：0
9．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝2x﹣f′（1）lnx+f′（2），则f′（2）的值是　　 ．
【答案】
【解答】解：由f（x）＝2x﹣f′（1）lnx+f′（2），得
，取x＝1得：f′（1）＝2ln2﹣f′（1）．
∴f′（1）＝ln2．
则，
∴．
故答案为：．
10．设函数f（x）＝x3+bx2+cx（x∈R），若g（x）＝f（x）﹣f′（x）是奇函数，则b+c的值为　3　 ．
【答案】3
【解答】解：∵函数f（x）＝x3+bx2+cx（x∈R），∴f′（x）＝3x2+2bx+c，
∴g（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c 为奇函数，
∴b﹣3＝0，﹣c＝0，即 b＝3，c＝0，∴b+c＝3，
故答案为：3．
11．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝3x2+2xf′（2），则f′（5）＝　6　 ．
【答案】6
【解答】解：f′（x）＝6x+2f′（2）
令x＝2得
f′（2）＝﹣12
∴f′（x）＝6x﹣24
∴f′（5）＝30﹣24＝6
故答案为：6
12．已知函数f（x）＝x2f′（3）+5x﹣7，则函数f（x）的解析式为 f（x）＝﹣x2+5x﹣7　 ．
【答案】f（x）＝﹣x2+5x﹣7．
【解答】解：根据题意可知，f（x）＝x2f′（3）+5x﹣7，
所以f′（x）＝2xf′（3）+5，
所以f′（3）＝2×3f′（3）+5，
解得f′（3）＝﹣1，
把f′（3）＝﹣1代入f（x）＝x2f′（3）+5x﹣7，得到f（x）＝﹣x2+5x﹣7．
故答案为：f（x）＝﹣x2+5x﹣7．
▉题型2 导数的乘法与除法法则
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）
⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）
⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
13．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）＝0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
【答案】D
【解答】解：因 f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即[f（x）g（x）]'＞0
故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上递增，
又∵f（x），g（x）分别是定义R上的奇函数和偶函数，
∴f（x）g（x）为奇函数，关于原点对称，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函数．
∵f（3）g（3）＝0，∴f（﹣3）g（﹣3）＝0
所以f（x）g（x）＜0的解集为：x＜﹣3或0＜x＜3
故选：D．
14．设f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数，且满足f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A．f（x）g（x）＞f（b）g（b） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（b）＞f（b）g（x） D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）
【答案】B
【解答】解：∵f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0
∴
∴函数在R上为单调增函数
∵a＜x＜b
∴
∵f（x），g（x）是定义在R上的恒大于零的可导函数
∴f（x）g（a）＞f（a）g（x）
故选：B．
15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，则f′（1）＝（　　）
A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e
【答案】B
【解答】解：∵函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2xf′（1）+lnx，（x＞0）
∴f′（x）＝2f′（1），把x＝1代入f′（x）可得f′（1）＝2f′（1）+1，
解得f′（1）＝﹣1，
故选：B．
16．函数的导数为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：∵y′，
故选：C．
17．若y，则y′＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解答】解：∵，∴y′
故选：A．
18．函数f（x） sinx的导数为（　　）
A．f′（x）＝2 cosx
B．f′（x） cosx
C．f′（x）＝2 cosx
D．f′（x） cosx
【答案】B
【解答】解：∵（）′，（sinx）′＝cosx，
∴f′（x）＝（）′×sinx（sinx）'
故选：B．
19．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
【答案】A
【解答】解：设h（x）＝f（x）g（x），
因为当x＜0时，f'（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，
所以当x＜0时，h′（x）＜0，
所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，
又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，
所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，
因为f（﹣1）＝0，
所以函数y＝h（x）的大致图象如下：
所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）
故选：A．
20．下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．（5x）′＝5x D．（5x）′＝5xln5
【答案】D
【解答】解：因为，（5x）′＝5xln5．
所以正确的选项是D．
故选：D．
21．函数f（x）ex（sinx+cosx）在区间[0，]上的值域为（　　）
A．[，] B．（，）
C．[1，] D．（1，）
【答案】A
【解答】解：f′（x）ex（sinx+cosx）ex（cosx﹣sinx）＝excosx，
当0≤x时，f′（x）≥0，
∴f（x）是[0，]上的增函数．
∴f（x）的最大值在x处取得，f（）e，
f（x）的最小值在x＝0处取得，f（0）．
∴函数值域为[]
故选：A．
22．函数f（x）＝xsinx+cosx的导数是（　　）
A．xcosx+sinx B．xcosx
C．xcosx﹣sinx D．cosx﹣sinx
【答案】B
【解答】解：∵f（x）＝xsinx+cosx
∴f′（x）＝（xsinx+cosx）′＝（xsinx）′+（cosx）′
＝x′sinx+x（sinx）′﹣sinx
＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx
故选：B．
23．函数y＝xcosx﹣sinx的导数为（　　）
A．xsinx B．﹣xsinx C．xcosx D．﹣xcosx
【答案】B
【解答】解：y′＝（xcosx）′﹣（sinx）'
＝（x）′cosx+x（cosx）′﹣cosx
＝cosx﹣xsinx﹣cosx
＝﹣xsinx．
故选：B．
24．设y＝﹣2exsinx，则y′等于（　　）
A．﹣2excosx B．﹣2exsinx
C．2exsinx D．﹣2ex（sinx+cosx）
【答案】D
【解答】解：∵y＝﹣2exsinx，
∴y′＝（﹣2ex）′sinx+（﹣2ex） （sinx）′
＝﹣2exsinx﹣2excosx
＝﹣2ex（sinx+cosx）．
故选：D．
25．（文）已知函数f（x）＝f′（）sinx+cosx，则f（）的值为（　　）
A．1 B．2 C．﹣2 D．﹣1
【答案】D
【解答】解：∵f（x）＝f′（）sinx+cosx，
∴f′（x）＝f′（）cosx﹣sinx，
令x，
则f′（）＝f′（）cossinf′（），
则f′（）（），
则f（x）＝﹣（）sinx+cosx，
则f（）＝﹣（）sincos（）1，
故选：D．
26．函数y＝exsinx的导数等于（　　）
A．excosx B．exsinx
C．﹣excosx D．ex（sinx+cosx）
【答案】D
【解答】解：∵y＝exsinx，
∴y′＝（ex）′sinx+（ex） （sinx）′
＝exsinx+excosx
＝ex（sinx+cosx）．
故选：D．
（多选）27．下列命题正确的有（　　）
A．（2025x）′＝x2025x﹣1
B．已知的数f（x）＝ln（2x+1），若f′（x0）＝1，则
C．
D．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，（2025x）′＝2025xln2025，故选项A错误；
对于选项B，因为，
若f′（x0）＝1则，
即，故选项B正确；
对于选项C，因为，故选项C错误；
对于选项D，因为f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，
则，
故，
故，故选项D正确．
故选：BD．
28．设f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），则f′（0）＝n！　 ．
【答案】n！
【解答】解：求导数可得f′（x）＝x′（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n）+x（x+1）′（x+2）（x+3）…（x+n）+…+x（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n）′
＝（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n）+x（x+2）（x+3）…（x+n）+…+x（x+1）（x+2）（x+3）…
故f′（0）＝1×2×3×…×n＝n！
故答案为：n！
29．定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）＞1﹣f（x），f（0）＝6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为　（0，+∞）　 ．
【答案】（0，+∞）
【解答】解：设g（x）＝exf（x）﹣ex，（x∈R），
则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f'（x）＞1﹣f（x），
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y＝g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+5，
∴g（x）＞5，
又∵g（0）＝e0f（0）﹣e0＝6﹣1＝5，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
故答案为：（0，+∞）．
30．已知函数f（θ），则 f′（0）＝　　 ．
【答案】
【解答】解：函数f（θ），
则 f′（θ）
所以f′（0）
故答案为
31．求下列函数的导数：
（1）y；
（2）y；
（3）y＝﹣2sin（2sin21）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵ylog4x，
∴y′；
（2）∵y2x2x，
∴y′＝（）′；
（3）∵y＝﹣2sin（2sin21）＝2sin（1﹣2sin2）
＝2sincossinx．
∴y′＝（sin x）′＝cos x．
32．已知函数f（x）＝xlnx．
（1）求这个函数的导数；
（2）求这个函数的图象在点x＝e处的切线方程．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵f（x）＝xlnx，
∴f′（x）＝lnx+1（x＞0）；
（2）由（1）知，切线的斜率k＝f′（e）＝lne+1＝2，点（e，e），
代入点斜式方程得：y﹣e＝2（x﹣e），即2x﹣y﹣e＝0，
∴该函数的图象在x＝e处的切线方程为：2x﹣y﹣e＝0．

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