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第二章 5 简单复合函数的求导法则
题型1 简单复合函数的导数
▉题型1 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．函数的导函数是（　　）
A．f'（x）＝2e2x
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于函数，
对其求导可得：f′（x）；
故选：C．
2．函数y＝sin（2x2+x）导数是（　　）
A．y′＝cos（2x2+x）
B．y′＝2xsin（2x2+x）
C．y′＝（4x+1）cos（2x2+x）
D．y′＝4cos（2x2+x）
【答案】C
【解答】解：设y＝sinu，u＝2x2+x，
则y′＝cosu，u′＝4x+1，
∴y′＝（4x+1）cosu＝（4x+1）cos（2x2+x），
故选：C．
3．函数的导数是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】解：∵函数，
∴y′＝3cos（3x）×3，
故选：B．
4．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且（a＞0，且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵
又∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴为减函数
∴0＜a＜1
∵即
解得
故选：B．
5．设a∈R，函数f（x）＝ex+a e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（　　）
A．ln2 B．﹣ln2 C． D．
【答案】A
【解答】解：对f（x）＝ex+a e﹣x求导得
f′（x）＝ex﹣ae﹣x
又f′（x）是奇函数，故
f′（0）＝1﹣a＝0
解得a＝1，
故有f′（x）＝ex﹣e﹣x，
设切点为（x0，y0），
则，
得或（舍去），
得x0＝ln2．
故选：A．
6．若函数f（x）＝exsin2x，则f′（0）等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：根据复合函数求导可知，f′（x）＝ex（sin2x+2cos2x），所以f′（0）＝e0（sin0+2cos0）＝2．
故选：D．
7．下列求导运算结果正确的是（　　）
A． B．（xax）′＝ax（x+1）
C．（sinπ）′＝cosπ D．
【答案】D
【解答】解：对于A，，选项A错误；
对于B，（xax）′＝ax+xaxlna＝ax（1+xlna），选项B错误；
对于C，因为sinπ是常数，所以（sinπ）′＝0，选项C错误；
对于D，，选项D正确．
故选：D．
8．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x）， ，fn+1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2025（x）＝（　　）
A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx
【答案】C
【解答】解：因为f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x）＝cosx，f2（x）＝f1′（x）＝﹣sinx，f3（x）＝f2′（x）＝﹣cosx，f4（x）＝f3′（x）＝sinx，
又2025＝4×506+1，
所以f2025（x）＝f1（x）＝cosx．
故选：C．
9．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（2x）′＝2x D．
【答案】D
【解答】解：对于A，（cos）′＝（）′＝0，故A错误；
对于B，[ln（2x﹣1）]′，故B错误；
对于C，（2x）′＝2xln2，故C错误；
对于D，（lnx）′，故D正确．
故选：D．
10．下列求导的运算正确的是（　　）
A． B．
C．（x3ex）′＝（x3+3x2）ex D．
【答案】C
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，（x3ex）′＝3x2 ex+x3 ex＝（x3+3x2）ex，故C正确；
对于D，根据复合函数的求导法则可得，（ln（4x+1）′，故D错误．
故选：C．
11．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：，
∴f′（1）＝2f′（1）﹣1，解得f′（1）＝1．
故选：A．
（多选）12．下列导数正确的是（　　）
A．若y＝ln（2x+1），则
B．若f（x）＝（2x﹣3）sin（2x+5），则f′（x）＝2sin（2x+5）+（2x﹣3）cos（2x+5）
C．若，则
D．若y＝e﹣x+1，则y′＝e﹣x+1
【答案】AC
【解答】解：若y＝ln（2x+1），则，A正确；
若f（x）＝（2x﹣3）sin（2x+5），则f′（x）＝2 sin（2x+5）+2 （2x﹣3）cos（2x+5），B错误；
若，则，C正确；
若y＝e﹣x+1，则y′＝﹣e﹣x+1，D错误．
故选：AC．
（多选）13．下列求导数运算正确的是（　　）
A． B．（log2x）′
C．（cos2x）′＝﹣2sin2x D．（tanx）′
【答案】BCD
【解答】解：（x）′＝1，A错误；
（log2x）′，B正确；
（cos2x）′＝﹣2sin2x，C正确；
（tanx）′，D正确．
故选：BCD．
（多选）14．定义在区间[a，b]上的连续函数y＝f（x）的导函数为f′（x），如果 ξ∈[a，b]使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数是（　　）
A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝x2﹣x+1
C．f（x）＝ln（x+1） D．
【答案】AD
【解答】解：由题意可知，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率，
对于A，f（x）＝3x+2，显然，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故A正确；
对于B，f（x）区间[0，1]两端点连线的斜率为0，
因为f′（x）＝2x﹣1，
由2x﹣1＝0，得，
所以f（x）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故B错误；
对于C，f（x）在[0，1]两端点的斜率为ln2，
因为，
令，得，
故f（x）在[0，1]只存在一个“中值点”，故C错误；
对于D，f（x）在[0，1]两端点的斜率为，
因为，
令，解得：，
所以函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故D正确．
故选：AD．
（多选）15．下列结论正确的是（　　）
A．
B．设函数f（x）＝xlnx，且f′（x0）＝2，则x0＝e
C．若，则
D．若f（x）＝f′（1）x2﹣x，则f′（1）＝1
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，由复合函数的导数公式得，故选项A错误；
对于选项B，因为f（x）＝xlnx，所以f′（x）＝1+lnx，
则f′（x0）＝1+lnx0＝2，解得x0＝e，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以y′＝0，故选项C错误；
对于选项D，因为f（x）＝f′（1）x2﹣x，
所以f′（x）＝2f′（1）x﹣1，
令x＝1，则f′（1）＝2f′（1）﹣1，
解得f′（1）＝1，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）16．下列求导数运算结果正确的是（　　）
A．
B．（xsinx）′＝sinx+xcosx
C．
D．
【答案】BC
【解答】解：对于A，，A错误；
对于B，（xsinx）′＝sinx+xcosx，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
（多选）17．下列命题正确的是（　　）
A．（cosx）′＝sinx
B．已知函数h（x）在R上可导，若，则h′（1）＝2
C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1
D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
【答案】BC
【解答】解：对于A，（cosx）′＝﹣sinx，A错误；
对于B，由导数定义知2，B正确；
对于C，，则．
由f′（x0）＝2，得，即，
解得x0＝1或（舍去），C正确；
对于D，由，得φ′（x）＝x2﹣xφ′（1）﹣1，
故φ′（1）＝1﹣φ′（1）﹣1，φ′（1）＝0，D错误．
故选：BC．
18．设点P是曲线y＝x3x上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为　[0，）∪[，π）　 ．
【答案】[0，）∪[，π）．
【解答】解：设点P是曲线上的任意一点，
∵，∴y'＝3x2，
∴点P处的切线的斜率k＝3x2，
∴k，
∴切线的倾斜角α的范围为：[0，）∪[，π）．
故答案为：[0，）∪[，π）．
19．已知函数f（x）＝3ln（x﹣1）﹣x2f′（2），则f′（2）＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为函数f（x）＝3ln（x﹣1）﹣x2f′（2），
所以f′（x）2xf′（2），
故f′（2）＝3﹣4f′（2），可得f′（2）．
故答案为：．
20．已知f（x）＝x2，g（x）＝lnx，若f′（x）+2xg′（x）＝3，则x＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x2，g（x）＝lnx，
则f′（x）＝2x，，
若f′（x）+2xg′（x）＝3，则有，即2x＝1，解得．
故答案为：．
21．设函数，若，则a＝ 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由，
则，
所以，得a＝1．
故答案为：1．
22．已知f（x）＝sinx+f′（0）cosx，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为f′（x）＝cosx﹣f′（0）sinx，
所以f′（0）＝cos0﹣f′（0）sin0，解得f′（0）＝1，
将其代入f（x）可得f（x）＝sinx+cosx，则．
故答案为：．
23．已知函数f（x）满足，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由f（x）＝f′（）cosx﹣sinx，得f′（x）＝﹣f′（）sinx﹣cosx，
所以f′（）＝﹣f′（）sincos，
所以f′（），
所以f′（）．
故答案为：．
24．已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y＝0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＝1，且x≥2时，证明：f（x﹣1）≤2x﹣5．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，．
又曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y＝0垂直，
所以f'（1）＝a+1＝2，
即a＝1．
（Ⅱ）由于．
当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＜0时，由f'（x）＝0，得．
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅲ）当a＝1时，x∈[2，+∞）．
令．．
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．
又g（2）＝0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．
所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．
即．
故当a＝1，且x≥2时，f（x﹣1）≤2x﹣5成立．
25．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn+1＝fn′（x），n∈N，则f2023（x）＝ 　﹣cosx ．
【答案】﹣cosx．
【解答】解：由已知得，f1（x）＝cos x，f2（x）＝﹣sinx，f3（x）＝﹣cosx，f4（x）＝sinx，
f5（x）＝cosx，…，
所以函数呈周期变化，且周期为4，
因为2023＝4×505+3，
所以f2023（x）＝f3（x）＝﹣cosx．
故答案为：﹣cosx．
26．求下列函数在给定点处的导数：
（1）y＝ln（5x+2）在x＝1处的导数；
（2）在处的导数．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）y＝ln（5x+2）可以看作函数y＝lnu和u＝5x+2的复合函数，
所以，
．
（2），
．第二章 5 简单复合函数的求导法则
题型1 简单复合函数的导数
▉题型1 简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
1．函数的导函数是（　　）
A．f'（x）＝2e2x
B．
C．
D．
2．函数y＝sin（2x2+x）导数是（　　）
A．y′＝cos（2x2+x）
B．y′＝2xsin（2x2+x）
C．y′＝（4x+1）cos（2x2+x）
D．y′＝4cos（2x2+x）
3．函数的导数是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且（a＞0，且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．设a∈R，函数f（x）＝ex+a e﹣x的导函数是f′（x），且f′（x）是奇函数．若曲线y＝f（x）的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（　　）
A．ln2 B．﹣ln2 C． D．
6．若函数f（x）＝exsin2x，则f′（0）等于（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
7．下列求导运算结果正确的是（　　）
A． B．（xax）′＝ax（x+1）
C．（sinπ）′＝cosπ D．
8．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x）， ，fn+1（x）＝fn′（x），n∈N，则f2025（x）＝（　　）
A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx
9．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C．（2x）′＝2x D．
10．下列求导的运算正确的是（　　）
A． B．
C．（x3ex）′＝（x3+3x2）ex D．
11．已知f′（x）是函数f（x）的导函数，且，则f′（1）＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
（多选）12．下列导数正确的是（　　）
A．若y＝ln（2x+1），则
B．若f（x）＝（2x﹣3）sin（2x+5），则f′（x）＝2sin（2x+5）+（2x﹣3）cos（2x+5）
C．若，则
D．若y＝e﹣x+1，则y′＝e﹣x+1
（多选）13．下列求导数运算正确的是（　　）
A． B．（log2x）′
C．（cos2x）′＝﹣2sin2x D．（tanx）′
（多选）14．定义在区间[a，b]上的连续函数y＝f（x）的导函数为f′（x），如果 ξ∈[a，b]使得f（b）﹣f（a）＝f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数是（　　）
A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝x2﹣x+1
C．f（x）＝ln（x+1） D．
（多选）15．下列结论正确的是（　　）
A．
B．设函数f（x）＝xlnx，且f′（x0）＝2，则x0＝e
C．若，则
D．若f（x）＝f′（1）x2﹣x，则f′（1）＝1
（多选）16．下列求导数运算结果正确的是（　　）
A．
B．（xsinx）′＝sinx+xcosx
C．
D．
（多选）17．下列命题正确的是（　　）
A．（cosx）′＝sinx
B．已知函数h（x）在R上可导，若，则h′（1）＝2
C．已知函数，若f′（x0）＝2，则x0＝1
D．设函数φ（x）的导函数为φ′（x），且，则φ′（1）＝1
18．设点P是曲线y＝x3x上的任意一点，点P处的切线倾斜角为α，则α的取值范围为　 　 ．
19．已知函数f（x）＝3ln（x﹣1）﹣x2f′（2），则f′（2）＝ 　 　 ．
20．已知f（x）＝x2，g（x）＝lnx，若f′（x）+2xg′（x）＝3，则x＝ 　 　 ．
21．设函数，若，则a＝ 　 　 ．
22．已知f（x）＝sinx+f′（0）cosx，则 　 　 ．
23．已知函数f（x）满足，则 　 　 ．
24．已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y＝0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a＝1，且x≥2时，证明：f（x﹣1）≤2x﹣5．
25．设f0（x）＝sinx，f1（x）＝f0′（x），f2（x）＝f1′（x），…，fn+1＝fn′（x），n∈N，则f2023（x）＝ 　 　 ．
26．求下列函数在给定点处的导数：
（1）y＝ln（5x+2）在x＝1处的导数；
（2）在处的导数．

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