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第二章 6 用导数研究函数的性质
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 利用导数研究函数的极值 题型4 利用导数求解函数的极值
题型5 利用导数研究函数的最值 题型6 利用导数求解函数的最值
题型7 由函数的最值求解函数或参数（导数法） 题型8 利用导数研究曲线上某点切线方程
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）
【答案】C
【解答】解：令y＝f（x） g（x），
则y′＝f′（x） g（x）+f（x） g′（x），
由于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
所以y在R上单调递减，
又x＜b，故f（x）g（x）＞f（b）g（b）．
故选：C．
2．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（，2） B．（﹣∞，0）∪（，2）
C．（﹣∞，∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（2，+∞）
【答案】B
【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）大于0，
在（，2）上小于0，
∴xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，0）∪（，2）．
故选：B．
3．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A． x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
【答案】C
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．
（1）当Δ＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x （﹣∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵f（x）x3+ax2+bx+c2c，
，
∵f（x），
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则f′（x1）＝f′（x2）＝0，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即 xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即 x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
4．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解答】解：设g（x），
则g（x）的导数为：g′（x），
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0 x g（x）＞0
或，
0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
5．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x） f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
【答案】B
【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，
在（﹣1，0）上小于0，
∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．
故选：B．
6．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（　　）
A． B．1 C．e D．2e
【答案】B
【解答】解：根据题意，若0＜x1＜x2＜a，
x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2 0，
设f（x），（x＞0），
则在（0，a），函数f（x）为增函数，
对于f（x），其导数f′（x），
若f′（x）＞0，解可得0＜x＜1，
即函数f（x）的递增区间为（0，1）；
若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，即在（0，a），函数f（x）为增函数，
则a的最大值为1；
故选：B．
（多选）7．已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（　　）
A．实数a的取值范围是（﹣2，2）
B．曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为定值
C．存在非零常数λ，使得曲线y＝f（x）在点（λa，f（λa））处的切线恒过原点
D．若曲线y＝f（x）在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为k1，k2，k3，则
【答案】BCD
【解答】解：对于A选项，由于存在三个不同的零点，
故，解得﹣2＜a＜2，且a≠±1，故A选项错误；
对于B选项，求导得f′（x）＝x2﹣2ax+a2﹣1，则f′（a）＝a2﹣2a2+a2﹣1＝﹣1，
曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为定值﹣1，故B选项正确．
对于C选项，当a＝0时，切线显然过原点；
当a≠0时，f′（λa）＝（λ2﹣2λ+1）a2﹣1，，
则曲线y＝f（x）在点（λa，f（λa））处的切线方程为：
，
将原点坐标代入得，
得，解得或λ＝0（舍去），故C选项正确．
对于D选项，显然0是f（x）的一个零点，f′（0）＝a2﹣1，
设另外两个零点分别为x1，x2（x1≠x2），
则，而，
故，
，
由A知，x1，x2是方程的两个实根，
因此，故，故D选项正确，
故选：BCD．
（多选）8．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数．记f''（x）＝（f'（x））'，若f''（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx﹣cosx B．f（x）＝lnx﹣2x
C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x
【答案】BC
【解答】解：A．由f（x）＝sinx﹣cosx，得f′（x）＝cosx+sinx，
∴，
∵，∴当时，，
这与f''（x）在定义域中小于0不符，故A错误；
B．由f（x）＝lnx﹣2x，得，∴，
∵，∴f''（x）＜0在上恒成立，故B正确；
C．由f（x）＝﹣x3+2x﹣1，得f′（x）＝﹣3x2+2，∴f''（x）＝﹣6x，
∵，∴f''（x）＝﹣6x＜0恒成立，故C正确；
D．由f（x）＝﹣xe﹣x，得f'（x）＝e﹣x（x﹣1），∴f''（x）＝e﹣x（2﹣x），
∵时，2﹣x＞0，e﹣x＞0，
∴f''（x）＞0恒成立，与f''（x）在定义域中小于0不符，故D错误．
故选：BC．
（多选）9．下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x﹣（）x，其导数y′＝11，区间（0，+∞）上，y′＞0，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx，有y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝3﹣x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函数，其开口向上，对称轴为x＝﹣1，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：ABD．
10．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递增区间是　（1，+∞）　 ．
【答案】（1，+∞）
【解答】解：∵y＝x﹣lnx定义域是{x|x＞0}
∵y'＝1当 0时，x＞1或x＜0（舍）
故答案为：（1，+∞）．
11．设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[，]的最大值和最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：f（x）的定义域为（，+∞）
（1）f′（x）2x
当x＜﹣1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x时，f′（x）＜0；
当x时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（，﹣1），（，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，）上单调递减
（2）由（1）知f（x）在区间[，]的最小值为f（）＝ln2
又f（）﹣f（）＝lnln
＝ln（1﹣ln）＜0
所以f（x）在区间[，]的最大值为f（）ln．
12．已知函数f（x）x2﹣（a+2）x+2alnx（a＞0），
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝2x+b，求a+2b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设函数g（x）＝﹣（a+2）x，若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
∴，f′（1）＝1﹣（a+2）+2a＝2
解得a＝3，b，∴a+2b＝﹣10．
（2），
当a＝2时，f′（x）≥0 x∈（0，+∞），∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
当0＜a＜2时，由f′（x）＞0 x∈（0，a）∪（2，+∞），
∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞）
由f′（x）＜0 x∈（a，2），∴f（x）的单调减区间为（a，2）．
当a＞2时，由f′（x）＞0 x∈（0，2）∪（a，+∞），∴f（x）的单调减区间为（0，2），（a，+∞）
由f′（x）＜0 x∈（2，a），∴f（x）的单调减区间为（2，a）．
综上所述：当a＝2时，f′（x）≥0 x∈（0，+∞），∴f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当0＜a＜2时，∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（a，2）
当a＞2时，∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），f（x）的单调减区间为（2，a）．
（3）若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0），
∴，
当x∈[e，4]时，lnx＞1，
∴有解，令，
∴2a＞h（x）min
，
∴h（x）在[e，4]上单调递减，h（x）min＝h（4），
∴2a，即a．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
13．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣1，0] D．[1，+∞）
【答案】C
【解答】解：当x≤0时，f（x）＝ex﹣1单调递增，值域为（﹣1，0]；
当x＞0时，，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
且x→0+，f（x）→﹣∞，x→+∞，f（x）→+∞，
要使g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，
结合图象可知﹣1＜m≤0，即m∈（﹣1，0]．
故选：C．
14．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＝1时，证明：．
【答案】（1）a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）[1，+∞）；
（3）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x2+x，由（2）知此时恒有f（x）≤0，即lnx≤x2﹣x．
当k＝1时，，
下面先证：成立．
依题意，需证，令，因为k≥2，所以，
不等式变为，即需证4（1﹣t）ln（1+t）＞（2﹣3t）t，
设g（t）＝4（1﹣t）ln（1+t）﹣（2﹣3t）t，则，
设，，
令，即6t2+8t﹣6＝0，
解得或（不符合题意舍去），易知，
所以时，h′（t）＜0，h（t），即g′（t））单调递减，
当t→0+时，﹣4ln（1+t）→0，，6t﹣2→﹣2，则g′（0+）→2，
当时，，
时，g′（t）＞0，g（t）在单调递增，又g（0）＝0，故当时，g（t）＞g（0）＝0，
所以成立得证；
因为，
所以，
，
所以
因为，所以，
因ln2，则，即．
综上所述，得证．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
，
当a≤0时，则f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）单调递增；
当a＞0时，令f′（x）＝0，解得或，由x＞0可知，
所以当时，f′（x）＞0，即f（x）在上单调递增，
当时，f′（x）＜0，即f（x）在上单调递减，
a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）知a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0+时，f（x）→﹣∞，
当x→+∞时，f（x）→+∞，所以f（x）≤0不可能恒成立．
当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以f（x）在处取得最大值f（）＝﹣lna1，
设，，则g（a）在（0，+∞）上单调递减，
因为g（1）＝0，
所以g（a）≤0 a≥1，
故实数a的取值范围为[1，+∞）．
（3）证明：当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x2+x，由（2）知，f（x）≤0，即lnx≤x2﹣x．
当k＝1时，，先证：成立．
依题意，需证，令，因为k≥2，所以，
变为，即4（1﹣t）ln（1+t）＞（2﹣3t）t，
设g（t）＝4（1﹣t）ln（1+t）﹣（2﹣3t）t，则，
设，，
令，
所以时，h′（t）＜0，h（t）即g，′（t））单调递减，
当t→0+时，﹣4ln（1+t）→0，，6t﹣2→﹣2，则g′（0+）→2，
当时，
所以在时g′（t）＞0，即知g（t）在单调递增，
又g（0）＝0，故当时，g（t）＞g（0）＝0，
所以不等式成立得证；
因为，
所以，
，
所以
因为，所以，
因，则，即．
综上所述，得证．
15．已知函数f（x）＝（2x2+x）lnx﹣（2a+1）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝（2x2+x）lnx﹣3x2﹣2x+b（x＞0）．
f′（x）＝（4x+1）（lnx﹣1），令f′（x）＝0，得x＝e．
x∈（0，e）时，f′（x）＜0，∈（e，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（e，+∞），减区间为（0，e）；
（Ⅱ）由题意得f′（x）＝（4x+1）（lnx﹣a），（x＞0）．
令f′（x）＝0，得x＝ea．
x∈（0，ea）时，f′（x）＜0，∈（ea，+∞）时，f′（x）＞0．
函数f（x）的单调增区间为（ea，+∞），减区间为（0，ea）
∴f（x）min＝f（ea）＝﹣e2a﹣ea+b，
∵f（x）≥0恒成立，∴f（ea）＝﹣e2a﹣ea+b≥0，则b≥e2a+ea．
∴b﹣a≥e2a+ea﹣a
令ea＝t，（t＞0），∴e2a+ea﹣a＝t2+t﹣lnt，
设g（t）＝t2+t﹣lnt，（t＞0），g′（t）．
当t∈（0，）时，g′（t）＜0，当t时，g′（t）＞0．
∴g（t）在（0，）上递减，在（，+∞）递增．
∴g（t）min＝g（）．
f（x）≥0恒成立，b﹣a的最小值为．
▉题型3 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
16．设函数，则（　　）
A．为f（x）的极大值点
B．为f（x）的极小值点
C．x＝2为f（x）的极大值点
D．x＝2为f（x）的极小值点
【答案】D
【解答】解：f′（x），（x＞0），
令f′（x）＞0，解得：x＞2，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，
故x＝2是函数的极小值点，
故选：D．
17．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2，在x＝1处有极值10，则f（2）等于（　　）
A．11或18 B．11 C．17或18 D．18
【答案】D
【解答】解：由f（x）＝x3+ax2+bx+a2，得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
∵f（x）在x＝1处有极值10，
∴，
解得：，或．
当a＝4，b＝﹣11时，
有f（x）＝x3+4x2﹣11x+16，f（2）＝8+16﹣22+16＝18
当a＝﹣3，b＝3时，
f（x）＝x3﹣3x2+3x+9，f′（x）＝3（x﹣1）2≥0（舍）．
故选：D．
18．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②函数y＝f（x）在区间内单调递减；
③函数y＝f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；
⑤当x时，函数y＝f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③
【答案】D
【解答】解：对于①，函数y＝f（x）在区间（﹣3，）内有增有减，故①不正确；
对于②，函数y＝f（x）在区间（，3）有增有减，故②不正确；
对于③，函数y＝f（x）当x∈（4，5）时，恒有f′（x）＞0．故③正确；
对于④，当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值，故④不正确；
对于⑤，当x时，f′（x）≠0，故⑤不正确．
故选：D．
19．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极小值点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，
则函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极小值点的个数为：1个．
即图象中的d点．
故选：A．
20．若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，） B．[2，） C．（2，） D．[2，）
【答案】C
【解答】解：∵函数f（x）x2+x+1，
∴f′（x）＝x2﹣ax+1，
若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上有极值点，
则f′（x）＝x2﹣ax+1在区间（，3）内有零点
由x2﹣ax+1＝0可得a＝x
∵x∈（，3），
∴2≤a，
当a＝2时，函数f（x）的导函数等于零时值只有1，可是两边的单调性相同，所以a不能等于2．
故选：C．
21．若函数f（x）＝ex﹣2ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得，f′（x）＝ex﹣4ax＝0有2个不同的实数根，且不为0，
即a有2个不同的实数根，
令g（x），则g′（x），
令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得x＜1，
所以g（x）在（﹣∞，0），（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
当x∈（﹣∞，0）时，g（x）＜0，
当x∈（0，+∞）时，x→0时，g（x）→+∞，x→+∞时，g（x）→+∞，
且在x＝1时取得极小值为g（1），
所以要使a有2个不同的实数根，
则a．
故选：C．
22．函数f（x）＝alnx+bx2+a2在x＝1处有极小值5，则a﹣b＝（　　）
A．﹣3 B． C．﹣3或 D．或3
【答案】A
【解答】解：∵f（x）＝alnx+bx2+a2，
∴f′（x），
∵f′（1）＝0，
∴a+2b＝0，
∵f（1）＝5，
∴b+a2＝5，
∴解得a＝﹣2，b＝1，或a，b，
当a＝﹣2，b＝1时，f′（x）2x，
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴x＝1时f（x）取得极小值，符合题意，
a，b，f′（x），
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴x＝1时f（x）取得极大值，不符合题意，
则a﹣b＝﹣3．
故选：A．
（多选）23．函数f（x）的导函数的图象如图所示，则（　　）
A．﹣1是函数f（x）的极值点
B．3是函数f（x）的极大值点
C．f（x）在区间（﹣1，4）上单调递减
D．1是函数f（x）的极小值点
【答案】AC
【解答】解：由图象可知，当x＜﹣1时，f′（x）＞0，当x＞﹣1时，f′（x）≤0，
则函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，
所以﹣1是函数f（x）的极大值点，选项A正确，选项B、D错误，
由于（﹣1，4） （﹣1，+∞），则选项C正确．
故选：AC．
（多选）24．已知函数f（x）＝ex﹣ax2（a为常数），则下列结论正确的有（　　）
A．a＝1时，f（x）≥0恒成立
B．a时，f（x）在零点x0，﹣1＜x0
C．时，x＝1是f（x）的极值点
D．若f（x）有3个零点，则a的范围为
【答案】BD
【解答】解：对于A，当a＝1时，f（﹣1），故选项A错误；
对于B，当a时，令g（x），
则g'（x），
当x＜0或x＞2时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
又g（﹣1）＝1，，，
由零点的存在性定理可知，g（x）只有一个零点x0，且﹣1＜x0，
所以f（x）只有一个零点x0且﹣1＜x0，
故选项B正确；
对于C，令h（x）＝f'（x）＝ex﹣ex，
则h'（x）＝ex﹣e，
当x＞1时，h'（x）＞0，则函数h（x）单调递增，
当x＜1时，h'（x）＜0，则函数h（x）单调递减，
所以f'（x）＝h（x）≥h（1）＝0，
此时函数f（x）单调递增，无极值点，
故选项C错误；
对于D，令，
则函数f（x）与g（x）的零点相同，
当a≤0时，g（x）＞0，无零点；
当a＞0时，g'（x），
当x＜0或x＞2时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增，
当0＜x＜2时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
当x→﹣∞时，g（x）＜0，
当x→+∞时，g（x）＞0，
要使得g（x）有3个零点，则，即，
解得a，
所以a的范围为，
故选项D正确；
故选：BD．
（多选）25．已知函数f（x）＝（x2+1）lnx﹣m（x2﹣1），则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝0时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x
B．当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数
C．当m＞1时，f（x）既存在极大值又存在极小值
D．当m＞1时，f（x）恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝1
【答案】BCD
【解答】解：对于A，当m＝0时，曲线f（x）＝（x2+1）lnx，
则f′（x）＝2xlnx，切线斜率k＝f′（1）＝2ln1+2＝2，
∵f（1）＝（12+1）ln1＝0，
∴曲线在（1，f（1））处的切线方程为y＝2（x﹣1）＝2x﹣2，故A错误；
对于B，2mx＝x（2lnx+12m），
令h（x）＝2lnx+1（x＞0），则，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）＝2lnx+1（x＞0）单调递增，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）＝2lnx+1（x＞0）单调递减，
h（x）＝2lnx+1（x＞0）在x＝1处取得最小值h（1）＝2ln1+12，
当m≤1时，2lnx+12m≥0对任意x＞0恒成立，
故当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数，故选项B正确；
对于C，由以上分析知道，h（x）＝2lnx+1（x＞0）在x＝1处取得最小值：
h（1）＝2ln1+12，
当m＞1时，h（x）＝2lnx+12m必有二根，
不妨设为x1，x2，（0＜x1＜1＜x2），
则当0＜x＜x1时，2lnx+12m＞0，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x1＜x＜x2时，2lnx+12m＜0，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x＞x2时，2lnx+12m＞0，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
∴f（x）既存在极大值，又存在极小值，故C正确；
对于D，由上面分析知f（x）既存在极大值，又存在极小值，
不妨设f（x）的极大值为m，极小值为n，且0＜m＜1＜n，
f（x）在（m，n）上单调递减，又f（1）＝（12+1）ln1﹣m（12﹣1）＝0，
∴f（x）极大值为正值，极小值为负值，
当x→0时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴函数f（x）有三个零点，不妨设为x1，x2，x3，（0＜x1＜1，x2＝1，x3＞1），
又f（x1）+f（）＝（）lnx1﹣m（）+（）lnm（）
＝（）lnx1+m（1）lnx1﹣m
＝（1）[（）lnx1+m（1）]＝0，
∴，∴当m＞1时，f（x）恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝1，故D正确．
故选：BCD．
（多选）26．已知函数f（x），则下列关于函数f（x）说法正确的是（　　）
A．函数f（x）有一个极大值点
B．函数f（x）有一个极小值点
C．若当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是[1，5]，则1＜a≤4
D．当1＜m＜5时，函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+m恰有6个不同的零点
【答案】ABCD
【解答】解：由已知可得：x≤0时，函数f（x）单调递减；
x＞0时，f（x）＝x3﹣6x2+9x+1，f′（x）＝3x2﹣12x+9＝
3（x﹣1）（x﹣3），令f′（x）＝0，解得x＝1，3，
可得函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，∞）上单调递增，因此1是函数
f（x）的极大值点，3是函数f（x）的极小值点，
由于0两侧的导数均不为0，所以x＝0不能算极小值点．
所以只有一个极小值点，AB正确．
对于C．函数f（x）在（﹣1，0]上的值域为[1，2），
由当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是[1，5]，
由f（x）＝x3﹣6x2+9x+1＝5，化为（x﹣1）2（x﹣4）＝0，
解得x＝1，或x＝4，则1＜a≤4，因此C正确．
对于D．函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+m＝0，解得f（x）＝1，或f（x）＝m，（1＜m＜5），
可得函数y＝f（x）的图象与函数y＝1及其y＝m的图象共有6个交点，因此当1＜m＜5时，
函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+m恰有6个不同的零点，故D正确．
综上可得：ABCD正确．
故选：ABCD．
（多选）27．已知函数f（x）x3﹣4x+4，则（　　）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．x＝﹣2是f（x）的极大值点
C．f（x）有三个零点
D．f（x）在[0，3]上的最大值是4
【答案】BCD
【解答】解：f′（x）＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
令f′（x）＝0，解得x＝﹣2或x＝2，
f′（x）与f（x）随x的变化情况如下表：
x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，2） 2 （2，+∞）
f'（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
因此函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）上单调递增，在（﹣2，2）上单调递减，故A错误；
x＝﹣2是f（x）的极大值点，故B正确；
因为f（﹣6）＝﹣44＜0，f（﹣2）0，f（2），f（6）＝52，
由函数的单调性及零点存在性定理可知f（x）有三个零点，故C正确；
当f（x）的定义域为[0，3]时，
f（x）在[0，2]上单调递减，在（2，3]上单调递增，
又f（0）＝4，f（3）＝1，
所以f（x）在[0，3]上的最大值是4，故D正确．
故选：BCD．
28．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝3时取得极大值，则c＝　9　
【答案】9
【解答】解：f（x）＝x（x2﹣2cx+c2）＝x3﹣2cx2+c2x
f′（x）＝3x2﹣4cx+c2＝0解得：x＝c或
由题意可知c＞0
当0＜x时，f′（x）＞0
当x＜c时，f′（x）＜0
∴在x时取得极大值，即3，解得c＝9，
故答案为9．
29．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a﹣b＝　15　 ．
【答案】15
【解答】解：∵f′（x）＝3x2+2ax+b，
∵函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，
∴f′（1）＝0，f（1）＝10，
∴3+2a+b＝0，1+a+b+a2＝10，
解得a＝4，b＝﹣11或a＝﹣3，b＝3，
当a＝4，b＝﹣11时，
f′（x）＝3x2+8x﹣11＝（3x+11）（x﹣1），
此时x＝1是极小值点；
当a＝﹣3，b＝3时，
f′（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2，
此时x＝1不是极小值点．
∴a＝4，b＝﹣11，
∴a﹣b＝15．
故答案为：15．
30．已知函数f（x）＝2lnx+ax2﹣3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得，，
∴f′（2）＝4a﹣2＝0，解得，
∴，，
∴f（x）在（0，1），（2，+∞）上单调递增，在（1，2）上单调递减，
∴f（x）的极大值为．
故答案为：．
31．已知函数．
（1）是否存在实数a，使得x＝1为函数f（x）的极小值点．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）若f（x）图象上总存在关于点（1，0）对称的两点，求a的取值范围．
【答案】（1）不存在，理由如下：
由题知f（x）的定义域为（0，+∞），且，
假设存在实数a，使得x＝1为函数f（x）的极小值点，
则f′（1）＝0，即，解得a＝1，
此时，
所以f（x）是减函数，与x＝1为函数f（x）的极小值点矛盾，
所以假设不成立，即不存在实数a，使得x＝1为函数f（x）的极小值点；
（2）（0，1）．
【解答】解：（1）不存在，理由如下：
由题知f（x）的定义域为（0，+∞），且，
假设存在实数a，使得x＝1为函数f（x）的极小值点，
则f′（1）＝0，即，解得a＝1，
此时，
因此f（x）是减函数，与x＝1为函数f（x）的极小值点矛盾，
因此假设不成立，即不存在实数a，使得x＝1为函数f（x）的极小值点；
（2）若f（x）图象上总存在关于点（1，0）对称的两点，
则f（x）+f（2﹣x）＝0在x∈（0，1）上有解，
即在x∈（0，1）上有解，
整理得，
令t＝2x﹣x2，t∈（0，1），得，
问题可转化为在t∈（0，1）上有解，
令，则；
①当a≥1时，h′（t）＜0，h（t）是减函数，
，因此h（t）＞0，
因此h（t）在t∈（0，1）上无零点，不符合题意；
②当a≤0时，h′（t）＞0，h（t）是增函数，
，因此h（t）＜0，
因此h（t）在t∈（0，1）上无零点，不符合题意；
③当0＜a＜1时，在t∈（0，a）上，h′（t）＜0，h（t）单调递减；
在t∈（a，1）上，h′（t）＞0，h（t）单调递增，
因此h（t）的最小值为h（a）＝lna＜0，
又t→0+时，h（t）→+∞，
根据函数零点存在定理可知h（t）在t∈（0，a）上必存在零点，符合题意；
综上，a的取值范围是（0，1）．
32．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣x（a∈R），
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）令f′（x）＝lnx+1，得x，
当x∈时，f′（x）＜0，则函数f（x）在上单调递减；
当x∈时，f′（x）＞0，则函数f（x）在上单调递增．
综上可得：函数f（x）在上单调递减，在上单调递增．
∴f（x）的极小值点为x．
（2）在x＞0时，f（x）≤g（x）恒成立 ax≥lnx+1，即对 x＞0恒成立．
令h（x），则，
当0＜x＜1时，lnx＜0，则h′（x）＞0，故此时h（x）单调递增；
当1＜x时，lnx＞0，则h′（x）＜0，此时h（x）单调递减．
故h（x）max＝h（1）＝1，
∴a≥1．
33．设函数f（x）＝（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝3；
（3）设a＞0，函数g（x）＝|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）函数f（x）＝（x﹣1）3﹣ax﹣b的导数为
f′（x）＝3（x﹣1）2﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在R上递增；
当a＞0时，当x＞1或x＜1时，f′（x）＞0，
当1x＜1，f′（x）＜0，
可得f（x）的增区间为（﹣∞，1），（1，+∞），减区间为（1，1）；
（2）证明：f′（x0）＝0，可得3（x0﹣1）2＝a，
由f（x0）＝（x0﹣1）3﹣3x0（x0﹣1）2﹣b＝（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
f（3﹣2x0）＝（2﹣2x0）3﹣3（3﹣2x0）（x0﹣1）2﹣b
＝（x0﹣1）2（8﹣8x0﹣9+6x0）﹣b＝（x0﹣1）2（﹣2x0﹣1）﹣b，
即为f（3﹣2x0）＝f（x0）＝f（x1），
即有3﹣2x0＝x1，即为x1+2x0＝3；
（3）证明：要证g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于，
由于g（x）＝|f（x）|，即g（x）在[0，2]上的最大值，可以是f（x）的最大值或最小值的绝对值，
只需证在[0，2]上存在x1，x2，使得f（x1）﹣f（x2）．
当a≥3时，f（x）在[0，2]递减，f（2）＝1﹣2a﹣b，f（0）＝﹣1﹣b，
f（0）﹣f（2）＝2a﹣2≥4，递减，成立；
当0＜a＜3时，f（1）＝（）3﹣a（1）﹣ba+ab
a﹣b，
f（1）＝（）3﹣a（1）﹣ba﹣ab
a﹣b，
f（2）＝1﹣2a﹣b，f（0）＝﹣1﹣b，
f（2）﹣f（0）＝2﹣2a，
若0＜a时，f（2）﹣f（0）＝2﹣2a成立；
若a时，f（1）﹣f（1）成立．
综上可得，g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
34．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx．
（1）当a＝1时，若对任意x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求b的取值范围；
（2）若b＝a2，函数f（x）在区间（1，2）上存在极大值，求a的取值范围．
【答案】（1）b≥6；（2）（﹣6，﹣3）∪（1，2）．
【解答】解：（1）由题意得f（x）＝﹣x3+x2+bx≥0在x∈[2，3]上恒成立，
即b≥（x2﹣x）max，
设g（x）＝x2﹣x，对称轴为，开口向上，
∴当x＝3时，，
∴b≥6；
（2）f'（x）＝﹣3x2+2ax+a2＝﹣（3x+a）（x﹣a），且x∈（1，2），
令f'（x）＝0，得或a，
①当a＝0时，则f'（x）＝﹣3x2＜0，f（x）单调递减，函数f（x）没有极值，
②当a＞0时，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x＝a取得极大值，在取得极小值，则1＜a＜2，
③当a＜0时，
当x＜a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在取得极大值，在x＝a取得极小值，由得：﹣6＜a＜﹣3，
综上，函数f（x）在区间（1，2）上存在极大值时，a的取值范围为（﹣6，﹣3）∪（1，2）．
▉题型4 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
35．已知函数．
（1）若a＝1，求函数f（x）的极小值；
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（3）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围，（e＝2.718）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）
当a＝1时，f（x）＝x﹣lnx，f′（x）＝1，（2分）
x （0，1） 1 （1，+∞）
f'（x） ﹣ 0 +
f（x） 极小
（3分）
所以f（x）在x＝1处取得极小值1．（4分）
（2）h（x）＝xalnx，
h′（x）＝1（6分）
①当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上h'（x）＜0，在（1+a，+∞）上h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增；（7分）
②当1+a≤0，即a≤﹣1时，在（0，+∞）上h'（x）＞0，
所以，函数h（x）在（0，+∞）上单调递增．（8分）
（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即
在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，
即函数h（x）＝xalnx在[1，e]上的最小值小于零．（9分）
由（2）可知
①即1+a≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，
所以h（x）的最小值为h（e），
由h（e）＝ea＜0可得a，
因为e﹣1，
所以a；（10分）
②当1+a≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，
所以h（x）最小值为h（1），由h（1）＝1+1+a＜0可得a＜﹣2；（11分）
③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a），
因为0＜ln（1+a）＜1，
所以，0＜aln（1+a）＜a
故h（1+a）＝2+a﹣aln（1+a）＞2
此时，h（1+a）＜0不成立．（12分）
综上讨论可得所求a的范围是：a或a＜﹣2．（13分）
▉题型5 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
36．若函数f（x）＝x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（　　）
A．2 B．4 C．18 D．20
【答案】D
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0得x＝±1．
当0≤x＜1时，f′（x）＜0；当1≤x≤3时，f′（x）＞0．则f（1）最小，则N＝f（1）
又f（0）＝﹣a，f（3）＝18﹣a，
又f（3）＞f（0），∴最大值为f（3），即M＝f（3），
所以M﹣N＝f（3）﹣f（1）＝（18﹣a）﹣（﹣2﹣a）＝20．
故选：D．
37．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选：D．
38．已知x＝1为函数的极值点，则f（x）在区间上的最大值为（　　）（注：ln2≈0.69）
A．3 B．7﹣ln2 C．5 D．
【答案】B
【解答】解：，由于x＝1是f（x）的极值点，
所以f'（1）＝1+2﹣a＝3﹣a＝0，a＝3，
此时，
所以f（x）在区间（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝1是f（x）极小值点，a＝3符合题意，
，，
由于，
所以f（x）在区间上的最大值为7﹣ln2．
故选：B．
39．设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．e
【答案】B
【解答】解：因为f（x）＝x+ex，所以f'（x）＝1+ex＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，g（x）＝x+lnx＝f（lnx），
因为f（x1）＝g（x2）＝f（lnx2），所以x1＝lnx2，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|，
令h（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≤h（1）＝0，所以lnx≤x﹣1＜x，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|＝x2﹣lnx2≥x2﹣（x2﹣1）＝1．
故选：B．
（多选）40．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．对任意的a∈R，存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝0
B．若x1是f（x）的极值点，则f（x）在（x1，+∞）上单调递减
C．函数f（x）的最大值为
D．若f（x）有两个零点，则
【答案】BD
【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，x∈（0，+∞），
f′（x）2ax，
a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f′（x），
x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，）上单调递增；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在x∈（，+∞）上单调递减．
当x时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（）（1﹣ln（2a））．
A．若a，则函数f（x）的最大值＝f（）（1﹣ln（2a））＜0，此时函数f（x）不存在零点，因此不正确．
B．若x1是f（x）的极值点，则f（x）在（x1，+∞）上单调递减，正确；
C．只有当a＞0时，x时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（）（1﹣ln（2a）），而a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且x→+∞时，f（x）→+∞，无最大值，因此不正确．
D．若f（x）有两个零点，则a＞0，函数f（x）的最大值＝f（）（1﹣ln（2a））＞0，解得0＜a，因此正确．
故选：BD．
（多选）41．已知函数f（x）＝xex+ax．则下列说法正确的是（　　）
A．当a＝0时，
B．当a＝1时，直线y＝2x与函数f（x）的图像相切
C．若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则a≥0
D．若在区间[0，1]上f（x）≤x2恒成立，则a≤1﹣e
【答案】ABD
【解答】解：对于A，当a＝0时，f（x）＝xex，f′（x）＝（x+1）ex，易知函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
∴，故选项A正确；
对于B，当a＝1时，f（x）＝xex+x，f′（x）＝（x+1）ex+1，f′（0）＝2，
∴函数f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝2x，故选项B正确；
对于C，f′（x）＝（x+1）ex+a，若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≥﹣（x+1）ex，令g（x）＝﹣（x+1）ex，x≥0，则g′（x）＝﹣（x+2）ex＜0，
∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴a≥g（x）max＝g（0）＝﹣1，故选项C错误；
对于D，当x＝0时，a∈R恒成立；当x∈（0，1]时，f（x）≤x2恒成立等价于xex+ax≤x2恒成立，即ex+a≤x，即a≤x﹣ex恒成立，
设h（x）＝x﹣ex，0＜x≤1，则h′（x）＝1﹣ex＜0在（0，1]上恒成立，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，
∴a≤h（x）min＝h（1）＝1﹣e，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）42．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．时，函数f（x）恰有两个零点
B．时，不等式f（x）＜0对任意x＞0恒成立
C．若函数f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＞e
D．当a＝0时，若不等式ex﹣f（mx）≥（m﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围为（0，e]
【答案】BCD
【解答】解：选项A，由x＞0，令，设，
则，
令，当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当x＝1时，，所以当x＜1，g（x）＜0，当x→+∞，g（x）→0，
所以g（x）的图形如图所示：
由图可知，函数f（x）恰有两个零点时，即y＝a与有两个不同的交点，
此时，故A不正确；
选项B，由选项A，，当时，，
即f（x）＜0对任意x＞0恒成立，故B正确，
选项C，由函数f（x）有两个零点x1，x2，即x1，x2为方程lnx﹣ax2＝0的两根，
即lnx＝ax2 2lnx＝2ax2 lnx2＝2ax2，
所以，令，且t1＞t2，
则，所以，
欲证x1x2＞e，即证，即证明lnt1+lnt2＞2，
只需证明，
只需证明，即，
设，则，
令，
所以．
所以F（x）在（1，+∞）上为增函数，又F（1）＝0，
所以F（m）＞F（1）＝0，综上所述，原不等式成立，故x1x2＞e，故C正确，
选项D，当a＝0时，f（x）＝lnx，则不等式ex﹣f（mx）≥（m﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立，
即ex﹣lnmx≥（m﹣1）x＝mx﹣x，即ex+x≥lnmx+mx，即ex+lner≥lnmx+mx，
令φ（x）＝x+lnx，当x＞0时，φ（x）单调递增，
所以ex+lnex≥lnmx+mx φ（ex）≥φ（mx），所以对任意x＞0恒成立，
即求在（0，+∞）上的最小值，
由，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝e，
由ex+x≥lnmx+mx，得mx＞0，而x＞0，所以m＞0，
所以m的取值范围是：（0，e]．
故选：BCD．
43．设函数f（x）＝（ex﹣m﹣ax）（lnx﹣2ax），若存在实数a使得f（x）＜0成立，则m的取值范围是 　（﹣∞，2+ln2）　 ．
【答案】（﹣∞，2+ln2）．
【解答】解：∵f（x）＝（ex﹣m﹣ax）（lnx﹣2ax）（x＞0），
令h（x），则，
由h′（x）＞0，得x＞1，由h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）∈[e1﹣m，+∞），
令g（x），则g′（x），由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，∴g（x）∈（﹣∞，]，
若存在实数a，使得f（x）＜0成立，即存在实数a，使得（a）（）＜0成立，
即存在实数a，使得恒成立，
∴h（x）min＞g（x）max，∴，解得m＜2+ln2，
∴m的取值范围为（﹣∞，2+ln2）．
故答案为：2+ln2．
44．已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y＝e﹣x的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由正实数x，y满足lnx＝yex+lny，
变形为lnxex，
∴lnxex，
令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），
f′（x）＝（x+1）ex＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∴lnx，∴y，
∴y﹣e﹣x，
令g（x），x∈（0，+∞），
g′（x），
∴x∈（0，2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴x＝2时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（2）．
即 y﹣e﹣x的最大值为．
故答案为：．
45．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r值，并求出最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，
解得，则0＜r≤2，
所以容器的建造费用为，
故，定义域为{r|0＜r≤2}；
（Ⅱ）因为，
令y'＝0，得，
又，
当0＜r≤2时，y'＜0，函数y为减函数，
故当r＝2时，y有最小值，此时ymin＝112π，
答：该容器的建造费用最小时的半径为2米，最小值112π千元．
46．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝﹣2处取得极值﹣14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax3+bx+2，所以f'（x）＝3ax2+b，
又函数f（x）在x＝﹣2处取得极值﹣14．
则有，即，解得：，
经检验，a＝﹣1，b＝12时，符合题意，故a＝﹣1，b＝12．
（2）由（1）知：函数f（x）＝﹣x3+12x+2，则f'（x）＝﹣3x2+12，
所以f'（1）＝9，又因为f（1）＝﹣1+12+2＝13，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣13＝9（x﹣1），
也即9x﹣y+4＝0．
（3）由（1）知：函数f（x）＝﹣x3+12x+2，则f'（x）＝﹣3x2+12，
令f'（x）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，
在x∈[﹣3，3]时，随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x ﹣3 （﹣3，﹣2） ﹣2 （﹣2，2） 2 （2，3） 3
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） ﹣7 单调递减 ﹣14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当x＝﹣2时，函数f（x）有极小值f（﹣2）＝﹣14；
当x＝2时，函数f（x）有极大值f（2）＝18；
因为f（﹣2）＝﹣14＜f（3）＝11，f（2）＝18＞f（﹣3）＝﹣7，
故函数f（x）在[﹣3，3]上的最小值为f（﹣2）＝﹣14，最大值为f（2）＝18．
47．已知函数．
（1）当a＝2时，f（x）≥3恒成立，求b的值；
（2）当0＜a≤e2，且x＞2时，f（x）＞bln[a（x﹣1）]恒成立，求b的取值范围．
【答案】（1）b＝1；（2）[﹣2，+∞）．
【解答】解：（1）当a＝2时，令函数g（x）＝f（x）﹣3＝ex+（b﹣2）x﹣1，
则f（x）≥3等价于g（x）≥0．因为g（0）＝0，
所以x＝0为函数g（x）的极小值点．又g'（x）＝ex+b﹣2，
所以g'（0）＝b﹣1＝0，解得b＝1．当b＝1时，g'（x）＝ex﹣1，
则当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
故g（x）≥g（0）＝0，符合题意．综上所述，b＝1．
（2）f（x）＞bln[a（x﹣1）]等价于，
即．
构造函数h（x）＝2x+blnx，则等价于．
因为0＜a≤e2，所以．
令函数H（x）＝ex﹣2﹣x+1，x＞2，则H'（x）＝ex﹣2﹣1．
显然H'（x）是增函数，则H'（x）＞H'（2）＝0，H（x）单调递增，
所以H（x）＞H（2）＝0，故，则．
又，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以当x∈（1，+∞）时，恒成立，
即b≥（﹣2x）max＝﹣2，故b的取值范围是[﹣2，+∞）．
48．已知f（x）＝ex﹣1﹣x．
（1）求证：对于 x∈R，f（x）≥0恒成立；
（2）若对于 x∈（0，+∞），有f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx）恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）（﹣∞，0]．
【解答】解：（1）证明：由f（x）＝ex﹣1﹣x，得f′（x）＝ex﹣1﹣1，（x∈R），
令f′（x）＝0，得x＝1，
∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝0，∴对于 x∈R，f（x）≥0恒成立．
（2）∵f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx），∴ex﹣1﹣x≥a（x2﹣x﹣xlnx），
∴a（x﹣1﹣lnx），即ex﹣1﹣lnx﹣1≥a（x﹣1﹣lnx），
令t＝x﹣1﹣lnx，则，
当x∈（0，1）时，t′＜0，函数t＝x﹣1﹣lnx单调递减，
当x∈（1，+∞）时，t′＞0，函数t＝x﹣1﹣lnx单调递增，
∴t≥1﹣1﹣ln1＝0，即t≥0，
∴et﹣1≥at，即et﹣1﹣at≥0对 t∈[0，+∞）恒成立，
令g（t）＝et﹣1﹣at（t≥0），则g（0）＝e0﹣1﹣a×0＝0，g′（t）＝et﹣a，
若a≤1，g′（t）≥0，g（t）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（t）min＝g（0）＝0，∴g（t）≥0，符合题意，
若a＞1，令g′（t）＝0，得t＝lna，则当t∈（0，lna）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
当t∈[lna，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
∴g（t）min＝g（lna）＜g（0）＝0，不符合g（t）≥0，
综上，a≤0，
∴a的取值范围是（﹣∞，1]．
49．已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．
【答案】（1）2x+y﹣5＝0；
（2）f（x）在[1，3]上的最大值为3，最小值为5﹣4ln2．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2x+1﹣4lnx（x＞0），
∴f′（x）＝2，
∴f′（1）＝﹣2，又f（1）＝3，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣5＝0；
（2）由f′（x），得x∈[1，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，
∴f（x）极小值＝f（2）＝5﹣4ln2，也是[1，3]上的最小值；
又f（1）＝3，f（3）＝7﹣4ln3＜7﹣4＝3，
∴f（x）在[1，3]上的最大值为3，最小值为5﹣4ln2．
50．已知函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
【答案】（1）a＝﹣3，b＝4；
（2）f（x）max＝10，f（x）min＝1．
【解答】解：（1）f′（x）＝6x2+6ax+3b，
依题意，
解得a＝﹣3，b＝4，
此时f′（x）＝6x2﹣18x+12＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在区间（﹣∞，1），（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）递增；在区间（1，2）上，f′（x）＜0，f（x）递减．
所以f（x）在x＝1处取得极大值，在x＝2处取得极小值，符合题意．
（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，f（0）＝1，f（1）＝6，f（2）＝5，f（3）＝10，
由（1）知，f（x）在区间[0，3]上的最大值为10，最小值为1．
51．若函数y＝f（x）（x∈D）同时满足下列两个条件，则称y＝f（x）在D上具有性质M．
①y＝f（x）在D上的导数f′（x）存在；
②y＝f′（x）在D上的导数f″（x）存在，且f″（x）＞0（其中f″（x）＝[f′（x）]′）恒成立．
（1）判断函数y＝lg在区间（0，+∞）上是否具有性质M？并说明理由．
（2）设a、b均为实常数，若奇函数g（x）＝2x3+ax2在x＝1处取得极值，是否存在实数c，使得y＝g（x）在区间[c，+∞）上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式成立，求k的最大值．
【答案】（1）函数在区间（0，+∞）上有性质M；
（2）（0，+∞）；
（3）3．
【解答】解：（1）令，
则，，
当x∈（0，+∞）时，恒成立，
∴函数在区间（0，+∞）上具有性质M；
（2）根据题设条件，对于任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），均有g（﹣x）＝﹣g（x），即2ax2＝0对任意实数x都成立，故a＝0，
于是，因为当x＝1时，函数y＝g（x）取得极值，故6﹣b＝0，解得b＝6，
，解得x＞0，
假设存在实数c，使得函数y＝g（x）在区间[c，+∞）上具有性质M，则必有[c，+∞） （0，+∞），故c＞0，
所以存在实数c，其范围为（0，+∞）；
（3）当x＞0时，，记，
下面求函数y＝h（x）在区间（0，+∞）上的最小值，，构造函数φ（x）＝x﹣1﹣ln（x+1）则，
因为x＞0，所以φ′（x）＞0，故y＝φ（x）在区间（0，+∞）上为严格增函数，且φ（2）＝1﹣ln3＜0，φ（3）＝2﹣ln4＞0，
则存在m∈（2，3）使得φ（m）＝0，即m﹣1﹣ln（m+1）＝0，所以x＞m时，φ（m）＞0，且x2＞0，故h′（x）＞0，
于是，
要使得原不等式恒成立，只需k＜m+1，其中m+1∈（3，4），故满足条件的正整数k的最大值为3．
▉题型6 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
52．已知函数f（x）＝ex﹣x+a．
（1）若x轴是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数a的值；
（2）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求a的最小值；
（3）证明：（n∈N*且n≥2）．
【答案】（1）﹣1；
（2）﹣1；
（3）证明：由（2）可知ex﹣x﹣1≥0，当x＝0时取等号，则ex≥x+1，
令，n∈N*且n≥2，得，
，
令，
由，可知，
化简得，
所以y＜e2，
即得，原命题得证．
【解答】解：（1）由题意函数f（x）＝ex﹣x+a，
求导得f′（x）＝ex﹣1，当时，解得x0＝0，
则f（0）＝e0+a＝0，解得a＝﹣1；
（2）当f（x）≥0在x∈R上恒成立时，即ex﹣x≥﹣a在x∈R上恒成立，
设g（x）＝ex﹣x，则g′（x）＝ex﹣1，
可知当x＞0时g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x＜0时g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，
当x＝0时g'（x）＝0，g（x）取得最小值，g（0）＝e0﹣0＝1，
所以﹣a≤1，即a≥﹣1．a的最小值为﹣1；
（3）证明：由（2）可知ex﹣x﹣1≥0，当x＝0时取等号，则ex≥x+1，
令，n∈N*且n≥2，得，
，
令，
由，可知，
化简得，
所以y＜e2，
即得，原命题得证．
53．已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx．
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）函数f（x）的最大值为﹣1；
（2）（0，+∞）．
【解答】解：（1）当a＝0时，，则，
易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x＝1处取得极大值，同时也是最大值，
∴函数f（x）的最大值为f（1）＝﹣1；
（2），
①当a＝0时，由（1）可知，函数f（x）无零点；
②当a＜0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又f（1）＝a﹣1＜0，故此时函数f（x）无零点；
③当0＜a＜1时，易知函数f（x）在上单调递增，在单调递减，
且f（1）＝a﹣1＜0，，
又由（1）可得，，即，则lnx＜x，，则，
当x＞1时，，
故存在，使得f（m）＞0，
∴此时f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
④当a＝1时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，故此时函数f（x）有唯一零点；
⑤当a＞1时，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
且f（1）＝a﹣1＞0，
又由（1）可得，当0＜x＜1时，，则，则，
此时，
故存在，使得f（n）＜0，
故函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
综上，实数a的取值范围为（0，+∞）．
54．已知函数f（x）＝（x2﹣ax+1）ex（a∈R）在x＝2处取得极小值．
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．
【答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞），单调递减区间为（﹣1，2）；
（2）最大值为5e﹣1，最小值为1．
【解答】解：（1）易知f（x）的定义域为R，
可得f′（x）＝（2x﹣a）ex+（x2﹣ax+1）ex＝（x2﹣ax+2x﹣a+1）ex，
因为函数f（x）在x＝2处取得极小值，
所以f′（2）＝（4﹣2a+4﹣a+1）e2＝0，
解得a＝3，
当a＝3时，f（x）＝（x2﹣3x+1）ex，
可得f′（x）＝（x2﹣x﹣2）ex＝（x+1）（x﹣2）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当﹣1＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以函数f（x）在x＝2处取得极小值，满足题意；
（2）由（1）知，f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
所以f（x）在x＝﹣1处取得极大值也是最大值，最大值f（﹣1）＝5e﹣1，
又f（0）＝1，f（﹣2）＝11e﹣2，
以为内1＜11e﹣2，
所以f（x）在区间[﹣2，0]上的最小值为1．
综上所述，f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值为5e﹣1，最小值为1．
▉题型7 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
55．已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e）
【答案】A
【解答】解：因为f′（x）＝ex+3x2+（a﹣3）在区间（0，1）上单调递增，
由题意只需 ，解得﹣e＜a＜2，
这时存在x0∈（0，1），使得f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，1）上单调递增，
即函数f（x）在（0，1）上有极小值也即最小值，
所以a的取值范围是（﹣e，2）．
故选：A．
▉题型8 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
56．已知函数f（x）＝﹣x3+2x2﹣x，若过点P（1，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则t的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
【答案】D
【解答】解：f（x）＝﹣x3+2x2﹣x的导数为f′（x）＝﹣3x2+4x﹣1＝﹣（3x﹣1）（x﹣1），
设切点为M（x0，y0），
可得切线的斜率为k＝﹣3x02+4x0﹣1，
切线的方程为y﹣y0＝（﹣3x02+4x0﹣1）（x﹣x0），即y﹣（﹣x03+2x02﹣x0）＝（﹣3x02+4x0﹣1）（x﹣x0），
代入（1，t），可得t﹣（﹣x03+2x02﹣x0）＝（﹣3x02+4x0﹣1）（1﹣x0），
化简整理可得2x03﹣5x02+4x0﹣1﹣t＝0，
过点P（1，t）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解，下研究方程解有三个时参数t所满足的条件．
设g（x0）＝2x03﹣5x02+4x0﹣1﹣t，则g′（x0）＝6x02﹣10x0+4，
由g′（x0）＝0，得x0或x0＝1，
由g（x0）在（﹣∞，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）上单调递减．
可得g（x0）的极大值点为，极小值点为1，
则关于x0方程2x03﹣5x02+4x0﹣1﹣t＝0有三个实根的充要条件是：
，解得0＜t，
故选：D．
57．设直线l是曲线O：f（x）＝ex+cosx在点（0，2）处的切线，则直线l与x轴，y轴围成的三角形面积为（　　）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【解答】解：f（x）＝ex+cosx的导数为f′(x)＝ex﹣sinx,
可得切线的斜率为1﹣0＝1,
切线l的方程为y＝x+2,
则直线l与x轴，y轴的交点为(﹣2,0),(0,2),
可得围成的三角形面积为2×2＝2．
故选：A．
58．若f（x）＝ex+lnx，则此函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e+1　 ．
【答案】e+1
【解答】解：求导函数可得f′（x）＝ex，
令x＝1，则f′（1）＝e+1
∴函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e+1
故答案为：e+1．
59．函数y＝f（x）在x＝5处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝ 　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象在点x＝5处的切线方程是y＝﹣x+8，
∴f′（5）＝﹣1，f（5）＝﹣5+8＝3，
∴f（5）+f′（5）＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
60．曲线y＝ex+2sinx在点（0，1）处的切线方程为 y＝3x+1　 ．
【答案】y＝3x+1．
【解答】解：因为y＝ex+2sinx，所以y'＝ex+2cosx，
所以曲线y＝ex+2sinx在点（0，1）处的切线的斜率k＝e0+2cos0＝3，
由直线方程的斜截式可得切线方程为y＝3x+1．
故答案为：y＝3x+1．第二章 6 用导数研究函数的性质
题型1 利用导数研究函数的单调性 题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
题型3 利用导数研究函数的极值 题型4 利用导数求解函数的极值
题型5 利用导数研究函数的最值 题型6 利用导数求解函数的最值
题型7 由函数的最值求解函数或参数（导数法） 题型8 利用导数研究曲线上某点切线方程
▉题型1 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
1．设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）
2．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（，2） B．（﹣∞，0）∪（，2）
C．（﹣∞，∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（2，+∞）
3．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A． x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
4．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
5．已知在R上可导的函数f（x）的图象如图所示，则不等式f（x） f′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣2，0） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）
C．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞） D．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）
6．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（　　）
A． B．1 C．e D．2e
（多选）7．已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（　　）
A．实数a的取值范围是（﹣2，2）
B．曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为定值
C．存在非零常数λ，使得曲线y＝f（x）在点（λa，f（λa））处的切线恒过原点
D．若曲线y＝f（x）在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为k1，k2，k3，则
（多选）8．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数．记f''（x）＝（f'（x））'，若f''（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx﹣cosx B．f（x）＝lnx﹣2x
C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x
（多选）9．下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
10．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递增区间是　 　 ．
11．设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[，]的最大值和最小值．
12．已知函数f（x）x2﹣（a+2）x+2alnx（a＞0），
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝2x+b，求a+2b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设函数g（x）＝﹣（a+2）x，若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
▉题型2 利用导数求解函数的单调性和单调区间
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
13．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣1，0] D．[1，+∞）
14．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+（2﹣a）x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0对x＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a＝1时，证明：．
15．已知函数f（x）＝（2x2+x）lnx﹣（2a+1）x2﹣（a+1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求b﹣a的最小值．
▉题型3 利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
16．设函数，则（　　）
A．为f（x）的极大值点
B．为f（x）的极小值点
C．x＝2为f（x）的极大值点
D．x＝2为f（x）的极小值点
17．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2，在x＝1处有极值10，则f（2）等于（　　）
A．11或18 B．11 C．17或18 D．18
18．如果函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，给出下列判断：
①函数y＝f（x）在区间内单调递增；
②函数y＝f（x）在区间内单调递减；
③函数y＝f（x）在区间（4，5）内单调递增；
④当x＝2时，函数y＝f（x）有极小值；
⑤当x时，函数y＝f（x）有极大值．则上述判断中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④⑤ D．③
19．已知函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内的极小值点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
20．若函数f（x）x2+x+1在区间（，3）上有极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A．（2，） B．[2，） C．（2，） D．[2，）
21．若函数f（x）＝ex﹣2ax2+1有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．函数f（x）＝alnx+bx2+a2在x＝1处有极小值5，则a﹣b＝（　　）
A．﹣3 B． C．﹣3或 D．或3
（多选）23．函数f（x）的导函数的图象如图所示，则（　　）
A．﹣1是函数f（x）的极值点
B．3是函数f（x）的极大值点
C．f（x）在区间（﹣1，4）上单调递减
D．1是函数f（x）的极小值点
（多选）24．已知函数f（x）＝ex﹣ax2（a为常数），则下列结论正确的有（　　）
A．a＝1时，f（x）≥0恒成立
B．a时，f（x）在零点x0，﹣1＜x0
C．时，x＝1是f（x）的极值点
D．若f（x）有3个零点，则a的范围为
（多选）25．已知函数f（x）＝（x2+1）lnx﹣m（x2﹣1），则下列结论正确的是（　　）
A．当m＝0时，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x
B．当m≤1时，f（x）在定义域内为增函数
C．当m＞1时，f（x）既存在极大值又存在极小值
D．当m＞1时，f（x）恰有3个零点x1，x2，x3，且x1x2x3＝1
（多选）26．已知函数f（x），则下列关于函数f（x）说法正确的是（　　）
A．函数f（x）有一个极大值点
B．函数f（x）有一个极小值点
C．若当x∈（﹣1，a）时，函数f（x）的值域是[1，5]，则1＜a≤4
D．当1＜m＜5时，函数g（x）＝[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+m恰有6个不同的零点
（多选）27．已知函数f（x）x3﹣4x+4，则（　　）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．x＝﹣2是f（x）的极大值点
C．f（x）有三个零点
D．f（x）在[0，3]上的最大值是4
28．已知函数f（x）＝x（x﹣c）2在x＝3时取得极大值，则c＝　 　
29．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+a2在x＝1处有极小值10，则a﹣b＝　 　 ．
30．已知函数f（x）＝2lnx+ax2﹣3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为 　 　 ．
31．已知函数．
（1）是否存在实数a，使得x＝1为函数f（x）的极小值点．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）若f（x）图象上总存在关于点（1，0）对称的两点，求a的取值范围．
32．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝ax2﹣x（a∈R），
（1）求f（x）的单调区间和极值点；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的实数a的取值范围．
33．设函数f（x）＝（x﹣1）3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝3；
（3）设a＞0，函数g（x）＝|f（x）|，求证：g（x）在区间[0，2]上的最大值不小于．
34．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx．
（1）当a＝1时，若对任意x∈[2，3]，f（x）≥0恒成立，求b的取值范围；
（2）若b＝a2，函数f（x）在区间（1，2）上存在极大值，求a的取值范围．
▉题型4 利用导数求解函数的极值
【知识点的认识】
1、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
2、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
35．已知函数．
（1）若a＝1，求函数f（x）的极小值；
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；
（3）若在区间[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围，（e＝2.718）
▉题型5 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
36．若函数f（x）＝x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（　　）
A．2 B．4 C．18 D．20
37．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）
A．1 B． C． D．
38．已知x＝1为函数的极值点，则f（x）在区间上的最大值为（　　）（注：ln2≈0.69）
A．3 B．7﹣ln2 C．5 D．
39．设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．e
（多选）40．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．对任意的a∈R，存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝0
B．若x1是f（x）的极值点，则f（x）在（x1，+∞）上单调递减
C．函数f（x）的最大值为
D．若f（x）有两个零点，则
（多选）41．已知函数f（x）＝xex+ax．则下列说法正确的是（　　）
A．当a＝0时，
B．当a＝1时，直线y＝2x与函数f（x）的图像相切
C．若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则a≥0
D．若在区间[0，1]上f（x）≤x2恒成立，则a≤1﹣e
（多选）42．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．时，函数f（x）恰有两个零点
B．时，不等式f（x）＜0对任意x＞0恒成立
C．若函数f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＞e
D．当a＝0时，若不等式ex﹣f（mx）≥（m﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围为（0，e]
43．设函数f（x）＝（ex﹣m﹣ax）（lnx﹣2ax），若存在实数a使得f（x）＜0成立，则m的取值范围是 　 　 ．
44．已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y＝e﹣x的最大值为 　 　 ．
45．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r值，并求出最小值．
46．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝﹣2处取得极值﹣14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
47．已知函数．
（1）当a＝2时，f（x）≥3恒成立，求b的值；
（2）当0＜a≤e2，且x＞2时，f（x）＞bln[a（x﹣1）]恒成立，求b的取值范围．
48．已知f（x）＝ex﹣1﹣x．
（1）求证：对于 x∈R，f（x）≥0恒成立；
（2）若对于 x∈（0，+∞），有f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx）恒成立，求实数a的取值范围．
49．已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．
50．已知函数f（x）＝2x3+3ax2+3bx+1且在x＝1及x＝2处取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数y＝f（x）在[0，3]的最大值与最小值．
51．若函数y＝f（x）（x∈D）同时满足下列两个条件，则称y＝f（x）在D上具有性质M．
①y＝f（x）在D上的导数f′（x）存在；
②y＝f′（x）在D上的导数f″（x）存在，且f″（x）＞0（其中f″（x）＝[f′（x）]′）恒成立．
（1）判断函数y＝lg在区间（0，+∞）上是否具有性质M？并说明理由．
（2）设a、b均为实常数，若奇函数g（x）＝2x3+ax2在x＝1处取得极值，是否存在实数c，使得y＝g（x）在区间[c，+∞）上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式成立，求k的最大值．
▉题型6 利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
52．已知函数f（x）＝ex﹣x+a．
（1）若x轴是曲线y＝f（x）的一条切线，求实数a的值；
（2）若f（x）≥0在x∈R上恒成立，求a的最小值；
（3）证明：（n∈N*且n≥2）．
53．已知函数f（x）＝ax（a+1）lnx．
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
54．已知函数f（x）＝（x2﹣ax+1）ex（a∈R）在x＝2处取得极小值．
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[﹣2，0]上的最大值和最小值．
▉题型7 由函数的最值求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
55．已知函数f（x）＝ex+x3+（a﹣3）x+1在区间（0，1）上有最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣e，2） B．（﹣e，1﹣e） C．（1，2） D．（﹣∞，1﹣e）
▉题型8 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
56．已知函数f（x）＝﹣x3+2x2﹣x，若过点P（1，t）可作曲线y＝f（x）的三条切线，则t的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
57．设直线l是曲线O：f（x）＝ex+cosx在点（0，2）处的切线，则直线l与x轴，y轴围成的三角形面积为（　　）
A．2 B．1 C． D．4
58．若f（x）＝ex+lnx，则此函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为　 　 ．
59．函数y＝f（x）在x＝5处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝ 　 　 ．
60．曲线y＝ex+2sinx在点（0，1）处的切线方程为 　 　 ．

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