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第二章 7 导数的应用
题型1 函数最值的应用 题型2 导数及其几何意义
题型3 利用导数研究函数的单调性 题型4 利用导数研究函数的最值
题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程
▉题型1 函数最值的应用
【知识点的认识】
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
1．已知函数为奇函数，且f（x）在区间（t﹣1，t2﹣2t）上有最小值，则实数t的取值范围是（　　）
A．（3，4） B． C． D．
▉题型2 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
2．设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）
A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]
3．已知点P在曲线y上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）
A．[0，） B．[，） C．（，] D．[，π）
4．曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．e D．
▉题型3 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
5．设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）
6．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（，2） B．（﹣∞，0）∪（，2）
C．（﹣∞，∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（2，+∞）
7．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A． x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
8．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
9．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（　　）
A． B．1 C．e D．2e
10．已知实数a，b∈（1，+∞），且2（a+b）＝e2a+2lnb+1，e为自然对数的底数，则（　　）
A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜ea D．ea＜b＜e2a
11．函数f（x）＝﹣lnx+x的递增区间是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）和（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
12．已知函数f（x）＝ex+a，x∈（0，+∞），当x1＜x2时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
13． x＞0满足ex﹣1＞ax，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1
14．定义在R上的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）﹣kx在[1，2]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣12] B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）＝0，当x＞0时，恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（3，+∞）
（多选）16．已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（　　）
A．实数a的取值范围是（﹣2，2）
B．曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为定值
C．存在非零常数λ，使得曲线y＝f（x）在点（λa，f（λa））处的切线恒过原点
D．若曲线y＝f（x）在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为k1，k2，k3，则
（多选）17．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数．记f''（x）＝（f'（x））'，若f''（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx﹣cosx B．f（x）＝lnx﹣2x
C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x
（多选）18．下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
19．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递增区间是　 　 ．
20．设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[，]的最大值和最小值．
21．已知函数f（x）x2﹣（a+2）x+2alnx（a＞0），
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝2x+b，求a+2b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设函数g（x）＝﹣（a+2）x，若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
22．已知函数f（x）＝mx2﹣lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若m，证明：f（x）．
▉题型4 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
23．若函数f（x）＝x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（　　）
A．2 B．4 C．18 D．20
24．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）
A．1 B． C． D．
25．已知x＝1为函数的极值点，则f（x）在区间上的最大值为（　　）（注：ln2≈0.69）
A．3 B．7﹣ln2 C．5 D．
26．设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．e
27．函数f（x）＝（x﹣3）ex的最小值是（　　）
A．e3 B．﹣e3 C．e2 D．﹣e2
28．若不等式ex≥kx（e＝2.71828...为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．e D．e2
29．将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，x＝（　　）
A．3 B．4 C． D．
30．已知对任意的正数x，不等式恒成立，则正数a的最大值为（　　）
A．e B． C． D．1
（多选）31．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．对任意的a∈R，存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝0
B．若x1是f（x）的极值点，则f（x）在（x1，+∞）上单调递减
C．函数f（x）的最大值为
D．若f（x）有两个零点，则
（多选）32．已知函数f（x）＝xex+ax．则下列说法正确的是（　　）
A．当a＝0时，
B．当a＝1时，直线y＝2x与函数f（x）的图像相切
C．若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则a≥0
D．若在区间[0，1]上f（x）≤x2恒成立，则a≤1﹣e
（多选）33．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．时，函数f（x）恰有两个零点
B．时，不等式f（x）＜0对任意x＞0恒成立
C．若函数f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＞e
D．当a＝0时，若不等式ex﹣f（mx）≥（m﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围为（0，e]
（多选）34．已知函数f（x）＝x2+alnx，则下列结论正确的是（　　）
A．时，曲线y＝f（x）的切线斜率最小值为2
B．时，f（x）有最大值
C．时，f（x）有两个零点
D．时，f（x）有最小值
35．设函数f（x）＝（ex﹣m﹣ax）（lnx﹣2ax），若存在实数a使得f（x）＜0成立，则m的取值范围是 　 　 ．
36．已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y＝e﹣x的最大值为 　 　 ．
37．已知函数f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝e﹣x﹣a， x1∈[﹣1，1]， x2∈[0，2]，使不等式f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是 　 　 ．
38．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为 　 　 ．
39．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r值，并求出最小值．
40．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝﹣2处取得极值﹣14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
41．已知函数．
（1）当a＝2时，f（x）≥3恒成立，求b的值；
（2）当0＜a≤e2，且x＞2时，f（x）＞bln[a（x﹣1）]恒成立，求b的取值范围．
42．已知f（x）＝ex﹣1﹣x．
（1）求证：对于 x∈R，f（x）≥0恒成立；
（2）若对于 x∈（0，+∞），有f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx）恒成立，求实数a的取值范围．
43．已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．
44．若函数y＝f（x）（x∈D）同时满足下列两个条件，则称y＝f（x）在D上具有性质M．
①y＝f（x）在D上的导数f′（x）存在；
②y＝f′（x）在D上的导数f″（x）存在，且f″（x）＞0（其中f″（x）＝[f′（x）]′）恒成立．
（1）判断函数y＝lg在区间（0，+∞）上是否具有性质M？并说明理由．
（2）设a、b均为实常数，若奇函数g（x）＝2x3+ax2在x＝1处取得极值，是否存在实数c，使得y＝g（x）在区间[c，+∞）上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式成立，求k的最大值．
45．已知函数f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
46．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣1，g（x）＝xex﹣ax2（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）+g（x）≥x．
47．已知函数f（x）x3x2﹣3x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．
48．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax．
（1）若f（x）﹣g（x）≤ex恒成立，求a的最小值；
（2）若x＝1是的极小值点，求n的取值范围．
49．定义：若函数f（x）与g（x）在公共定义域内存在x0，使得f（x0）+g（x0）＝0，则称f（x）与g（x）为“契合函数”，x0为“契合点”．
（1）若函数f（x）＝aex+a和g（x）＝x﹣xex为“契合函数”，求a的取值范围．
（2）已知函数f（x）和g（x）为“契合函数”且有两个“契合点”x1，x2．
①求b的取值范围；
②若x2＞ex1，证明：x1+x2．
50．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣2x在x＝1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]的最大值与最小值．
51．某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：百元/kg）满足，其中，该商品的成本为1百元/kg．
（1）将该商场每日销售该商品所获利润f（x）表示为销售价格x的函数；
（2）当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：e2≈7.389，，12.182）
▉题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
52．设直线l是曲线O：f（x）＝ex+cosx在点（0，2）处的切线，则直线l与x轴，y轴围成的三角形面积为（　　）
A．2 B．1 C． D．4
53．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，+∞） D．（0，1）
54．若曲线f（x）＝x2的一条切线l与直线4x+y﹣3＝0平行，则l的方程为（　　）
A．4x﹣y﹣4＝0 B．x+4y﹣5＝0 C．x﹣4y+3＝0 D．4x+y+4＝0
55．在函数f（x）＝ax﹣2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y＝x的对称点A'，B'在函数g（x）＝ex的图像上，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，e） B． C．（0，e） D．（0，e2）
56．若f（x）＝ex+lnx，则此函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为　 　 ．
57．函数y＝f（x）在x＝5处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝ 　 　 ．
58．曲线y＝ex+2sinx在点（0，1）处的切线方程为 　 　 ．
59．若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　 　 ．
60．设曲线在x＝2处的切线与直线ax﹣y＝0垂直，则a＝　 　 ．第二章 7 导数的应用
题型1 函数最值的应用 题型2 导数及其几何意义
题型3 利用导数研究函数的单调性 题型4 利用导数研究函数的最值
题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程
▉题型1 函数最值的应用
【知识点的认识】
函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．
1．已知函数为奇函数，且f（x）在区间（t﹣1，t2﹣2t）上有最小值，则实数t的取值范围是（　　）
A．（3，4） B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由于函数为奇函数，
因此该函数的定义域关于原点对称，易知x≠1，因此x≠﹣1，
所以有，解得，
因此函数，
函数定义域为{x|x≠﹣1且x≠1}，可得，因此b＝ln2，
所以函数，
此时有，
所以，b＝ln2满足题意，因此函数，
其定义域为{x|x≠﹣1且x≠1}，
当0＜x＜1时，函数，
y＝ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，
y＝ln（1+x），在（0，1）上单调递增，
因此f（x）在（0，1）上单调递增，
当x＞1时，函数，
导函数，
根据导函数，得到x＝3
当x＞3时，导函数f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上单调递增，
当1＜x＜3时，导函数f′（x）＜0，f（x）在（1，3）上单调递减，
因此x＝3是f（x）的极小值点，
当x→1时，函数f（x）→+∞，
结合奇函数的性质，可得函数的大致图象如图，
又因为函数f（x）在区间（t﹣1，t2﹣2t）上有最小值，因此1＜t﹣1＜3＜t2﹣2t，所以3＜t＜4．
故选：A．
▉题型2 导数及其几何意义
【知识点的认识】
1、导数的定义
如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f（x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；
如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）．
2．设P为曲线C：y＝x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）
A． B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[，1]
【答案】A
【解答】解：设点P的横坐标为x0，
∵y＝x2+2x+3，
∴y′2x0+2，
利用导数的几何意义得2x0+2＝tanα（α为点P处切线的倾斜角），
又∵，∴0≤2x0+2≤1，
∴．
故选：A．
3．已知点P在曲线y上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（　　）
A．[0，） B．[，） C．（，] D．[，π）
【答案】D
【解答】解：因为y上的导数为y′，
∵ex+e﹣x≥22，
∴ex+e﹣x+2≥4，
∴y′∈[﹣1，0）
即tanα∈[﹣1，0），
∵0≤α＜π
∴π≤α＜π．
即α的取值范围是[π，π）．
故选：D．
4．曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为（　　）
A．1 B．2 C．e D．
【答案】A
【解答】解：由y＝ex，得到y′＝ex，
把x＝0代入得：y′（0）＝e0＝1，
则曲线y＝ex在点A（0，1）处的切线斜率为1．
故选：A．
▉题型3 利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
5．设f（x）、g（x）是R上的可导函数，f′（x），g′（x）分别为f（x）、g（x）的导函数，且满足f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，则当a＜x＜b时，有（　　）
A．f（x）g（b）＞f（b）g（x） B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）
C．f（x）g（x）＞f（b）g（b） D．f（x）g（x）＞f（b）g（a）
【答案】C
【解答】解：令y＝f（x） g（x），
则y′＝f′（x） g（x）+f（x） g′（x），
由于f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
所以y在R上单调递减，
又x＜b，故f（x）g（x）＞f（b）g（b）．
故选：C．
6．已知函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则不等式xf′（x）＜0的解集为（　　）
A．（﹣∞，）∪（，2） B．（﹣∞，0）∪（，2）
C．（﹣∞，∪（，+∞） D．（﹣∞，）∪（2，+∞）
【答案】B
【解答】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，）∪（2，+∞）大于0，
在（，2）上小于0，
∴xf′（x）＜0的解集为（﹣∞，0）∪（，2）．
故选：B．
7．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（　　）
A． x0∈R，f（x0）＝0
B．函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
C．若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（﹣∞，x0）单调递减
D．若x0是f（x）的极值点，则f′（x0）＝0
【答案】C
【解答】解：f′（x）＝3x2+2ax+b．
（1）当Δ＝4a2﹣12b＞0时，f′（x）＝0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下
x （﹣∞，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：
①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确．
②∵f（x）x3+ax2+bx+c2c，
，
∵f（x），
∴点P为对称中心，故B正确．
③由表格可知x1，x2分别为极值点，则f′（x1）＝f′（x2）＝0，故D正确．
④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即 xα∈R，f（xα）＝0，故A正确．
（2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确；
②B同（1）中②正确；
③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即 x0∈R，f（x0）＝0，故A正确．
综上可知：错误的结论是C．
由于该题选择错误的，故选：C．
8．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【解答】解：设g（x），
则g（x）的导数为：g′（x），
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）为减函数，
又∵g（﹣x）g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（﹣1）0，
∴函数g（x）的图象性质类似如图：
数形结合可得，不等式f（x）＞0 x g（x）＞0
或，
0＜x＜1或x＜﹣1．
故选：A．
9．若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，则a的最大值为（　　）
A． B．1 C．e D．2e
【答案】B
【解答】解：根据题意，若0＜x1＜x2＜a，
x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2 0，
设f（x），（x＞0），
则在（0，a），函数f（x）为增函数，
对于f（x），其导数f′（x），
若f′（x）＞0，解可得0＜x＜1，
即函数f（x）的递增区间为（0，1）；
若0＜x1＜x2＜a都有x2lnx1﹣x1lnx2＜x1﹣x2成立，即在（0，a），函数f（x）为增函数，
则a的最大值为1；
故选：B．
10．已知实数a，b∈（1，+∞），且2（a+b）＝e2a+2lnb+1，e为自然对数的底数，则（　　）
A．1＜b＜a B．a＜b＜2a C．2a＜b＜ea D．ea＜b＜e2a
【答案】D
【解答】解：实数a，b∈（1，+∞），且2（a+b）＝e2a+2lnb+1，变形为2b﹣2lnb＝e2a﹣2a+1，
令u（x）＝ex﹣x﹣1，x∈（0，+∞），
则u′（x）＝ex﹣1＞0，∴函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴u（x）＝ex﹣x﹣1＞u（0）＝0，即ex﹣x﹣1＞0．
①令f（x）＝ex﹣x+1，f（2a）＝e2a﹣2a+1；
令h（x）＝2ex﹣2x，h（lnb）＝2elnb﹣2lnb＝2b﹣2lnb，
x＞1时，h（x）﹣f（x）＝ex﹣x﹣1＞0，
∴h（x）＞f（x），当f（2a）＝h（lnb）时，2a＞lnb，即b＜e2a．
②令m（x）＝e2x﹣2x+1，m（a）＝e2a﹣2a+1；
令h（x）＝2ex﹣2x，h（lnb）＝2elnb﹣2lnb＝2b﹣2lnb，
x＞1时，m（x）﹣f（x）＝e2x﹣2ex+1＝（ex﹣1）2＞0，
∴h（x）＜m（x），
当m（a）＝h（lnb）时，a＜lnb，即ea＜b．
综上，可得ea＜b＜e2a．
故选：D．
11．函数f（x）＝﹣lnx+x的递增区间是（　　）
A．（﹣∞，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，0）和（1，+∞）
C．（1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝﹣lnx+x，所以f'（x）1，定义域为（0，+∞），
令f'（x）＞0，则1＞0，解得x＞1，
所以f（x）的递增区间为（1，+∞）．
故选：C．
12．已知函数f（x）＝ex+a，x∈（0，+∞），当x1＜x2时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1） C．[﹣1，+∞） D．（﹣1，+∞）
【答案】C
【解答】解：由已知，当0＜x1＜x2时，不等式恒成立，
可得x1f（x1）＜x2f（x2），令F（x）＝xf（x）＝xex+ax，x∈（0，+∞），
则F（x1）＜F（x2），所以F（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以F′（x）＝xex+ex+a≥0在（0，+∞）上恒成立，
即﹣a≤xex+ex在（0，+∞）上恒成立，
令g（x）＝xex+ex，g′（x）＝（x+2）ex＞0，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以g（x）＞g（0）＝1，所以﹣a≤1，解得a≥﹣1，
即实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：C．
13． x＞0满足ex﹣1＞ax，则实数a的取值范围为（　　）
A．a＜1 B．0＜a＜1 C．0＜a≤1 D．a≤1
【答案】D
【解答】解：根据题意， x＞0满足ex﹣1＞ax，即ex﹣ax﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，
设f（x）＝ex﹣ax﹣1，
其导数f′（x）＝ex﹣a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，则f（x）在R上为增函数，
在区间（0，+∞）上，必有f（x）＞f（0）＝0，即ex﹣ax﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意，
当0＜a≤1时，f′（x）＝ex﹣a＝0，解可得x＝lna≤0，
在区间（0，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在R上为增函数，
在区间（0，+∞）上，必有f（x）＞f（0）＝0，即ex﹣ax﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，符合题意，
当a＞1时，f′（x）＝ex﹣a＝0，解可得x＝lna＞0，
在区间（0，lna）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
而f（0）＝0，必有f（x）＜f（0）＝0，不能满足ex﹣ax﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立，不符合题意，
综合可得：a≤1，即a的取值范围为（﹣∞，1]；
故选：D．
14．定义在R上的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）﹣kx在[1，2]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣12] B．[﹣3，+∞） C．（﹣3，+∞） D．（﹣∞，﹣3]
【答案】B
【解答】解：f′（x）＝﹣3x2≤0在[﹣1，1]恒成立，
故f（x）在[﹣1，1]递减，
结合题意g（x）＝﹣x3+m﹣kx在[1，2]递减，
故g′（x）＝﹣3x2﹣k≤0在[1，2]恒成立，
故k≥﹣3x2在[1，2]恒成立，故k≥﹣3，
故选：B．
15．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（3）＝0，当x＞0时，恒成立，则不等式x2f（x）＞0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
C．（﹣3，0）∪（0，3） D．（﹣3，0）∪（3，+∞）
【答案】A
【解答】解：设g（x），当x＞0时，有g′（x）0恒成立，
可得g（x），在（0，+∞）上是减函数，
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝0，
∴g（x）是偶函数，且g（﹣3）＝g（3）＝0，
作出g（x）对应的草图如图：
则当x＞0时，不等式x2f（x）＞0等价为f（x）＞0，即xg（x）＞0，即g（x）＞0，可得0＜x＜3；
则当x＜0时，不等式x2f（x）＞0等价为f（x）＞0，即xg（x）＞0，即g（x）＜0，可得x＜﹣3，
故不等式x2f（x）＞0的解集是：（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：A．
（多选）16．已知函数存在三个不同的零点，则下列说法正确的是（　　）
A．实数a的取值范围是（﹣2，2）
B．曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为定值
C．存在非零常数λ，使得曲线y＝f（x）在点（λa，f（λa））处的切线恒过原点
D．若曲线y＝f（x）在其与x轴的三个交点处的切线斜率分别为k1，k2，k3，则
【答案】BCD
【解答】解：对于A选项，由于存在三个不同的零点，
故，解得﹣2＜a＜2，且a≠±1，故A选项错误；
对于B选项，求导得f′（x）＝x2﹣2ax+a2﹣1，则f′（a）＝a2﹣2a2+a2﹣1＝﹣1，
曲线y＝f（x）在点（a，f（a））处的切线斜率为定值﹣1，故B选项正确．
对于C选项，当a＝0时，切线显然过原点；
当a≠0时，f′（λa）＝（λ2﹣2λ+1）a2﹣1，，
则曲线y＝f（x）在点（λa，f（λa））处的切线方程为：
，
将原点坐标代入得，
得，解得或λ＝0（舍去），故C选项正确．
对于D选项，显然0是f（x）的一个零点，f′（0）＝a2﹣1，
设另外两个零点分别为x1，x2（x1≠x2），
则，而，
故，
，
由A知，x1，x2是方程的两个实根，
因此，故，故D选项正确，
故选：BCD．
（多选）17．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数．记f''（x）＝（f'（x））'，若f''（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（　　）
A．f（x）＝sinx﹣cosx B．f（x）＝lnx﹣2x
C．f（x）＝﹣x3+2x﹣1 D．f（x）＝﹣xe﹣x
【答案】BC
【解答】解：A．由f（x）＝sinx﹣cosx，得f′（x）＝cosx+sinx，
∴，
∵，∴当时，，
这与f''（x）在定义域中小于0不符，故A错误；
B．由f（x）＝lnx﹣2x，得，∴，
∵，∴f''（x）＜0在上恒成立，故B正确；
C．由f（x）＝﹣x3+2x﹣1，得f′（x）＝﹣3x2+2，∴f''（x）＝﹣6x，
∵，∴f''（x）＝﹣6x＜0恒成立，故C正确；
D．由f（x）＝﹣xe﹣x，得f'（x）＝e﹣x（x﹣1），∴f''（x）＝e﹣x（2﹣x），
∵时，2﹣x＞0，e﹣x＞0，
∴f''（x）＞0恒成立，与f''（x）在定义域中小于0不符，故D错误．
故选：BC．
（多选）18．下列函数在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x﹣（）x B．y＝x+sinx C．y＝3﹣x D．y＝x2+2x+1
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x﹣（）x，其导数y′＝11，区间（0，+∞）上，y′＞0，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于B，y＝x+sinx，其导数y′＝1+cosx，有y′≥0在R上恒成立，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，y＝3﹣x，是一次函数，在R上是减函数，不符合题意；
对于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函数，其开口向上，对称轴为x＝﹣1，则这个函数在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：ABD．
19．函数f（x）＝x﹣lnx的单调递增区间是　（1，+∞）　 ．
【答案】（1，+∞）
【解答】解：∵y＝x﹣lnx定义域是{x|x＞0}
∵y'＝1当 0时，x＞1或x＜0（舍）
故答案为：（1，+∞）．
20．设函数f（x）＝ln（2x+3）+x2
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）求f（x）在区间[，]的最大值和最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：f（x）的定义域为（，+∞）
（1）f′（x）2x
当x＜﹣1时，f′（x）＞0；
当﹣1＜x时，f′（x）＜0；
当x时，f′（x）＞0
从而，f（x）在区间（，﹣1），（，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，）上单调递减
（2）由（1）知f（x）在区间[，]的最小值为f（）＝ln2
又f（）﹣f（）＝lnln
＝ln（1﹣ln）＜0
所以f（x）在区间[，]的最大值为f（）ln．
21．已知函数f（x）x2﹣（a+2）x+2alnx（a＞0），
（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为y＝2x+b，求a+2b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设函数g（x）＝﹣（a+2）x，若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
∴，f′（1）＝1﹣（a+2）+2a＝2
解得a＝3，b，∴a+2b＝﹣10．
（2），
当a＝2时，f′（x）≥0 x∈（0，+∞），∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）
当0＜a＜2时，由f′（x）＞0 x∈（0，a）∪（2，+∞），
∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞）
由f′（x）＜0 x∈（a，2），∴f（x）的单调减区间为（a，2）．
当a＞2时，由f′（x）＞0 x∈（0，2）∪（a，+∞），∴f（x）的单调减区间为（0，2），（a，+∞）
由f′（x）＜0 x∈（2，a），∴f（x）的单调减区间为（2，a）．
综上所述：当a＝2时，f′（x）≥0 x∈（0，+∞），∴f（x）的单调增区间为（0，+∞），
当0＜a＜2时，∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），f（x）的单调减区间为（a，2）
当a＞2时，∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），f（x）的单调减区间为（2，a）．
（3）若至少存在一个x0∈[e，4]，使得f（x0）＞g（x0），
∴，
当x∈[e，4]时，lnx＞1，
∴有解，令，
∴2a＞h（x）min
，
∴h（x）在[e，4]上单调递减，h（x）min＝h（4），
∴2a，即a．
22．已知函数f（x）＝mx2﹣lnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若m，证明：f（x）．
【答案】（1）当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当m＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（2）证明过程见解析．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝2mx，
当m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当m＞0时，令f′（x）＞0，解得x，令f′（x）＜0，解得0＜x，
∴f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
综上，当m≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当m＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；
（2）函数f（x）＝mx2﹣lnx的定义域为（0，+∞），
∴x2＞0，若m，则mx2x2，
∴f（x）＝mx2﹣lnx，
令g（x），则g′（x）＝x，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
∴，
∴f（x）≥g（x），故f（x）．
▉题型4 利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
23．若函数f（x）＝x3﹣3x﹣a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为M、N，则M﹣N的值为（　　）
A．2 B．4 C．18 D．20
【答案】D
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣3，令f′（x）＝0得x＝±1．
当0≤x＜1时，f′（x）＜0；当1≤x≤3时，f′（x）＞0．则f（1）最小，则N＝f（1）
又f（0）＝﹣a，f（3）＝18﹣a，
又f（3）＞f（0），∴最大值为f（3），即M＝f（3），
所以M﹣N＝f（3）﹣f（1）＝（18﹣a）﹣（﹣2﹣a）＝20．
故选：D．
24．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设函数y＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣lnx，求导数得
当时，y′＜0，函数在上为单调减函数，
当时，y′＞0，函数在上为单调增函数
所以当时，所设函数的最小值为
所求t的值为
故选：D．
25．已知x＝1为函数的极值点，则f（x）在区间上的最大值为（　　）（注：ln2≈0.69）
A．3 B．7﹣ln2 C．5 D．
【答案】B
【解答】解：，由于x＝1是f（x）的极值点，
所以f'（1）＝1+2﹣a＝3﹣a＝0，a＝3，
此时，
所以f（x）在区间（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减；在区间（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝1是f（x）极小值点，a＝3符合题意，
，，
由于，
所以f（x）在区间上的最大值为7﹣ln2．
故选：B．
26．设函数f（x）＝x+ex，g（x）＝x+lnx，若存在x1，x2，使得f（x1）＝g（x2），则|x1﹣x2|的最小值为（　　）
A． B．1 C．2 D．e
【答案】B
【解答】解：因为f（x）＝x+ex，所以f'（x）＝1+ex＞0恒成立，
所以f（x）在R上单调递增，g（x）＝x+lnx＝f（lnx），
因为f（x1）＝g（x2）＝f（lnx2），所以x1＝lnx2，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|，
令h（x）＝lnx﹣x+1，定义域为（0，+∞），，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，
所以h（x）≤h（1）＝0，所以lnx≤x﹣1＜x，
所以|x1﹣x2|＝|lnx2﹣x2|＝x2﹣lnx2≥x2﹣（x2﹣1）＝1．
故选：B．
27．函数f（x）＝（x﹣3）ex的最小值是（　　）
A．e3 B．﹣e3 C．e2 D．﹣e2
【答案】D
【解答】解：由题意可得f'（x）＝（x﹣2）ex，
令f′（x）＝0得x＝2，
所以在（﹣∞，2）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（2，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
则f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以．
故选：D．
28．若不等式ex≥kx（e＝2.71828...为自然对数的底数）对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为（　　）
A．0 B．1 C．e D．e2
【答案】C
【解答】解：设f（x）＝ex﹣kx，要使ex≥kx恒成立，即f（x）≥0恒成立，需f（x）min≥0，
对f（x）求导得f'（x）＝ex﹣k，
当k≤0时，因为ex＞0，所以f'（x）＝ex﹣k＞0，f（x）在R上单调递增，无最小值，不满足要求，舍去；
当k＞0时，令f'（x）＝0，即ex﹣k＝0，解得x＝lnk，当x＞lnk时，f'（x）＞0，f（x）在（lnk，+∞）上单调递增；
当x＜lnk时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，lnk）上单调递减，所以f（x）在x＝lnk处取得极小值也是最小值，
f（lnk）＝elnk﹣klnk＝k﹣klnk．
因为f（x）min＝k﹣klnk≥0，即k（1﹣lnk）≥0，又因为k＞0，所以1﹣lnk≥0，即lnk≤1＝lne，可得k≤e．
综上，实数k的最大值为e．
故选：C．
29．将一个边长为20的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒，当方盒的容积最大时，x＝（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意可知方盒的底面是边长为20﹣2x的正方形，方盒高为x，那么0＜x＜10．
因此无盖方盒的容积为V（x）＝x（20﹣2x）2＝4x3﹣80x2+400x，0＜x＜10．
因此导函数V′（x）＝12x2﹣160x+400＝4（x﹣10）（3x﹣10），
令导函数V′（x）＜0，解得；导函数V′（x）＞0，解得，
因此V（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以在处V（x）取得极大值即最大值，即当时方盒的容积最大．
故选：D．
30．已知对任意的正数x，不等式恒成立，则正数a的最大值为（　　）
A．e B． C． D．1
【答案】A
【解答】解：由对 x∈（0，+∞）恒成立，且a＞0，
即恒成立，
即e exx+x≥e elnaxlnax+lnax恒成立，
设g（x）＝e exx+x＝xex+1+x，则g′（x）＝（x+1）ex+1+1，
因为x＞0，所以g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则由e exx+x≥e elnaxlnax+lnax恒成立，
可以转化为g（x）≥g（ln（ax））恒成立，
即x≥lnax对 x∈（0，+∞）恒成立，
即对 x∈（0，+∞）恒成立，即．
设，x∈（0，+∞），则，
令h′（x）＜0，即0＜x＜1；令h′（x）＞0，即x＞1，
所以函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以h（x）min＝h（1）＝e，即a≤e，
又a＞0，所以0＜a≤e，所以a的最大值为e．
故选：A．
（多选）31．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，则下列结论正确的是（　　）
A．对任意的a∈R，存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝0
B．若x1是f（x）的极值点，则f（x）在（x1，+∞）上单调递减
C．函数f（x）的最大值为
D．若f（x）有两个零点，则
【答案】BD
【解答】解：函数f（x）＝lnx﹣ax2+1，a∈R，x∈（0，+∞），
f′（x）2ax，
a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增；
a＞0时，f′（x），
x∈（0，）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，）上单调递增；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）在x∈（，+∞）上单调递减．
当x时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（）（1﹣ln（2a））．
A．若a，则函数f（x）的最大值＝f（）（1﹣ln（2a））＜0，此时函数f（x）不存在零点，因此不正确．
B．若x1是f（x）的极值点，则f（x）在（x1，+∞）上单调递减，正确；
C．只有当a＞0时，x时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（）（1﹣ln（2a）），而a≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，且x→+∞时，f（x）→+∞，无最大值，因此不正确．
D．若f（x）有两个零点，则a＞0，函数f（x）的最大值＝f（）（1﹣ln（2a））＞0，解得0＜a，因此正确．
故选：BD．
（多选）32．已知函数f（x）＝xex+ax．则下列说法正确的是（　　）
A．当a＝0时，
B．当a＝1时，直线y＝2x与函数f（x）的图像相切
C．若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则a≥0
D．若在区间[0，1]上f（x）≤x2恒成立，则a≤1﹣e
【答案】ABD
【解答】解：对于A，当a＝0时，f（x）＝xex，f′（x）＝（x+1）ex，易知函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，
∴，故选项A正确；
对于B，当a＝1时，f（x）＝xex+x，f′（x）＝（x+1）ex+1，f′（0）＝2，
∴函数f（x）在（0，0）处的切线方程为y＝2x，故选项B正确；
对于C，f′（x）＝（x+1）ex+a，若函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴a≥﹣（x+1）ex，令g（x）＝﹣（x+1）ex，x≥0，则g′（x）＝﹣（x+2）ex＜0，
∴函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴a≥g（x）max＝g（0）＝﹣1，故选项C错误；
对于D，当x＝0时，a∈R恒成立；当x∈（0，1]时，f（x）≤x2恒成立等价于xex+ax≤x2恒成立，即ex+a≤x，即a≤x﹣ex恒成立，
设h（x）＝x﹣ex，0＜x≤1，则h′（x）＝1﹣ex＜0在（0，1]上恒成立，
∴h（x）在（0，1]上单调递减，
∴a≤h（x）min＝h（1）＝1﹣e，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）33．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2（a∈R），则下列说法正确的是（　　）
A．时，函数f（x）恰有两个零点
B．时，不等式f（x）＜0对任意x＞0恒成立
C．若函数f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＞e
D．当a＝0时，若不等式ex﹣f（mx）≥（m﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立，则实数m的取值范围为（0，e]
【答案】BCD
【解答】解：选项A，由x＞0，令，设，
则，
令，当时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0，
所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当x＝1时，，所以当x＜1，g（x）＜0，当x→+∞，g（x）→0，
所以g（x）的图形如图所示：
由图可知，函数f（x）恰有两个零点时，即y＝a与有两个不同的交点，
此时，故A不正确；
选项B，由选项A，，当时，，
即f（x）＜0对任意x＞0恒成立，故B正确，
选项C，由函数f（x）有两个零点x1，x2，即x1，x2为方程lnx﹣ax2＝0的两根，
即lnx＝ax2 2lnx＝2ax2 lnx2＝2ax2，
所以，令，且t1＞t2，
则，所以，
欲证x1x2＞e，即证，即证明lnt1+lnt2＞2，
只需证明，
只需证明，即，
设，则，
令，
所以．
所以F（x）在（1，+∞）上为增函数，又F（1）＝0，
所以F（m）＞F（1）＝0，综上所述，原不等式成立，故x1x2＞e，故C正确，
选项D，当a＝0时，f（x）＝lnx，则不等式ex﹣f（mx）≥（m﹣1）x对x∈（0，+∞）恒成立，
即ex﹣lnmx≥（m﹣1）x＝mx﹣x，即ex+x≥lnmx+mx，即ex+lner≥lnmx+mx，
令φ（x）＝x+lnx，当x＞0时，φ（x）单调递增，
所以ex+lnex≥lnmx+mx φ（ex）≥φ（mx），所以对任意x＞0恒成立，
即求在（0，+∞）上的最小值，
由，当0＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝e，
由ex+x≥lnmx+mx，得mx＞0，而x＞0，所以m＞0，
所以m的取值范围是：（0，e]．
故选：BCD．
（多选）34．已知函数f（x）＝x2+alnx，则下列结论正确的是（　　）
A．时，曲线y＝f（x）的切线斜率最小值为2
B．时，f（x）有最大值
C．时，f（x）有两个零点
D．时，f（x）有最小值
【答案】AD
【解答】解：f（x）＝x2+alnx的定义域为（0，+∞），且函数，
当时，导函数，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此时，y＝f（x）的切线斜率最小值为2，所以选项A对；
当时，导函数对任意的x＞0恒成立，
因此当时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，那么函数f（x）无最大值，所以选项B错；
当时，函数，导函数，
根据f′（x）＜0，可得，根据f′（x）＞0，可得，
所以此时f（x）的增区间为，减区间为，
则，所以，，
所以，当时，函数f（x）有最小值，函数f（x）无零点，C错D对．
故选：AD．
35．设函数f（x）＝（ex﹣m﹣ax）（lnx﹣2ax），若存在实数a使得f（x）＜0成立，则m的取值范围是 　（﹣∞，2+ln2）　 ．
【答案】（﹣∞，2+ln2）．
【解答】解：∵f（x）＝（ex﹣m﹣ax）（lnx﹣2ax）（x＞0），
令h（x），则，
由h′（x）＞0，得x＞1，由h′（x）＜0，得0＜x＜1，
∴h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）∈[e1﹣m，+∞），
令g（x），则g′（x），由g′（x）＞0，得0＜x＜e，由g′（x）＜0，得x＞e，
∴g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，∴g（x）∈（﹣∞，]，
若存在实数a，使得f（x）＜0成立，即存在实数a，使得（a）（）＜0成立，
即存在实数a，使得恒成立，
∴h（x）min＞g（x）max，∴，解得m＜2+ln2，
∴m的取值范围为（﹣∞，2+ln2）．
故答案为：2+ln2．
36．已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则y＝e﹣x的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由正实数x，y满足lnx＝yex+lny，
变形为lnxex，
∴lnxex，
令f（x）＝xex，x∈（0，+∞），
f′（x）＝（x+1）ex＞0，
∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．
∴lnx，∴y，
∴y﹣e﹣x，
令g（x），x∈（0，+∞），
g′（x），
∴x∈（0，2）时，g′（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；x∈（2，+∞）时，g′（x）＜0，此时函数g（x）单调递减．
∴x＝2时，函数g（x）取得极大值即最大值，g（2）．
即 y﹣e﹣x的最大值为．
故答案为：．
37．已知函数f（x）＝ln（x2+1），g（x）＝e﹣x﹣a， x1∈[﹣1，1]， x2∈[0，2]，使不等式f（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，可得f（x）min≥g（x）min，
当﹣1≤x≤1时，，
由f′（x）＜0，可得﹣1≤x＜0，由f′（x）＞0，可得0＜x≤1，
所以函数f（x）在[﹣1，0）上单调递减，在（0，1]上单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝0，
因为，所以g（x）在[0，2]上单调递减，所以，
所以，解得．
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
38．若正实数x，y满足yln（3xy）＝e3x，则y的最小值为 e ．
【答案】e
【解答】解：由yln（3xy）＝e3x，得3xyln（3xy）＝3xe3x，
故ln（3xy） eln（3xy）＝3xe3x，
由题意得，3x＞0，3xy＞0，eln（3xy）＞0，
由ln（3xy） eln（3xy）＝3xe3x得，ln（3xy）＞0．
设f（t）＝tet，t＞0，则f'（t）＝（t+1）et＞0，
∴f（t）在（0，+∞）上单调递增，
∵f（ln（3xy））＝f（3x），∴ln（3xy）＝3x，∴3xy＝e3x，
即，x＞0，
∴，
当时，y'＜0，y在上单调递减，
当时，y′＞0，在上单调递增，
∴当时，y取极小值也是最小值，最小值为e．
故答案为：e．
39．某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的建造费用为y千元．
（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r值，并求出最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，
解得，则0＜r≤2，
所以容器的建造费用为，
故，定义域为{r|0＜r≤2}；
（Ⅱ）因为，
令y'＝0，得，
又，
当0＜r≤2时，y'＜0，函数y为减函数，
故当r＝2时，y有最小值，此时ymin＝112π，
答：该容器的建造费用最小时的半径为2米，最小值112π千元．
40．已知函数f（x）＝ax3+bx+2在x＝﹣2处取得极值﹣14．
（1）求a，b的值；
（2）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（3）求函数f（x）在[﹣3，3]上的最值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ax3+bx+2，所以f'（x）＝3ax2+b，
又函数f（x）在x＝﹣2处取得极值﹣14．
则有，即，解得：，
经检验，a＝﹣1，b＝12时，符合题意，故a＝﹣1，b＝12．
（2）由（1）知：函数f（x）＝﹣x3+12x+2，则f'（x）＝﹣3x2+12，
所以f'（1）＝9，又因为f（1）＝﹣1+12+2＝13，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣13＝9（x﹣1），
也即9x﹣y+4＝0．
（3）由（1）知：函数f（x）＝﹣x3+12x+2，则f'（x）＝﹣3x2+12，
令f'（x）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，
在x∈[﹣3，3]时，随x的变化，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：
x ﹣3 （﹣3，﹣2） ﹣2 （﹣2，2） 2 （2，3） 3
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） ﹣7 单调递减 ﹣14 单调递增 18 单调递减 11
由表可知：当x＝﹣2时，函数f（x）有极小值f（﹣2）＝﹣14；
当x＝2时，函数f（x）有极大值f（2）＝18；
因为f（﹣2）＝﹣14＜f（3）＝11，f（2）＝18＞f（﹣3）＝﹣7，
故函数f（x）在[﹣3，3]上的最小值为f（﹣2）＝﹣14，最大值为f（2）＝18．
41．已知函数．
（1）当a＝2时，f（x）≥3恒成立，求b的值；
（2）当0＜a≤e2，且x＞2时，f（x）＞bln[a（x﹣1）]恒成立，求b的取值范围．
【答案】（1）b＝1；（2）[﹣2，+∞）．
【解答】解：（1）当a＝2时，令函数g（x）＝f（x）﹣3＝ex+（b﹣2）x﹣1，
则f（x）≥3等价于g（x）≥0．因为g（0）＝0，
所以x＝0为函数g（x）的极小值点．又g'（x）＝ex+b﹣2，
所以g'（0）＝b﹣1＝0，解得b＝1．当b＝1时，g'（x）＝ex﹣1，
则当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；
当x＞0时，g'（x）＞0，g（x）单调递增．
故g（x）≥g（0）＝0，符合题意．综上所述，b＝1．
（2）f（x）＞bln[a（x﹣1）]等价于，
即．
构造函数h（x）＝2x+blnx，则等价于．
因为0＜a≤e2，所以．
令函数H（x）＝ex﹣2﹣x+1，x＞2，则H'（x）＝ex﹣2﹣1．
显然H'（x）是增函数，则H'（x）＞H'（2）＝0，H（x）单调递增，
所以H（x）＞H（2）＝0，故，则．
又，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以当x∈（1，+∞）时，恒成立，
即b≥（﹣2x）max＝﹣2，故b的取值范围是[﹣2，+∞）．
42．已知f（x）＝ex﹣1﹣x．
（1）求证：对于 x∈R，f（x）≥0恒成立；
（2）若对于 x∈（0，+∞），有f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx）恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）证明过程见解答．
（2）（﹣∞，0]．
【解答】解：（1）证明：由f（x）＝ex﹣1﹣x，得f′（x）＝ex﹣1﹣1，（x∈R），
令f′（x）＝0，得x＝1，
∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）≥f（1）＝0，∴对于 x∈R，f（x）≥0恒成立．
（2）∵f（x）≥a（x2﹣x﹣xlnx），∴ex﹣1﹣x≥a（x2﹣x﹣xlnx），
∴a（x﹣1﹣lnx），即ex﹣1﹣lnx﹣1≥a（x﹣1﹣lnx），
令t＝x﹣1﹣lnx，则，
当x∈（0，1）时，t′＜0，函数t＝x﹣1﹣lnx单调递减，
当x∈（1，+∞）时，t′＞0，函数t＝x﹣1﹣lnx单调递增，
∴t≥1﹣1﹣ln1＝0，即t≥0，
∴et﹣1≥at，即et﹣1﹣at≥0对 t∈[0，+∞）恒成立，
令g（t）＝et﹣1﹣at（t≥0），则g（0）＝e0﹣1﹣a×0＝0，g′（t）＝et﹣a，
若a≤1，g′（t）≥0，g（t）在[0，+∞）上单调递增，
∴g（t）min＝g（0）＝0，∴g（t）≥0，符合题意，
若a＞1，令g′（t）＝0，得t＝lna，则当t∈（0，lna）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
当t∈[lna，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，
∴g（t）min＝g（lna）＜g（0）＝0，不符合g（t）≥0，
综上，a≤0，
∴a的取值范围是（﹣∞，1]．
43．已知函数f（x）＝2x+1﹣4lnx．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值．
【答案】（1）2x+y﹣5＝0；
（2）f（x）在[1，3]上的最大值为3，最小值为5﹣4ln2．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2x+1﹣4lnx（x＞0），
∴f′（x）＝2，
∴f′（1）＝﹣2，又f（1）＝3，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣3＝﹣2（x﹣1），即2x+y﹣5＝0；
（2）由f′（x），得x∈[1，2）时，f′（x）＜0，x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，2）上单调递减，在（2，3]上单调递增，
∴f（x）极小值＝f（2）＝5﹣4ln2，也是[1，3]上的最小值；
又f（1）＝3，f（3）＝7﹣4ln3＜7﹣4＝3，
∴f（x）在[1，3]上的最大值为3，最小值为5﹣4ln2．
44．若函数y＝f（x）（x∈D）同时满足下列两个条件，则称y＝f（x）在D上具有性质M．
①y＝f（x）在D上的导数f′（x）存在；
②y＝f′（x）在D上的导数f″（x）存在，且f″（x）＞0（其中f″（x）＝[f′（x）]′）恒成立．
（1）判断函数y＝lg在区间（0，+∞）上是否具有性质M？并说明理由．
（2）设a、b均为实常数，若奇函数g（x）＝2x3+ax2在x＝1处取得极值，是否存在实数c，使得y＝g（x）在区间[c，+∞）上具有性质M？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）设k∈Z且k＞0，对于任意的x∈（0，+∞），不等式成立，求k的最大值．
【答案】（1）函数在区间（0，+∞）上有性质M；
（2）（0，+∞）；
（3）3．
【解答】解：（1）令，
则，，
当x∈（0，+∞）时，恒成立，
∴函数在区间（0，+∞）上具有性质M；
（2）根据题设条件，对于任意x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），均有g（﹣x）＝﹣g（x），即2ax2＝0对任意实数x都成立，故a＝0，
于是，因为当x＝1时，函数y＝g（x）取得极值，故6﹣b＝0，解得b＝6，
，解得x＞0，
假设存在实数c，使得函数y＝g（x）在区间[c，+∞）上具有性质M，则必有[c，+∞） （0，+∞），故c＞0，
所以存在实数c，其范围为（0，+∞）；
（3）当x＞0时，，记，
下面求函数y＝h（x）在区间（0，+∞）上的最小值，，构造函数φ（x）＝x﹣1﹣ln（x+1）则，
因为x＞0，所以φ′（x）＞0，故y＝φ（x）在区间（0，+∞）上为严格增函数，且φ（2）＝1﹣ln3＜0，φ（3）＝2﹣ln4＞0，
则存在m∈（2，3）使得φ（m）＝0，即m﹣1﹣ln（m+1）＝0，所以x＞m时，φ（m）＞0，且x2＞0，故h′（x）＞0，
于是，
要使得原不等式恒成立，只需k＜m+1，其中m+1∈（3，4），故满足条件的正整数k的最大值为3．
45．已知函数f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（，+∞），单调递减区间为（﹣1，），
极大值为38，极小值为；
（2）最大值为54，最小值为．
【解答】解：（1）已知f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，函数定义域为R，
可得，
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝38，
当x时，函数f（x）取得极小值，极小值f（）；
（2）因为03，且f（0）＝27，f（3）＝54，
易知，
又函数f（x）在区间[0，3]上连续，
所以函数f（x）在区间[0，3]内的最大值为54，最小值为．
46．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx﹣1，g（x）＝xex﹣ax2（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：f（x）+g（x）≥x．
【答案】（1）当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
（2）见证明过程．
【解答】解：（1）函数 f（x） 的定义域为 （0，+∞），
可得f′（x），
①当a≤0时，恒成立，
②当a＞0时，，解得，
综上：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；
（2）证明：f（x）+g（x）＝xex﹣lnx﹣1，
要证f（x）+g（x）≥x，即证xex﹣lnx﹣1﹣x＝ex+lnx﹣lnx﹣x﹣1≥0恒成立，
令t＝x+lnx，即证et﹣t﹣1≥0，
令k（t）＝et﹣t﹣1，
所以k'（t）＝et﹣1＞0，解得t＞0，
所以k（t）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，
则k（t）≥k（0）＝0，
所以et﹣t﹣1≥0，
则f（x）+g（x）≥x恒成立，得证．
47．已知函数f（x）x3x2﹣3x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值．
【答案】（1）f（x）的单调递减区间为：（﹣1，）；单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（，+∞）；
（2）f（x）min，f（x）max．
【解答】解：（1）因为f（x）x3x2﹣3x，所以f′（x）＝2x2﹣x﹣3＝（2x﹣3）（x+1）．
令f′（x）＜0，得﹣1＜x；令f′（x）＞0，得x＜﹣1或x，
所以f（x）的单调递减区间为：（﹣1，）；单调递增区间为：（﹣∞，﹣1），（，+∞）；
（2）由（1）可知f（x）在[1，）上单调递减，在（，2]上单调递增；
所以f（x）min＝f（），
又f（1），f（2），
所以f（x）max．
48．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax．
（1）若f（x）﹣g（x）≤ex恒成立，求a的最小值；
（2）若x＝1是的极小值点，求n的取值范围．
【答案】（1）﹣1﹣e．
（2）（1，+∞）．
【解答】解：（1）函数f（x）＝xlnx的定义域为（0，+∞），不等式f（x）﹣g（x）≤ex xlnx﹣（x2+ax）≤ex，
则 x＞0，a≥lnx﹣x﹣e，令h（x）＝hx﹣x﹣e，x＞0，求导得h′（x）1，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
于是h（x）max＝h（1）＝﹣1﹣e，则a≥﹣1﹣e，
所以a的最小值为﹣1﹣e．
（2）依题意，，
求导得，
由x＝1是φ（x）的极小值点，得φ′（1）＝0，则m＝n+1，
，
当n≤0时，由φ′（x）＞0，得0＜x＜1；由φ′（x）＜0，得x＞1，x＝1是φ（x）的极大值点，不符合题意；
当0＜n＜1时，由φ′（x）＞0，得n＜x＜1；由φ′（x）＜0，是0＜x＜n或x＞1，x＝1是φ（x）的极大值点，不符合题意；
当n＝1时，恒有φ′（x）≤0成立，当且仅当x＝1时取等号，φ（x）单调递减，无极值点，不符合题意；
对于n＞1时，由φ′（x）＞0，得1＜x＜n；由φ′（x）＜0，是0＜x＜1或x＞n，x＝1是φ（x）的极小值点，符合题意，
所以n的取值范围是（1，+∞）．
49．定义：若函数f（x）与g（x）在公共定义域内存在x0，使得f（x0）+g（x0）＝0，则称f（x）与g（x）为“契合函数”，x0为“契合点”．
（1）若函数f（x）＝aex+a和g（x）＝x﹣xex为“契合函数”，求a的取值范围．
（2）已知函数f（x）和g（x）为“契合函数”且有两个“契合点”x1，x2．
①求b的取值范围；
②若x2＞ex1，证明：x1+x2．
【答案】（1）[0，+∞）．
（2）①（ln（e+1）+e，+∞）．
②证明见解答．
【解答】解：（1）由题意知：f（x）与g（x）的公共定义域为R，
令f（x）＝﹣g（x），即aex+a＝xex﹣x，
所以，
令h，若f（x）与g（x）为“契合函数”，则h（x）与y＝a有交点．
因为，
所以当x＜0时，e2x＜1，2xex＜0，即h′（x）＜0；当x＝0时，h′（x）＝0；
当x＞0时，e2x＞1，2xex＞0，即h′（x）＞0；
所以h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
所以h（x）min＝h（0）＝0，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞；
所以h（x）大致图象如下图所示，
由图象可知：当a∈[0，+∞）时，h（x）与y＝a有交点，
即当f（x）与g（x）为“契合函数”时，a的取值范围为[0，+∞）．
（2）①由题意知：f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
令f（x）＝﹣g（x），，
即，
令，则φ′（x），
当x∈（0，1）时，φ′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0；
所以φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以φ（x）≥φ（1）＝e+1，又当x→0+时，φ（x）→+∞；当x→+∞时，φ（x）→+∞；
所以φ（x）大致图象如下图所示，
令t＝φ（x），则t∈[e+1，+∞），
得：b+1＝lnt+t，
因为y＝lnt+t在[e+1，+∞）上单调递增，又f（x）与g（x）为“契合函数”，
y＝b+1与y＝lnt+t至少有一个交点，
所以y＝t与φ（x）有两个不同交点x1，x2，所以t＞e+1，所以lnt+t＞ln（e+1）+e+1，
所以b+1＞ln（e+1）+e+1，解得：b＞ln（e+1）+e，即实数b的取值范围为（ln（e+1）+e，+∞）．
②证明：由①得：y＝t与φ（x）的两个不同交点为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，
所以，即，所以，所以x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，
令，则由x2＞ex1知：m＞e，x2＝mx1，
所以x1﹣mx1＝lnx1﹣ln（mx1），整理可得：，所以，
所以，
令，则，
令p（m）＝m2﹣1﹣2mlnm（m＞e），则p'（m）＝2m﹣2lnm﹣2＝2（m﹣lnm﹣1），
令q（m）＝m﹣lnm﹣1（m＞e），则q′（m）＝1，
所以q（m）在（e，+∞）上单调递增，所以q（m）＞q（e）＝e﹣2＞0，所以p′（m）＞0，
所以p（m）在（e，+∞）上单调递增，所以p（m）＞p（e）＝e2﹣1﹣2e＝（e﹣1）2﹣2＞0，
即δ（m）＞0，所以δ（m）在（e，+∞）上单调递增，所以δ（m）＞δ（e），
即．
50．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣2x在x＝1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]的最大值与最小值．
【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）最大值为2，最小值为．
【解答】解：（1）由f（x）＝x3+ax2﹣2x，得f′（x）＝3x2+2ax﹣2，
因为函数f（x）在x＝1处取得极值，
所以f′（1）＝3+2a﹣2＝0，解得，
故，定义域为R，
f′（x）＝3x2﹣x﹣2，令f′（x）＞0，得x＞1或，
令f′（x）＜0得，
故f（x）在上单调递增，在上单调递减，
显然x＝1为极小值点，故，
f（x）单调递增区间为，单调递减区间为，
（2）由（1）知，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
x 1 （1，2）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故f（x）的最大值为2，最小值为．
51．某商场在“五一”劳动节期间，要对某商品进行调价，已知该商品的每日销售量y（单位：kg）与销售价格x（单位：百元/kg）满足，其中，该商品的成本为1百元/kg．
（1）将该商场每日销售该商品所获利润f（x）表示为销售价格x的函数；
（2）当每日销售该商品所获利润最大和最小时，销售价格分别是多少？（参考数据：e2≈7.389，，12.182）
【答案】（1）f（x）（）；
（2）当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价x＝2（百元）时，利润最小．
【解答】解：（1）由题意（）．
（2）因为（）．
设g（x）＝ex（x﹣1）2﹣e2（），
则g′（x）＝ex（x﹣1）2+ex 2（x﹣1），因为，所以g′（x）＞0，
所以函数f′（x）在上单调递增．
又，
，
又g（2）＝0，
当时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在上单调递减；
当时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在上单调递增．
又，
f（2）＝2e2≈14.78，
，
所以当销售单价（百元）时，利润最大；当销售单价x＝2（百元）时，利润最小．
▉题型5 利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
52．设直线l是曲线O：f（x）＝ex+cosx在点（0，2）处的切线，则直线l与x轴，y轴围成的三角形面积为（　　）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【解答】解：f（x）＝ex+cosx的导数为f′(x)＝ex﹣sinx,
可得切线的斜率为1﹣0＝1,
切线l的方程为y＝x+2,
则直线l与x轴，y轴的交点为(﹣2,0),(0,2),
可得围成的三角形面积为2×2＝2．
故选：A．
53．已知函数f（x）＝2x3﹣3x，若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，则t的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣3，﹣1） C．（﹣1，+∞） D．（0，1）
【答案】B
【解答】解：设过点P（1，t）的直线与曲线y＝f（x）相切于点（x，2x3﹣3x），
则6x2﹣3，
化简得，4x3﹣6x2+3+t＝0，
令g（x）＝4x3﹣6x2+3+t，
则令g′（x）＝12x（x﹣1）＝0，
则x＝0，x＝1．
g（0）＝3+t，g（1）＝t+1，
又∵过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，
则（t+3）（t+1）＜0，
解得，﹣3＜t＜﹣1．
故选：B．
54．若曲线f（x）＝x2的一条切线l与直线4x+y﹣3＝0平行，则l的方程为（　　）
A．4x﹣y﹣4＝0 B．x+4y﹣5＝0 C．x﹣4y+3＝0 D．4x+y+4＝0
【答案】D
【解答】解：设切点为，因为f'（x）＝2x，所以切线的斜率为2x0，
因为曲线f （x）＝x2的一条切线l与直线4x+y﹣3＝0平行，所以2x0＝﹣4，即x0＝﹣2，
所以l的方程为y﹣4＝﹣4（x+2），即4x+y+4＝0，
故选：D．
55．在函数f（x）＝ax﹣2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y＝x的对称点A'，B'在函数g（x）＝ex的图像上，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，e） B． C．（0，e） D．（0，e2）
【答案】C
【解答】解：在函数f（x）＝ax﹣2的图像上存在两个不同点A，B，使得A，B关于直线y＝x的对称点A'，B'在函数g（x）＝ex的图像上，
转化为函数f（x）＝ax﹣2与函数g（x）＝lnx有两个交点，
函数f（x）＝ax﹣2恒过（0，﹣2），直线y＝ax﹣2与y＝lnx的切点为（m，lnm），
可得y′，所以切线的斜率为：，解得m，切线的斜率为：e，
所以a∈（0，e）．
故选：C．
56．若f（x）＝ex+lnx，则此函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e+1　 ．
【答案】e+1
【解答】解：求导函数可得f′（x）＝ex，
令x＝1，则f′（1）＝e+1
∴函数的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为e+1
故答案为：e+1．
57．函数y＝f（x）在x＝5处的切线方程是y＝﹣x+8，则f（5）+f′（5）＝ 　2　 ．
【答案】2
【解答】解：∵函数y＝f（x）的图象在点x＝5处的切线方程是y＝﹣x+8，
∴f′（5）＝﹣1，f（5）＝﹣5+8＝3，
∴f（5）+f′（5）＝3﹣1＝2，
故答案为：2．
58．曲线y＝ex+2sinx在点（0，1）处的切线方程为 y＝3x+1　 ．
【答案】y＝3x+1．
【解答】解：因为y＝ex+2sinx，所以y'＝ex+2cosx，
所以曲线y＝ex+2sinx在点（0，1）处的切线的斜率k＝e0+2cos0＝3，
由直线方程的斜截式可得切线方程为y＝3x+1．
故答案为：y＝3x+1．
59．若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）　 ．
【答案】（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
【解答】解：y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），
∴切线的斜率k，
∴切线方程为y﹣（x0+a）（）（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）（）（﹣x0），
整理得：，
∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，
∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
60．设曲线在x＝2处的切线与直线ax﹣y＝0垂直，则a＝　﹣9　 ．
【答案】﹣9．
【解答】解：因为，所以，故a＝﹣9．
故答案为：﹣9．

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