资源简介

2 等差数列
题型1 等差数列的性质 题型2 等差数列的概念与判定
题型3 等差中项及其性质 题型4 等差数列的通项公式
题型5 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型6 等差数列的前n项和
题型7 求等差数列的前n项和 题型8 由等差数列的前n项和求解数列
▉题型1 等差数列的性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）
A．100 B．99 C．98 D．97
2．等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（　　）
A．21 B．24 C．27 D．30
3．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，a2+b2＝7，a8+b10＝11，则a5+b6＝（　　）
A．9 B．18 C．16 D．27
5．在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝12，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2025，n∈N*}中元素的个数为（　　）
A．167 B．168 C．169 D．170
7．等差数列{an}中．a10＜0，a11＞0．且a11＞|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为　 　 ．
▉题型2 等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
8．从1，2，…，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（　　）
A． B． C． D．
（多选）9．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（　　）
A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
B．若{an}为等差数列，则为等比数列
C．若，则数列{an}为等比数列
D．若a1＝1，a2＝2，，则{an+1﹣an}为等比数列
10．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an，则a2012等于 　 　 ．
▉题型3 等差中项及其性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
11．在等比数列{an}中，an＞0，且a7，，﹣2a5成等差数列，则公比q＝（　　）
A．2 B．2或﹣1 C．3 D．3或﹣1
▉题型4 等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
12．在等差数列{an}中，a1＝1，a4＝7，则公差d为（　　）
A．4 B．6 C．1 D．2
13．在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9＝15，则a4+a6＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
14．在等差数列{an}中，已知a7＝19，2a2+a5＝21，则{an}的公差d＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
15．在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a4＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
16．已知等差数列{an}中，a3+a9＝10，a4＝3，则数列{an}的公差d＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
17．已知在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a5＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
18．在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3+a5＝8，则a7＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
19．在等差数列{an}中，若a5＝5，a4a6＝16，则该数列的公差为（　　）
A．﹣1 B． C．3 D．±3
20．在等差数列{an}中，已知a3＝8，a7＝16，则a9＝（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
21．等差数列{an}满足a3+a4＝4，a7+a8＝8，则a11+a12＝（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
（多选）22．若公差为d的等差数列{an}满足an+1+an＝4n﹣3，则下列结论正确的为（　　）
A．数列{an+1+an}也是等差数列
B．d＝2
C．
D．13是数列{an}中的项
23．（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为﹣8，求这四个数．
▉题型5 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
24．已知正项等差数列{an}，若，a3+a4＝7，则an＝（　　）
A．1 B．2 C．n D．2n﹣1
25．在等差数列{an}中，若a8＝23，a11＝32，则a66＝（　　）
A．195 B．196 C．197 D．198
26．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
▉题型6 等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
27．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a7＝12，则S10＝（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
28．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11（a5+2），则a11﹣a5＝（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
29．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2+a3+a4+ +an等于（　　）
A． B． C． D．
30．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S7＝14，则a4＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
31．某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（　　）
A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟
32．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝S15，且a7＝3，则a1＝（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
（多选）33．已知Sn是等差数列的前n项和，且S10＞0，a6＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}的公差d＜0 B．a4+a5+a6＜0
C．S11＞0 D．S5≥Sn
（多选）34．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，且（S11﹣S7）（S11﹣S8）＜0，则（　　）
A．a9+a10＞0
B．S7＜S11＜S8
C．当n＝10时，Sn取最大值
D．当Sn＜0时，n的最小值为19
（多选）35．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，下列说法正确的有（　　）
A．d＜0 B．a7＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
36．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．
37．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
38．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝　 　 ．
39．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9+a10+a11+a12＝　 　 ．
（多选）40．若{an}为等差数列，a2＝11，a5＝5，则下列说法正确的是（　　）
A．an＝15﹣2n B．﹣20是数列{an}中的项
C．数列{an}单调递减 D．数列{an}前7项和最大
41．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
42．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（　　）
A．398 B．388 C．199 D．189
▉题型7 求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
43．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5+2a7＝12，则S10＝（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
44．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝1，则S19＝（　　）
A． B．10 C．19 D．38
45．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝20，a3+a7＝20，则数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
46．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3+a9＝24，则S6＝（　　）
A．12 B．14 C．42 D．84
47．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a8＝16，则S13＝（　　）
A．13 B．45 C．104 D．130
48．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3+a10＞0，S11＜0，则数列{Sn}中最小的项是（　　）
A．S4 B．S5 C．S6 D．S7
49．记等差数列{an}的前n项和为Sn公差为d，若a3+a12＞0，S15＜0．则下列结论错误的是（　　）
A．a6＞0 B．a6+a10＜0
C．d＜0 D．
50．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝50，S7＝35，则（　　）
A．数列为等差数列
B．S9＝1
C．
D．当且仅当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值
51．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3+a8+a18＝48，则S15为（　　）
A．45 B．90 C．180 D．240
52．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a4＝　 　 ．
53．已知{an}为等差数列，其首项a1＝2，公差d＞0，且a1，a2，a5成等比数列，则S8＝ 　 　 ．
54．在100～200之间的正整数中，所有能被3整除的数的和为 　 　 ．
55．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＜0，且S10＝S20，则当Sn取最大值时，n的值为 　 　 ．
56．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．比如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，则前9圈共有 　 　 块石板．
（多选）57．已知d为等差数列{an}的公差，Sn为数列{an}的前n项和．若{an}为递减数列，则下列结论正确的为（　　）
A．数列{Sn}为递减数列
B．数列是等差数列
C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且S10＝﹣170，则公差为﹣2
D．若S15＞0，S16＜0，则S8＞S9
58．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a8＝﹣22，S11＝﹣110，则Sn取最小值时，n的值为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．15或16
▉题型8 由等差数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
59．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝4，S3＝12，则{an}的公差d＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
60．已知{an}是等差数列，a8＝4，前10项和S10＝90，则其公差d＝（　　）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣22 等差数列
题型1 等差数列的性质 题型2 等差数列的概念与判定
题型3 等差中项及其性质 题型4 等差数列的通项公式
题型5 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型6 等差数列的前n项和
题型7 求等差数列的前n项和 题型8 由等差数列的前n项和求解数列
▉题型1 等差数列的性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
1．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）
A．100 B．99 C．98 D．97
【答案】C
【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，S99a5．
∴9a5＝27，a5＝3，
又∵a10＝8，
∴d＝1，
∴a100＝a5+95d＝98，
故选：C．
2．等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，则a2+a6+a10＝（　　）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】A
【解答】解：等差数列{an}的公差为2，且a1+a5+a9＝15，
则a2+a6+a10＝（a1+a5+a9）+3d＝15+3×2＝21．
故选：A．
3．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解答】解：，
则．
故选：B．
4．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，a2+b2＝7，a8+b10＝11，则a5+b6＝（　　）
A．9 B．18 C．16 D．27
【答案】A
【解答】解：由题意，两式相加可得，a2+b2+a8+b10＝2a5+2a6＝18，
则a5+b6＝9．
故选：A．
5．在等差数列{an}中，a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝12，则{an}的公差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：等差数列{an}中，a1+a2+a3＝6，a2+a3+a4＝12，
由题可知a1+a2+a3＝3a2＝6，得a2＝2，
由a2+a3+a4＝3a3＝12，得a3＝4，
所以{an}的公差d＝a3﹣a2＝2．
故选：B．
6．设所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，设这两个数列的公共项构成集合A，则集合A∩{n|n≤2025，n∈N*}中元素的个数为（　　）
A．167 B．168 C．169 D．170
【答案】C
【解答】解：根据题意，所有被3除余2的自然数从小到大组成数列{an}，则an＝3n﹣1，
所有被4除余1的自然数从小到大组成数列{bn}，则bn＝4n﹣3，
这两个数列的公共项构成集合A，设集合A的元素从小到大组成数列{cn}，
易得{cn}是首项为5，公差为12的等差数列，即cn＝12n﹣7，
若cn＝12n﹣7≤2025，解可得n≤169，
故集合A∩{n|n≤2025，n∈N*}中元素的个数为169．
故选：C．
7．等差数列{an}中．a10＜0，a11＞0．且a11＞|a10|，Sn为数列{an}的前n项和，则使Sn＞0的n的最小值为　20　 ．
【答案】20
【解答】解：∵a10＜0，a11＞0．且a11＞|a10|，
由等差数列的性质可得：S20＝10（a1+a20）＝10（a10+a11）＞0
19a10＜0
所以使Sn＞0的n的最小值为20．
故答案为：20
▉题型2 等差数列的概念与判定
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
8．从1，2，…，10中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等差数列的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设取出的3个不同的数分别为a、b、c，
从1，2，…，10中取三个不同的数，不同的取法共有种，
若这3个数构成等差数列，则有a+c＝2b．
故a、c同为奇数或同为偶数，且a与c确定后，b随之而定，
则符合题意的a，c的选法有种，
从而所求概率为．
故选：D．
（多选）9．已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是（　　）
A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
B．若{an}为等差数列，则为等比数列
C．若，则数列{an}为等比数列
D．若a1＝1，a2＝2，，则{an+1﹣an}为等比数列
【答案】BCD
【解答】解：对于A，当a＝b＝c＝0时，A显然错误；
对于B，若{an}为等差数列，则，且，
所以数列为等比数列，故B正确；
对于C，若，则an＝Sn﹣Sn﹣1＝3n﹣1﹣（3n﹣1﹣1）＝3n﹣3n﹣1＝2 3n﹣1（n≥2），
当n＝1时，a1＝2满足，于是，
则，且a1＝2≠0，所以数列{an}为等比数列，故C正确；
对于D：因为3an+1＝an+2an+2，所以2（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）＝0，
而a1＝1，a2＝2，a2﹣a1≠0，，
因此数列{an+1﹣an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．
故选：BCD．
10．在数列{an}中，a1＝1，an+1＝an，则a2012等于 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：数列{an}中，a1＝1，an+1＝an，
所以{an}是常数列，a2012＝a1＝1．
故答案为：1．
▉题型3 等差中项及其性质
【知识点的认识】
等差数列
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
11．在等比数列{an}中，an＞0，且a7，，﹣2a5成等差数列，则公比q＝（　　）
A．2 B．2或﹣1 C．3 D．3或﹣1
【答案】A
【解答】解：由等比数列{an}中，an＞0，且a7，，﹣2a5成等差数列，
可得，即，
因为an＞0，所以a5＞0，q＞0，故可得q2﹣q﹣2＝0，
解得q＝2（负值舍去）．
故选：A．
▉题型4 等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
12．在等差数列{an}中，a1＝1，a4＝7，则公差d为（　　）
A．4 B．6 C．1 D．2
【答案】D
【解答】解：∵a4＝7，
∴a1+3d＝7，
∴d＝2，
故选：D．
13．在等差数列{an}中，已知a1+a5+a9＝15，则a4+a6＝（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解答】解：∵数列{an}是等差数列，
∴a1+a9＝a4+a6＝2a5，
又a1+a5+a9＝15，
∴，解得，a4+a6＝10．
故选：A．
14．在等差数列{an}中，已知a7＝19，2a2+a5＝21，则{an}的公差d＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：∵2a2+a5＝3a1+6d＝3a3＝21，
∴a3＝7，
∴d3，
故选：B．
15．在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a4＝（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解答】解：由等差数列的性质可知a4+a8＝a5+a7＝20，
又a7＝12，故a5＝8，
设等差数列的公差为d，则，
所以a4＝a5﹣d＝8﹣2＝6．
故选：C．
16．已知等差数列{an}中，a3+a9＝10，a4＝3，则数列{an}的公差d＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2
【答案】A
【解答】解：等差数列{an}中，a3+a9＝10，a4＝3，得，解得．
故选：A．
17．已知在等差数列{an}中，a4+a8＝20，a7＝12，则a5＝（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解答】解：在等差数列{an}中，
则a4+a8＝a7+a5，解得a5＝8．
故选：C．
18．在等差数列{an}中，已知a1＝1，a3+a5＝8，则a7＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解答】解：由题意，根据等差中项的性质，有a1+a7＝a3+a5．
∴a7＝a3+a5﹣a1＝8﹣1＝7．
故选：C．
19．在等差数列{an}中，若a5＝5，a4a6＝16，则该数列的公差为（　　）
A．﹣1 B． C．3 D．±3
【答案】D
【解答】解：因为等差数列{an}中，若a5＝5，则a4+a6＝2a5＝10，
因为a4a6＝16，
所以a4＝2，a6＝8或a4＝8，a6＝2，
故d＝3或﹣3．
故选：D．
20．在等差数列{an}中，已知a3＝8，a7＝16，则a9＝（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，因为，
所以，解得，
所以a9＝4+8×2＝20．
故选：B．
21．等差数列{an}满足a3+a4＝4，a7+a8＝8，则a11+a12＝（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】B
【解答】解：由于等差数列{an}满足a3+a4＝4，a7+a8＝8，
则a5+a6＝6；a9+a10＝10；a11+a12＝12．
故选：B．
（多选）22．若公差为d的等差数列{an}满足an+1+an＝4n﹣3，则下列结论正确的为（　　）
A．数列{an+1+an}也是等差数列
B．d＝2
C．
D．13是数列{an}中的项
【答案】ABC
【解答】解：由an+1+an＝4n﹣3，易得{an+1+an}为差数列，所以选项A正确；
由an+1+an＝4n﹣3，得an+2+an+1＝4（n+1）﹣3＝4n+1，所以an+2﹣an＝2d＝4，解得d＝2，选项B正确；
由a1+a2＝1，得a1+a1+d＝1，所以a1，所以选项C正确；
an2（n﹣1）＝2n，令an＝13，则2n13，解得n的值不是整数，所以选项D错误．
故选：ABC．
23．（1）三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．
（2）四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为﹣8，求这四个数．
【答案】（1）4，3，2；
（2）﹣2，0，2，4．
【解答】解：（1）设这三个数分别为a﹣d，a，a+d，
由题意可得，解得，
所以这三个数为4，3，2；
（2）设这四个数分别为a﹣3d，a﹣d，a+d，a+3d（d＞0），
由题意可得，解得，
所以d2＝1，d＝1或d＝﹣1（舍去），
所以这四个数分别为﹣2，0，2，4．
▉题型5 由等差数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
24．已知正项等差数列{an}，若，a3+a4＝7，则an＝（　　）
A．1 B．2 C．n D．2n﹣1
【答案】C
【解答】解：设正项等差数列{an}的公差为d（d＞0），
由a3+a4＝2a1+5d＝7，，
得d＝1，a1＝1，则an＝1+（n﹣1）＝n．
故选：C．
25．在等差数列{an}中，若a8＝23，a11＝32，则a66＝（　　）
A．195 B．196 C．197 D．198
【答案】C
【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1＝2，公差为d，
则，
解得，
所以an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，
所以a66＝3×66﹣1＝197．
故选：C．
26．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1＝﹣7，S3＝﹣15，
∴a1＝﹣7，3a1+3d＝﹣15，解得a1＝﹣7，d＝2，
∴an＝﹣7+2（n﹣1）＝2n﹣9；
（2）∵a1＝﹣7，d＝2，an＝2n﹣9，
∴Snn2﹣8n＝（n﹣4）2﹣16，
∴当n＝4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16．
▉题型6 等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
27．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4+a7＝12，则S10＝（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
【答案】D
【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10＝a4+a7＝12，
则S105×12＝60．
故选：D．
28．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11（a5+2），则a11﹣a5＝（　　）
A．4 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，且S11＝11（a5+2），
∵a5＝a1+4d，
∴由等差数列前n项和公式得，
解得d＝2，
∴a11﹣a5＝a5+6d﹣a5＝6d＝12．
故选：D．
29．如图，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n＞1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2+a3+a4+ +an等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，
∴a2+a3+a4+ +an＝3+6+9+12+…+3（n﹣1）
．
故选：C．
30．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S7＝14，则a4＝（　　）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【答案】B
【解答】解：∵{an}是等差数列，
∴，
∴a4＝2．
故选：B．
31．某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（　　）
A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟
【答案】C
【解答】解：由题意可得，他每天走的时长构成了以10为首项，以5为公差的等差数列，
所以该同学第十天的运动时长为10+5×9＝55．
故选：C．
32．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝S15，且a7＝3，则a1＝（　　）
A．﹣3 B．0 C．3 D．6
【答案】D
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝S15，且a7＝3，
由S10＝S15得，
S15﹣S10＝a11+a12+ +a15＝5a13＝0，
∴a13＝0．∵a1+a13＝2a7＝6，∴a1＝6．
故选：D．
（多选）33．已知Sn是等差数列的前n项和，且S10＞0，a6＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．{an}的公差d＜0 B．a4+a5+a6＜0
C．S11＞0 D．S5≥Sn
【答案】AD
【解答】解：等差数列中，由，a6＜0，可得a5＞0，
因此d＝a6﹣a5＜0，A正确，
a4+a5+a6＝3a5＞0，B错误，
，C错误，
由于a6＜0，故a5＞0，故S5是Sn中最大的项，故S5≥Sn，D正确．
故选：AD．
（多选）34．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＞0，且（S11﹣S7）（S11﹣S8）＜0，则（　　）
A．a9+a10＞0
B．S7＜S11＜S8
C．当n＝10时，Sn取最大值
D．当Sn＜0时，n的最小值为19
【答案】ABD
【解答】解：对A，（S11﹣S7）（S11﹣S8）＜0，则（a8+a9+a10+a11）（a9+a10+a11）＜0，
由等差数列性质可得2（a9+a10）×3a10＜0，即（a9+a10）a10＜0．
因为a1＞0，若公差d＞0，则a9，a10＞0，不满足，故d＜0，则a9＞a10．
则a9+a10＞0，a10＜0，故A正确；
对B，由A，a9+a10＞0，a10＜0，故a9＞0，a10＜0．
则S11﹣S7＝a8+a9+a10+a11＝2（a9+a10）＞0，则S11＞S7，
又S11﹣S8＝a9+a10+a11＝3a10＜0，故S11＜S8，故B正确；
对C，由a9＞0，a10＜0可得a1，a2...a9＞0，a10，a11，a12...＜0，故当n＝9时，Sn取最大值，故C错误；
对D，由a9+a10＝2a1+17d＞0，a10＝a1+9d＜0，可得．
故当时，需要满足，故n的最小值为19，故D正确．
故选：ABD．
（多选）35．公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，下列说法正确的有（　　）
A．d＜0 B．a7＞0
C．{Sn}中S6最大 D．|a4|＜|a9|
【答案】ACD
【解答】解：∵公差为d的等差数列{an}，其前n项和为Sn，S11＞0，S12＜0，
∴，
∴a6＞0，a6+a7＜0，
∴a6＞0，a7＜0，d＜0，
∴数列{an}是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负数，
∴前6项和最大，
∴a4＞0，a9＜0，
|a4|﹣|a9|＝a4+a9＝a6+a7＜0，∴|a4|＜|a9|，
故B错误，A，C，D正确．
故选：ACD．
36．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝1，a3+a7＝（　　）
A．﹣2 B． C．1 D．
【答案】D
【解答】解：S9＝1，
则，解得a3+a7．
故选：D．
37．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：S5＝S10，
则S10﹣S5＝a6+a7+a8+a9+a10＝5a8＝0，解得a8＝0，
又因为a5＝1，所以公差，
故a1＝a8．
故选：B．
38．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4＝7，3a2+a5＝5，则S10＝　95　 ．
【答案】95．
【解答】解：等差数列{an}中，a3+a4＝2a1+5d＝7，3a2+a5＝4a1+7d＝5，
解得，d＝3，a1＝﹣4，
则S10＝10×（﹣4）95．
故答案为：95．
39．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9+a10+a11+a12＝　16　 ．
【答案】16
【解答】解：由题意，S4＝8，S8﹣S4＝12，a9+a10+a11+a12＝S12﹣S8，
由等差数列的性质知S4，S8﹣S4，S12﹣S8，构成一个等差数列，
∴2（S8﹣S4）＝S4+S12﹣S8，
∴S12﹣S8＝16，
即a9+a10+a11+a12＝S12﹣S8＝16
故答案为：16．
（多选）40．若{an}为等差数列，a2＝11，a5＝5，则下列说法正确的是（　　）
A．an＝15﹣2n B．﹣20是数列{an}中的项
C．数列{an}单调递减 D．数列{an}前7项和最大
【答案】ACD
【解答】解：在等差数列{an}中，由a2＝11，a5＝5，
得，则a1＝a2﹣d＝11﹣（﹣2）＝13，
∴an＝13﹣2（n﹣1）＝15﹣2n，则数列{an}单调递减，故AC正确；
由15﹣2n＝﹣20，解得n，故B错误；
由an≥0，解得n，∴a7＞0，a8＜0，则数列{an}前7项和最大，故D正确．
故选：ACD．
41．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（　　）
A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12
【答案】B
【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，
∴a1+a1+d+4a1d，
把a1＝2，代入得d＝﹣3
∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．
故选：B．
42．已知数列{an}是等差数列，a1＝2，其中公差d≠0，若a5是a3和a8的等比中项，则S18＝（　　）
A．398 B．388 C．199 D．189
【答案】D
【解答】解：数列{an}是等差数列，a1＝2，其中公差 d≠0，∵a5 是 a3和 a8的等比中项，
∴（2+4d）2＝（2+2d）（2+7d），
化为d（d﹣1）＝0，d≠0．
联立解得：d＝1，
则S18＝18×21＝189．
故选：D．
▉题型7 求等差数列的前n项和
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
43．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a5+2a7＝12，则S10＝（　　）
A．20 B．25 C．30 D．35
【答案】C
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5+2a7＝12，
由题意可知等差数列满足：a3+a5+2a7＝12 2a4+2a7＝12，
∴a4+a7＝6，
∴．
故选：C．
44．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝1，则S19＝（　　）
A． B．10 C．19 D．38
【答案】C
【解答】解：由等差数列{an}的前n项和为Sn，a10＝1，
可得：．
故选：C．
45．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4＝20，a3+a7＝20，则数列的前10项和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝20，a3+a7＝20，
设公差为d，则S4＝4a1+6d＝20，a3+a7＝2a1+8d＝20，
解得a1＝d＝2，
故，
所以，
所以的前10项和为．
故选：A．
46．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a3+a9＝24，则S6＝（　　）
A．12 B．14 C．42 D．84
【答案】C
【解答】解：根据题意，数列{an}为等差数列，a3+a9＝24，
由于a3+a9＝2a6，则a6＝12．
又由a1＝2，所以．
故选：C．
47．记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6+a8＝16，则S13＝（　　）
A．13 B．45 C．104 D．130
【答案】C
【解答】解：因为等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6+a8＝16，
由等差数列的性质，a1+a13＝a6+a8，
所以．
故选：C．
48．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3+a10＞0，S11＜0，则数列{Sn}中最小的项是（　　）
A．S4 B．S5 C．S6 D．S7
【答案】C
【解答】解：因为数列{an}是等差数列，所以，则a6＜0，
因为a6+a7＝a3+a10＞0，所以a7＞0，
所以公差d＝a7﹣a6＞0，
故当n≥7时，an＞0，当n≤6时，an＜0，
所以当n＝6时，Sn取得最小值，即{Sn}中最小的项是S6，
故选：C．
49．记等差数列{an}的前n项和为Sn公差为d，若a3+a12＞0，S15＜0．则下列结论错误的是（　　）
A．a6＞0 B．a6+a10＜0
C．d＜0 D．
【答案】D
【解答】解：对于B，，所以a6+a10＜0，故B正确；
对于A、C，由对B选项分析，a6+a10＝2a8＜0，即a8＜0，又a3+a12＝a7+a8＞0，
所以a7＞0，d＜0，则a6＞0，故A、C正确；
对于D，由前述分析，d＜0，故由，
，所以，故D错误．
故选：D．
50．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝50，S7＝35，则（　　）
A．数列为等差数列
B．S9＝1
C．
D．当且仅当n＝4或n＝5时，Sn取得最大值
【答案】D
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则，解得．
对于A，因为{an}是公差不为零的等差数列，
所以数列为等比数列，不是等差数列，故A项不正确；
对于B，S9＝9a19×20+36×（﹣5）＝0，故B项不正确；
对于C，由Sn＝na1 d＝20n（﹣5）n2，
可得，所以{}构成首项为20，公差d′的等差数列，
所以S120n（），故C项不正确
对于D，由Snn2（n）2，
结合二次函数的性质，可知当n＝4或5时，Sn取得最大值，故D项正确．
故选：D．
51．记Sn为等差数列{an}的前n项和，若2a3+a8+a18＝48，则S15为（　　）
A．45 B．90 C．180 D．240
【答案】C
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
2a3+a8+a18＝48，
则2（a1+2d）+a1+7d+a1+17d＝4a1+28d＝4（a1+7d）＝4a8＝48，解得a8＝12，
故S15＝15a8＝15×12＝180．
故选：C．
52．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且，则a4＝　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由等差数列的性质可知，即，
由2（a1+a5）＝4a2+3，得4a3＝4a2+3，
即，又a4+a2＝2a3，
所以a44．
故答案为：4．
53．已知{an}为等差数列，其首项a1＝2，公差d＞0，且a1，a2，a5成等比数列，则S8＝ 　128　 ．
【答案】128．
【解答】解：a1，a2，a5成等比数列，得，
{an}为等差数列，其首项a1＝2，公差d＞0，
则，解得d＝0或d＝4．
因为d＞0，所以a1＝2，d＝4，
则．
故答案为：128．
54．在100～200之间的正整数中，所有能被3整除的数的和为 　4950　 ．
【答案】4950．
【解答】解：在100～200之间的正整数中，
所有能被3整除的数是以102为首项，3为公差，198为末项的等差数列，共有33项，
它们的和为．
故答案为：4950．
55．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若公差d＜0，且S10＝S20，则当Sn取最大值时，n的值为 　15　 ．
【答案】15
【解答】解：因为等差数列{an}中，S10＝S20，
所以，解得，
所以
，
因为d＜0，所以当n＝15时，Sn取最大值．
故答案为：15．
56．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．比如，北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，则前9圈共有 　405　 块石板．
【答案】405
【解答】解：∵最高一层的中心是一块天心石，围绕它第一圈有9块石板，
从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，
则每圈的石板数构成一个以9为首项，以9为公差的等差数列，
故an＝9n，
当n＝9时，第9圈共有81块石板，
∴前9圈的石板总数S9（9+81）＝405．
故答案为：405．
（多选）57．已知d为等差数列{an}的公差，Sn为数列{an}的前n项和．若{an}为递减数列，则下列结论正确的为（　　）
A．数列{Sn}为递减数列
B．数列是等差数列
C．若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9：8，且S10＝﹣170，则公差为﹣2
D．若S15＞0，S16＜0，则S8＞S9
【答案】BCD
【解答】解：对于A，因为数列{an}是递减的等差数列，所以d＜0，
不妨举例数列{an}为4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3， ，
则S1＝4，S2＝7，S3＝9，这三项不构成递减数列，故A错误；
对于B，，是关于n的一次函数，
因此是等差数列，故B正确；
对于C，数列{an}前10项中，奇数项的和为a1+a3+a5+a7+a9＝5a5，
偶数项的和a2+a4+a6+a8+a10＝5a6，
所以a6：a5＝9：8，设a6＝9x，a5＝8x，则5a5+5a6＝﹣170，解得x＝﹣2，
所以公差d＝a6﹣a5＝x＝﹣2，故C正确；
对于D，，则a8＞0，
，则a9＜﹣a8＜0，
所以S9＝S8+a9＜S8，故D正确．
故选：BCD．
58．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a8＝﹣22，S11＝﹣110，则Sn取最小值时，n的值为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．15或16
【答案】D
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，设其公差为d，
若a2+a8＝﹣22，S11＝﹣110，
则有，
解得，所以（n∈N*），
所以当n＝15或16时，Sn取最小值．
故选：D．
▉题型8 由等差数列的前n项和求解数列
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式为Sn＝na1n（n﹣1）d或者Sn
59．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S2＝4，S3＝12，则{an}的公差d＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解答】解：等差数列{an}中，S2＝2a1+d＝4，S3＝3a1+3d＝12，
则公差d＝4．
故选：A．
60．已知{an}是等差数列，a8＝4，前10项和S10＝90，则其公差d＝（　　）
A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣2
【答案】D
【解答】解：{an}是等差数列，a8＝4，前10项和S10＝90，
，a3＝14，
则．
故选：D．

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