资源简介

3 等比数列
题型1 等比数列的性质 题型2 等比数列的概念与判定
题型3 等比数列的通项公式 题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
题型5 等比数列通项公式的应用 题型6 等比数列的前n项和
题型7 求等比数列的前n项和 题型8 等比数列前n项和的性质
▉题型1 等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am an＝ap aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
1．已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且，则T2025＝（　　）
A．2024 B．2025 C．22024 D．22025
【答案】D
【解答】解：由题意得，，
则2（a1+a2025）+8＝a1 a2025+2（a1+a2025）+4，
解得：a1 a2025＝4，
由等比数列的性质可得，
∵an＞0，∴a1013＝2，
∴．
故选：D．
2．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f（x）x3+4x2+9x﹣1的极值点，则a5＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．9
【答案】B
【解答】解：由题意得f′（x）＝x2+8x+9，
因为a3，a7是函数f（x）x3+4x2+9x﹣1的极值点，
则a3，a7是方程x2+8x+9＝0的两根，
所以，从而可得a3，a7＜0，
又因为等比数列{an}，可得，且，所以a5＝﹣3．
故选：B．
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1＝3an+2，且S2＝6，则下列说法正确的是（　　）
A．a1＝2 B．a3+a4＝69
C．{an+1}是等比数列 D．{an+2}是等差数列
【答案】C
【解答】解：数列{an}中，a1+a2＝S2＝6，由an+1＝3an+2，得a2＝3a1+2，解得a1＝1，
因为an+1＝3an+2，所以an+1+1＝3（an+1），所以，
因为a1+1＝2，所以数列{an+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
所以，故．
对于A，a1＝1，A错误；
对于B，，故a3+a4＝70，B错误；
对于C，{an+1}是等比数列，C正确；
对于D，，而a1+2＝3，a2+2＝7，a3+2＝19不成等差数列，所以{an+2}不是等差数列，D错误．
故选：C．
4．在等比数列{an}中，a4＝1，a1a3+2a3a5+a5a7＝12，则a2+a6＝（　　）
A． B． C． D．12
【答案】A
【解答】解：在等比数列{an}中，a4＝1，a1a3+2a3a5+a5a7＝12，
即，
则，
设等比数列{an}的公比为q（q≠0），则，
所以a2，a4，a6同正，
所以．
故选：A．
5．已知单调递减的等比数列{an}满足a2a4，a1+a5，则a10＝（　　）
A． B． C．512 D．1024
【答案】A
【解答】解：在等比数列{an}中，
∴，又，
∴，
设{an}的公比为q，则，解得q或q（舍去），
∴a10＝a5q5（）5＝（）10．
故选：A．
6．等比数列{an}中，a3 a4 a5＝8，a8＝8，则a6的值为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：，
则，
（负根舍去）．
故答案为：4．
7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝6，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（　　）
A．3° B．5 C．log315 D．30
【答案】B
【解答】解：根据等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝6，可得a5a6＝a4a7＝3，
故log3a1+log3a2+…+log3a10＝log3（a1 a2 a3…a10）＝log3 （a5a6）5＝5log3（a5a6）＝5log33＝5．
故选：B．
8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3 a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】D
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a3 a9＝4a，得a1q2 a1q8＝4（a1q4）2，则q2＝4，解得q＝2，
又a2＝1，所以a1．
故选：D．
9．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2+4x+2＝0的两根，则a5的值是（　　）
A．﹣2 B． C．± D．
【答案】B
【解答】解：a3，a7是方程x2+4x+2＝0的两根，
∴a3 a7＝2，a3+a7＝﹣4，∴a3＜0，a7＜0，
根据等比数列的性质可得：奇数项的符号相同，
∴a5＜0．
∴a5．
故选：B．
10．等比数列{an}中，a6，a9是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a2a13的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【答案】D
【解答】解：根据题意，等比数列{an}中，a6，a9是方程x2﹣4x+3＝0的两根，
则a6a9＝3，
又由a2a13＝a6a9，
则a2a13＝3，
故选：D．
11．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，
反之数列﹣1，﹣1，1，1．满足﹣1×1＝﹣1×1，
但数列﹣1，﹣1，1，1不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
故选：B．
12．各项均为正数的等比数列{an}中，若a3 a8＝100，则lga1+lga2+…+lga10＝（　　）
A．9 B．10 C．11 D．2+lg5
【答案】B
【解答】解：在各项均为正数的等比数列{an}中，an＞0，
因为a3 a8＝100，
所以a1 a10＝a2 a9＝a3 a8＝a4 a7＝a5 a6＝100，
所以lga1+lga2+ +lga10＝lg（a1a2 a10）
＝lg[（a1 a10） （a2 a9） （a3 a8） （a4 a7） （a5 a6）]
＝lg1005＝lg1010＝10．
故选：B．
13．在等比数列{an}中，a2+a3+a4+a5＝243，a5+a6+a7+a8＝72，则a7+a8+a9+a10＝（　　）
A． B． C．32 D．64
【答案】C
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
则，
即243q3＝72，解得，
所以．
故选：C．
14．数列{an}的前n项和Sn满足，设甲：数列{an}为等比数列；乙：a+b＝0，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解答】解：当n≥2时，，
当n＝1时，a1＝S1＝a+2b，
因为数列{an}为等比数列，所以，
即，解得b＝a+2b且b≠0，即a+b＝0且b≠0．
因此充分性成立；
若a+b＝0，当a＝0且b＝0时，a1＝0，甲不成立，故必要性不成立．
故选：A．
15．已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}是（　　）
A．以1为首项，为公比的等比数列
B．以3为首项，为公比的等比数列
C．以1为首项，3为公比的等比数列
D．以3为首项，3为公比的等比数列
【答案】A
【解答】解：因为a1＝1，，
所以数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
故选：A．
16．已知{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝3，S3＝39，，则数列{bn}的最小项为（　　）
A．b2 B．b3 C．b5 D．b7
【答案】B
【解答】解：由a1＝3，S3＝39，{an}是各项均为正数的等比数列，设其公比为q，
则有3+3q+3q2＝39，解得q＝3或q＝﹣4（舍去），
所以，，由得n＞2，
所以n≥3时，bn+1≥bn，又b1＝3，，b3＝1，故b3最小．
故选：B．
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则“S2＜0”是“数列{S2n}是递减数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：根据题意，等比数列{an}的公比为q，则q≠0，
若S2＜0，由于S2n+2＝S2n+a2n+1+a2n+1＝S2n+q2n（a1+a2）＝S2n+q2nS2，必有S2n+2﹣S2n＝q2nS2＜0，即数列{S2n}是递减数列，
反之，若数列{S2n}是递减数列，则有S4＜S2，必有S4﹣S2＝q2S2＜0，
故“S2＜0”是“数列{S2n}是递减数列”的充要条件．
故选：B．
（多选）18．设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是（　　）
A．q＞1
B．a8＝1
C．T10＞T6
D．T7与T8均为Tn的最大值
【答案】BD
【解答】解：根据题意，{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，
由T7＝T8可得a81，故B正确；
由T6＜T7可得a7＞1，则q∈（0，1），故A错误；
{an}是各项为正数的等比数列，q∈（0，1），则有a1＞a2＞……＞a7＞a8＝1＞a9＞a10＞……，
对于C，a7a8a9a10＝（a8a9）2＝a92＜1，则有T10＜T6，C错误，
对于D，T1＜T2……＜T7＝T8＞T9＞T10……，则T7与T8均为Tn的最大值，D正确，
故选：BD．
▉题型2 等比数列的概念与判定
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
19．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（　　）个．
①连续操作五次后，共有64个正方形；
②第四次操作后所得正方形的边长为；
③若总共得到15个正方形，设|AB|＝8，则这15个正方形的周长之和为；
④已知数列{an}中a1＝2等于正方形ABCD的面积，当n≥2时，an表示第n﹣1次操作新增正方形的面积，则数列{an}为等比数列．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，
再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，
将上述操作记为一次操作，
∴第i次操作新增正方形的数量为2i个，
连续操作五次，共有1+2+22+23+24+25＝63个正方形，故①错误；
第i次操作所得正方形的边长为，
则第四次操作后所得正方形的边长为，故②错误；
若总共得到15个正方形需要连续进行3次操作，
由|AB|＝8，得正方形ABCD的周长为32，
第i次操作新增正方形的周长为，
∴这15个正方形的周长之和为96+96，故③正确；
由①②知，
∴数列{an}为公比等于1的等比数列，故④正确．
故选：B．
20．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”问：“马主出几何？”意思是“现有羊、马、牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半．”问马主人应赔偿多少更合理？（　　）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
【答案】C
【解答】解：设羊主人应赔偿a1斗，则马主人应赔偿2a1斗，牛主人应赔偿4a1斗，
由题意得a1+2a1+4a1＝7a1＝5，所以，所以马主人应赔偿斗．
故选：C．
▉题型3 等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
21．在等比数列{an}中，a3＝4，a5＝16，则a9＝（　　）
A．256 B．﹣256 C．128 D．﹣128
【答案】A
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
则q24，
∴a9＝a5q4＝16×42＝256
故选：A．
22．在正项等比数列{an}中，已知a2+a4＝3，a4+a6＝12，则a5﹣a1＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：正项等比数列{an}中，a2+a4＝3，a4+a6＝12，
可得，则12＝3q2，得q2＝4，
解得q＝2（﹣2舍），
所以．
故答案为：．
23．已知等比数列{an}，a2＝4，a10＝16，则a6＝（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
【答案】A
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a2＝4，a10＝16，则q84，变形可得q4＝2，
故a6＝a2q4＝8．
故选：A．
24．已知{an}是以q为公比的等比数列，a3﹣a1＝2，a6﹣a4＝16，则q＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：∵{an}是等比数列，
∴a6﹣a4＝（a3﹣a1）q3，即16＝2q3，解得q＝2．
故选：A．
25．已知等比数列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，则a1＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
【答案】B
【解答】解：由等比数列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，
又由，可得．
故选：B．
26．已知数列{an}中，a1＝2，数列是等比数列，且公比q＝3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．
【答案】（Ⅰ）an（3n﹣1+3）；
（Ⅱ）．
【解答】解：（Ⅰ）数列{an}中，a1＝2，数列是等比数列，且公比q＝3，
，
∴等比数列{}是首项为，公比为3的等比数列，
∴an，
∴数列{an}的通项公式为an（3n﹣1+3）；
（Ⅱ）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，
则bn，
∴Sn（）
（）
．
27．已知{an}为等比数列，且8a2+a5＝0，则{an}的公比为 　﹣2　 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵8a2+a5＝0，
∴8＝q3，
解得q＝﹣2；
故答案为：﹣2．
28．在正项等比数列{an}中，已知a2＝1，a3+a4＝6，则a1a4＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵，∴q＝2或q＝﹣3（舍）；
则．
故选：B．
29．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a5＝a32，
∵a3＝1，a5＝2，
∴a1，
故选：B．
30．已知公比不为1的等比数列{an}，且a32＝a7，a6+2a4＝3a5，则数列的通项公式an＝　2n+1 ．
【答案】2n+1
【解答】解：∵公比不为1的等比数列{an}，且a32＝a7，a6+2a4＝3a5，
∴，
解得a1＝4，q＝2，
∴数列的通项公式an＝4×2n﹣1＝2n+1．
故答案为：2n+1．
31．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8＝　32　 ．
【答案】32
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，
∵S3，S6，∴，，
解得a1，q＝2．
则a832．
故答案为：32．
32．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5，则公比q＝（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：∵{an}是等比数列，a2＝2，a5，
设出等比数列的公比是q，
∴a5＝a2 q3，
∴，
∴q，
故选：D．
33．在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝81，则a1a15＝（　　）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
【答案】B
【解答】解：∵在等比数列{an}中，a5a7a9a11＝81，
∴81，
又∵0，
∴a5a11＝9，
∴a1a15＝a5a11＝9．
故选：B．
（多选）34．在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝32，则{an}的公比可能为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】BC
【解答】解：因为在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝32，
设等比数列的公比为q，则，所以q＝±2．
故选：BC．
35．已知数列{an}为等比数列，若a1＝2，a5＝32，则a3的值为（　　）
A．±8 B．8 C．16 D．±16
【答案】B
【解答】解：设数列{an}的公比为q，
则，
∴q2＝4，故．
故选：B．
▉题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
36．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11＝66，则a8＝（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解答】解：设公差为d，由题意可得，
即，
解得舍去，或，所以an＝﹣4+2（n﹣1）＝2n﹣6，
可得a8＝16﹣6＝10．
故选：C．
37．已知正项等比数列{an}满足，且，则公比为　　 ．
【答案】．
【解答】解：正项等比数列{an}满足，且，
∴an＞0，公比q＞0，
由，a2＝a1q，得，则a1＝q，
∴，解得．
故答案为：．
▉题型5 等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
38．已知等比数列{an}中，a3＝4，，设数列{（﹣1）nan}的最大项为M，最小项为m，则M﹣m＝（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
【答案】D
【解答】解：等比数列{an}中，a3＝4，，
设公比为q，
由，解得，
所以，
故，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，；
所以，数列{（﹣1）nan}的偶数项单调递减，奇数项单调递增，
故m＝（﹣1）a1＝﹣16，M＝（﹣1）2a2＝8，M﹣m＝24．
故选：D．
39．定义ad﹣bc，已知数列{an}为等比数列，且a3＝1，0，则a7＝（　　）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
【答案】C
【解答】解：数列{an}为等比数列，且a3＝1，0，
则a6a8＝81，
因为0，
故a7＝9．
故选：C．
40．已知{an}是公比为的等比数列，a1＝45，则满足anan+2＜1的n的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．10 D．11
【答案】B
【解答】解：根据{an}是公比为的等比数列，a1＝45，
可得，所以．
因为210＝1024＜2025，212＝4096＞2025，
所以满足anan+2＜1的n的最小值为6．
故选：B．
41．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（　　）（参考数据：1.29≈5.16，1.210≈6.19）
A．5.16×109 B．6.19×1010 C．5.16×1018 D．6.19×1020
【答案】C
【解答】解：由题意第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，
则从第1代到第n代种子数构成了一个等比数列{an}，
该等比数列的首项a1＝1，公比q＝120，
则，
则a10＝1209＝（1.2×100）9＝1.29×1018≈5.16×1018，
故第10代得到的种子数约为5.16×1018．
故选：C．
▉题型6 等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
42．已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝（　　）
A．8 B．16 C．24 D．48
【答案】C
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
由a1＜0，S2＝a1+a2＝3＞0，得a2＝a1q＞0，所以q＜0，
由S6＝53，得S2+S2q2+S2q4＝63，即3+3q2+3q4＝63，
所以q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（舍去），
所以q＝﹣2或q＝2（舍去），
又S2＝a1+a1q＝a1﹣2a1＝3，解得a1＝﹣3，
所以a4＝a1q3＝﹣3×（﹣2）3＝24．
故选：C．
43．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝4（a1+a3），则公比q＝（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解答】解：因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4＝4（a1+a3），
所以当q＝1时，显然不满足，
当q≠1时，，
解得：q＝3．
故选：C．
（多选）44．设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，下列说法正确的是（　　）
A．若T8＝T12，则a10a11＝1
B．若T8＝T12，则T20＝1
C．若a1＝1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则
D．若a1＞0，且T10＞T11＞T9，则使得Tn＞1成立的n的最大值为20
【答案】BCD
【解答】解：对于A，若T8＝T12，则有a9a10a11a12＝1，
结合a9a12＝a10a11，可得10a11＝±1，故A不正确；
对于B，若T8＝T12，则有a9a10a11a12＝1，
可知T20＝a1a2a3a4……a17a18a19a20＝（a9a10a11a12）5＝1，B正确；
对于C，若a1＝1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，
则公比q＞0，a10＞1且a11＜1，即，解得，故C正确；
对于D，若a1＞0，且T10＞T11＞T9，
则q＞0，且，即a11＜1，a10a11＞1，可知0＜q＜1，
由此得到T20＝（a10a11）10＞1，T21，当n≥22时，Tn均小于1．
综上所述，使得Tn＞1成立的n的最大值为20，故D正确．
故选：BCD．
（多选）45．设Sn是公比为正数等比数列{an}的前n项和，若a2，a3a5，则（　　）
A．a4 B．S3
C．an+Sn为常数 D．{Sn﹣2}为等比数列
【答案】ACD
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2，a3a5，
∴，
∵，
∴，故A正确；
∵，
∴，解得q或q（舍去），
∴S3＝a1+a2+a3，故B错误；
∵，，
∴，，
∴an+Sn＝2，故C正确；
∵，
∴{Sn﹣2}是首项为﹣1，公比为的等比数列，故D正确．
故选：ACD．
46．已知数列{an}满足a1＝3，a2＝5，且．
（1）设bn＝an+1﹣an，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）若数列{an}满足，求实数m的取值范围．
【答案】（1）证明见解答；
（2）[7，+∞）．
【解答】（1）证明：由题知，2an+2﹣2an+1＝an+1﹣an，即bn+1bn，且b1＝a2﹣a1＝5﹣3＝2，
则数列{bn}是以2为首项，为公比的等比数列．
（2）解：由（1）知bn＝an+1﹣an，
则当n≥2时，其前n﹣1项和Sn﹣1＝a2﹣a1+a3﹣a2+…+an﹣an﹣1＝an﹣a14，
则an＝7，n≥2，且a1＝3也满足通项，
则由指数函数单调性知，an＝77，
若满足，则m≥7，
即实数m的取值范围是[7，+∞）．
47．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则a5＝　　 ．
【答案】
【解答】解：∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝2，S4＝10，
∴，（q≠1，且q＞0），
解得，q＝2，
∴a5．
故答案为：．
48．已知等比数列{an}的前n项和，则数列{log2an}的前5项和等于（　　）
A．10 B．15 C．20 D．5
【答案】A
【解答】解：等比数列{an}的前n项和，则a2＝S2﹣S1＝3﹣1＝2，而a1＝S1＝1，
因此公比q＝2，，log2an＝n﹣1，显然{log2an}是等差数列，
所以数列{log2an}的前5项和等于．
故选：A．
49．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2+5a1，a5＝4，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设公比为q，S3＝a2+5a1，
所以a3＝4a1，a5＝16a1＝4，
所以．
故选：A．
50．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂 　2044　 盏灯笼．
【答案】2044
【解答】解：由题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，
由题意知a1＝4，公比q＝2，
因为等比数列前n项和，q≠1，
所以前9项和为，
所以九层塔楼一共需要挂2044盏灯笼．
故答案为：2044．
51．已知正项等比数列{an}的前3项和为26，且数列的前3项和为，则a2＝　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：依题意，知an＞0，
又a1+a2+a3＝26，
所以，
则，
解得a2＝6或﹣6（舍去）．
故答案为：6．
52．已知单调递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，，S3＝7a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足的所有正整数n的值．
【答案】（1）an；
（2）n可取的值为1、2、3、4、5、6、7、8、9．
【解答】解：（1）根据题意，设等比数列{an}的公比为q，（0＜q＜1），
又由，S3＝7a3，则有，
解可得a1，q，
故an＝a1qn﹣1；
（2）根据题意，由（1）的结论，an，则Sn1，
若，即1，变形可得2n≤1000，
又由n∈N+，则n≤9，即n可取的值为1、2、3、4、5、6、7、8、9．
53．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝9，则S15＝（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
【答案】B
【解答】解：∵{an}为等比数列，其前n项和为Sn，
∴S5，S10﹣S5，S15﹣S10为等比数列，
∴3，6，S15﹣9为等比数列，
∴3（S15﹣9）＝36，∴S15＝21．
故选：B．
▉题型7 求等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
54．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn，且满足，S6＝9S3，则a1a2+a2a3+…+anan+1等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，因为S6＝9S3，
所以a1+a2+a3+a4+a5+a6＝9（a1+a2+a3），
所以a4+a5+a6＝8（a1+a2+a3），所以q3＝8，解得q＝2，
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以．
故选：C．
55．已知等比数列{an}单调递增，前n项和为Sn，a4a5＝3，a3+a6＝4，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：根据等比数列{an}的性质可得，a3a6＝a4a5＝3，
又a3+a6＝4，又因为{an}是递增数列，
解得a3＝1，a6＝3，因为，
所以数列{an}的公比q满足q3＝3，
所以．
故选：D．
56．某博主在一自媒体平台上吸粉直播，第一天直播完有粉丝200人，预测以后该博主在这个平台每天的粉丝增长率为10%，且每天晚上凌晨零点前引流10位粉丝去另一个平台账号，以此预测三周后，该博主在该平台粉丝量约为（　　）
（1.120≈6.73，1.121≈7.4）
A．673 B．773 C．740 D．840
【答案】B
【解答】解：设第n天的粉丝数为an，
根据题意得：an+1＝1.1an﹣10，
所以an+1﹣100＝1.1an﹣110＝1.1（an﹣100），
因为a1＝200，所以a1﹣100＝100，
所以数列{an﹣100}是首项为100，公比为1.1的等比数列，
所以，
所以通项为an＝100×（1.1）n﹣1+100，
代入n＝21，得a21≈100×6.73+100＝773，
故三周后粉丝量约为773．
故选：B．
57．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4恰为a5和a6的等差中项，则（　　）
A．4 B．5 C．16 D．17
【答案】B
【解答】解：等比数列{an}中，
因为a3+a4恰为a5和a6的等差中项，即2（a3+a4）＝a5+a6，
所以，
a3+a4≠0，可得q2＝2，
所以．
故选：B．
58．已知递增的等比数列{an}满足，a3＝2，则数列{an}的前2026项和S2026＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：设数列{an}的公比为q，
递增的等比数列{an}满足，a3＝2，
由，得，解得q＝±2，
因为q＞1，故q＝2，
所以．
故答案为：．
59．在等比数列{an}中，
（1）若，，，求n和q．
（2）S4＝1，S8＝17，求an．
【答案】（1）n＝5，q＝﹣2．
（2）或．
【解答】解：（1）等比数列{an}中，，，，求n和q．
由等比数列的求和公式得，，解得q＝﹣2，
又由得，解得n＝5．
所以n＝5，q＝﹣2．
（2）显然q≠1，则，，
两式相除得，解得q＝±2，
q＝2时可解得，则；
q＝﹣2时可解得，则．
所以或．
▉题型8 等比数列前n项和的性质
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
60．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10﹣5S5＝1，则a11+a12+a13+a14+a15的最小值为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．25
【答案】B
【解答】解：因为{an}是等比数列，且an＞0，Sn＞0，S10﹣5S5＝1，
所以S10﹣S5＝4S5+1，且S5，S10﹣S5，S15﹣S10也是等比数列，
所以（当且仅当，即时取等号），
因为a11+a12+a13+a14+a15＝S15﹣S10≥16，
所以a11+a12+a13+a14+a15的最小值为16．
故选：B．3 等比数列
题型1 等比数列的性质 题型2 等比数列的概念与判定
题型3 等比数列的通项公式 题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
题型5 等比数列通项公式的应用 题型6 等比数列的前n项和
题型7 求等比数列的前n项和 题型8 等比数列前n项和的性质
▉题型1 等比数列的性质
【知识点的认识】
等比数列
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am an＝ap aq．
等比数列的性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
1．已知正项等比数列{an}的前n项积为Tn，且，则T2025＝（　　）
A．2024 B．2025 C．22024 D．22025
2．在等比数列{an}中，a3，a7是函数f（x）x3+4x2+9x﹣1的极值点，则a5＝（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．9
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1＝3an+2，且S2＝6，则下列说法正确的是（　　）
A．a1＝2 B．a3+a4＝69
C．{an+1}是等比数列 D．{an+2}是等差数列
4．在等比数列{an}中，a4＝1，a1a3+2a3a5+a5a7＝12，则a2+a6＝（　　）
A． B． C． D．12
5．已知单调递减的等比数列{an}满足a2a4，a1+a5，则a10＝（　　）
A． B． C．512 D．1024
6．等比数列{an}中，a3 a4 a5＝8，a8＝8，则a6的值为　 　 ．
7．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7＝6，则log3a1+log3a2+…+log3a10＝（　　）
A．3° B．5 C．log315 D．30
8．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3 a9＝4a52，a2＝1，则a1＝（　　）
A．4 B．2 C．1 D．
9．在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2+4x+2＝0的两根，则a5的值是（　　）
A．﹣2 B． C．± D．
10．等比数列{an}中，a6，a9是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a2a13的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
11．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
12．各项均为正数的等比数列{an}中，若a3 a8＝100，则lga1+lga2+…+lga10＝（　　）
A．9 B．10 C．11 D．2+lg5
13．在等比数列{an}中，a2+a3+a4+a5＝243，a5+a6+a7+a8＝72，则a7+a8+a9+a10＝（　　）
A． B． C．32 D．64
14．数列{an}的前n项和Sn满足，设甲：数列{an}为等比数列；乙：a+b＝0，则甲是乙的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
15．已知数列{an}的通项公式为，则数列{an}是（　　）
A．以1为首项，为公比的等比数列
B．以3为首项，为公比的等比数列
C．以1为首项，3为公比的等比数列
D．以3为首项，3为公比的等比数列
16．已知{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝3，S3＝39，，则数列{bn}的最小项为（　　）
A．b2 B．b3 C．b5 D．b7
17．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则“S2＜0”是“数列{S2n}是递减数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）18．设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是（　　）
A．q＞1
B．a8＝1
C．T10＞T6
D．T7与T8均为Tn的最大值
▉题型2 等比数列的概念与判定
【知识点的认识】
等比数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1 时，an为常数列．
19．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，将上述操作记为一次操作，如此继续，则下列结论正确的个数有（　　）个．
①连续操作五次后，共有64个正方形；
②第四次操作后所得正方形的边长为；
③若总共得到15个正方形，设|AB|＝8，则这15个正方形的周长之和为；
④已知数列{an}中a1＝2等于正方形ABCD的面积，当n≥2时，an表示第n﹣1次操作新增正方形的面积，则数列{an}为等比数列．
A．1 B．2 C．3 D．4
20．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”问：“马主出几何？”意思是“现有羊、马、牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半．”问马主人应赔偿多少更合理？（　　）
A．斗 B．斗 C．斗 D．斗
▉题型3 等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
21．在等比数列{an}中，a3＝4，a5＝16，则a9＝（　　）
A．256 B．﹣256 C．128 D．﹣128
22．在正项等比数列{an}中，已知a2+a4＝3，a4+a6＝12，则a5﹣a1＝　 　 ．
23．已知等比数列{an}，a2＝4，a10＝16，则a6＝（　　）
A．8 B．±8 C．10 D．±10
24．已知{an}是以q为公比的等比数列，a3﹣a1＝2，a6﹣a4＝16，则q＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
25．已知等比数列{an}中，a4＝﹣16，公比q＝2，则a1＝（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2
26．已知数列{an}中，a1＝2，数列是等比数列，且公比q＝3．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，记数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．
27．已知{an}为等比数列，且8a2+a5＝0，则{an}的公比为 　 　 ．
28．在正项等比数列{an}中，已知a2＝1，a3+a4＝6，则a1a4＝（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
29．已知等比数列{an}中，a3＝1，a5＝2，则首项a1＝（　　）
A． B． C． D．0
30．已知公比不为1的等比数列{an}，且a32＝a7，a6+2a4＝3a5，则数列的通项公式an＝　 　 ．
31．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8＝　 　 ．
32．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5，则公比q＝（　　）
A． B．﹣2 C．2 D．
33．在等比数列{an}中，若a5a7a9a11＝81，则a1a15＝（　　）
A．6 B．9 C．±6 D．±9
（多选）34．在等比数列{an}中，a2＝2，a6＝32，则{an}的公比可能为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．4
35．已知数列{an}为等比数列，若a1＝2，a5＝32，则a3的值为（　　）
A．±8 B．8 C．16 D．±16
▉题型4 由等比数列中若干项求通项公式或其中的项
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
36．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差不为0，若a4，a5，a7构成等比数列，S11＝66，则a8＝（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
37．已知正项等比数列{an}满足，且，则公比为　 　 ．
▉题型5 等比数列通项公式的应用
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
38．已知等比数列{an}中，a3＝4，，设数列{（﹣1）nan}的最大项为M，最小项为m，则M﹣m＝（　　）
A．6 B．8 C．12 D．24
39．定义ad﹣bc，已知数列{an}为等比数列，且a3＝1，0，则a7＝（　　）
A．3 B．±3 C．9 D．±9
40．已知{an}是公比为的等比数列，a1＝45，则满足anan+2＜1的n的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．10 D．11
41．某科研小组培育一种水稻新品种，由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子，则第10代得到的种子数为（　　）（参考数据：1.29≈5.16，1.210≈6.19）
A．5.16×109 B．6.19×1010 C．5.16×1018 D．6.19×1020
▉题型6 等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
42．已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝（　　）
A．8 B．16 C．24 D．48
43．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝4（a1+a3），则公比q＝（　　）
A．2 B． C．3 D．
（多选）44．设等比数列{an}的公比为q，前n项积为Tn，下列说法正确的是（　　）
A．若T8＝T12，则a10a11＝1
B．若T8＝T12，则T20＝1
C．若a1＝1024，且T10为数列{Tn}的唯一最大项，则
D．若a1＞0，且T10＞T11＞T9，则使得Tn＞1成立的n的最大值为20
（多选）45．设Sn是公比为正数等比数列{an}的前n项和，若a2，a3a5，则（　　）
A．a4 B．S3
C．an+Sn为常数 D．{Sn﹣2}为等比数列
46．已知数列{an}满足a1＝3，a2＝5，且．
（1）设bn＝an+1﹣an，求证：数列{bn}是等比数列；
（2）若数列{an}满足，求实数m的取值范围．
47．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则a5＝　 　 ．
48．已知等比数列{an}的前n项和，则数列{log2an}的前5项和等于（　　）
A．10 B．15 C．20 D．5
49．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2+5a1，a5＝4，则a1＝（　　）
A． B． C． D．
50．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接国庆节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部塔楼的顶层挂4盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则九层塔楼一共需要挂 　 　 盏灯笼．
51．已知正项等比数列{an}的前3项和为26，且数列的前3项和为，则a2＝　 　 ．
52．已知单调递减的等比数列{an}的前n项和为Sn，，S3＝7a3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求满足的所有正整数n的值．
53．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S5＝3，S10＝9，则S15＝（　　）
A．20 B．21 C．22 D．23
▉题型7 求等比数列的前n项和
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
54．已知{an}是等比数列，前n项和为Sn，且满足，S6＝9S3，则a1a2+a2a3+…+anan+1等于（　　）
A． B．
C． D．
55．已知等比数列{an}单调递增，前n项和为Sn，a4a5＝3，a3+a6＝4，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
56．某博主在一自媒体平台上吸粉直播，第一天直播完有粉丝200人，预测以后该博主在这个平台每天的粉丝增长率为10%，且每天晚上凌晨零点前引流10位粉丝去另一个平台账号，以此预测三周后，该博主在该平台粉丝量约为（　　）
（1.120≈6.73，1.121≈7.4）
A．673 B．773 C．740 D．840
57．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且a3+a4恰为a5和a6的等差中项，则（　　）
A．4 B．5 C．16 D．17
58．已知递增的等比数列{an}满足，a3＝2，则数列{an}的前2026项和S2026＝　 　 ．
59．在等比数列{an}中，
（1）若，，，求n和q．
（2）S4＝1，S8＝17，求an．
▉题型8 等比数列前n项和的性质
【知识点的认识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an
}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn
，
当q＝1时，Sn
＝na1；
当q≠1时，Sn
．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an
}的前n项和为Sn
，则Sn
，S2n﹣Sn
，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
60．设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10﹣5S5＝1，则a11+a12+a13+a14+a15的最小值为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．25

展开更多......

收起↑