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*5 数学归纳法
题型1 数学归纳法 题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
题型3 数学归纳法证明命题
▉题型1 数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1．用数学归纳法证明（n∈N*）由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．某个命题与自然数n有关，若n＝k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得（　　）
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
3．利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边应增乘的因式是（　　）
A．2k+1 B．
C． D．
4．对于不等式n+1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，1+1，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k+1，则当n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时，不等式成立．
则上述证法（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
5．用数学归纳法证明n（n+1）（2n+1）能被6整除时，由归纳假设推证n＝k+1时命题成立，需将n＝k+1时的原式表示成（　　）
A．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）
B．6k（k+1）（2k+1）
C．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2
D．以上都不对
6．数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n 1 3…（2n﹣1）（n∈N）时，证明从n＝k到n＝k+1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以（　　）
A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2）
C． D．
7．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（　　）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
8．用数学归纳法证明等式：1+2+3…+3n，由n＝k的假设到证明n＝k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）
A．3k+1
B．（3k+1）+（3k+2）
C．3k+3
D．（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）
9．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2n（4n2﹣1）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加的项为（　　）
A．（2k）2 B．（2k+3）2 C．（2k+2）2 D．（2k+1）2
10．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12时，由n＝k的假设到证明n＝k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）
A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．
11．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n 1 3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（　　）
A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．
12．已知f（n）＝（2n+7） 3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（　　）
A．30 B．26 C．36 D．6
13．已知n为正偶数，用数学归纳法证明12（）时，若已假设n＝k（k≥2，且k为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　）
A．n＝k+1时不等式成立
B．n＝k+2时不等式成立
C．n＝2k+2时不等式成立
D．n＝2（k+2）时不等式成立
14．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2n（4n2﹣1）的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，等式左边增加的项是　 　 ．
15．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）＝k（k+1）2，则当n＝k+1时，待证表达式应为　 　 ．
16．利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边应增乘的因式是 　 　 ．
17．用数学归纳法证明，n是正整数，假设n＝k时，等式成立，则当n＝k+1时，应推证的目标等式是　 　 ．
18．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n为正偶数），从“n＝2k”到“n＝2k+2”左边需增加的代数式为 　 　 ．
19．用数学归纳法证明不等式1（n∈N*）成立，其初始值至少应取　 　 ．
20．设数列{an}满足：an+1＝an2﹣nan+1，n＝1，2，3，…
（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有
①an≥n+2
②．
21．数列{an}满足Sn＝2n﹣an（n∈N）
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．
22．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y＝bx+r（b＞0且b≠1），b，r均为常数的图象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）当b＝2时，记bn＝2（log2an+1）（n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式成立．
23．用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×（n+1）×（n+2）．
24．设函数f（x）＝ex（e为自然对数的底数），（n∈N*）．
（1）证明：f（x）≥g1（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与gn（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N*）．
25．数列{an}满足an＞0，前n项和．
①求s1，s2，s3；
②猜想{sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
26．用数学归纳法证明等式：12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣n（2n+1）（n∈N*）
27．在数列{an}中，a1＝1，an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an，并用数学归纳法证明；
（Ⅲ）若数列bn，求数列{bn}的前n项和sn．
28．已知数列{an]中，a2＝a+2（a为常数）；Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．
（1）求a1、a3；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）求证以（an，1）为坐标的点Pn（n＝1，2，3…）都落在同一直线上．
29．已知数列{an}的前n项和为．
（1）求S1，S2，S3，S4的值；
（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．
30．设f（x），x1＝1，xn＝f（xn﹣1）（n≥2，n∈N+）．
（1）求x2，x3，x4，x5的值；
（2）归纳{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
31．数列{an}满足Sn＝2n﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
32．给出四个等式：
1＝1
1﹣4＝﹣（1+2）
1﹣4+9＝1+2+3
1﹣4+9﹣16＝﹣（1+2+3+4）
…
（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（n∈N*）个等式；
（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．
33．用数学归纳法证明：1+2+3+…+nn（n+1）．
34．已知数列an﹣an﹣1＝2n﹣1，且a1＝1．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出an并用数学归纳法证明．
35．在数列{an}中，a1＝2，an+1（n∈N*），
（1）求a2，a3，a4；
（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
36．已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n∈N+）
（1）分别求a2，a3，a4的值．
（2）猜想{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
37．已知数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*）
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
38．在数列{an}中，a1＝2，an+1，n＝1，2，3，…．
（1）计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想{an}的通项公式；
（2）用数字归纳法证明你的猜想．
39．用数学归纳法证明：12（n∈N+）．
40．已知数列{an}满足Sn+an＝2n+1（n∈N*），其中Sn表示数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求出a1，a2，a3，并推测数列{an}的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论．
41．设a＞0，f（x）．
（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
42．观察下列等式：
1＝1 第一个式子
2+3+4＝9 第二个式子
3+4+5+6+7＝25 第三个式子
4+5+6+7+8+9+10＝49 第四个式子
照此规律下去：
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．
▉题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
43．用数学归纳法证明不等式“（n＞2）”时的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（　　）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
44．用数学归纳法证明不等式“1（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（　　）
A．
B．
C．
D．
45．用数学归纳法证明“（3n+1） 7n﹣1（n∈N*）能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（　　）能被9整除．
A．3×7k+6 B．3×7k+1+6 C．3×7k﹣3 D．3×7k+1﹣3
46．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
47．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）＝（n+1）（2n+1）时，从n＝k到n＝k+1等式左边需增添的项是（　　）
A．2k+2 B．[2（k+1）+1]
C．[（2k+2）+（2k+3）] D．[（k+1）+1][2（k+1）+1]
48．利用数学归纳法证明等式：1 n+2 （n﹣1）+3 （n﹣2）+ +n 1，当n＝k时，左边的和1 k+2 （k﹣1）+3 （k﹣2）+ +k 1，记作Sk，则当n＝k+1时左边的和，记作Sk+1，则Sk+1﹣Sk＝（　　）
A．1+2+3+ +k B．1+2+3+ +（k﹣1）
C．1+2+3+ +（k+1） D．1+2+3+ +（k﹣2）
49．用数学归纳法证明1+2+3+ +4n＝8n2+2n（n∈N*），则当n＝k+1时，左端应在n＝k的基础上加上（　　）
A．4k+1
B．8（k+1）2+2（k+1）
C．4（k+1）
D．（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4）
50．若命题A（n）（n∈N*）在n＝k（k∈N*）时成立，则有n＝k+1时命题也成立．现知命题对n＝n0（n0∈N*）成立，则有（　　）
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
51．用数学归纳法证明：1+2+22+…+25n﹣1（n∈N*）能被31整除时，从k到k+1添加的项数共有　 　 项（填多少项即可）．
52．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn+yn能被x+y整除”时，第二步假设当n＝k（k∈N*）时命题为真后，需证n＝　 　 时命题也为真．
▉题型3 数学归纳法证明命题
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
53．在数列{an}中，a1＝1，an+1an+1（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
54．在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．
（1）求ak的表达式；
（2）利用数学归纳法证明，并求出Sn的表达式；
（3）求的值，并说明的几何意义．
55．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣an．
（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
56．已知数列{an}满足Sn+an＝n．
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明an的表达式．
57．（1）用数学归纳法证明：1+2+3+ +（n+3）；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：和中至少有一个小于2．
58．已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn1，且an＞0．
（1）求a1、a2、a3；
（2）猜测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
59．观察下列等式．
1＝1 第一个式子
2+3+4＝9 第二个式子
3+4+5+6+7＝25 第三个式子
照此规律下去．
（1）写出第4个和第5个式子；
（2）试写出第n个等式，并用数学归纳法验证是否成立．
60．已知数列{an}满足a1，an（n≥2，n∈N*）．
（1）求a2、a3、a4；
（2）猜想数列通项公式an，并用数学归纳法给出证明．*5 数学归纳法
题型1 数学归纳法 题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
题型3 数学归纳法证明命题
▉题型1 数学归纳法
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
1．用数学归纳法证明（n∈N*）由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为：
故选：C．
2．某个命题与自然数n有关，若n＝k（k∈N*）时命题成立，那么可推得当n＝k+1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得（　　）
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
【答案】C
【解答】解：由题意可知，
P（n）对n＝4不成立（否则n＝5也成立）．
同理可推得P（n）对n＝3，n＝2，n＝1也不成立．
故选：C．
3．利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边应增乘的因式是（　　）
A．2k+1 B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，n＝k 时，左边为（k+1）（k+2）…（k+k）；n＝k+1时，左边为（k+2）（k+3）…（k+1+k+1）；
从而增加两项为（2k+1）（2k+2），且减少一项为（k+1），
故选：C．
4．对于不等式n+1（n∈N*），某同学用数学归纳法的证明过程如下：
（1）当n＝1时，1+1，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k+1，则当n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时，不等式成立．
则上述证法（　　）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【答案】D
【解答】解：在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，
即从n＝k到n＝k+1的推理不正确．
故选：D．
5．用数学归纳法证明n（n+1）（2n+1）能被6整除时，由归纳假设推证n＝k+1时命题成立，需将n＝k+1时的原式表示成（　　）
A．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）
B．6k（k+1）（2k+1）
C．k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2
D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：假设n＝k时命题成立．
即：k（k+1）（2k+1）能被6整除．
当n＝k+1时，（k+1）（k+2）（2k+3）
＝（k+1）（k+2）（2k+1+2）
＝（k+1）（k+2）（2k+1）+2（k+1）（k+2）
＝k（k+1）（2k+1）+2（k+1）（2k+1）+2（k+1）（k+2）
＝k（k+1）（2k+1）+6（k+1）2．
故选：C．
6．数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n 1 3…（2n﹣1）（n∈N）时，证明从n＝k到n＝k+1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以（　　）
A．2k+2 B．（2k+1）（2k+2）
C． D．
【答案】D
【解答】解：n＝k时，左边＝（k+1）（k+2）…（k+k），
n＝k+1时，左边＝（k+2）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2），
∴证明从n＝k到n＝k+1的过程中，相当于在假设成立的那个式子两边同乘以．
故选：D．
7．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（n+3）时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（　　）
A．1 B．1+2 C．1+2+3 D．1+2+3+4
【答案】D
【解答】解：在等式 中，
当n＝1时，n+3＝4，
而等式左边起始为1的连续的正整数的和，
故n＝1时，等式左边的项为：1+2+3+4
故选：D．
8．用数学归纳法证明等式：1+2+3…+3n，由n＝k的假设到证明n＝k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）
A．3k+1
B．（3k+1）+（3k+2）
C．3k+3
D．（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）
【答案】D
【解答】解：n＝k，左边＝1+2+3…+3n，
n＝k+1时，左边＝1+2+3…+3n+（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（3k+1）+（3k+2）+（3k+3）．
故选：D．
9．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2n（4n2﹣1）过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边增加的项为（　　）
A．（2k）2 B．（2k+3）2 C．（2k+2）2 D．（2k+1）2
【答案】D
【解答】解：用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2n（4n2﹣1）的过程中，
第二步，假设n＝k时等式成立，即12+32+52+…+（2k﹣1）2k（4k2﹣1），
那么，当n＝k+1时，12+32+52+…+（2k﹣1）2+（2k+1）2k（4k2﹣1）+（2k+1）2，
等式左边增加的项是（2k+1）2，
故选：D．
10．用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12时，由n＝k的假设到证明n＝k+1时，等式左边应添加的式子是（　　）
A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．
【答案】B
【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，
由于n＝k，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
n＝k+1时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2
故选：B．
11．用数学归纳法证明（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n 1 3…（2n﹣1），从k到k+1，左边需要增乘的代数式为（　　）
A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．
【答案】B
【解答】解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），
当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），
故选：B．
12．已知f（n）＝（2n+7） 3n+9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f（n），则最大的m的值为（　　）
A．30 B．26 C．36 D．6
【答案】C
【解答】解：由f（n）＝（2n+7） 3n+9，得f（1）＝36，f（2）＝3×36，f（3）＝10×36，f（4）＝34×36，由此猜想m＝36．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n＝1时，显然成立．
（2）假设n＝k时，f（k）能被36整除，即f（k）＝（2k+7） 3k+9能被36整除；
当n＝k+1时，
[2（k+1）+7] 3k+1+9
＝3[（2k+7） 3k+9]﹣18+2×3k+1
＝3[（2k+7） 3k+9]+18（3k﹣1﹣1），
∵3k﹣1﹣1是2的倍数，
∴18（3k﹣1﹣1）能被36整除，
∴当n＝k+1时，f（n）也能被36整除．
由（1）（2）可知对一切正整数n都有f（n）＝（2n+7） 3n+9能被36整除，m的最大值为36．
故选：C．
13．已知n为正偶数，用数学归纳法证明12（）时，若已假设n＝k（k≥2，且k为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（　　）
A．n＝k+1时不等式成立
B．n＝k+2时不等式成立
C．n＝2k+2时不等式成立
D．n＝2（k+2）时不等式成立
【答案】B
【解答】解：n为正偶数，用数学归纳法证明12（）时，
若已假设n＝k（k≥2，且k为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证n＝k+2成立．
故选：B．
14．用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2n（4n2﹣1）的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时，等式左边增加的项是　（2k+1）2 ．
【答案】（2k+1）2
【解答】解：用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n﹣1）2n（4n2﹣1）的过程中，
第二步，假设n＝k时等式成立，即12+32+52+…+（2k﹣1）2k（4k2﹣1），
那么，当n＝k+1时，12+32+52+…+（2k﹣1）2+（2k+1）2k（4k2﹣1）+（2k+1）2，
等式左边增加的项是（2k+1）2，
故答案为：（2k+1）2．
15．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）＝k（k+1）2，则当n＝k+1时，待证表达式应为　1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）＝（k+!）（k+2）2 ．
【答案】1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）＝（k+!）（k+2）2
【解答】解：因为证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）＝k（k+1）2，
则当n＝k+1时，待证表达式应为：
1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）＝（k+!）（k+2）2．
故答案为：1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）＝（k+!）（k+2）2．
16．利用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1），n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k+1”时，左边应增乘的因式是 　2（2k+1）　 ．
【答案】2（2k+1）
【解答】解：当n＝k（k∈N*）时，左式为（k+1）（k+2）（k+k）；
当n＝k+1时，左式为（k+1+1） （k+1+2） （k+1+k﹣1） （k+1+k） （k+1+k+1），
则左边应增乘的式子是2（2k+1）．
故答案为：2（2k+1）
17．用数学归纳法证明，n是正整数，假设n＝k时，等式成立，则当n＝k+1时，应推证的目标等式是　　 ．
【答案】
【解答】解：将式子：中n用k+1替换得：
当n＝k+1时，有．
故答案为：．
18．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n为正偶数），从“n＝2k”到“n＝2k+2”左边需增加的代数式为 　　 ．
【答案】
【解答】解：∵n＝2k时，左式为，
n＝2k+2时，左式为，
∴从“n＝2k”到“n＝2k+2”左边需增加的代数式为
故答案为：
19．用数学归纳法证明不等式1（n∈N*）成立，其初始值至少应取　8　 ．
【答案】8
【解答】解：不等式左边2﹣21﹣n，
当n＝1，2，3，…6，7时不等式不成立．
当n＝8，9…时，不等式成立，
初始值至少应取8
故答案为：8．
20．设数列{an}满足：an+1＝an2﹣nan+1，n＝1，2，3，…
（1）当a1＝2时，求a2，a3，a4并由此猜测an的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有
①an≥n+2
②．
【答案】见试题解答内容
【解答】解（1）由a1＝2，得a2＝a12﹣a1+1＝3
由a2＝3，得a3＝a22﹣2a2+1＝4
由a3＝4，得a4＝a32﹣3a3+1＝5
由此猜想an的一个通项公式：an＝n+1（n≥1）
（2）（i）用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1≥3＝1+2，不等式成立．
②假设当n＝k时不等式成立，即ak≥k+2，那么ak+1＝ak（ak﹣k）+1≥（k+2）（k+2﹣k）+1＝2k+5≥k+3．
也就是说，当n＝k+1时，ak+1≥（k+1）+2
据①和②，对于所有n≥1，有an≥n+2．
（ii）由an+1＝an（an﹣n）+1及（i）可得：
对k≥2，有ak＝ak﹣1（ak﹣1﹣k+1）+1≥ak﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1＝2ak﹣1+1
ak≥2k﹣1a1+2k﹣1﹣2+1＝2k﹣1（a1+1）﹣1
于是，k≥2
21．数列{an}满足Sn＝2n﹣an（n∈N）
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想通项公式an，并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）由a1＝2﹣a1，得a1＝1，
由a1+a2＝2×2﹣a2，得a2，
由a1+a2+a3＝2×3﹣a3，得a3，
由a1+a2+a3+a4＝2×4﹣a4，得a4，
猜想an
（Ⅱ）证明：（1）当n＝1，由上面计算可知猜想成立，
（2）假设n＝k时猜想成立，即ak，
此时Sk＝2k﹣ak＝2k，
当n＝k+1时，Sk+1＝2（k+1）﹣ak+1，得Sk+ak+1＝2（k+1）﹣ak+1，
因此ak+1[2（k+1）﹣Sk]＝k+1（2k），
∴当n＝k+1时也成立，
∴an（n∈N+）．
22．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n，Sn）均在函数y＝bx+r（b＞0且b≠1），b，r均为常数的图象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）当b＝2时，记bn＝2（log2an+1）（n∈N*），证明：对任意的n∈N*，不等式成立．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为对任意的n∈N*，点（n，Sn），
均在函数y＝bx+r（b＞0且b≠1，b，r均为常数的图象上．
所以得Sn＝bn+r，当n＝1时，a1＝S1＝b+r，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝bn+r﹣（bn﹣1+r）＝bn﹣bn﹣1＝（b﹣1）bn﹣1，
又因为{an}为等比数列，所以r＝﹣1，公比为b，an＝（b﹣1）bn﹣1
（2）当b＝2时，an＝（b﹣1）bn﹣1＝2n﹣1，bn＝2（log2an+1）＝2（log22n﹣1+1）＝2n
则，
所以
下面用数学归纳法证明不等式成立．
当n＝1时，左边，右边，
因为，所以不等式成立．
假设当n＝k时不等式成立，
即成立
则当n＝k+1时，
左边
所以当n＝k+1时，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．
23．用数学归纳法证明：1×2×3+2×3×4+…+n×（n+1）×（n+2）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝1×2×3＝6，右边左边，∴等式成立．
（2）设当n＝k（k∈N*）时，等式成立，
即．
则当n＝k+1时，
左边＝1×2×3+2×3×4+…+k×（k+1）×（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
∴n＝k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意n∈N*成立．
24．设函数f（x）＝ex（e为自然对数的底数），（n∈N*）．
（1）证明：f（x）≥g1（x）；
（2）当x＞0时，比较f（x）与gn（x）的大小，并说明理由；
（3）证明：（n∈N*）．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：设，
所以．…（1分）
当x＜0时，，当x＝0时，，当x＞0时，．
即函数φ1（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，在x＝0处取得唯一极小值，…（2分）
因为φ1（0）＝0，所以对任意实数x均有 φ1（x）≥φ1（0）＝0．
即f（x）﹣g1（x）≥0，
所以f（x）≥g1（x）．…（3分）
（2）解：当x＞0时，f（x）＞gn（x）．…（4分）
用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，由（1）知f（x）＞g1（x）．
②假设当n＝k（k∈N*）时，对任意x＞0均有f（x）＞gk（x），…（5分）
令φk（x）＝f（x）﹣gk（x），φk+1（x）＝f（x）﹣gk+1（x），
因为对任意的正实数x，，
由归纳假设知，．…（6分）
即φk+1（x）＝f（x）﹣gk+1（x）在（0，+∞）上为增函数，亦即φk+1（x）＞φk+1（0），
因为φk+1（0）＝0，所以φk+1（x）＞0．
从而对任意x＞0，有f（x）﹣gk+1（x）＞0．
即对任意x＞0，有f（x）＞gk+1（x）．
这就是说，当n＝k+1时，对任意x＞0，也有f（x）＞gk+1（x）．
由①、②知，当x＞0时，都有f（x）＞gn（x）．…（8分）
（3）证明：先证对任意正整数n，gn（1）＜e．
由（2）知，当x＞0时，对任意正整数n，都有f（x）＞gn（x）．
令x＝1，得gn（1）＜f（1）＝e．
所以gn（1）＜e．…（9分）
再证对任意正整数n，．
要证明上式，只需证明对任意正整数n，不等式成立．
即要证明对任意正整数n，不等式（*）成立．…（10分）
以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：
方法1（数学归纳法）：
①当n＝1时，成立，所以不等式（*）成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时，不等式（*）成立，
即．…（11分）
则．
因为，…（12分）
所以．…（13分）
这说明当n＝k+1时，不等式（*）也成立．
由①、②知，对任意正整数n，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式成立．
…（14分）
方法2（基本不等式法）：
因为，…（11分），
…，，
将以上n个不等式相乘，得．…（13分）
所以对任意正整数n，不等式（*）都成立．
综上可知，对任意正整数n，不等式成立．
…（14分）
25．数列{an}满足an＞0，前n项和．
①求s1，s2，s3；
②猜想{sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①由Sn（an）得S1（a1），
∴1，又a1＞0，
∴S1＝a1＝1，…（2分）
由S2＝a1+a2
＝1+a2
（a2）可得：2a2﹣1＝0，a2＞0，
∴a21，
∴S2，…（4分）
同理可求a3，S3（6分）
∴s1＝1，，（7分）
猜想Sn，下面用归纳法证明：
（1）当n＝1时，s1＝1显然猜想成立．…（9分）
（2）假设n＝k时（k≥1）猜想也成立，
即sk（10分）
当n＝k+1时，sk+1＝sk+ak+1ak+1，
又sk+1（ak+1），
∴ak+1（ak+1），
∴ak+1，
∴sk+1＝sk+ak+1（12分）
即n＝k+1时猜想也成立．
由①，②得猜想成立．…（13分）
26．用数学归纳法证明等式：12﹣22+32﹣42+…+（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣n（2n+1）（n∈N*）
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝12﹣22＝﹣3，右边＝﹣1×（2+1）＝﹣3，
故左边＝右边，
∴当n＝1时，等式成立；
（2）假设n＝k（k∈N）时，等式成立，
即12﹣22+32﹣…+（2k﹣1）2﹣（2k）2＝﹣k（2k+1）成立，
那么n＝k+1时，左边＝12﹣22+32﹣…+（2k+1）2﹣（2k+2）2
＝（k+1）（﹣2k﹣3）
＝﹣（k+1）[2（k+1）+1]
综合（1）、（2）可知等式12﹣22+32﹣42++（2n﹣1）2﹣（2n）2＝﹣n（2n+1）对于任意正整数都成立．
27．在数列{an}中，a1＝1，an+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）猜想an，并用数学归纳法证明；
（Ⅲ）若数列bn，求数列{bn}的前n项和sn．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，an+1，
∴a2，a3，a4．
（Ⅱ）猜想：an．
下面用数学归纳法证明：
1°当n＝1时，a11，等式成立．
2°假设当n＝k时，ak成立．
则n＝k+1时，
ak+1
即n＝k+1时，等式也成立，
由数学归纳法知：an对n∈N*都成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：bn2[]
从而sn＝b1+b2+…+bn
＝2[（1）+（）+…+（）]＝2[1]
28．已知数列{an]中，a2＝a+2（a为常数）；Sn是{an}的前n项和，且Sn是nan与na的等差中项．
（1）求a1、a3；
（2）猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明；
（3）求证以（an，1）为坐标的点Pn（n＝1，2，3…）都落在同一直线上．
【答案】见试题解答内容
【解答】（本小题满分14分）
解：（1）由已知得，
当n＝1时，
S1＝a1则2a1＝a1+a，
得a1＝a．
当n＝3时，S3＝a1+a2+a3
则2（a1+a2+a3）＝3（a3+a）
∴a3＝a+4
（2）由a1＝a、a2＝a+2、a3＝a+4，
猜想：an＝a+2（n﹣1）
证明：
①当n＝1时，
左边＝a1＝a，
右边＝a+2（1﹣1）＝a，
则当n＝1时，等式成立，
当n＝2时，
左边＝a2＝a+2＝右边，
故当n＝2时，等式成立．
②假设n＝K时，等式成立，
即aK＝a+2（K﹣1）则当n＝K+1时，
aK+1＝SK+1﹣SK（k+1）k
∴（k﹣1）aK+1＝kak﹣a
即aK+1ak
将ak＝a+2（k﹣1）代入，得
∴当n＝k+1时，等式也成立．由①②可知，对任何正整数n，
等式an＝a+2（n﹣1）都成立．（10分）
（3）当n≥2时，an＝a+2（n﹣1），
∴∴又an﹣a1＝2（n﹣1）
∴
故点Pn（n＝1，2，3，…）都落在同一直线上． （14分）
29．已知数列{an}的前n项和为．
（1）求S1，S2，S3，S4的值；
（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和为，
∴．…（4分）（每个1分）
（2）猜想，…（6分）
数学归纳法证明：（1）当n＝1时，，猜想成立；…．（7分）
（2）假设n＝k（k≥2，k∈N*）时猜想成立，即有：，
则n＝k+1时，因为（8分）
∴；…（10分）
从而有，即n＝k+1时，猜想也成立；
由（1）（2）可知，，成立…（12分）
30．设f（x），x1＝1，xn＝f（xn﹣1）（n≥2，n∈N+）．
（1）求x2，x3，x4，x5的值；
（2）归纳{xn}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵f（x），x1＝1，
∴x2＝f（x1），x3＝f（x2），x4＝f（x3），x5＝f（x4）．
（2）猜想xn，
用数学归纳法证明：
①n＝1时，结论成立，
②假设n＝k时结论成立，即xk，
则xk+1，
所以，当n＝k+1时公式也成立，
由①②知，xn成立．
31．数列{an}满足Sn＝2n﹣an（n∈N*）．
（Ⅰ）计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．
【答案】见试题解答内容
【解答】（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝s1＝2﹣a1，所以a1＝1．
当n＝2时，a1+a2＝s2＝2×2﹣a2，所以．
同理：，．
由此猜想（5分）
（Ⅱ）证明：①当n＝1时，左边a1＝1，右边＝1，结论成立．
②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即，
那么n＝k+1时，ak+1＝sk+1﹣sk＝2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak＝2+ak﹣ak+1，
所以2ak+1＝2+ak，所以，
这表明n＝k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N*猜想成立．…（8分）
32．给出四个等式：
1＝1
1﹣4＝﹣（1+2）
1﹣4+9＝1+2+3
1﹣4+9﹣16＝﹣（1+2+3+4）
…
（1）写出第5，6个等式，并猜测第n（n∈N*）个等式；
（2）用数学归纳法证明你猜测的等式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）第5行 1﹣4+9﹣16+25＝1+2+3+4+5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
第6行 1﹣4+9﹣16+25﹣36＝﹣（1+2+3+4+5+6）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
第n行等式为：
12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n﹣1n2＝（﹣1）n﹣1 （1+2+3+…+n）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）证明：①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝（﹣1）01，左边＝右边，等式成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
②假设n＝k（k∈N*）时，等式成立，即12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2＝（﹣1）k﹣1 ．
则当n＝k+1时，
12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）k﹣1k2+（﹣1）k（k+1）2
＝（﹣1）k﹣1 （﹣1）k（k+1）2
＝（﹣1）k（k+1） [（k+1）]
＝（﹣1）k ．
∴当n＝k+1时，等式也成立
根据①②可知，对于任何n∈N*等式均成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
33．用数学归纳法证明：1+2+3+…+nn（n+1）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：证明：（1）当n＝1时，1＝1，等式成立．
（2）假设当n＝k时，有1+2+3+…+kk（k+1）成立．
那么，当n＝k+1时，
1+2+3+…+k+k+1k（k+1）+（k+1）
（k+1）（k+2），
（k+1）[（k+1）+1]，
∴当n＝k+1时等式成立，
∴对任意的n∈N+，等式都成立．
34．已知数列an﹣an﹣1＝2n﹣1，且a1＝1．
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出an并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵an﹣an﹣1＝2n﹣1，且a1＝1，
∴a2＝a1+2×2﹣1＝1+2×2﹣1＝4；
a3＝a2+2×3﹣1＝4+2×3﹣1＝9，
同理可得：a4＝16；
（2）由（1）可猜想：an＝n2；
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由已知a1＝1＝12，成立；
②假设n＝k时，命题成立，即ak＝k2；
则当n＝k+1时，ak+1＝ak+2（k+1）﹣1＝k2+2k+1＝（k+1）2，
即n＝k+1时，等式也成立，
综合①②知，对 n∈N*，an＝n2．
35．在数列{an}中，a1＝2，an+1（n∈N*），
（1）求a2，a3，a4；
（2）归纳猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a1＝2，an+1，
∴a2；
a3，a4；
（2）由（1）可猜想：an．
证明：①当n＝1时，a1＝2，等式成立；
②假设n＝k时，ak，
则当n＝k+1时，ak+1，
即n＝k+1时，等式也成立．
综上所述，对任意自然数n∈N*，an．
36．已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n∈N+）
（1）分别求a2，a3，a4的值．
（2）猜想{an}的通项公式an，并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1），（3分）
（2）猜想（5分）
①当n＝1时命题显然成立
②假设n＝k（k∈N*）命题成立，即
当n＝k+1时，ak+1（7分）
∴n＝k+1时命题成立
综合①②当n∈N*时命题成立…（10分）
37．已知数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*）
（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；
（Ⅱ）猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）当n＝1，a1＝2…（1分）
当n＝2时，a1+a2+a2（4+10+2），
∴a2＝3…（3分）
同理可得a3＝4…（5分）
（Ⅱ）猜想 an＝n+1…（7分）
下面用数学归纳法证明：
ⅰ）当n＝1时a1＝1+1＝2，猜想成立 …（8分）
ⅱ）假设当n＝k时猜想成立，即ak＝k+1
那么当n＝k+1时，
∵，
∴
∴
解得 ak+1＝（k+1）+1
即n＝k+1时猜想成立 …（12分）
综上ⅰ）ⅱ）an＝n+1对一切n∈N+都成立． …（13分）
38．在数列{an}中，a1＝2，an+1，n＝1，2，3，…．
（1）计算a2，a3，a4的值，根据计算结果，猜想{an}的通项公式；
（2）用数字归纳法证明你的猜想．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由已知可得，a2，a3，a4．
猜想an．
（2）证明：①当n＝1时，左边a1＝2，右边2，猜想成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时猜想成立，即aK．
则n＝k+1时，ak+1
所以当n＝k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对于任何k∈N*都成立．
39．用数学归纳法证明：12（n∈N+）．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）当n＝1时，左边＝1，右边＝2，1＜2，所以不等式成立．…（3分）
（2）假设n＝k时不等式成立，即12，…（5分）
则当n＝k+1时，12，…（10分）
即当n＝k+1时，不等式也成立．
由（1）、（2）可知，对于任意n∈N+时，不等式成立． …（12分）
40．已知数列{an}满足Sn+an＝2n+1（n∈N*），其中Sn表示数列{an}的前n项和．
（Ⅰ）求出a1，a2，a3，并推测数列{an}的表达式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ），，，猜测 ，
（Ⅱ）证明：①由（1）知当n＝1时，命题成立；
②假设n＝k时，命题成立，即 ，
当n＝k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1＝2（k+1）+1，
且a1+a2+…+ak＝2k+1﹣ak∴2k+12k+1﹣ak+2ak+1＝2（k+1）+1＝2k+3，
∴，，
即当n＝k+1时，命题成立．
根据①②得n∈N*，都成立
41．设a＞0，f（x）．
（1）写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的结论．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：∵a1＝1，∴，
猜想（4分）
（2）证明：①n＝1时，猜想正确． …（5分）
②假设n＝k时猜想正确，即，…（6分）
则
这说明，n＝k+1时猜想正确． …（11分）
由①②知，（12分）
42．观察下列等式：
1＝1 第一个式子
2+3+4＝9 第二个式子
3+4+5+6+7＝25 第三个式子
4+5+6+7+8+9+10＝49 第四个式子
照此规律下去：
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）第5个等式 5+6+7+…+13＝92；
（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，）
再用数学归纳法加以证明如下：
（1）当n＝1时显然成立；）
（2）假设n＝k（k≥1，k∈N+）时也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）＝（2k﹣1）2，
那么当n＝k+1时左边＝（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1），
＝（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1），
＝（2k﹣1）2+（2k﹣1）+3k+3k+1，
＝4k2﹣4k+1+8k，
＝[2（k+1）﹣1]2，
而右边＝[2（k+1）﹣1]2这就是说n＝k+1时等式也成立．
根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．
▉题型2 数学归纳法的适用条件与步骤
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①明确初始值n0并验证真假．（必不可少）
②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式．
③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．
④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．
43．用数学归纳法证明不等式“（n＞2）”时的过程中，由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边（　　）
A．增加了一项
B．增加了两项
C．增加了两项，又减少了一项
D．增加了一项，又减少了一项
【答案】C
【解答】解：，
故选：C．
44．用数学归纳法证明不等式“1（n≥2，n∈N+）的过程中，由n＝k推导n＝k+1时，不等式的左边增加的式子是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：当n＝k时，左边＝1，
当n＝k+1时，左边＝1，
两式相减得：．
故选：D．
45．用数学归纳法证明“（3n+1） 7n﹣1（n∈N*）能被9整除”，在假设n＝k时命题成立之后，需证明n＝k+1时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（　　）能被9整除．
A．3×7k+6 B．3×7k+1+6 C．3×7k﹣3 D．3×7k+1﹣3
【答案】B
【解答】解：假设n＝k时命题成立，即（3k+1） 7k﹣1能被9整除，
那么，当n＝k+1时，[3（k+1）+1] 7k+1﹣1﹣[（3k+1） 7k﹣1]
＝（3k+4） 7k+1﹣（3k+1） 7k＝[（3k+1）+3] 7k+1﹣（3k+1） 7k
＝（3k+1） 7k+1+3 7k+1﹣（3k+1） 7k＝6 （3k+1） 7k+3 7k+1
＝6 [（3k+1） 7k﹣1]+3 7k+1+6，
∵（3k+1） 7k﹣1能被9整除，
∴要证上式能被9整除，还需证明3 7k+1+6也能被9整除．
故选：B．
46．用数学归纳法证明时，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：n＝k时，左边为，
n＝k+1时，左边为，
所以左边需添加的项是 ，
故选：B．
47．用数学归纳法证明等式1+2+3+…+（2n+1）＝（n+1）（2n+1）时，从n＝k到n＝k+1等式左边需增添的项是（　　）
A．2k+2 B．[2（k+1）+1]
C．[（2k+2）+（2k+3）] D．[（k+1）+1][2（k+1）+1]
【答案】C
【解答】解：当n＝k时，原式左侧：1+2+3+…+（2k+1），
当n＝k+1时，原式左侧：1+2+3+…+（2k+1）+（2k+2）+（2k+3），
∴从k到k+1时需增添的项是（2k+2）+（2k+3）
故选：C．
48．利用数学归纳法证明等式：1 n+2 （n﹣1）+3 （n﹣2）+ +n 1，当n＝k时，左边的和1 k+2 （k﹣1）+3 （k﹣2）+ +k 1，记作Sk，则当n＝k+1时左边的和，记作Sk+1，则Sk+1﹣Sk＝（　　）
A．1+2+3+ +k B．1+2+3+ +（k﹣1）
C．1+2+3+ +（k+1） D．1+2+3+ +（k﹣2）
【答案】C
【解答】解：依题意，Sk＝1 k+2 （k﹣1）+3 （k﹣2）+…+k 1，
则Sk+1＝1 （k+1）+2 k+3 （k﹣1）+4 （k﹣2）+…+k 2+（k+1） 1，
∴Sk+1﹣Sk＝1 [（k+1）﹣k]+2 [k﹣（k﹣1）]+3 [（k﹣1）﹣（k﹣2）]+4 [（k﹣2）﹣（k﹣3）]+…+k （2﹣1）+（k+1） 1
＝1+2+3+…+k+（k+1），
故选：C．
49．用数学归纳法证明1+2+3+ +4n＝8n2+2n（n∈N*），则当n＝k+1时，左端应在n＝k的基础上加上（　　）
A．4k+1
B．8（k+1）2+2（k+1）
C．4（k+1）
D．（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4）
【答案】D
【解答】解：当n＝k（k∈N*）时，左侧＝1+2+3+…+4k，
要证n＝k+1时，左侧＝1+2+3+…+4k+（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4），
可得当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上的项为（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4），
故选：D．
50．若命题A（n）（n∈N*）在n＝k（k∈N*）时成立，则有n＝k+1时命题也成立．现知命题对n＝n0（n0∈N*）成立，则有（　　）
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
【答案】C
【解答】解：命题A（n）（n∈N*）在n＝k（k∈N*）时成立，则有n＝k+1时命题也成立，
说明命题对于大于或等于k的正整数n都成立，但对于小于k的正整数不一定成立．
现知命题对n＝n0（n0∈N*）成立，则有命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立．
故选：C．
51．用数学归纳法证明：1+2+22+…+25n﹣1（n∈N*）能被31整除时，从k到k+1添加的项数共有　5　 项（填多少项即可）．
【答案】5．
【解答】解：当n＝k时，原式＝1+2+22+…+25k﹣1，
那么，当n＝k+1时，原式＝1+2+22+…+25k﹣1+25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4，
∴从k到k+1添加的项为25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4，共5项．
故答案为：5．
52．用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：xn+yn能被x+y整除”时，第二步假设当n＝k（k∈N*）时命题为真后，需证n＝k+2　 时命题也为真．
【答案】k+2．
【解答】解：∵n为正奇数，第二步假设第k项成立，∴第三步证明相邻正奇数第k+2项成立．
故答案为：k+2．
▉题型3 数学归纳法证明命题
【知识点的认识】
1．数学归纳法
一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：
（1）证明当n＝n0时命题成立；
（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立．
在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．
2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．
（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．
在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．
（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．
在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．
完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．
53．在数列{an}中，a1＝1，an+1an+1（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵a1＝1，an+1an+1，
∴a2＝3a1+1＝4，a3＝2a2+1＝9，，
故a2，a3，a4的值分别为4，9，16；
（2）由（1）猜想，用数学归纳法证明如下：
①当n＝1时，a1＝1，猜想显然成立；
②设n＝k时，猜想成立，即，
则当n＝k+1时，ak+1（k+1）2，
即当n＝k+1时猜想也成立，
由①②可知，猜想成立，即．
54．在平面直角坐标系中，函数f（x）＝1﹣x2在第一象限内的图象如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间[0，1]等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数f（x）＝1﹣x2的图象上．若用ak（1≤k≤n，k∈N）表示第k个矩形的面积，Sn表示这n个矩形的面积总和．
（1）求ak的表达式；
（2）利用数学归纳法证明，并求出Sn的表达式；
（3）求的值，并说明的几何意义．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意第k个矩形的高是，
∴；
（2）（i）当n＝1时，，命题成立，
（ii）设n＝k时命题成立，即，
则n＝k+1时，
，
∴n＝k+1时命题成立，
综上，n∈N*时，命题为真，即，
∴
．
（3）．
的几何意义表示函数y＝1﹣x2的图象与x轴，及直线x＝0和x＝1所围曲线梯形的面积．
55．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n﹣an．
（1）计算a1，a2，a3，a4，并猜{an}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．
【答案】（1）a1＝1，，，，an；
（2）证明见解析．
【解答】解：（1）根据题意，Sn＝2n﹣an．
当n＝1时，a1＝S1＝2﹣a1，∴a1＝1；
当n＝2时，a1+a2＝S2＝2×2﹣a2，∴；
当n＝3时，a1+a2+a3＝S3＝2×3﹣a3，∴；
当n＝4时，a1+a2+a3+a4＝S4＝2×4﹣a4，∴．
由此猜想an；
（2）证明：①当n＝1时，a1＝1，猜想成立．
②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，猜想立，即，
那么n＝k+1时，ak+1＝Sk+1﹣Sk＝2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak＝2+ak﹣ak+1，
∴．
∴当n＝k+1时，猜想成立．
由①②知猜想成立．
56．已知数列{an}满足Sn+an＝n．
（1）写出a1，a2，a3，并推测an的表达式；
（2）用数学归纳法证明an的表达式．
【答案】（1），，，．（2）证明见解析．
【解答】解：（1）当n＝1时，S1+a1＝2a1＝1，解得a1，
当n＝2时，S2+a2＝2a2+a1＝2，解得a2，
当n＝3时，S3+a3＝a1+a2+2a3＝3，解得a3，
故推测．
（2）①当n＝1时，a1，
②假设当n＝k时，命题成立，，
当n＝k+1时，
Sk+1+ak+1＝k+1，即Sk+2ak+1＝k﹣ak+2ak+1＝k+1，
∵，
∴2ak+1＝2，
∴，即当n＝k+1时，结论成立，
根据①②得n∈N*，都成立，即得证．
57．（1）用数学归纳法证明：1+2+3+ +（n+3）；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：和中至少有一个小于2．
【答案】（1）（2）证明见解答．
【解答】证明：（1）①当n＝1时，左边＝1+2+3+4＝10，右边，左边＝右边．
②假设n＝k（k∈N*）时等式成立，即，
那么当n＝k+1时，，
即当n＝k+1时，等式成立．
综上，．（6分）
（2）假设，，因为a＞0，b＞0，所以1+b≥2a，1+a≥2b，
所以2+a+b≥2a+2b，故a+b≤2，这与a+b＞2矛盾，
所以原假设不成立，故和中至少有一个小于2．（12分）
58．已知数列{an}的前n项和Sn，满足Sn1，且an＞0．
（1）求a1、a2、a3；
（2）猜测{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1），，；
（2）猜测，证明过程见解析．
【解答】解：（1）由Sn1，得，解得（a1＞0），
，得，
，得；
（2）由（1）猜测．
下面利用数学归纳法证明：
当n＝1时，由（1）知，结论成立；
假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时结论成立，即，
那么，当n＝k+1时，ak+1＝Sk+1﹣Sk，
∴0，
整理得：，解得，
即n＝k+1时结论成立．
综上所述，．
59．观察下列等式．
1＝1 第一个式子
2+3+4＝9 第二个式子
3+4+5+6+7＝25 第三个式子
照此规律下去．
（1）写出第4个和第5个式子；
（2）试写出第n个等式，并用数学归纳法验证是否成立．
【答案】（1）第4个式子4+5+6+7+8+9+10＝49，第5个式子5+6+7+…+13＝81．
（2）n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，证明详见解析．
【解答】解：（1）第4个式子4+5+6+7+8+9+10＝49，
第5个式子5+6+7+…+13＝81．
（2）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）＝（2n﹣1）2，
证明：①当n＝1时，显然成立，
②假设n＝k（k≥2，k∈N*）时，等式成立，即k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）＝（2k﹣1）2，
当n＝k+1时，
左边＝（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）
＝k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）﹣k
＝（2k﹣1）2+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）﹣k
＝（2k+1）2
＝[2（k+1）﹣1]2，
而右边＝[2（k+1）﹣1]2，即n＝k+1时，等式也成立，
根据①②可得，等式对任何n∈N*都成立．
60．已知数列{an}满足a1，an（n≥2，n∈N*）．
（1）求a2、a3、a4；
（2）猜想数列通项公式an，并用数学归纳法给出证明．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）数列{an}满足a1，an（n≥2，n∈N*）．
则a2，a3．
（2）猜想数列通项公式an．
用数学归纳法证明：（i）n＝1时，a1成立，
（ii）假设n＝k∈N*时成立，ak．
则n＝k+1时，ak+1．
因此n＝k+1时，猜想成立．
综上可得：数列通项公式an．n∈N*．

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