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第1章第1节 向量
题型1 平面向量的概念与平面向量的模 题型2 平面向量的概念与几何表示
题型3 平面向量的模 题型4 平面向量中的零向量与单位向量
题型5 平面向量的相等与共线 题型6 平面向量的相等向量
题型7 平面向量的平行向量
▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
2．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．下面命题中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．已知平面向量（2，4），（﹣1，2），若6，则||等于（　　）
A．4 B．2 C．8 D．8
▉题型2 平面向量的概念与几何表示
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||．
5．请写出与向量反向的单位向量：　 ．（用坐标表示）
▉题型3 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
6．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
8．已知向量（﹣2，4），（2，1），则||＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．已知向量，点A（﹣2，1），则点B的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（﹣5，﹣3） C．（5，3） D．（5，5）
10．已知不共线的两个非零向量、满足，则（　　）
A． B． C． D．
11．已知向量，，与共线，则 ．
▉题型4 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
12．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
13．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
14．以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
15．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　 ．
16．已知向量（2，2），则与向量共线的单位向量是 ．
17．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
▉题型5 平面向量的相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
18．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．
19．已知平面向量，和实数λ，则“”是“与共线”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
20．设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）
A． B． C． D．且
21．已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为（　　）
A． B．1 C． D．﹣1
▉题型6 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
22．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
23．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
24．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
25．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
26．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
27．已知向量（2，3），（2，sinα﹣3），（2，cosα），若（）∥，则tan2α＝（　　）
A． B．2 C． D．
28．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（　　）
A．2 B． C． D．
29．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则k的值为 　 ．
30．设，是两个不共线的向量，若向量（k∈R）与向量反向共线，则k等于 　 ．
31．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
32．设，是不平行的向量，且，．
（1）若向量与共线，求实数k的值；
（2）若k＝1，用的线性组合表示．
33．已知点C在线段AB上，且AC＝2CB，若向量，则λ＝ 　 ．
34．在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于点P，设，．
（1）试用，表示；
（2）在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线．第1章第1节 向量
题型1 平面向量的概念与平面向量的模 题型2 平面向量的概念与几何表示
题型3 平面向量的模 题型4 平面向量中的零向量与单位向量
题型5 平面向量的相等与共线 题型6 平面向量的相等向量
题型7 平面向量的平行向量
▉题型1 平面向量的概念与平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
相等向量
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
1．已知向量，则与向量同向的单位向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，向量，则，
所以与向量同向的单位向量为．
故选：B．
2．已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则，是“存在非零实数x，y，使得”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：，故，
整理得，即cos，1，故，共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得，故，共线，但方向不一定相同，
即“ 是“存在非零实数x，y，使得的充分不必要条件．
故选：A．
3．下面命题中，正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解答】解：对于A，若，但两向量方向不确定，则不成立，故A错误；
对于B，向量无法比较大小，故B错误；
对于C，若，则两向量反向，因此，故C正确；
对于D，若，则，故D错误．
故选：C．
4．已知平面向量（2，4），（﹣1，2），若6，则||等于（　　）
A．4 B．2 C．8 D．8
【答案】D
【解答】解：∵（2，4），（﹣1，2），6，
∴，
∴．
故选：D．
▉题型2 平面向量的概念与几何表示
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的几何表示
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||．
5．请写出与向量反向的单位向量：　　 ．（用坐标表示）
【答案】．
【解答】解：根据题意，设所求向量为，
由题可知：﹣3y＝4x且，解得：或，
又与反向，所以所求向量坐标为．
故答案为：．
▉题型3 平面向量的模
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
向量的模
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
6．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在△ABC中，若三个内角均小于120°，则当点P满足∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°时，点P到三角形三个顶点的距离之和最小，点P被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，不妨设，，，
则，
等价于点P（x，y）到A（2，0），B（﹣2，0）和点C（0，3）三个点的距离之和，
则△ABC为等腰三角形，如图，
由费马点的性质可得，需满足：点P在y轴上且∠APB＝120°距离之和最小，
则∠APO＝60°，因为|OA|＝|OB|＝2，则，|PA|＝|PB|＝2|OP|，
所以点P坐标为时，最小距离之和为．
故选：B．
7．已知向量，，，则t＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由题可得：，
因为3，
所以，即（2+t）2＝0，
解得t＝﹣2．
故选：A．
8．已知向量（﹣2，4），（2，1），则||＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解答】解：由，，
可得，
所以．
故选：D．
9．已知向量，点A（﹣2，1），则点B的坐标为（　　）
A．（1，5） B．（﹣5，﹣3） C．（5，3） D．（5，5）
【答案】A
【解答】解：设B（x，y），因为向量，点A（﹣2，1），所以，解得，故B（1，5）．
故选：A．
10．已知不共线的两个非零向量、满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：设向量、的夹角为θ，则cosθ＜1，
因为，
所以两边同时平方可得：，
整理得：，即，
所以．
故选：A．
11．已知向量，，与共线，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，向量，，则，
因为与共线，所以2（1﹣x）＝1，即．
所以，因此可得．
故答案为：．
▉题型4 平面向量中的零向量与单位向量
【知识点的认识】
向量概念
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
零向量
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
单位向量
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
12．设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是（　　）
A．与同向 B． C．且 D．
【答案】A
【解答】解：分别表示与同向的单位向量，
若使得，则根据向量等的条件可知，与必须方向相同，
故使其成立的充要条件是与同向．
故选：A．
13．下列向量中，与向量（3，4）共线的一个单位向量是（　　）
A．（﹣6，﹣8） B． C．（8，6） D．
【答案】B
【解答】解：设与向量（3，4）共线的一个单位向量为，
则有，解得，
故选项B符合题意．
故选：B．
14．以下说法正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．零向量没有方向
C．共线向量又叫平行向量
D．若向量和都是单位向量，则
【答案】C
【解答】解：长度相等且方向相同的两个向量相等，与它们的起点和终点无关，故A错误；
零向量的方向是任意的，不是没有方向，故B错误；
共线向量又叫平行向量，故C正确；
若向量和都是单位向量，则，故D错误．
故选：C．
15．与（5，﹣12）垂直的单位向量的坐标为 　或　 ．
【答案】或．
【解答】解：设与垂直的单位向量的坐标为，
则，解得或，
故答案为：或．
16．已知向量（2，2），则与向量共线的单位向量是 　±（，）　 ．
【答案】±（，）．
【解答】解：向量（2，2），则与向量共线的单位向量是±±（，）．
故答案为：±（，）．
17．判断下列各命题的真假：①向量与平行，则与的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段．其中假命题的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解答】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当与中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
▉题型5 平面向量的相等与共线
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
18．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．
【答案】D
【解答】解：若向量与向量共线，
则存在实数λ，使，∴，
∴，
解得．
故选：D．
19．已知平面向量，和实数λ，则“”是“与共线”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：，
则与共线，充分性成立，
若与共线，比如，，，
则不成立，必要性不成立，
故“”是“与共线”的充分不必要条件．
故选：A．
20．设，都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（　　）
A． B． C． D．且
【答案】C
【解答】解：由向量都是非零向量，且，
因为和分别表示与和同向的单位向量，所以向量与同向，
结合选项，可得成立的充分条件为．
故选：C．
21．已知和是两个不共线的向量，若，，，且A，B，D三点共线，则实数m的值为（　　）
A． B．1 C． D．﹣1
【答案】B
【解答】解：因为，
且A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得，即，
则，解得m＝1．
故选：B．
▉题型6 平面向量的相等向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
22．已知点O是矩形四边形ABCD的对角线的交点，下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，
为相反向量，则，故A正确；
在矩形ABCD中，|AC|＝|BD|，所以，故B正确；
如图所示，为相等向量，则，故C正确；
如图所示，则，故D错误．
故选：D．
▉题型7 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
23．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：向量，且，
则，
故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有．
故选：C．
24．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为向量，，a＞0，b＞0，
由∥，得a﹣1+b＝0，即a+b＝1，a＞0，b＞0，
则由基本不等式，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
25．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
26．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：，
由，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以．
故选：A．
27．已知向量（2，3），（2，sinα﹣3），（2，cosα），若（）∥，则tan2α＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：，，且，
∴4cosα＝2sinα，∴tanα＝2，
∴．
故选：D．
28．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若，
则有，变形可得，
由数乘向量的定义，有．
故选：B．
29．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则k的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意知，存在λ∈R，使λ，
即kλ（32），所以，
解得λ，k．
故答案为：．
30．设，是两个不共线的向量，若向量（k∈R）与向量反向共线，则k等于 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，是两个不共线的向量，向量（k∈R）与向量反向共线，
故存在实数λ＜0，使得λ，
即kλ（﹣2k），
即，解得λ．
故答案为：．
31．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1），
∴，解得，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且，
可设，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴，
又 4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ．
∴．
32．设，是不平行的向量，且，．
（1）若向量与共线，求实数k的值；
（2）若k＝1，用的线性组合表示．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为向量与共线，所以设，
即，
所以，
（2），
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
33．已知点C在线段AB上，且AC＝2CB，若向量，则λ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，如图，点C在线段AB上，且AC＝2CB，
则，所以，即．
故答案为：
34．在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于点P，设，．
（1）试用，表示；
（2）在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解答】解：（1）设，由题意，
所以，①，
设，由，，②，
由①、②得，，
所以，解得，所以；
（2）证明：由，得，所以，
所以，因为与有公共点B，所以B，P，F三点共线．

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