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第1章第3节 向量的数乘
题型1 平面向量的平行向量 题型2 平面向量的数乘与线性运算
▉题型1 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
1．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：向量，且，
则，
故，变形可得cosθ＝﹣cos2θ，解得cosθ＝0或cosθ＝﹣1，
又0＜θ＜π，则必有．
故选：C．
2．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为向量，，a＞0，b＞0，
由∥，得a﹣1+b＝0，即a+b＝1，a＞0，b＞0，
则由基本不等式，，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
3．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
【答案】A
【解答】解：因为，所以向量与向量的长度相等，故A正确，
对于两个有共同起点，且长度相等的向量，
它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误，
当时，与可能不共线，故C错误
若两个单位向量平行，
当两个单位向量方向共线时，二者为相反向量，故D错误．
故选：A．
4．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
【答案】A
【解答】解：，
由，得2（2x﹣1）＝x﹣3，所以．
故选：A．
5．已知向量（2，3），（2，sinα﹣3），（2，cosα），若（）∥，则tan2α＝（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：，，且，
∴4cosα＝2sinα，∴tanα＝2，
∴．
故选：D．
6．已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（k∈R），则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：若与共线，
则存在λ∈R，使，
因为向量与能作为平面向量的一组基底，
所以，整理得k2+k﹣1＝0，解得．
故选：B．
7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，平面上不共线的四点O，A，B，C，若，
则有，变形可得，
由数乘向量的定义，有．
故选：B．
8．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则k的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意知，存在λ∈R，使λ，
即kλ（32），所以，
解得λ，k．
故答案为：．
（多选）9．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】BC
【解答】解：因为向量，不共线，，，A，B，C三点共线，
所以∥，
所以：2×1﹣（﹣λ）×[﹣（λ+1）]＝0，即λ2+λ﹣2＝0 （λ+2）（λ﹣1）＝0．
所以λ＝﹣2或λ＝1．
故选：BC．
10．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
【答案】（1）D（4，3）；
（2）．
【解答】解：（1）∵A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4），
∴（1，2），
∵四边形ABCD为平行四边形，∴，
设D（x，y），则（x﹣3，y﹣1），
∴，解得，∴D（4，3）；
（2）由A，C，D三点共线，且，
可设，
又A（3，1），∴D（3﹣4λ，1+3λ），∴，
又 4（5﹣4λ）+3（3λ﹣1）＝﹣18，解得λ．
∴．
11．设，是不平行的向量，且，．
（1）若向量与共线，求实数k的值；
（2）若k＝1，用的线性组合表示．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为向量与共线，所以设，
即，
所以，
（2），
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
12．已知点C在线段AB上，且AC＝2CB，若向量，则λ＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，如图，点C在线段AB上，且AC＝2CB，
则，所以，即．
故答案为：
13．在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于点P，设，．
（1）试用，表示；
（2）在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解答】解：（1）设，由题意，
所以，①，
设，由，，②，
由①、②得，，
所以，解得，所以；
（2）证明：由，得，所以，
所以，因为与有公共点B，所以B，P，F三点共线．
▉题型2 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题可得：，
则．
故选：B．
15．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．3 B．8 C． D．9
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，点O是BC的中点，则，
又若，，m＞0，n＞0，
则有，
因为M，O，N三点共线，所以，即m+n＝2，
所以（）（m+n）
8，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为8．
故选：B．
16．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：以B为坐标原点，，的方向分别为x，y轴的正方向，
建立如图所示的直角坐标系．
所以（2，4）＝（2x+2y，﹣2x+2y），
则作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
AB＝BC＝2，AD＝AC，
则A（0，2），B（0，0），C（2，0），D（2，4），
则，（2，﹣2），．
因为，
所以，解得，
故．
故选：B．
17．已知在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝4，设O是△ABC的内心，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】以AC的中点D为坐标原点，建立如下图所示的坐标系：
设△ABC的内切圆的半径为r，则，解得
故，
则
因为，即，解得，故．
故选：C．
18．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（　　）
A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ＝1的点P有两个
C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个
D．的点P有两个
【答案】A
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
取AB＝1，则，，
由题意，，
则，
动点P运动过程中，
当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1且μ＝0，
则0≤λ≤1，所以0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ﹣μ＝1且0≤μ≤1，
则λ＝μ+1，所以1≤λ≤2 λ+μ∈[1，3]，
当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1且μ＝1，
则μ≤λ≤μ+1，所以1≤λ≤2，所以2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ﹣μ＝0且0≤μ≤1，
则λ＝μ，所以0≤λ≤1，所以λ+μ∈[0，2]，
综上，0≤λ+μ≤3，
选项A：取λ＝μ＝1，满足λ+μ＝2，
此时，
因此点P不一定是BC的中点，故A错误；
选项B：若λ+μ＝1，
当P∈AD时，λ﹣μ＝0，则，点P为AD的中点，
当P∈AB时，μ＝0，则λ＝1，点P为B点，
当P∈BC时，λ﹣μ＝1，则λ＝1，μ＝0，点P为B点，
所以满足λ+μ＝1的点P有两个，故B正确；
选项C：若λ+μ＝3，
当P∈BC时，有λ﹣μ＝1，则λ＝2，μ＝1，得点P为C点，
当P∈CD时，有μ＝1，则λ＝2，点P为C点，
所以满足λ+μ＝3的点P有且只有一个，故C正确；
选项D：若，
当P∈AD时，有λ＝μ，故，，
当P∈BC时，有λ﹣μ＝1，故，，此时，
此时点P有两个，故D正确．
故选：A．
19．已知，，，则（　　）
A．C，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．A，B，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】C
【解答】解：由于，，，故，
所以，
所以A、B、D三点共线．
故选：C．
20．已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：平行四边形ABCD的对角线的交点为P，
所以，，
则．
故选：C．
（多选）21．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
【答案】ABD
【解答】解：边长为6的等边△ABC中，，
，A正确；
因为点P在以AB为直径的半圆上，所以PA⊥PB，所以，B正确；
，C错误；
过点D作DH⊥AB交AB于点H，过点C作CO⊥AB交AB于点O，易得O为AB的中点，
因为，所以，则，由图可知在上的投影向量为，即为，D正确．
故选：ABD．
22．已知，则实数λ＝　﹣3　 ．
【答案】﹣3．
【解答】解：∵，
∴，即，
∴λ＝﹣3．
故答案为：﹣3．
23．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，
设，由得，
故
，
由得，
故，
由于B，P，E三点共线，故，则，
又，故，
所以．
故答案为：．
24．在△ABC中，，P是直线BD上一点，若，则实数m的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，，P是直线BD上一点，且，
故可设，
所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，．
故答案为：．
25．已知三角形ABC，点D在AB上，，若，则x+y＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，可得2（），化简得，
结合题意xy（），解得，
根据平面向量基本定理，可得，解得，所以．
故答案为：．
26．设λ为实数，已知是单位向量，向量的模为2，λ，λ＝　±2　 ．
【答案】±2．
【解答】解：由已知，，解得λ＝±2．
故答案为：±2．
27．在平行四边形ABCD中，，AM交BD于点Q，若，则λ+μ＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为平行四边形ABCD中，，
所以DM，
则，
所以（），
若（λ+μ），
故λ+μ．
故答案为：．
28．如图，△ABC中，，设，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则有：
（1） 　　 （用来表示）；
（2）S△BFD：S△AFB＝ 　1：3　 ．
【答案】；1：3．
【解答】解：因为，
所以
，
设，则，，
所以，
又因为，
因为A，F，D三点共线，所以，
所以，
所以由平面向量基本定理可得：，
解得，所以，
所以S△BFD：S△AFB＝|FD|：|AF|＝1：3．
故答案为：；1：3．
29．如图所示，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，所以（），化简得，
所以，
因为P，B，N三点共线，所以，解得．
故答案为：．
30．在△ABC中，点M，N满足．若，则x＝　　 ；y＝　　 ．
【答案】
【解答】解：△ABC中，点M，N满足．若，
如图：
，
故．
故答案为：．
31．如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
【答案】（1），；
（2）证明见解答．
【解答】解：（1）由题可知，
，
；
（2）证明：由．
可得，
因为，且有公共点M，
所以M，P，N三点共线．
32．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．
（Ⅰ）若，求实数x，y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）因为，所以，
所以，
所以；
（Ⅱ）由题意可知：，
，
又因为G，O，C三点共线，所以存在实数k使得，
即，
所以，解得，
所以；
（Ⅲ）易知，
由（Ⅱ）知，
又因为E，O，F三点共线，
所以，又λ＞0，μ＞0，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以λ+μ的最小值为．
33．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M为AD的中点，，MC∥AH．
（1）求λ的值；
（2）若，AB＝AD，求∠HAB．
【答案】（1）λ；
（2）∠HAB．
【解答】解：（1）由已知，λλ（）λ（）λ（）＝（1）λ，
因为M为AD的中点，所以，
因为MC∥AH，所以∥，所以1λ，解得λ；
（2）因为AB＝AD＝2CD，M为AD的中点，所以DM＝DC，
又，AB∥CD，所以∠ADC，则∠DMC＝∠DCM，
因为MC∥AH，所以∠MAH＝∠DMC，
所以∠HAB．
34．设是不共线的两个非零向量．
（1）若与共线，求实数k的值；
（2）已知向量满足，求．
【答案】（1）±4；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可知，，
即 ，
又 是不共线的两个非零向量，
因此，解得或，实数k的值是±4；
（2）因为 ，，
所以 ，
，
所以 ，
所以 ．
35．在△ABC中，点D为AC边上的中点，点E满足，点P是直线BD，AE的交点，过点P作一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点N（其中点M，N均不与端点重合）设，，则（　　）
A．1 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【解答】解：作EF∥AC交BD于F，连接CP，则△EFP∽△ADP，故，
由于点D为AC边上的中点，故AD＝CD，，故，
又△BEF∽△BCD，故，故，
则，
由于，，故，
因为M，P，N三点共线，故，即．
故选：B．
36．如图所示，点C在线段BD上，且BC＝3CD，则 　　 （用、表示）．
【答案】．
【解答】解：由于点C在线段BD上，且BC＝3CD，即，利用向量的线性运算，所以，
整理得．
故答案为：．
37．已知A（2，4）、B（﹣4，6），若，，则的坐标为　（11，）　 ．
【答案】（11，）
【解答】解：（﹣6，2），（6，﹣2）．
∴（﹣9，3），（8，）．
∴（﹣3，1），
∴（11，）．
故答案为（11，）．
38．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解答】解：由题意，当λ∈（0，+∞）时，如图：
可知：点P在BC边上的中线所在直线上，
∴动点P的轨迹一定通过△ABC的重心．
故选：A．第1章第3节 向量的数乘
题型1 平面向量的平行向量 题型2 平面向量的数乘与线性运算
▉题型1 平面向量的平行向量
【知识点的认识】
相等向量的定义：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量．
共线向量的定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量．
规定：零向量与任一向量平行．
注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等．表示共线向量的有向线段不一定在同一直线上，向量可以平移．
1．已知0＜θ＜π，向量，且，则θ＝（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量（a﹣1，b），（﹣1，1），a＞0，b＞0，满足∥，则的最小值为（　　）
A．4 B． C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．向量与向量的长度相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
4．已知平面向量（1，2），（2x，x﹣1），且∥（），则x＝（　　）
A． B． C． D．3
5．已知向量（2，3），（2，sinα﹣3），（2，cosα），若（）∥，则tan2α＝（　　）
A． B．2 C． D．
6．已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（k∈R），则k的值是（　　）
A． B． C． D．
7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则（　　）
A．2 B． C． D．
8．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则k的值为 　 ．
（多选）9．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数λ的可能的取值有（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
10．设A，B，C，D为平面内的四点，已知A（3，1），B（﹣2，2），C（﹣1，4）．
（1）若四边形ABCD为平行四边形，求D点的坐标；
（2）若A，C，D三点共线，，求D点的坐标．
11．设，是不平行的向量，且，．
（1）若向量与共线，求实数k的值；
（2）若k＝1，用的线性组合表示．
12．已知点C在线段AB上，且AC＝2CB，若向量，则λ＝ ．
13．在△ABC中，点D，E分别在边BC和边AB上，且DC＝2BD，BE＝2AE，AD交CE于点P，设，．
（1）试用，表示；
（2）在边AC上有点F，使得，求证：B，P，F三点共线．
▉题型2 平面向量的数乘与线性运算
【知识点的认识】
（1）实数与向量的积是一个向量，记作λ，它的大小为|λ|＝|λ|||，其方向与λ的正负有关．若|λ|≠0，当λ＞0时，λ的方向与的方向相同，当λ＜0时，λ的方向与的方向相反．
当λ＝0时，λ与平行．
对于非零向量a、b，当λ≠0时，有∥ λ
（2）向量数乘运算的法则
①1；（﹣1）；
②（λμ）λ（μ）μ（λ）；
③（λ+μ）λμ；
④λ（）＝λλ．
一般地，λμ叫做，的一个线性组合（其中，λ、μ均为系数）．如果λμ，则称可以用，线性表示．
14．在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，点F在AB上，且AB＝3AF，则（　　）
A． B． C． D．
15．在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．3 B．8 C． D．9
16．三角板是一种用于几何绘图和测量的工具．如图，这是由两块三角板拼出的一个几何图形，其中AB⊥BC，AC⊥AD，AB＝BC＝2，AD＝AC，若，则xy＝（　　）
A． B． C． D．
17．已知在△ABC中，AB＝BC＝3，AC＝4，设O是△ABC的内心，若，则（　　）
A． B． C． D．
18．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（　　）
A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点
B．满足λ+μ＝1的点P有两个
C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个
D．的点P有两个
19．已知，，，则（　　）
A．C，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线
C．A，B，D三点共线 D．A，C，D三点共线
20．已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P，则（　　）
A． B． C． D．
（多选）21．如图，在边长为6的等边△ABC中，，点P在以AB为直径的半圆上（不含点A，B），则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量为
22．已知，则实数λ＝　 　 ．
23．如图，在△ABC中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m+n的值为 ．
24．在△ABC中，，P是直线BD上一点，若，则实数m的值为 ．
25．已知三角形ABC，点D在AB上，，若，则x+y＝ ．
26．设λ为实数，已知是单位向量，向量的模为2，λ，λ＝　 ．
27．在平行四边形ABCD中，，AM交BD于点Q，若，则λ+μ＝ ．
28．如图，△ABC中，，设，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则有：
（1） 　 （用来表示）；
（2）S△BFD：S△AFB＝ ．
29．如图所示，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 ．
30．在△ABC中，点M，N满足．若，则x＝　 ；y＝　 ．
31．如图，在△ABC中，，，设，．
（1）用，表示，；
（2）若P为△ABC内部一点，且．求证：M，P，N三点共线．
32．如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O．
（Ⅰ）若，求实数x，y的值；
（Ⅱ）若，求实数t的值；
（Ⅲ）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0），求λ+μ的最小值．
33．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M为AD的中点，，MC∥AH．
（1）求λ的值；
（2）若，AB＝AD，求∠HAB．
34．设是不共线的两个非零向量．
（1）若与共线，求实数k的值；
（2）已知向量满足，求．
35．在△ABC中，点D为AC边上的中点，点E满足，点P是直线BD，AE的交点，过点P作一条直线交线段AC于点M，交线段BC于点N（其中点M，N均不与端点重合）设，，则（　　）
A．1 B．5 C．6 D．7
36．如图所示，点C在线段BD上，且BC＝3CD，则 　　 （用、表示）．
37．已知A（2，4）、B（﹣4，6），若，，则的坐标为　 ．
38．已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的（　　）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心

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