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第1章第4节 向量的分解与坐标表示
题型1 平面向量的基底 题型2 用平面向量的基底表示平面向量
题型3 平面向量加减法的坐标运算 题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
▉题型1 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：对于A，假设共线，则存在λ∈R，使得，
因为，不共线，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，
也即 不共线，则能作为基底；
对于B，假设，共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ能使该等式成立，即假设不成立，
也即，不共线，则能作为基底；
对于C，因为，所以两向量共线，不能作为一组基底，C错误；
对于D，假设共线，则存在λ∈R，使得，
即，无解，所以没有任何一个λ∈R能使该等式成立，即假设不成立，也即23， 不共线，则能作为基底．
故选：C．
2．已知向量，，m∈R．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
【答案】（1）{m|m≠﹣2且m≠1}．
（2）．
【解答】解：（1）若向量，能构成一组基底，
则向量，不共线，
则m（m+1）﹣2≠0，解得m≠﹣2且m≠1，
故实数m的范围为{m|m≠﹣2且m≠1}；
（2）因为，所以，
即m+3﹣2﹣3（m+1）＝0，解得m＝﹣1，
所以，，
则，
又因为，所以，
即向量与的夹角为．
▉题型2 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
3．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据BD＝3DA，可得，
即，整理得，
结合，可得．
故选：C．
4．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
【答案】D
【解答】解：对于A，假设和是共线向量，因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，因此不成立，
因此假设不成立，因此和不是共线向量，故和可以作基底；
对于B，假设和是共线向量，则有，
与A选项同理可知假设不成立，因此和不是共线向量，可以作基底；
对于C，假设和是共线向量，
因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，
因此要想成立，
一定有，显然无实数解，因此假设不成立，
因此和是不共线向量，可以作基底；
对于D，因为，
所以和是共线向量，不可以作基底．
故选：D．
5．如图，在△ABC中，，E是CD的中点．设，．则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：对于A，由已知，，故A错误；
对于B，因为，所以3（），
整理得，故B错误；
对于C，因为E是CD的中点，所以
，故C错误；
对于D，因为，所以
，故D正确．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则m＝ 　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意，，
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，
所以，
故，
又B，P，N三点共线，
所以．
故答案为：．
7．如图，在△ABC中，点M，N满足，点D满足为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）3．
【解答】解：（1）∵为AD的中点，
∴（）（）；
（2）∵，
∴，
∵M，N，E三点共线，∴1，
∴3（）＝3．
8．如图，有两条相交成的直线EF，MN，交点是O，甲、乙两人分别在EF，MN上行走，一开始，甲在距O点2km的点A处，乙在距O点1km的点B处，现在他们同时以2km/h的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用，表示；
（2）若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用，表示；
（3）什么时间两人间的距离最短？
【答案】（1）25；
（2）（2t﹣2）（2t+1）；
（3）t时两人间距离最短．
【解答】解：（1）由题意得，，即2，，
若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，则4，4，
则2，5，故25；
（2）设经过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，
类似于（1）的计算，可得（﹣2t+2），（2t+1），
可得（2t﹣2）（2t+1），
（3）由（2）的结论，（2t﹣2）（2t+1），
所以甲、乙之间距离为，
根据二次函数的性质，当t时，取到最小值，即t时两人间距离最短．
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用基底{，}表示；
（2）求的值；
（2）设，求x（y﹣2）的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为，
，
所以；
（2）设，①
设，可得，
即，②
由①②得，，解得，
所以，
所以；
（3）由题意，可设，
代入中，可得．
又，
故，可得，
因为，且函数在上单调递减，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
所以，
所以x（y﹣2）的取值范围为．
10．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，λ，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，且D（3，5），若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】（1）；
（2）A（10，7）．
【解答】解：（1）由题意可知，（）+（），
因为A，E，C三点共线，
所以存在实数k，使得k，即k（），
所以，
解得，
即实数λ的值为；
（2）由题意可知，（）+（）＝﹣33（﹣6，﹣3）﹣（1，﹣1）＝（﹣7，﹣2），
因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，
所以，
设点A（x，y），则（3﹣x，5﹣y），
所以，解得，
所以A（10，7）．
11．如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3， ，A2025中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因A0，A1，A2，A3， ，A2025中任意相邻两点间的距离相等，
不妨设A0A2025的中点为A，
则点A也是A1A2024，A2A2023， ，A1012A1013的中点，
则，同理可得：
，
则．
故选：D．
12．如图所示，在 ABCD中，，，AN＝3NC，M为BC的中点，则　　 （用，表示）．
【答案】．
【解答】解：
（）
，
故答案为：．
13．如图，在平行四边形ABCD中，，令，．
（1）用表示，，；
（2）若AB＝AM＝2，且，求．
【答案】（1），，；
（2）．
【解答】解：（1）因为，，且ABCD是平行四边形，
所以，
所以，
所以，
所以．
（2）由（1）知，
又，
所以，
即，
解得，
所以．
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∠BCD＝120°，P，Q分别为直线BC，CD上的动点．
（1）当P，Q为线段BC，CD上的中点，试用和来表示；
（2）若，求；
（3）若为△APQ的重心，若D，G，B在同一条直线上，求λμ的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）1．
【解答】解：（1）由已知可得，，
∴，∴；
（2）∵，∴，
∵AB∥CD，∠BCD＝120°，∴∠ABC＝60°，∴，
∴，
∴；
（3）设线段PQ的中点为E，连接AE，交BD与点G，由已知G为△APQ的重心，
由重心性质可得，
又，
，
，
∴，
设，，
∴，∴1，可得λ+μ＝2，
∴λμ1，当且仅当λ＝μ＝1时等号成立，∴λμ的最大值为1．
15．如图所示，△OBC中，点A为BC中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设，．
（1）用，表示，；
（2）若，，求λ和μ．
【答案】（1），；
（2），．
【解答】解：（1）∵△OBC中，点A为BC中点，
∴，∴；
．
（2）∵，
又，∴，
则，解得，．
16．在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，．
（1）试用基底，表示，，；
（2）若G为长方形ABCD所在平面内一点，且，求证：E，G，F三点不能构成三角形．
【答案】（1），，；（2）证明过程见解答．
【解答】解：（1）因为长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，
所以；
；
．
（2）证明：由（1）知，，
因为，
所以，
所以，即，
又因为有公共端点E，所以E，G，F三点共线．
所以E，G，F三点不能构成三角形．
17．如图，△ABC中，，，D为BC中点，E为AD中点，用和表示为，则（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【答案】D
【解答】解：∵D为BC中点，∴（），
∵E为AD中点，∴（），
∵，，
∴，
∵，
∴λ，μ，
∴．
故选：D．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么用与可表示为　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，
∴．
故答案为：．
19．已知平行四边形ABCD中，，，．
（1）用，表示；
（2）若，，∠BAD＝45°，如图建立直角坐标系，求和的坐标．
【答案】（1）
（2），．
【解答】解：（1）由题意可得，
，
又，
所以2（），
所以（）（）．
（2）过点D作AB的垂线交于点D′，如图，
于是在Rt△ADD′中，由∠BAD＝45°，可知，AD′＝3，
根据题意得各点坐标为A（0，0），B（6，0），C（9，3），D（3，3），E（5，3），F（7，1），
则（6，0）（3，3）＝（，），
所以G（，），
所以（6，0），（，），
所以，（4，﹣2）．
20．在△ABC中，∠CAB＝120°．
（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；
（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；
（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设mn（m，n∈R），求m+n的最小值
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）延长AO交BC于D，则D是BC中点，
所以 （）；
（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则B（1，0），C（，）
设P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，
因为，所以（cosθ，sinθ）＝λ（1，0）+μ（，），
所以，
所以λμsinθ（cosθθ）sin2θsin θsin2θ（1﹣cos2θ）
（sin2θ﹣cos2θ+1）sin（2θ），
因为θ∈[0，]，
所以2θ∈[，]，则λμsin（2θ）∈[0，1]；
（3）因为∠CAB＝120°，所以∠CPB＝120°，
由mn（m，n∈R）可得m（）+n（），
即（1﹣m﹣n）mn，
平方可得（1﹣m﹣n） m n 2mn
即（1﹣m﹣n） || ＝m || +n ||+2mn|| ||cos120°，
所以（1﹣m﹣n） ＝m +n ﹣mn，整理可得3mn+1＝2m+2n，
由平行四边形法则可知m+n＞1，令m+n＝t，则mn，t＞1，
由基本不等式可得mn，即，解得t≥2或t，
所以t≥2，则m+n≥2，即m+n的最小值为2．
21．已知平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b）（其中a，b为常数，且ab≠0），点O为坐标原点．
（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，，求λ的值；
（2）如图所示，设点P1，P2，P3， ，Pn﹣1是线段AB的n等分点，其中n∈N*，n≥2，
⑩当n＝2020时，求的值（用含a，b的式子表示）；
②当a＝b＝1，n＝10时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：．
【答案】（1）．
（2）①；
②．
【解答】解：（1）因为
而点P为线段AB上靠近点A的三等分点，
所以，所以，
所以．
（2）①由题意得，，
所以，
事实上，对任意正整数m，n，且m+n＝2020，
有，，
所以
所以．
②当a＝b＝1，n＝10时，，
同理，
，
，
，
当i＝6，7，8，9时，，当i＝7时，上式有最小值，
当i＝5时，，
当i＝1，2，3，4时，，当i＝3时，上式有最小值，
综上，的最小值是．
22．如图，直角梯形ABCD中，||＝2，∠CDA，2，角B为直角，E为AB的中点，λ（0≤λ≤1）．
（1）当λ时，用向量，表示向量；
（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当λ时，直角梯形ABCD中，
||＝2，∠CDA，2，
角B为直角，E为AB中点，，
∵[（）+（）]
（）
；
（2）∵直角梯形ABCD，||＝2，∠CDA，2，
角B为直角，E为AB中点，λ，（0≤λ≤1），
∵（）[（）+（）]
[λ（1﹣λ）]
[（1﹣2λ）]
，
∴（1﹣2λ）
＝4λ2﹣7λ4
∵0≤λ≤1，
∴当λ时，有最小值，
∴||有最小值．
▉题型3 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
23．已知向量（1，sinθ），，其中θ∈R，则的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：向量（1，sinθ），，其中θ∈R，
（1﹣cosθ，sinθ），
∴||
，
则当sin（θ）＝﹣1时，取最大值是3．
故选：B．
24．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解答】解：因为A（﹣2，3），C（1，﹣1），所以，，
则．
故选：C．
25．已知，，则为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【答案】A
【解答】解：由题可得：．
故选：A．
26．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　（﹣2，15）　 ．
【答案】（﹣2，15）．
【解答】解：设O（0，0），则，即，
解得323（2，3）﹣2（4，﹣3）＝（﹣2，15），则P的坐标为（﹣2，15）．
故答案为：（﹣2，15）．
27．已知向量（1，2），（﹣2，7），则|2|＝　5　 ．
【答案】5．
【解答】解：已知向量（1，2），（﹣2，7），
所以，
所以，
故答案为：5．
28．已知知两点A（2，﹣1），B（7，3），且点P为线段AB的中点，则的坐标为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据A（2，﹣1），B（7，3），
可知线段AB的中点为P（，），即，
所以（7，3）﹣（，1）＝（，2）．
故答案为：．
29．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得，
即，得．
因为是平面内两个不共线的非零向量，所以，解得．
（2）．
（3）因为A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以．
设A（x，y），则，
因为，所以，解得，
即点A的坐标为（10，7）．
30．已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
【答案】（1）（﹣8，5）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为，
所以；
（2）的夹角为θ，
则；
（3）向量与互相垂直，
则，
又，，
则5﹣10k2＝0，
解得k＝±．
▉题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
31．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，解得λ＝2，μ＝1，
∴．
故选：A．
32．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，
以BC中点为坐标原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，
由，得，
而E为AD的中点，则，
∴．
故选：B．
33．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，
则，，
设C（x，y），则，
所以，
即，解得．
故选：B．
34．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．62 C．28 D．
【答案】C
【解答】解：因为，，，
由题可知，，
因为A，B共线，所以，
所以20＝m﹣8 m＝28．
故选：C．
35．已知向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：，
所以，
故．
故选：B．
36．若向量，，则（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣3） D．（6，3）
【答案】C
【解答】解：∵，，
∴（2，1）﹣（4，4）＝（﹣2，﹣3）．
故选：C．第1章第4节 向量的分解与坐标表示
题型1 平面向量的基底 题型2 用平面向量的基底表示平面向量
题型3 平面向量加减法的坐标运算 题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
▉题型1 平面向量的基底
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
1．已知向量，是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量，，m∈R．
（1）若向量，能构成一组基底，求实数m的范围；
（2）若，且，求向量与的夹角大小．
▉题型2 用平面向量的基底表示平面向量
【知识点的认识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
3．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝3DA．记，则（　　）
A． B． C． D．
4．设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（　　）
A．和
B．和
C．和
D．和
5．如图，在△ABC中，，E是CD的中点．设，．则正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则m＝ 　 ．
7．如图，在△ABC中，点M，N满足，点D满足为AD的中点，且M，N，E三点共线．
（1）用表示；
（2）求的值．
8．如图，有两条相交成的直线EF，MN，交点是O，甲、乙两人分别在EF，MN上行走，一开始，甲在距O点2km的点A处，乙在距O点1km的点B处，现在他们同时以2km/h的速度行走，且甲沿的方向，乙沿的方向，设与同向的单位向量为，与同向的单位向量为．
（1）若过2小时后，甲到达C点，乙到达D点，请用，表示；
（2）若过t小时后，甲到达G点，乙到达H点，请用，表示；
（3）什么时间两人间的距离最短？
9．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点．
（1）用基底{，}表示；
（2）求的值；
（2）设，求x（y﹣2）的取值范围．
10．已知，是平面内两个不共线的非零向量，，λ，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，，且D（3，5），若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
11．如图所示，O为线段A0A2025外一点，若A0，A1，A2，A3， ，A2025中任意相邻两点间的距离相等，，则用，表示，其结果为（　　）
A． B． C． D．
12．如图所示，在 ABCD中，，，AN＝3NC，M为BC的中点，则
（用，表示）．
13．如图，在平行四边形ABCD中，，令，．
（1）用表示，，；
（2）若AB＝AM＝2，且，求．
14．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∠BCD＝120°，P，Q分别为直线BC，CD上的动点．
（1）当P，Q为线段BC，CD上的中点，试用和来表示；
（2）若，求；
（3）若为△APQ的重心，若D，G，B在同一条直线上，求λμ的最大值．
15．如图所示，△OBC中，点A为BC中点，点D是线段OB上靠近点B的一个三等分点，CD，OA相交于点E，设，．
（1）用，表示，；
（2）若，，求λ和μ．
16．在长方形ABCD中，E为边DC的中点，F为边BC上一点，且，设，．
（1）试用基底，表示，，；
（2）若G为长方形ABCD所在平面内一点，且，求证：E，G，F三点不能构成三角形．
17．如图，△ABC中，，，D为BC中点，E为AD中点，用和表示为，则（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC上靠近点B的一个三等分点，那么用与可表示为　　 ．
19．已知平行四边形ABCD中，，，．
（1）用，表示；
（2）若，，∠BAD＝45°，如图建立直角坐标系，求和的坐标．
20．在△ABC中，∠CAB＝120°．
（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；
（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；
（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设mn（m，n∈R），求m+n的最小值
21．已知平面直角坐标系中，点A（a，0），点B（0，b）（其中a，b为常数，且ab≠0），点O为坐标原点．
（1）设点P为线段AB上靠近A的三等分点，，求λ的值；
（2）如图所示，设点P1，P2，P3， ，Pn﹣1是线段AB的n等分点，其中n∈N*，n≥2，
⑩当n＝2020时，求的值（用含a，b的式子表示）；
②当a＝b＝1，n＝10时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：．
22．如图，直角梯形ABCD中，||＝2，∠CDA，2，角B为直角，E为AB的中点，λ（0≤λ≤1）．
（1）当λ时，用向量，表示向量；
（2）求||的最小值，并指出相应的实数λ的值．
▉题型3 平面向量加减法的坐标运算
【知识点的认识】
﹣向量加法：如果和，则．
﹣向量减法：如果和，则．
23．已知向量（1，sinθ），，其中θ∈R，则的最大值是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
24．已知A（﹣2，3），B（1，﹣2），C（1，﹣1），则（　　）
A． B． C．5 D．
25．已知，，则为（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
26．已知A（2，3），B（4，﹣3），点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是 　 ．
27．已知向量（1，2），（﹣2，7），则|2|＝ ．
28．已知知两点A（2，﹣1），B（7，3），且点P为线段AB的中点，则的坐标为 ．
29．已知是平面内两个不共线的非零向量，，且A，E，C三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若，求的坐标；
（3）已知D（3，5），在（2）的条件下，若A，B，C，D四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
30．已知向量．
（1）求；
（2）设的夹角为θ，求cosθ的值；
（3）若向量与互相垂直，求k的值．
▉题型4 平面向量数乘和线性运算的坐标运算
【知识点的认识】
﹣数乘：对向量进行标量k的数乘，结果为．
﹣线性运算：包括向量加法、减法和数乘等运算，可以应用于各种问题的求解．
31．如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
32．已知△ABC是边长为1的等边三角形，D在边BC上，且，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
33．已知点A（﹣1，4），B（3，7），C是线段AB上靠近点B的一个三等分点，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
34．已知向量，，，若A，B，D三点共线，则m＝（　　）
A． B．62 C．28 D．
35．已知向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
36．若向量，，则（　　）
A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，﹣3） D．（6，3）

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