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第1章第5节 向量的向量积
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算
题型3 平面向量的投影向量 题型4 平面向量的数量投影
题型5 平面向量数量积的坐标运算
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力（6，24）作用于冰球，使冰球从点A（﹣1，﹣1）移动到点B（1，﹣1），则F对冰球所做的功为（　　）
A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12
【答案】D
【解答】解：因为A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），所以（2，0），
又因为（6，24），
所以力对冰球所做的功为W 2×6+0×24＝12．
故选：D．
2．已知向量，满足 10，且（﹣3，4），则在上的投影向量为（　　）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（，） D．（，）
【答案】C
【解答】解：因为 10，且（﹣3，4），
所以在上的投影向量||cos，（ ）10（，）．
故选：C．
3．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（　　）（参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，）
A．68 B．66 C．64 D．62
【答案】B
【解答】解：由物理定理可得，该学生的重力与两只胳膊的拉力的合力大小相等方向相反，
两只胳膊的拉力的合力大小为，
则该学生的体重约为（kg）．
故选：B．
4．已知力（2，3）作用于一物体，使物体从A（2，0）移动到B（﹣2，3），则力对物体所做的功是　1（J）　 ．
【答案】1（J）．
【解答】解：由题意可得，，
所以力F对物体做的功W（2，3） （﹣4，3）＝﹣8+9＝1（J）．
故答案为：1（J）．
▉题型2 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
（多选）5．下列四个命题为真命题的是（　　）
A．若向量满足，，则
B．若向量，，则在上的投影向量为（4，2）
C．若向量是与向量（1，2）共线的单位向量，则
D．已知向量，，则的最大值为
【答案】BD
【解答】解：对于A，若，则显然有，，但未必有，故A错误；
对于B，在上的投影向量为，故B正确；
对于C，注意到也是与向量（1，2）共线的单位向量，故C错误；
对于D，由于
，
其中，
且当，时，有．
所以的最大值是，故D正确．
故选：BD．
（多选）6．若向量，满足，，则（　　）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
【答案】BCD
【解答】解：选项A，由，
可得，故A错误；
选项B，又，因为∈[0，π]，
所以，即与的夹角为，故B正确；
选项C，又，所以，故C正确；
选项D，在上的投影向量为，故D正确．
故选：BCD．
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，A＝60°，点D，E满足AD＝2DB，，AC边上的中线BM与DE交于点O．设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求∠MOE．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为BM为AC边上的中线，
，
因为，
所以，
所以；
（2）由AB＝3，AC＝4得，
又A＝60°，所以向量与的夹角为60°，
由图形可知∠MOE的大小等于向量与的夹角，
，
，
，
所以，
又因为∠MOE∈（0，π），所以．
8．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
（1）求的值；
（2）若N为线段AC上任意一点，求的取值范围．
【答案】（1）﹣6；（2）[，15]．
【解答】解：（1）以A为原点，AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（6，0），D（0，3），C（3，3），
因为AB∥CD，AB＝6，CD＝3，
所以△ABO∽△CDO，所以，
所以点O（2，2），
设M（m，0），则（m﹣2，﹣2），（﹣6，3），
因为OM⊥BD，所以 6（m﹣2）﹣6＝0，解得m＝1，
所以M（1，0），（1，0），
所以6．
（2）由（1）知，（3，3），
设λ（3λ，3λ），λ∈[0，1]，则（3λ﹣1，3λ），
所以3λ（3λ﹣1）+3λ 3λ＝3λ（6λ﹣1）＝18（λ）2，
因为λ∈[0，1]，
所以当λ＝1时，取得最大值，为15；
当λ时，取得最小值，为，
故的取值范围为[，15]．
9．已知C为△OAB所在平面内一点，满足，且△OAB的面积为．
（1）求cos∠AOB的值；
（2）求的值；
（3）若点P是线段AC上一点，过点P分别向BA，BC作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值．
【答案】（1）；（2）﹣14；（3）．
【解答】解：（1）因为 所以，
两边平方可得：，
又因为，所以，即，
即，所以；
（2）因为∠AOB∈（0，π），所以，
又因为，
所以，则，
在等式两边同乘以得：，
所以；
（3）因为，
同理得：，即有，
由，得点O是△ABC的重心，
所以，
又
，
即有，
所以，
（当且仅当时取等号），
所以的最小值为．
10．已知，是平面内两个非零向量，λ≠0，那么“λ”是“|λ|＝||+λ||”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：已知，是平面内两个非零向量，λ≠0，
若“|λ|＝||+λ||”，
则，
即，
又已知，是平面内两个非零向量，
则，
即，
即“k”
此时λ与k不一定相等，
若“λ”时，
①λ＞0时，，/
②λ＜0时，，
即“λ”是“|λ|＝||+λ||”的充分不必要条件．
故选：B．
11．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，
∵分别表示与方向相同的单位向量，
∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，
故所在直线为∠BAC的角平分线所在直线，
∵，∴∠BAC的平分线与BC垂直，故AB＝AC；
取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，
根据平面向量的减法法则和中线向量可得，
∴，
建立如图平面直角坐标系，
则，故，
因为点D是△ABC的边AB上的动点，
所以设，则，∴，
∴，，
根据平面向量数量积的坐标公式可得，
利用二次函数的性质可知当时，有最小值，最小值为．
故选：C．
12．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且|OA|＝|OB|＝2km，则向量表示（　　）
A．从点O出发，朝北偏西60°方向移动
B．从点O出发，朝北偏西75°方向移动
C．从点O出发，朝北偏西60°方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西75°方向移动2km
【答案】C
【解答】解：以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，
建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得∠AOB＝180°﹣60°＝120°，设，
因为|OA|＝|OB|＝2km，所以四边形OACB为菱形，
则∠AOC＝120°÷2＝60°，则△AOC为正三角形，
所以，
故向量表示从点O出发，朝北偏西60°方向移动2km．
故选：C．
13．若非零向量与满足，△ABC为（　　）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解答】解：由 0，
可得△ABC中，∠A的平分线与边BC垂直，
∴AB＝AC，
又，
则，
又00＜∠BAC＜1800，
则∠BAC＝60°，
则△ABC为等边三角形．
故选：D．
14．已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意，设与的夹角为θ，
若，，，则（） 2 1﹣2cosθ＝0，
变形可得cosθ，
又由0≤θ≤π，则θ．
故选：C．
15．已知向量，满足，且与的夹角为，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解答】解：∵，且与的夹角为，
∴，
∴，
故选：B．
16．已知向量满足，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由，且，设（1，0），（0，1），（﹣1，﹣1），
可得（2，1），（1，2），
所以||，||，（） （）＝2+2＝4，
可得cos，．
故选：D．
17．已知向量，，且，那么实数k＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：根据题意，向量，，
若，则有1×k＝（﹣2）×（﹣2），解可得k＝4；
故选：C．
18．在△ABC中，，若tanC＝3，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，设内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
因为，即，
即cacosB＝2cbcosA，由正弦定理得sinAcosB＝2cosAsinB，即tanA＝2tanB，
若tanA＜0，则tanB＜0，则A、B均为钝角，不合乎题意，所以A、B均为锐角，
由tanC＝tan（π﹣A﹣B）＝﹣tan（A+B）
，
化简得2tan2B﹣tanB﹣1＝0，
因为tanB＞0，解得tanB＝1，故tanA＝2tanB＝2，
因为A为锐角，故，解得．
故选：B．
19．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝6，c＝8，且bcosC+ccosB＝10，P是AB边上的动点，则的取值范围是（　　）
A．[﹣32，64] B．[﹣4，128] C．[﹣8，32] D．[﹣8，64]
【答案】D
【解答】解：已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，bcosC+ccosB＝10，
则，
即，
即a＝10，
则△ABC为直角三角形，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则B（0，8），C（6，0），
设P（0，m），其中0≤m≤8，
则（0，﹣m） （6，8﹣2m）＝2（m﹣2）2﹣8，
又0≤m≤8，
则∈[﹣8，64]．
故选：D．
20．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，向量，满足，两边平方得，
变形可得，
则有，，
所以，
即向量与的夹角的余弦值等于．
故选：D．
21．设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：已知、、为非零向量，且，
则、、分别为、、方向上的单位向量，
则，当且仅当、、方向都相同时，等号成立，
作，，，
当时，
以OA、OB为邻边作平行四边形OAEB，
则该四边形为菱形，且，
所以△AOE为等边三角形，且，
又因为，，
则，
即，
综上所述，．
则的最大值与最小值的差为3﹣0＝3．
故选：D．
22．设向量，满足，则以||，||，为边长的三角形面积最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：由向量的线性运算知，是以向量，为邻边所构成的平行四边形的对角线长，
因为，所以平行四边形为矩形，
所以以，，为边长的三角形为直角三角形，且斜边长为，
两直角边长设为m，n，则由勾股定理可得：m2+n2＝4，
所以三角形的面积，当且仅当时等号成立，
所以以，，为边长的三角形面积最大值为1．
故选：A．
23．已知向量，满足||＝2||＝2，且|2|，则||＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：已知向量，满足||＝2||＝2，且|2|，
则，
即，
则||．
故选：B．
24．已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径R＝（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：已知O是△ABC的外心，，，
则在上的投影向量为，
所以，解得|AB|＝2，
由正弦定理，∴，
则△ABC的外接圆半径R．
故选：B．
25．已知与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，||＞1，则θ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为与均为单位向量，其夹角为θ，
由，可得，所以，
所以，所以，
由，，所以，
所以，所以，
所以，又，所以，
所以θ的取值范围是．
故选：D．
26．若在四边形ABCD中，满足，且，则四边形ABCD的形状一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【答案】B
【解答】解：由得，，
即四边形ABCD为平行四边形，
由，可得，
即，
整理得，即，
所以四边形ABCD为矩形．
故选：B．
▉题型3 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
27．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为3，则λ＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【答案】A
【解答】解：向量在向量上的投影向量为，
∴，
是夹角为的两个单位向量，
则，，
∴，解得λ＝﹣4．
故选：A．
28．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】因为，，
则，
所以在上的投影向量为：
．
故选：C．
29．已知向量与的夹角为60°，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【解答】解：，即，
向量与的夹角为60°，，
即，解得或﹣4（舍去），
则，则向量在方向上的投影向量的模长为．
故选：A．
30．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且||＝2，则（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解答】解：在方向上的投影向量为，即，①
在方向上的投影向量为，即，②
由①②得，又，
所以．
故选：D．
31．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数λ的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解答】解：由题意可知，，则，
由，
得，
所以．
故选：A．
32．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
则，，
所以在上的投影向量的坐标为．
故选：D．
33．已知向量||＝2，（2，1），且在上的投影向量的坐标为（﹣2，﹣1），则向量与的夹角为（　　）
A．120° B．60° C．45° D．30°
【答案】A
【解答】解：利用已知条件，故．
因为在上的投影向量为，且投影向量的坐标为（﹣2，﹣1），所以．
将，代入上式可得：，
那么，解得．
设向量与的夹角为θ，0°≤θ≤180°，可得：．
因为0°≤θ≤180°，且，所以θ＝120°．
则向量与的夹角为120°．
故选：A．
34．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
则．
因为，，即．即，解得．
向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
35．已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，
得，
则，
又，
则，，
所求投影向量为．
故答案为：．
36．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为　　 ．
【答案】．
【解答】解：由，是两个单位向量，若在上的投影向量为，
则，整理得，
，，
因此，
由于，
因此．
故答案为：．
37．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则　﹣1　 ；　　 ．
【答案】﹣1，．
【解答】解：由题意可知，，又，
所以，又 ，
所以．
故答案为：﹣1，．
（多选）38．已知向量，（cosα，sinα），则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D．的最大值为3
【答案】ACD
【解答】解：对于A，若，则 ，
可得cosαsinα，所以tanα，故A项正确；
对于B，若∥，则，可得tanα，
所以，故B项错误；
对于C，由题意得，，由在上的投影向量为，
可得||cos， ，解得cos，，
结合，∈[0，π]，可得，，故C项正确；
对于D，（1﹣cosα，sinα），
可得，
当，即，时，
取得最大值9，所以的最大值为3，故D项正确．
故选：ACD．
▉题型4 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2、向量的投影：||cosθ∈R，称为向量在方向上的投影．
39．已知向量（1，3），（﹣2，4），且在上的投影为λ，则|λ|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：向量（1，3），（﹣2，4），
则，故，
则，故．
故选：A．
40．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
【答案】D
【解答】解：平面向量，，
所以在方向上的投影为（2，0）＝（﹣1，0）．
故选：D．
（多选）41．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则给出下列结论（　　）
A．
B．
C．在向量上的投影为
D．
【答案】AB
【解答】解：因八卦图为正八边形，故每边所对中心角为45°，，的夹角为135°，
，所以||＝||＝1，∴ || ||cos135°，故A正确；
∵，的夹角为90°，故与共线反向，且和向量的模是的模的倍，故B正确；
由，的夹角为135°，又在△OAH中，由余弦定理可得AH2＝12+12﹣2×1×12，
∴AH，在向量上的投影为||cos135° ，故C不正确；
|| ||cos（180°﹣67.5°）＝﹣2 cos67.5°，
|| ||cos27.5° cos27.5°，故D不正确．
故选：AB．
▉题型5 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
42．已知向量，且，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：向量，
则，可得m＝3．
故选：A．
43．已知向量，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：，
则，在上的投影向量为，
所以，
解得．
故选：C．
44．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解答】解：∵，
∴．
故选：B．
45．已知向量，，若，，则x+2y为（　　）
A．12 B．8 C．9 D．﹣4
【答案】A
【解答】解：由题意可知，，
，
因为，则，①
因为，则x（y+1）＝y（x+1），可得x＝y，②
联立①②可得x＝y＝4，因此，x+2y＝4+2×4＝12．
故选：A．
46．已知向量（3，2），（2，4），（﹣1，﹣3），则（　　）
A．6 B．4 C．﹣6 D．﹣4
【答案】C
【解答】解：因为，，，
所以，，
则1×（﹣4）+2×（﹣5）＝﹣6．
故选：C．
47．如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则　﹣8　 ．
【答案】﹣8．
【解答】解：如图将向量放入平面直角坐标系中，
在方格边长为1的方格纸中，
，
，，
则，故．
故答案为：﹣8．
48．已知向量，，若，则x＝ 　1　 ．
【答案】1．
【解答】解：由题意，，
，
因为，
所以（4+2x）（4﹣x）+6×（﹣3）＝0，解得x＝1．
故答案为：1．
49．已知，．
（1）设向量，的夹角为θ，求cosθ的值；
（2）求向量在向量上的投影向量；
（3）若和互相垂直，求k的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解答】解：（1）∵，，
∴，，，
∴．
（2）向量在向量上的投影向量为．
（3），，
则，，
∵和互相垂直，
∴，即（﹣1﹣4k）（﹣1+4k）+（3﹣3k）（3+3k）＝0，
解得或．
50．已知向量（﹣3，4），（2，3）．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数m的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）向量（﹣3，4），（2，3）；
则，
∵若，∴4k﹣3+10（3k+2）＝0，
解得．
（2）向量（﹣3，4），（2，3），则，
∵，∴，
解得．
51．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
（1）求∠EMF的余弦值；
（2）设λ，求λ的值及点M的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，
则D（0，6），E（3，0），A（0，0），F（6，2），
所以，，
则，的夹角为∠EMF，
又因为3×6﹣6×2＝6，||3，2，
所以cos∠EMF＝cos，；
（2）因为，
则，则M（6λ，2λ），
又D，M，E三点共线，
则设，0＜t＜1，
即（6λ，2λ﹣6）＝t（3，﹣6），
则，
解得，
故．
52．一质点在力（﹣1，2）的作用下，由点A（10，﹣5）移动到B（8，1），则力对该质点所做的功为 　14　 ．
【答案】14．
【解答】解：一质点在力（﹣1，2）的作用下，由点A（10，﹣5）移动到B（8，1），
则力对该质点所做的功为：
（﹣2，6） （﹣1，2）＝14．
故答案为：14．
53．已知向量，，，　　 ；在上的投影向量的坐标为 　　 ．
【答案】； ．
【解答】解：因为，所以，
由可得，
所以，即，
所以，
所以在上的投影向量为．
故在上的投影向量的坐标为．
故答案为：；．
54．设向量．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值以及单调递增区间．
【答案】（1）；
（2），[0，]．
【解答】解：（1）由题意，，，
因为，所以，即，
又，所以．
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，f（x）取得最大值，
由，得，
又，与的交集为，
所以f（x）的单调递增区间为．
55．已知向量（1，k），（2，4），则“k”是“||222”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解答】解：由，得2 ，∴ 0，
得2+4k＝0，∴k，
∴k是的充要条件．
故选：C．第1章第5节 向量的向量积
题型1 平面向量数量积的含义与物理意义 题型2 平面向量数量积的性质及其运算
题型3 平面向量的投影向量 题型4 平面向量的数量投影
题型5 平面向量数量积的坐标运算
▉题型1 平面向量数量积的含义与物理意义
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
1．冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动，在冰球运动中，冰球运动员脚穿冰鞋，身着防护装备，以球杆击球，球入对方球门，多者为胜．小赵同学在练习冰球的过程中，以力（6，24）作用于冰球，使冰球从点A（﹣1，﹣1）移动到点B（1，﹣1），则F对冰球所做的功为（　　）
A．﹣18 B．18 C．﹣12 D．12
2．已知向量，满足 10，且（﹣3，4），则在上的投影向量为（　　）
A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（，） D．（，）
3．体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为380N，则该学生的体重（单位kg）约为（　　）（参考数据：取重力加速度大小为10m/s2，）
A．68 B．66 C．64 D．62
4．已知力（2，3）作用于一物体，使物体从A（2，0）移动到B（﹣2，3），则力对物体所做的功是　 　 ．
▉题型2 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
（多选）5．下列四个命题为真命题的是（　　）
A．若向量满足，，则
B．若向量，，则在上的投影向量为（4，2）
C．若向量是与向量（1，2）共线的单位向量，则
D．已知向量，，则的最大值为
（多选）6．若向量，满足，，则（　　）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
7．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，A＝60°，点D，E满足AD＝2DB，，AC边上的中线BM与DE交于点O．设，．
（1）用向量，表示，；
（2）求∠MOE．
8．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且OM⊥BD．
（1）求的值；
（2）若N为线段AC上任意一点，求的取值范围．
9．已知C为△OAB所在平面内一点，满足，且△OAB的面积为．
（1）求cos∠AOB的值；
（2）求的值；
（3）若点P是线段AC上一点，过点P分别向BA，BC作垂线，垂足分别为E，F，求的最小值．
10．已知，是平面内两个非零向量，λ≠0，那么“λ”是“|λ|＝||+λ||”的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
11．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为（　　）
A．﹣1 B． C． D．
12．若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且|OA|＝|OB|＝2km，则向量表示（　　）
A．从点O出发，朝北偏西60°方向移动
B．从点O出发，朝北偏西75°方向移动
C．从点O出发，朝北偏西60°方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西75°方向移动2km
13．若非零向量与满足，△ABC为（　　）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．等边三角形
14．已知向量，满足，，，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
15．已知向量，满足，且与的夹角为，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．14
16．已知向量满足，且，则（　　）
A． B． C． D．
17．已知向量，，且，那么实数k＝（　　）
A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4
18．在△ABC中，，若tanC＝3，则sinA＝（　　）
A． B． C． D．
19．已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝6，c＝8，且bcosC+ccosB＝10，P是AB边上的动点，则的取值范围是（　　）
A．[﹣32，64] B．[﹣4，128] C．[﹣8，32] D．[﹣8，64]
20．已知向量，满足，，则向量与的夹角的余弦值等于（　　）
A．0 B． C． D．
21．设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
22．设向量，满足，则以||，||，为边长的三角形面积最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．已知向量，满足||＝2||＝2，且|2|，则||＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
24．已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径R＝（　　）
A． B． C．2 D．
25．已知与均为单位向量，其夹角为θ，若||＞1，||＞1，则θ的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
26．若在四边形ABCD中，满足，且，则四边形ABCD的形状一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
▉题型3 平面向量的投影向量
【知识点的认识】
投影向量是指一个向量在另一个向量上的投影．投影向量可以用来求两个向量之间的夹角，也可以用来求一个向量在另一个向量上的分解．
设，是两个非零向量，，，考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．
向量在向量上的投影向量是．
27．已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为3，则λ＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
28．已知向量，，则在上的投影向量为（　　）
A． B．
C． D．
29．已知向量与的夹角为60°，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（　　）
A． B．1 C． D．2
30．已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为，在方向上的投影向量为，且||＝2，则（　　）
A． B．2 C． D．4
31．设向量，是非零向量，且，向量在向量上的投影向量为，若，则实数λ的值为（　　）
A． B． C． D．2
32．已知向量，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
33．已知向量||＝2，（2，1），且在上的投影向量的坐标为（﹣2，﹣1），则向量与的夹角为（　　）
A．120° B．60° C．45° D．30°
34．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为　 ．
35．已知向量，为单位向量，且满足，则向量在向量方向的投影向量为 　 ．
36．已知是两个单位向量，若在上的投影向量为，则与的夹角为　　 ．
37．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则　　 ．
（多选）38．已知向量，（cosα，sinα），则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
D．的最大值为3
▉题型4 平面向量的数量投影
【知识点的认识】
1、两个向量的数量积及其性质：
（1） ＝||||cos，；
（2）⊥ 0（，为非零向量）；
（3）||22，||．
2、向量的投影：||cosθ∈R，称为向量在方向上的投影．
39．已知向量（1，3），（﹣2，4），且在上的投影为λ，则|λ|＝（　　）
A． B． C． D．
40．已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．（﹣2，0） D．（﹣1，0）
（多选）41．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中，则给出下列结论（　　）
A．
B．
C．在向量上的投影为
D．
▉题型5 平面向量数量积的坐标运算
【知识点的认识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
42．已知向量，且，则m的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2
43．已知向量，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
44．已知（2，﹣1），，则等于（　　）
A．10 B．﹣10 C．3 D．﹣3
45．已知向量，，若，，则x+2y为（　　）
A．12 B．8 C．9 D．﹣4
46．已知向量（3，2），（2，4），（﹣1，﹣3），则（　　）
A．6 B．4 C．﹣6 D．﹣4
47．如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则　　 ．
48．已知向量，，若，则x＝ 　 ．
49．已知，．
（1）设向量，的夹角为θ，求cosθ的值；
（2）求向量在向量上的投影向量；
（3）若和互相垂直，求k的值．
50．已知向量（﹣3，4），（2，3）．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数m的值．
51．如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M．
（1）求∠EMF的余弦值；
（2）设λ，求λ的值及点M的坐标．
52．一质点在力（﹣1，2）的作用下，由点A（10，﹣5）移动到B（8，1），则力对该质点所做的功为 　14　 ．
53．已知向量，，，　 ；在上的投影向量的坐标为　 ．
54．设向量．
（1）若，求x的值；
（2）设函数，求f（x）的最大值以及单调递增区间．
55．已知向量（1，k），（2，4），则“k”是“||222”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

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