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第1章第6节 解三角形
题型1 利用正弦定理解三角形 题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型3 正弦定理与三角形的外接圆 题型4 余弦定理
题型5 三角形中的几何计算 题型6 解三角形
题型7 三角形的形状判断 题型8 三角形五心
▉题型1 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
1．在△ABC中，BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为，则角B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝4，则a＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则（　　）
A． B． C．2 D．3
5．已知△ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“b＝acosC”是“△ABC为直角三角形”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．在△ABC中，，，若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则边长AC的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7． 　 ．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc．
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积．
9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，某同学根据上述条件推断了以下四个结论：①角C一定是锐角；②a2+2b2＝c2；③3tanA+tanC＝0；④tanB的最小值为，则这四个结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．给出下列四个结论：
①；
②当时，满足条件的△ABC有2个；
③若AD是∠BAC的平分线，且．则；
④当时，△ABC为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是 　 ．
11．已知在△ABC中，，c＝1，，则S△ABC＝ ．
▉题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
12．在ΔABC中，若∠B＝30°，，AC＝2，则满足条件的三角形有（　　）个．
A．1 B．2 C．不确定
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，A＝30°，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是（　　）
A．（0，4） B．（2，4） C． D．（2，+∞）
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．若△ABC有两解，则b的长的取值范围是 　 ．
（多选）15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，确定下列判断正确的是（　　）
A．C＝45°，a＝4，c＝5，有一解
B．C＝45°，a＝4，c＝3.9，有一解
C．C＝45°，a＝4，c＝3，有两解
D．C＝45°，a＝4，c＝2，有一解
16．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是（　　）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
17．已知△ABC三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcsinA﹣b﹣c＝0．
（1）求角A的值；
（2）在解三角形问题中，若b＝2，且△ABC有两解，求边a的取值范围．
▉题型3 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
18．如果锐角△ABC的外接圆圆心为O，则点O到△ABC三边的距离之比为（　　）
A．sinA：sinB：sinC B．cosA：cosB：cosC
C． D．
19．在ΔABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝3，则△ABC外接圆面积为 ．
20．在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则该三角形外接圆半径R与内切圆半径r的比值是（　　）
A． B． C． D．
21．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，B＝30°，，则△ABC的外接圆的直径为（　　）
A． B． C． D．
22．已知正五边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，，则θ＝（　　）
A．9° B．18° C．27° D．36°
23．在△ABC中，BC＝2，S△ABC，则△ABC外接圆半径为 ．
24．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，且，求△ABC外接圆面积的取值范围．
25．如图，平面四边形ABCD中，AD＝5，，，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
（1）判断四边形ABCD是否有外接圆？若有，求其半径R；若无，说明理由，
（2）求△ABC内切圆半径r的取值范围．
▉题型4 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
26．在△ABC中，若，b＝6，A＝30°，则C＝（　　）
A．30° B．60° C．30°或90° D．60°或120°
27．在△ABC中，∠B，AB＝8，AC＝7，则BC＝（　　）
A．5 B．3或5 C．4 D．2或4
28．在△ABC中，已知a：b：c＝3：5：7，则这个三角形的最大角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．120°
29．在△ABC中，，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
30．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2+a2＝b2，则△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
31．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．[2，+∞）
32．△ABC中，，则c＝ ．
33．在△ABC中，已知a＝7，c＝5，，则cos2A＝ ．
34．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，则的取值范围为 ．
35．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝5，c，且ccosAa＝b．
（1）求C的大小；
（2）求△ABC的面积．
36．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BDDC．求：
（1）AD的长；
（2）∠DAC的大小．
▉题型5 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
37．如图，两座山峰的高度AM＝CN＝200m，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为45°，N点的仰角为30°，且∠MBN＝45°，则两座山峰峰顶之间的距离MN＝（　　）
A．200m B．400m C． D．
38．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子 离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具．敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））．今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）．若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足，则这块四边形木板周长的最大值为（　　）
A．20cm B． C． D．30cm
39．在△ABC中，已知，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD＝2S△ACD，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
40．在锐角△ABC中，cosB＝cos2A，则的一个可能的取值为（　　）
A．1 B．1.5 C．1.8 D．2
41．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一．某同学为测量钟楼的高度MN，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB，高为a米，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟楼顶部M的仰角分别为α和β，在A处测得钟楼顶部M的仰角为γ，则钟楼的高度为（　　）米．
A．
B．
C．
D．
42．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽AB在同一垂直平面内的两个观测点C，D，利用无人机在点C处测得河岸点A的俯角为α，河岸点B的俯角为β，无人机沿CE方向飞行m千米到达点D，测得河岸点A的俯角为γ（γ＞α＞β），则AB＝（　　）
A．千米
B．千米
C．千米
D．千米
43．在△ABC中，已知，AB＝2，，则C＝（　　）
A． B． C． D．
44．D是Rt△ABC斜边BC上一点，若AB＝AD，，则sin∠ABC的值（　　）
A． B． C． D．
▉题型6 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
45．如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC）养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD＝α．
（1）若α＝30°，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若h1＝30m，求观赏长廊总长f（α）的最小值．
46．已知△ABC，|BC|＝a，|AC|＝b，|AB|＝c，满足asinA+bsinB＝2c，用S表示△ABC的面积，当最大时，tanA的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
47．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则AB边上的中线CD长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
48．在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠B，∠C的对边分别是b，c，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
49．在△ABC中，AB＝4，sinC，点D在线段AC上，AD＝3，BD，则BC＝（　　）
A．3 B． C．6 D．
50．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．则下列命题中：
①若sinA＞sinB，则a＞b．
②若acosA＝bcosB，则△ABC一定为等腰三角形．
③P为△ABC所在平面内的一点，且，则P为△ABC的内心．
④已知∠A＝30°，a＝7，b＝10，解△ABC有两解．正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
51．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，a+b＝cosA+cosB，则该三角形的外接圆的面积为（　　）
A． B． C． D．π
52．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a2cosB+abcosA＝a2+c2﹣b2，则2a+3c的最大值为（　　）
A． B． C． D．
▉题型7 三角形的形状判断
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
53．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
54．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状是 　 ．
▉题型8 三角形五心
【知识点的认识】
三角形五心包括：
（1）重心
（2）外心
（3）内心
（4）垂心
（5）旁心．
（多选）55．设点G，H，O，I分别为△ABC三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若且，则
C．若AB＝AC＝2，BC＝3，，则
D．若，则
56．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O，G，P，Q分别为△ABC所在平面内一点，且有，，，，则点O，G，P，Q分别为△ABC的（　　）
A．垂心，重心，外心，内心
B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心
D．外心，垂心，重心，内心
57．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的　 ．（填：外心、内心、重心、垂心）第1章第6节 解三角形
题型1 利用正弦定理解三角形 题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
题型3 正弦定理与三角形的外接圆 题型4 余弦定理
题型5 三角形中的几何计算 题型6 解三角形
题型7 三角形的形状判断 题型8 三角形五心
▉题型1 利用正弦定理解三角形
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
1．在△ABC中，BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为，则角B的大小为（　　）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
【答案】D
【解答】解：因为BC＝4，BA＝5，且△ABC的面积为，
所以，
解得，
因为0°＜B＜180°，
所以角B的大小为60°或120°．
故选：D．
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则△ABC的形状为（　　）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解答】解：由题意及正弦定理可得，
所以tanA＝tanC＝1，
因为A、C∈（0，π），
故，，
所以△ABC为等腰直角三角形．
故选：A．
3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，c＝4，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，由，C∈（0，π），
得，
由正弦定理得，
A，c＝4，
所以．
故选：A．
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：因为，A∈（0，π），
所以sinA，
由正弦定理3，可得b＝3sinB，c＝3sinC，
则3．
故选：D．
5．已知△ABC的三个内角A、B、C所对边分别为a、b、c，则“b＝acosC”是“△ABC为直角三角形”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：因为b＝acosC，所以sinAcosC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
所以cosAsinC＝0，
因为A、C∈（0，π），故sinC＞0，
所以cosA＝0，故，即△ABC为直角三角形，
所以由“b＝acosC”可推出“△ABC为直角三角形”，充分性成立，
若△ABC为直角三角形，比如a＝3，c＝4，b＝5，
此时a2+c2＝b2，，，，
所以由“△ABC为直角三角形”不能推出“b＝acosC”，必要性不成立．
故选：A．
6．在△ABC中，，，若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则边长AC的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，，则AC＝2sinB，
若满足上述条件的△ABC有且仅有一个，则sinB＝1或，
则AC＝2或，
则边长AC的取值范围是．
故选：C．
7． 　　 ．
【答案】．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2+c2﹣bc．
（1）求A；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为a2＝b2+c2﹣bc，
则，
则．
（2）由a2＝b2+c2﹣bc得，a2＝（b+c）2﹣3bc，
因，则2＝4﹣3bc，即，
故．
9．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，某同学根据上述条件推断了以下四个结论：①角C一定是锐角；②a2+2b2＝c2；③3tanA+tanC＝0；④tanB的最小值为，则这四个结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：依题意，
，，
为钝角，①错误；
，
b2+a2+b2﹣c2＝0，a2+2b2﹣c2＝0，②正确；
b+2acosC＝0，由正弦定理得sinB+2sinAcosC＝0，
sin（A+C）+2sinAcosC＝0，3sinAcosC+cosAsinC＝0，
由于cosC＜0，C为钝角，A为锐角，所以两边除以cosAcosC得，3tanA+tanC＝0，③正确；
3tanA+tanC＝0 tanC﹣3tan（B+C）＝0，
，
整理得，
由于C为钝角，﹣tanC＞0，所以，
当且仅当时等号成立，
所以，④错误．
故选：B．
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为．给出下列四个结论：
①；
②当时，满足条件的△ABC有2个；
③若AD是∠BAC的平分线，且．则；
④当时，△ABC为直角三角形．
其中所有正确结论的序号是 　①④　 ．
【答案】①④．
【解答】解：对于①，因为，
由正弦定理可得，
又因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以，
化简可得，
因为，所以tanA+tanB≠0，
可得，A∈（0，π），故，故①正确；
对于②，当时，由①得，得，
由正弦定理得，所以，
因为，当时，，
又C∈（0，π），所以，此时满足条件的△ABC只有1个，故②错误；
对于③，因为若AD是∠BAC的角平分线，且，
由①得，故，
而S△BAD+S△CAD＝S△ABC，得，
得，所以，故③错误；
对于④，因为，由正弦定理可得，
即，化简可得，
因为，所以，
所以，所以，所以，
所以△ABC为直角三角形，故④正确．
故答案为：①④．
11．已知在△ABC中，，c＝1，，则S△ABC＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：在△ABC中，，c＝1，，
由正弦定理得，即，解得，
而c＜b，即有C＜B，
于是，，
所以．
故答案为：．
▉题型2 正弦定理与三角形解的存在性和个数
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
12．在ΔABC中，若∠B＝30°，，AC＝2，则满足条件的三角形有（　　）个．
A．1 B．2 C．不确定
【答案】B
【解答】解：在ΔABC中，∠B＝30°，，AC＝2，
所以ABsinB，可得ABsinB＜AC＜AB，
结合正弦定理，可知ΔABC有两解．
故选：B．
13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝2，A＝30°，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围是（　　）
A．（0，4） B．（2，4） C． D．（2，+∞）
【答案】B
【解答】解：三角形有两解的充要条件为：bsinA＜a＜b，而a＝2，A＝30°，即b＜2＜b，
解得b∈（2，4）．
故选：B．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．若△ABC有两解，则b的长的取值范围是 　（4，8）　 ．
【答案】（4，8）．
【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为H，
Rt△ABH中，AB＝8，∠B，可得AH＝ABsinB＝8sin4，
若△ABC有两解，则AH＜b＜c，即4＜b＜8，即b的取值范围是（4，8）．
故答案为：（4，8）．
（多选）15．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，确定下列判断正确的是（　　）
A．C＝45°，a＝4，c＝5，有一解
B．C＝45°，a＝4，c＝3.9，有一解
C．C＝45°，a＝4，c＝3，有两解
D．C＝45°，a＝4，c＝2，有一解
【答案】AC
【解答】解：对于A，asinC＝2，c＞a，三角形有一解，故A正确；
对于B，asinC＝2，asinC＜c＜a，故三角形有两解，B错误；
对于C，asinC＝2，asinC＜c＜a，故三角形有两解，C正确；
对于D，asinC＝2，a＜asinC，故三角形无解，D错误．
故选：AC．
16．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是（　　）
A．有一解
B．有两解
C．无解
D．有解但解的个数不确定
【答案】B
【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，AB＜BC，
∴C＜A，
∴A必为大于30°的角，故A可以为锐角，也可以是钝角，
∴此三角形有二解，
故选：B．
17．已知△ABC三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosCcsinA﹣b﹣c＝0．
（1）求角A的值；
（2）在解三角形问题中，若b＝2，且△ABC有两解，求边a的取值范围．
【答案】（1）．
（2）{a|}．
【解答】解：（1）因为，由正弦定理得，
所以sinAcosCsinCcosA﹣sin（A+C）﹣sinC＝sinAcosCsinCcosA﹣sinAcosC﹣sinCcosA﹣sinC＝0
即，
因为sin C≠0，得，
所以，
所以或（舍去），
故．
（2）由（1）和余弦定理得a2＝4+c2﹣2c，
即c2﹣2c+4﹣a2＝0（*），要使△ABC有两解，则方程（*）有两个正实数根，
即，
即．
▉题型3 正弦定理与三角形的外接圆
【知识点的认识】
1．正弦定理
定理 正弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径）
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
18．如果锐角△ABC的外接圆圆心为O，则点O到△ABC三边的距离之比为（　　）
A．sinA：sinB：sinC B．cosA：cosB：cosC
C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，设外接圆半径R，连接OA，OB，OC，在三角形ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C，设点O到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别为dc，db，da，
由锐角△ABC知cosC，cosB，cosA均为正数，
由外接圆知∠AOB＝2C，所以，
同理：，，
所以S△AOB：S△AOC：S△BOC＝sinCcosC：sinBcosB：sinAcosA，
由正弦定理得c：b：a＝sinC：sinB：sinA，
所以S△AOB：S△AOC：S△BOC＝ccosC：bcosB：acosA，
又S△AOB：S△AOC：S△BOC＝cdc：bdb：ada，
所以cdc：bdb：ada＝ccosC：bcosB：acosA，
所以dc：db：da＝cosC：cosB：cosA．
故选：B．
19．在ΔABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝3，则△ABC外接圆面积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题可得：
，
因为BC为三角形的边长，所以．
由正弦定理可得：，则．
根据圆的面积公式，将代入可得：．
故答案为：．
20．在△ABC中，sinA：sinB：sinC＝5：7：8，则该三角形外接圆半径R与内切圆半径r的比值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为sinA：sinB：sinC＝5：7：8，
由正弦定理可得a：b：c＝5：7：8，
设a＝5k，b＝7k，c＝8k，k＞0，
由余弦定理可得cosA，
在△ABC中，可得sinA，
由正弦定理可得2R，可得r，
由等面积法可得：bcsinA（a+b+c） r，
可得rk，
所以．
故选：C．
21．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，B＝30°，，则△ABC的外接圆的直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：∵，B＝30°，，
∴S△ABCacsinB，即，
∴c＝4，
根据余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB＝3+16﹣27，
∴b，
设△ABC的外接圆的直径为R，
则根据正弦定理得：2R2．
故选：C．
22．已知正五边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，，则θ＝（　　）
A．9° B．18° C．27° D．36°
【答案】B
【解答】解：如图所示，则OB＝r，OA＝R，∠AOB，AB，
Rt△AOB中，sin，即R，
cos，即r＝Rcos，
所以r+R，
故θ．
故选：B．
23．在△ABC中，BC＝2，S△ABC，则△ABC外接圆半径为 　3　 ．
【答案】3．
【解答】解：因为S△ABCAB ACcosAsinA，
所以sinAcosA，则A为锐角，
又1＝sin2A+cos2A＝3cos2A，
所以cosA，sinA，
由正弦定理得，2R6，
故R＝3．
故答案为：3．
24．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC是锐角三角形，且，求△ABC外接圆面积的取值范围．
【答案】（1）A；
（2）△ABC外接圆面积的取值范围为（3π，12π）．
【解答】解：（1）∵，
∴在△ABC中，由正弦定理得sinAsinC＝sinC（cosA+1），
∵C∈（0，π），即sinC≠0，
∴sinA＝cosA+1，即sinA﹣cosA＝1，
∴2sin（A）＝1，即sin（A），
∵A∈（0，π），∴A∈（，），
∴A，解得A；
（2）由（1）得A，则B+C，
∵△ABC是锐角三角形，
∴，解得C，即sinC＜1，
设△ABC的外接圆的半径为R，，
由正弦定理得2R∈（2，4），即R∈（，2），
∴△ABC的外接圆的面积S＝πR2∈（3π，12π），
故△ABC外接圆面积的取值范围为（3π，12π）．
25．如图，平面四边形ABCD中，AD＝5，，，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足．
（1）判断四边形ABCD是否有外接圆？若有，求其半径R；若无，说明理由，
（2）求△ABC内切圆半径r的取值范围．
【答案】（1）有，；
（2）．
【解答】解：（1）在△ADC中，，
则，
由，得，
于是，
而0＜D＜π，
因此，
在△ADC中，，解得AC＝7，
在△ABC中，由正弦定理，得，整理得b2＝a2+c2﹣ac，
由余弦定理，得，
又B∈（0，π），
因此，有D+B＝π，
于是A，B，C，D四点共圆，且四边形ABCD外接圆的半径就等于△ABC外接圆的半径，
所以四边形ABCD有外接圆，圆半径．
（2）由（1）知：a2+c2﹣ac＝49，
则（a+c）2＝49+3ac，即有，
因为，
可得，
又，由a≠b，
故△ABC不是正三角形，
又，则a≠c，
于是，
又a+c＞7，
解得7＜a+c＜14，0＜a+c﹣7＜7，
则，
所以△ABC内切圆半径r的取值范围是．
▉题型4 余弦定理
【知识点的认识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
26．在△ABC中，若，b＝6，A＝30°，则C＝（　　）
A．30° B．60° C．30°或90° D．60°或120°
【答案】C
【解答】解：因为，b＝6，A＝30°，
由正弦定理可得：，即，
可得sinB，
因为B＞A，所以B＝60°或120°，
所以C＝90°或30°．
故选：C．
27．在△ABC中，∠B，AB＝8，AC＝7，则BC＝（　　）
A．5 B．3或5 C．4 D．2或4
【答案】B
【解答】解：由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB BCcosB＝49，
整理得BC2﹣8BC+15＝0，解得BC＝3或5，经检验均符合题意．
故选：B．
28．在△ABC中，已知a：b：c＝3：5：7，则这个三角形的最大角的弧度数为（　　）
A． B． C． D．120°
【答案】B
【解答】解：由题可设a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），
则最大边为c，
∴，
又C∈（0，π），则．
∴这个三角形的最大角的弧度数为．
故选：B．
29．在△ABC中，，则cosB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，；
由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB AC cosA，解得BC＝2．
所以．
故选：B．
30．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2+a2＝b2，则△ABC的形状为（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解答】解：在△ABC中，4c2+a2＝b2，
由余弦定理得b2＝4c2+a2＝a2+c2﹣2accosB，则3c2＝﹣2accosB＞0，
因此cosB＜0，即B为钝角，所以△ABC的形状为钝角三角形．
故选：B．
31．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S＝a2﹣（b﹣c）2，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．[2，+∞）
【答案】C
【解答】解：因为2S＝a2﹣（b﹣c）2，
所以可得2bcsinA＝b2+c2﹣2bccosA﹣（b2+c2﹣2bc），
化简得sinA+2cosA＝2，
又，sin2A+cos2A＝1，
联立得5sin2A﹣4sinA＝0，
解得或sinA＝0（舍去），
所以，
因为△ABC为锐角三角形，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以∈（0，），
设t∈（，），
所以，
由对勾函数单调性知在上单调递减，在上单调递增，
当t＝1时，y＝2；当时，；当时，；
所以，
所以的取值范围是．
故选：C．
32．△ABC中，，则c＝ 　或　 ．
【答案】或．
【解答】解：根据题意可知，，
根据余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
即，解得或，
经检验，符合题意，
所以或．
故答案为：或．
33．在△ABC中，已知a＝7，c＝5，，则cos2A＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据正弦定理，可得sinA．
所以cos2A＝1﹣2sin2A＝1﹣2．
故答案为：．
34．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且，则的取值范围为　　 ．
【答案】．
【解答】解：由于，
由余弦定理可知2bccosA＝b2+c2﹣a2，
由面积公式可得，代入到已知条件可得：
，
因为bc≠0，化简可得，所以，
根据恒等变换可得，
因为锐角△ABC，
所以，则，所以可得，即，
所以，
则，
因为锐角△ABC，所以，，
则，又tanx在单调递增，
则，令，所以，
所以，
由对勾函数的单调性知在单调递减，在（1，2）单调递增，
当t＝1时，取到最小值y＝2，当或t＝2时，最大值，
则．
故答案为：．
35．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+b＝5，c，且ccosAa＝b．
（1）求C的大小；
（2）求△ABC的面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由余弦定理得c a＝b，整理可得b2+a2﹣c2＝ab，
所以cosC，
因为C∈（0，π），
所以C；
（2）因为a+b＝5，c，C，
所以由余弦定理可得7＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝52﹣3ab＝25﹣3ab，
解得ab＝6，
S△ABCabsinC．
36．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BDDC．求：
（1）AD的长；
（2）∠DAC的大小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在△ABC中，因为∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，所以∠ABC＝∠ACB＝30°，BC．
所以．
在△ABD中，由余弦定理有AD2＝BA2+BD2﹣2 BD BA cosB＝3，所以．
（2）由（1）知，AD＝BD，所以∠DAB＝∠DBA＝30°，所以∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝90°．
▉题型5 三角形中的几何计算
【知识点的认识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
37．如图，两座山峰的高度AM＝CN＝200m，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为45°，N点的仰角为30°，且∠MBN＝45°，则两座山峰峰顶之间的距离MN＝（　　）
A．200m B．400m C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意可得∠ABM＝45°，∠CBN＝30°，AM＝CN＝200m，
在Rt△ABM中，BM200m，
在Rt△BCN中，同理可得BN400m，
在△BMN中，∠MBN＝30°，
由余弦定理可得：
．
故选：C．
38．“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子 离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具．敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））．今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）．若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角α满足，则这块四边形木板周长的最大值为（　　）
A．20cm B． C． D．30cm
【答案】D
【解答】解：由题图（2）得，圆形木板的直径为，
设截得的四边形木板为ABCD，设∠A＝α，AB＝c，BD＝a，AD＝b，BC＝n，CD＝m，如图所示：
因为且0＜α＜π，所以，
由正弦定理得，解得，
由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bccosα，
所以，
即（b+c）2≤400，所以0＜b+c≤20，当且仅当b＝c＝10时等号成立，
在△BCD中，∠BCD＝π﹣α，
由余弦定理可得，
即（m+n）2≤100，所以0＜m+n≤10，当且仅当m＝n＝5时等号成立，
因此这块四边形木板周长的最大值为30cm．
故选：D．
39．在△ABC中，已知，D是BC上的点，AD平分∠BAC，S△ABD＝2S△ACD，则tanB＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图所示：
因为AD平分∠BAC，由角平分线的性质可知：
点D到边AB、AC的距离相等，
因为，设AB＝2t（t＞0），则AC＝t，
由S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝3S△ACD，
可得，
可得，
在△ABD中，由余弦定理，
可得
，
故，
由正弦定理可得，
所以，
易知B为锐角，则，
所以．
故选：A．
40．在锐角△ABC中，cosB＝cos2A，则的一个可能的取值为（　　）
A．1 B．1.5 C．1.8 D．2
【答案】B
【解答】解：锐角△ABC中，cosB＝cos2A，
则B＝2A，
所以，即，
所以，
所以2cosA∈（）．
故选：B．
41．如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一．某同学为测量钟楼的高度MN，在钟楼的正西方向找到一座建筑物AB，高为a米，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，钟楼顶部M的仰角分别为α和β，在A处测得钟楼顶部M的仰角为γ，则钟楼的高度为（　　）米．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解答】解：如图所示，
在Rt△ACB中，，
在△MAC中，∠MAC＝α+γ，∠MCA＝π﹣（α+β），
则∠CMA＝π﹣[π﹣（α+β）+α+γ]＝β﹣γ，
由正弦定理，，
故得，
在Rt△MCN中，．
故选：C．
42．如图所示，为测量一条河流的宽度，选取了与河宽AB在同一垂直平面内的两个观测点C，D，利用无人机在点C处测得河岸点A的俯角为α，河岸点B的俯角为β，无人机沿CE方向飞行m千米到达点D，测得河岸点A的俯角为γ（γ＞α＞β），则AB＝（　　）
A．千米
B．千米
C．千米
D．千米
【答案】D
【解答】解：根据题意可知∠ABC＝β，∠ACB＝α﹣β，CD＝m，
在△ABC中，利用正弦定理可得，所以；
又易知∠ADC＝π﹣γ，∠CAD＝π﹣α﹣（π﹣γ）＝γ﹣α，
在△ACD中，，所以；
可得，
故AB．
故选：D．
43．在△ABC中，已知，AB＝2，，则C＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为在△ABC中，，AB＝2，，
所以由正弦定理，可得，解得sinC，
由AB＜BC，可知C为锐角，
则C．
故选：B．
44．D是Rt△ABC斜边BC上一点，若AB＝AD，，则sin∠ABC的值（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，令∠ABC＝θ，由AB＝AD，则∠ADB＝∠ABD＝θ，
∠ADC＝π﹣∠ADB＝π﹣θ，，
在△ACD中，，由正弦定理可得，
即，
即，
即，
整理得，
因为sinθ＞0，则有，
即sin∠ABC的值是．
故选：D．
▉题型6 解三角形
【知识点的认识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
45．如图，有一条宽为60m的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形区域（图中△ABC）养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE＝h1，AD＝h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD＝α．
（1）若α＝30°，求养殖区域面积的最大值；
（2）现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若h1＝30m，求观赏长廊总长f（α）的最小值．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】（1）α＝30°时，，
所以，
又因为（当且仅当h1＝h2时等号成立），
所以h1h2≤900，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为．
（2）由题意，，
所以，
所以△ABC的周长，
其中．
设t＝sinα+cosα，则，
所以．
所以，
于是当时，，
因此，观赏长廊总长的最小值为．
46．已知△ABC，|BC|＝a，|AC|＝b，|AB|＝c，满足asinA+bsinB＝2c，用S表示△ABC的面积，当最大时，tanA的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：由asinA+bsinB＝2c，根据正弦定理得sin2A+sin2B＝2sinC，
因为sinA＞0且sinB＞0，
所以，
当且仅当sinA＝sinB，即a＝b时，取得最大值．
此时A＝B，C＝π﹣A﹣B＝π﹣2A，
结合sin2A+sin2B＝2sinC，可得2sin2A＝2sin（π﹣2A），
即sin2A＝sin2A＝2sinAcosA，可得sinA＝2cosA，所以tanA2．
故选：C．
47．记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则AB边上的中线CD长度的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
可得，
在△ABC中，cosC＝﹣cos（A+B），
可得，
即，
由正弦定理得，
因为A，B∈（0，π），所以sinA≠0，sinB≠0，
所以，
又C∈（0，π），所以，
由余弦定理得c2，
即a2+b2＝24﹣ab，由基本不等式可得24﹣ab≥2ab，即ab≤8，当且仅当a＝b时取等号，
因为AB边上的中线为CD，
可得2，
所以4222+2 b2+a2+2bacosC＝b2+a2﹣ba＝24﹣2ab≥24﹣2×8＝8，
所以||，
所以AB边上的中线CD长度的最小值为．
故选：C．
48．在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠B，∠C的对边分别是b，c，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠A＜90°，∠B＜45°，∠A+∠B＞90°，
可得∠B＞30°，所以∠B∈（30°，45°），
cosB∈（，），cos2B∈（，），
所以由正弦定理可知：
2cos2B∈（1，），
故选：A．
49．在△ABC中，AB＝4，sinC，点D在线段AC上，AD＝3，BD，则BC＝（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【解答】解：在△ABD中，AB＝4，AD＝3，BD，
由余弦定理得cos∠ADB，
所以cos∠BDC＝﹣cos∠ADB，可得sin∠BDC（舍负）．
在△BDC中，由正弦定理得，即，解得BC．
故选：D．
50．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．则下列命题中：
①若sinA＞sinB，则a＞b．
②若acosA＝bcosB，则△ABC一定为等腰三角形．
③P为△ABC所在平面内的一点，且，则P为△ABC的内心．
④已知∠A＝30°，a＝7，b＝10，解△ABC有两解．正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解答】解：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
对于①，由（R＞0），
则a＝2RsinA，b＝2RsinB，
已知sinA＞sinB，
由正弦定理可得a＞b，
故①正确；
对于②，由acosA＝bcosB，
则sinAcosA＝sinBcosB，
即sin2A＝sin2B，
由A，B∈（0，π），2A，2B∈（0，2π），
则2A＝2B或2A+2B＝π，
化简可得A＝B或，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，
故②错误；
对于③，由，
则，
所以，
同理可得，，
所以点P为△ABC的垂心，
故③错误；
对于④，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
则49＝100+c2﹣20c cos30°，
化简可得，
由Δ＝300﹣204＞0，
则方程存在两个实数解，
设两个根为c1，c2，可得，c1c2＝51，
则c1，c2＞0，
所以△ABC有两个解，
故④正确．
故选：B．
51．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，a+b＝cosA+cosB，则该三角形的外接圆的面积为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】B
【解答】解：已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
若c＝1，a+b＝cosA+cosB，
由正弦定理得，
则sinA+sinB＝cosAsinC+cosBsinC，
所以sin（B+C）+sin（A+C）＝cosAsinC+cosBsinC，
根据两角和的正弦公式整理得sinBcosC+sinAcosC＝0，
所以（sinB+sinA）cosC＝0，
因为A，B，C∈（0，π），所以sinA＞0，sinB＞0，cosC∈（﹣1，1），
故cosC＝0，即，
则该三角形的外接圆的半径，所以三角形的外接圆的面积为．
故选：B．
52．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a2cosB+abcosA＝a2+c2﹣b2，则2a+3c的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为a2cosB+abcosA＝a2+c2﹣b2，
由余弦定理可得：a2+c2﹣b2＝2accosB，
所以a2cosB+abcosA＝2accosB，
即acosB+bcosA＝2ccosB，
由正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA＝2sinCcosB，
即sin（A+B）＝2sinCcosB，
在△ABC中，sin（A+B）＝sinC＞0，
可得，
因为B∈（0，π），所以；
因为b＝2，由正弦定理可得4，
所以a＝4sinA，c＝4sinC，
则2a+3c＝4（2sinA+3sinC）
，其中，，
因为，
所以，
从而当sin（A+φ）＝1时，2a+3c取得最大值为．
故选：A．
▉题型7 三角形的形状判断
【知识点的认识】
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
53．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）
A．锐角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解答】解：若bcosC+ccosB＝asinA，
则sinBcosC+sinCcosB＝sin2A，
所以sin（B+C）＝sinA＝sin2A，
因为sinA＞0，
所以sinA＝1，即A＝90°，
所以△ABC的形状为直角三角形．
故选：C．
54．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状是 　等边三角形　 ．
【答案】等边三角形
【解答】解：由，
由正弦定理整理可得：sinAcosB﹣cosAsinB＝0，
即sin（A﹣B）＝0，又﹣π＜A﹣B＜π，
所以A﹣B＝0，即A＝B，可得a＝b，
又，
所以△ABC的形状是等边三角形．
故答案为：等边三角形
▉题型8 三角形五心
【知识点的认识】
三角形五心包括：
（1）重心
（2）外心
（3）内心
（4）垂心
（5）旁心．
（多选）55．设点G，H，O，I分别为△ABC三角形的重心、垂心、外心和内心，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．若且，则
C．若AB＝AC＝2，BC＝3，，则
D．若，则
【答案】ACD
【解答】解：对于选项A，延长AG，交BC与D，则D为BC的中点，
故，而G为三角形重心，故，
故，即，故选项A正确；
对于选项B，因为，所以，
所以，
故，故，故选项B错误；
对于选项C，AB＝AC＝2，BC＝3，则△ABC为等腰三角形，
延长AI交BC于D，则D为BC的中点，且，
因为，
所以，因为，
故，
因为不共线，所以，故，故选项C正确；
对于选项D，因为H为垂心，故HA⊥BC，故，
所以，所以，
同理，
因为，
所以，
所以，
同理，
所以，
所以，故选项D正确．
故选：ACD．
56．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O，G，P，Q分别为△ABC所在平面内一点，且有，，，，则点O，G，P，Q分别为△ABC的（　　）
A．垂心，重心，外心，内心
B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心
D．外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【解答】解：，得，
设AB的中点为M，则，即M，G，C三点共线，
∴G在△ABC的中线CM上，同理可得G在△ABC的其余两边的中线上，
即G为△ABC的重心；
∵，得，
∴，
∴，则，同理可得，，
即O是△ABC三边上高线的交点，则O为△ABC的垂心；
延长CQ交AB于点N，因为C，Q，N三点共线，则设（k＜0），
∵，，
代入，得，
∴①，
又∵与共线，与、不共线，
∴只能当ak+bk+c＝0且时，①成立，
∴，则，
由正弦定理得：，
又∵∠BNC+∠ANC＝π，则sin∠BNC＝sin∠ANC，
即sin∠BCN＝sin∠ACN，又0＜∠ACB＜π，
∴∠BCN＝∠ACN，
则CN是∠ACB的角平分线，即点Q在∠ACB的角平分线上，
同理可得，Q在∠ABC，∠BAC的垂直平分线上，
∴Q是△ABC的内心；
由，得，即，
又∵M是AB的中点，
∴P在AB的垂直平分线上，
同理可得，P在△ABC中AC，BC的垂直平分线上，
∴P是△ABC的外心；
综上，Q是△ABC的垂心，重心，外心，内心．
故选：A．
57．在△ABC中，若，那么点O是△ABC的　垂心　 ．（填：外心、内心、重心、垂心）
【答案】垂心
【解答】解：若
即0
即OB⊥AC
同理可证：OA⊥BC，OC⊥AB
故点O是△ABC的三条高的交点，
故点O是△ABC的垂心
故答案为：垂心

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