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第1章第7节 平面向量的应用举例
题型1 平面向量在物理中的应用 题型2 平面向量的综合题
▉题型1 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
1．一质点在力的共同作用下，由点A（4，﹣5）移动到点B（2，0），则的合力对该质点所做的功为 　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：（2，2），，∴4+10＝6．
故答案为：6．
2．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
【答案】B
【解答】解：根据题意，设河水的流速为v1，则|v1|＝2m/s，小船的静水速度为v2，合速度为v，|v|＝10，且v⊥v1，
有v＝v1+v2，则v2＝v﹣v1，
则有|v2|2，
故选：B．
3．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，且，，与的夹角为，
所以，
2 1+2×1×2×cos4＝3，
||．
故答案为：．
4．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ．给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0，π]；③当时，；④当时，．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【解答】解：对于①，由||＝||为定值，
可得2||×||×cosθ＝2（1+cosθ），
解得 ，
由题意知 θ∈（0．π）时，y＝cosθ 单调递减，所以 单调递增，
即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．
对于②，由①中关系式可知，当θ＝π时，||＝0，与事实不符，故θ≠π，所以②错误．
对于③，当 时，，所以 ，③错误．
对于④，当 时，，所以||＝||，④正确．
综上知，正确结论的序号是①④．
故选：B．
5．已知一个物体在三个力1＝（1，2），2＝（﹣1，﹣3），3的作用下，处于静止状态，则3＝（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【解答】解：已知一个物体在三个力1＝（1，2），2＝（﹣1，﹣3），3的作用下，处于静止状态，设，
所以，
解得．
故选：A．
（多选）6．如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断小 D．船的浮力保持不变
【答案】AC
【解答】解：设水的阻力为，绳子的拉力为，与水平方向的夹角为，
则，
所以，
因为θ增大，cosθ减小，则增大，
因为增大，且加上浮力等于船的重力，
所以船的浮力减小．
故选：AC．
7．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　）
A．5N B． C． D．10N
【答案】B
【解答】解：∵两个力，的夹角为，
∴，
∵它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，
∴，解得．
故选：B．
8．在河水的流速大小为2m/s情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速10m/s的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 　2　 m/s．
【答案】2．
【解答】解：以表示水流速度，表示船在静水中的速度，表示船行速度，
由题意知||＝2，||＝10，⊥，
∵，∴，
∴||2，
故答案为：2．
9．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为　　 ．
【答案】．
【解答】解：设这捆书所受的重力为G，进行力的合成，如图所示：
根据正弦定理得：，
∴．
故答案为：．
▉题型2 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
10．如图所示，已知正方形ABCD的中心为点O，其边长为2．分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆．若动点P，Q，M，N分别在圆A，圆B，圆C，圆D上，则||的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
由题意可设：P（1+cosα，1+sinα），Q（﹣1+cosβ，1+sinβ），
M（﹣1+cosγ，﹣1+sinγ），N（1+cosθ，﹣1+sinθ），
则，，
，，
所以
＝|（cosα+cosβ+cosγ+cosθ，sinα+sinβ+sinγ+sinθ）|2
＝（cosα+cosβ+cosγ+cosθ）2+（sinα+sinβ+sinγ+sinθ）2
＝4+2cos（α﹣β）+2cos（α﹣γ）+2cos（α﹣θ）+2cos（β﹣γ）+2cos（β﹣θ）+2cos（γ﹣θ）
≤4+2×6＝16，当且仅当α＝β＝γ＝θ时取等号，
故．
故选：D．
11．已知A，B，C为单位圆O（O为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：设圆O的半径为1，以O为原点，方向为x轴正方向，
建立平面直角坐标系，如图所示，
则，B（1，0），设C（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，
由，
可得，
所以，解得，
所以
，其中，
当且仅当时，取得最大值，
此时1，
则．
故选：C．
12．向量集合S，对于任意，∈S，以及任意λ∈[0，1]，都有λ∈S，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
①集合M是“凸集”；
②若S为“凸集”，则集合N也是“凸集”；
③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；
④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”．
其中，所有正确说法的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解答】解：由题意得，若对于任意．，线段AB上任意一点C，都有，
则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析对于①，
，若对于任意A（x1，y1），B（x2，y2），
满足，则，；
由函数y＝x2的图象知，对线段AB上任意一点C（x3，y3），
都有，；即，故M为“凸集”，①正确；
对于②，若S为“凸集”，则对于任意，，此时a＝2a，其中a，；，
对于任意λ∈[0，1]，，故N为“凸集”，②正确；
对于③，可举反例，若；，；
任取，；则对于任意任意λ∈[0，1]，
，所以集合A1是“凸集”，
任取，，则对于任意任意λ∈[0，1]，
，
取，，
但，e A1∪A2，
所以A1∪A2不是“凸集”，故③错误，
对于④，若A1，A2都是“凸集”，则对于任意，，任意λ∈[0，1]，
则，且，
故，故A1∩A2也是“凸集”，④正确．
故选：B．
13．在△ABC中，，且，若m∈R，则的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【解答】解：由，可得AB⊥AC，
由，可得|AB|＝|AC|，
故△ABC为等腰直角三角形，
又，则，
故可建立如图所示坐标系，
得A（0，0），，，
则，，
所以，
，
则
，
设，，，
则表示|PQ|+|PR|的距离之和，
点P在x轴上，设点Q关于x轴的对称点为Q'，则Q'（），
则|PQ|+|PR|≥|Q'R|，
即的最小值为．
故选：A．
14．在正六边形ABCDEF中，P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点，且，则λ+μ的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解答】解：如图，过P作PM⊥AP于M，
设正六边形ABCDEF的边长为a，则|AC|＝2a，，
则，，
因为，
所以，
又AP AD＝|AD| |AP| cos∠PAD＝|AD| |AM|，
由于P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点，所以0≤|AM|≤|AD|＝2a，
所以，
即0≤a2（λ+μ）≤4a2所以0≤λ+μ≤4，故λ+μ的最大值为4．
故选：C．
15．向量集合，对于任意，，以及任意λ∈[0，1]，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；
④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解答】解：由题意得，若对于任意，∈S，线段AB上任意一点C，都有∈S，
则集合S是“凸集”，由此对结论逐一分析：
对于①，M＝{|（x，y），y≥x2}，若对于任意A（x1，y1），B（x2，y2）满足y1，y2，则∈M，∈M，
由函数y＝x2的图象知，对线段AB上任意一点C（x3，y3），都有y3，
即∈M，故M为“凸集”，①正确；
对于②，若S为“凸集”，则对于任意，∈N，
此时2，2，其中，∈S，
对于任意λ∈[0，1]，λ（1﹣λ）2[λ（1﹣λ）]∈N，所以N为“凸集”，②正确；
对于③，可举反例，若，，
任取，，
则对于任意任意λ∈[0，1]，，
所以集合A1是“凸集”，
任取，，
则对于任意任意λ∈[0，1]，，
所以集合A2是“凸集”，
取，，
但，
所以A1∪A2不是“凸集”，故③错误；
对于④，若A1，A2都是“凸集”，则对于任意，
任意λ∈[0，1]，则，且，
故，故A1∩A2也是“凸集”，④正确．
故选：B．
（多选）16．如图，已知直线l1∥l2，A是直线l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为1，2，B，C分别是l1，l2上的动点且AB⊥AC，若点G满足，则（　　）
A．
B．△GBC面积的最小值为
C．
D．存在最小值
【答案】BC
【解答】解；过点A作DE⊥l1，交直线l1于点E，交直线l2于点D，建立如图所示的直角坐标系，
对于A中，取DE的中点F，连接GE，GD，GF，可得，
因为A与F不重合，所以，又因为，
所以，所以A不正确；
对于C中，因为A到l1，l2的距离分别为1和2，所以|DA|＝2，|AE|＝1，
设∠CAE＝θ，因为AC⊥AB，可得，
则，，
又因为AC⊥AB，所以，
因为，
所以点G是△ABC重心，可得，
所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以C正确；
对于B中，因为所以点G是△ABC重心，
所以又因为AB⊥AC，
，
当且仅当时，等号成立，所以（SΔABC）min＝2，所以，所以B正确；
以D为坐标原点，l2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，2），设B（b，0），C（c，3），其中b＞0，c＞0，可得，，
因为AB⊥AC，所以，所以bc＝2，
又因为，所以，
所以，所以，
因为bc＝2，所以，又因为，
在（0，+∞）为单调递减函数，所以不存在最小值，所以D错误．
故选：BC．
17．已知对任意平面向量（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角，得到向量（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A（1，2），点B（1，2﹣2），把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则 　（3，﹣1）　 ，点P坐标为 　（4，1）　 ．
【答案】（3，﹣1）；（4，1）．
【解答】解：，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到，
，
设P（m，n），则（m﹣1，n﹣2）＝（3，﹣1），解得m＝4，n＝1，即P（4，1）．
故答案为：（3，﹣1）；（4，1）．
（多选）18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（　　）
A．
B．向量与共线
C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2
D．若，则λ+μ最大值为
【答案】ACD
【解答】解：对于A选项，由题意可知，，则，因为M为BC的中点，
则，即，所以，（），
因为A、N、M三点共线，所以存在t∈R，使得t，
因为B、D、N三点共线，所以1，解得t，故，故A选项正确；
对于B选项，因为（）﹣（），所以、不共线，故B选项错误；
对于C选项，因为M为线段BC的中点，所以S△ACM＝S△BCMS△ABC，
由A选项的分析知，，
所以S△ACNS△ACMS△ABC，同理，S△ABNS△ABC，则S△BCNS△ABC，
所以S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2，故C选项正确；
对于D选项，因为m，m∈[0，1]，
所以若，则λ＝1，μ，当m＝1时，λ+μ最大值为，故D选项正确．
故选：ACD．
（多选）19．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，，则（　　）
A．
B．△GAB面积的最小值是
C．
D．存在最小值
【答案】AC
【解答】解：因为，所以，
所以（），选项A正确；
过点A作DE⊥l1，交直线l1于点E，交直线l2于点D，
因为点A到l1、l2的距离分别为1、2，所以|DA|＝2，|AE|＝1，
设∠CAE＝θ，则因为AC⊥AB，所以∠BADθ，θ∈（0，），
从而，
因为AC⊥AB，所以 0，
因为（），
所以
，
（当且仅当时取等号），因此选项C正确；
因为，所以G为△ABC重心，因此，
因为AC⊥AB，所以S△ABC||||2，
当且仅当θ时取等号，即，因此选项B错误；
以D为坐标原点，l2所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
则A（0，2），可设B（b，0），C（c，3），b＞0，c＞0，所以，
因为AC⊥AB，所以，所以bc＝2，
因为，所以，所以，
所以，
因为bc＝2，所以，
因为在（0，+∞）上单调递减，所以不存在最小值，因此选项D错误．
故选：AC．
（多选）20．记圆O是△ABC的外接圆，且AB＝6，AC＝4，，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．圆O的周长为
【答案】BCD
【解答】解：对于A，因为圆O是△ABC的外接圆，
所以O是△ABC的外心，即点O在BC的中垂线上，
若O符合，则A也应在BC的中垂线上，
故AB＝AC，由题设知AB≠AC，故A错误；
对于B，因为O是△ABC的外心，所以O在AB的中垂线上，
所以18，故B正确；
对于C，对等式两边同时乘以，
可得，
所以，
解得，故，，
所以△ABC的面积为，故C正确；
对于D，由余弦定理可得，
解得，
由正弦定理，，
所以圆O的半径为，其周长为，故D正确．
故选：BCD．
21．对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”．
（1）设向量，n∈N*．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）设向量，n∈N*，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集{P1，P2，…，Pn}，其中，，且P2k+1与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1关于点P2对称（k∈N*），求的最小值．
【答案】（1）[﹣4，0]；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解答；
（3）4044．
【解答】解：（1）由题意可得：，，，，
则，解得：﹣4≤x≤0，
所以实数x的取值范围为[﹣4，0]．
（2）存在“长向量”，且“长向量”为，．理由如下：
由题意可得：，若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，，
所以，
则只需使即可，
即，所以，（p∈{1，2，3，…，7}），
当p＝2或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，．
（3）由题意得：，，即，
即，
同理可得：，
三式相加并化简得：，
即，所以，所以，
设，由，解得，
即
设Pn（xn，yn），则依题意得：，
得（x2k+2，y2k+2）＝2[（x2，y2）﹣（x1，y1）]+（x2k，y2k），
故（x2k+2，y2k+2）＝2k[（x2，y2）﹣（x1，y1）]+（x2，y2），
（x2k+1，y2k+1）＝2k[（x2，y2）﹣（x1，y1）]+（x2，y2），
所以，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以．
22．定义函数f（x）＝asinx+bcosx的“积向量”为，向量的“积函数”为f（x）＝asinx+bcosx．
（1）若a＝1，，求f（x）最大值及对应x的取值集合；
（2）若向量的“积函数”f（x）满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为g（x），其最大值为t，求（t﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时，的关系．
【答案】（1）最大值为2，x的取值集合为；
（2）；
（3）最小值为，此时．
【解答】解：（1）若a＝1，，则由题意，
可得，
当，k∈Z，即，k∈Z时，
函数有最大值2，
此时对应x的取值集合为；
（2）由“积函数”f（x）满足，
可得，
令，则有，
所以，k∈Z，即，k∈Z，
所以；
（3）因为，，
所以
＝（2λcosα+2μcosβ，2λsinα﹣2μsinβ），
所以g（x）＝（2λcosα+2μcosβ）sinx+（2λsinα﹣2μsinβ）cosx
＝2λsin（x+α）+2μsin（x﹣β）≤2λ+2μ，
此时存在x0满足，k1∈Z，k2∈Z，
当且仅当x＝x0时等号成立，
所以α+β＝2（k1﹣k2）π，即α＝﹣β+2kπ，k∈Z，
所以2λsin（x+α）+2μsin（x﹣β）＝2λsin（x﹣β）+2μsin（x﹣β）
＝（2λ+2μ）sin（x﹣β）≤（2λ+2μ）成立，
且，则t＝2λ+2μ，
所以，
当t＝1时，（t﹣2）（λ+μ）取得最小值为．
23．如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，若，则记．
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意知，，分别为Ox、Oy同向的单位向量，，
∴，
∵，∴，
∴，
∴．
（2）设B（m，0），C（0，n）（m，n＞0）且，，
则，
∵F为BC的中点，∴，
同理得，
∴，
∵，，
∴，
△OBC中，，∴mn＝m2+n2﹣1，
则，
△OBC中，设，则，
由正弦定理得，
∴，，
∴
，
其中且，∵，∴，
∴当时，，
∴，
即的最大值为．
24．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，S△ABC，点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE＝2EC，线段CD与线段AE交于点M．
（1）求角B的大小；
（2）若，求x+y的值；
（3）若点G是三角形ABC的重心，求||的最小值．
【答案】（1）B；
（2）x+y；
（3）．
【解答】解：（1）由（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，可得（b+c）（b﹣c）＝a（a﹣c），
整理得a2+c2﹣b2＝ac，由余弦定理得cosB，结合B∈（0，π），可得B；
（2）根据，可得，
由D为AB中点，得，
结合与共线，可得，整理得2x+y﹣1＝0…①，
由得（x﹣1）y，由，可得，
结合与共线，可得，整理得2x+3y﹣2＝0…②．
①/②组成方程组，解得x，y，所以x+y；
（3）由（2）得，可得，
因为G为△ABC的重心，CD为AB边上的中线，所以（），
所以．
根据S△ABCBA BCsin，可得BA BC＝1，所以．
因为||2＝（）2
BA BC，当且仅当BA＝2BC时，等号成立．
因此，当BA、BC时，||2有最小值，此时||取得最小值．
25．定义向量的“伴随函数”为f（x）＝asinx+bcosx；函数f（x）＝asinx+bcosx的“伴随向量”为．
（1）写出的“伴随函数”f（x），并直接写出f（x）的最大值；
（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；
（3）已知，的“伴随函数”为f（x），的“伴随函数”为g（x），设，且的伴随函数为h（x），其最大值为p，
①若，λ＝μ＝1，求p的值；
②求证：向量的充要条件是p＝λ+μ．
【答案】（1）f（x）＝3sinx+4cosx，其最大值为5；
（2）；
（3）①；②证明过程请看解答．
【解答】解：（1）f（x）＝3sinx+4cosx，f（x）的最大值为5．
（2）∵cosxsinx+2cosxsinxcosx，
∴“伴随向量”（，），
∴||．
（3）设（cosα，sinα），（cosβ，sinβ），
①∵λ＝μ＝1，
∴（cosα+cosβ，sinα+sinβ），
∴h（x）＝（cosα+cosβ）sinx+（sinα+sinβ）cosxsin（x+φ），
∵||，
∴p．
②∵λμ（λcosα+μcosβ，λsinα+μsinβ），
∴h（x）＝（λcosα+μcosβ）sinx+（λsinα+μsinβ）cosx＝λ（cosαsinx+sinαcosx）+μ（cosβsinx+sinβcosx）
＝λsin（x+α）+μsin（x+β），
充分性：
h（x）＝λsin（x+α）+μsin（x+β）≤λ+μ，当且仅当存在x0使得时，等号成立，其中k1，k2∈Z，
∴α﹣β＝2（k1﹣k2）π，即．
必要性：
当时，α＝β+2kπ，k∈Z，
∴h（x）＝λsin（x+α）+μsin（x+β）＝（λ+μ）sin（x+α）≤λ+μ，
当且仅当x+α2kπ，k∈Z时，等号成立，
∴p＝λ+μ，
综上所述，向量的充要条件是p＝λ+μ．
26．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点．对于任意相邻三点都不共线的有序整点列A（n）：A1，A2， ，An与B（n）：B1，B2， ，Bn，其中n≥3，若同时满足：
①两个点列的起点和终点分别相同；
②，其中i＝1，2， ，n﹣1．
则称A（n）与B（n）互为正交点列．
（1）判断A（3）：A1（0，0），A2（1，2），A3（3，0）与B（3）：B1（0，0），B2（2，﹣1），B3（3，0）是否互为正交点列，并说明理由；
（2）已知P（4）：P1（0，0），P2（2，2），P3（4，0），P4（6，2）与Q（4）：Q1，Q2，Q3，Q4互为正交点列．
（i）求；
（ii）若Q2的横、纵坐标都取自集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，写出所有符合条件的有序整点列Q（4）．
【答案】（1）是，理由见解析．
（2）（i）（4，4）．
（ii）Q1（0，0），Q2（﹣1，1），Q3（3，5），Q4（6，2）；
Q（4）：Q1（0，0），Q2（1，﹣1），Q3（5，3），Q4（6，2）；
Q（4）：Q1（0，0），Q2（﹣2，2），Q3（2，6），Q4（6，2）．
【解答】解：（1）依题意可得，
所以，
所以，
又A（3）与B（3）的起点和终点分别相同，所以A（3）与B（3）互为正交点列．
（2）（ⅰ）解法一：因为P（4）与Q（4）互为正交点列，所以Q1（0，0），Q4（6，2），
设Q2（x2，y2），Q3（x3，y3），
所以，
又因为，
，
所以，即，
所以x3﹣x2＝y3﹣y2＝4，
所以．
解法二：（ⅰ）依题意可得，
因为P（4）与Q（4）互为正交点列，
所以可设，
，
由，得，解得y＝4，
所以．
（ⅱ）因为x1，y2∈{﹣2，﹣1，0，1，2}，
又由（ⅰ）可知x2+y2＝0，
所以或或或或，
①当时，Q1（0，0），Q2（0，0），Q3（x3，y3）三点共线，不合题意，舍去，
②当时，由，得，
所以，
此时Q（4）：Q1（0，0），Q2（﹣1，1），Q3（3，5），Q4（6，2），
③当时，由，得，
所以，
此时Q（4）：Q1（0，0），Q2（1，﹣1），Q3（5，3），Q4（6，2），
④当时，由，得，
所以，
此时Q2（2，﹣2），Q3（6，2），Q4（6，2）三点共线，不合题意，舍去，
⑤当时，由，得，
所以，
此时Q（4）：Q1（0，0），Q2（﹣2，2），Q3（2，6），Q4（6，2），
综上所述，符合条件的点列Q（4）有Q（4）：Q1（0，0），Q2（﹣1，1），Q3（3，5），Q4（6，2），
Q（4）：Q1（0，0），Q2（1，﹣1），Q3（5，3），Q4（6，2），
Q（4）：Q1（0，0），Q2（﹣2，2），Q3（2，6），Q4（6，2）．
27．如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n）．
记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的i，j∈{1，2，…，n}，都有与为正交向量，则称A为正交数表．
（1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）；
（2）当n＝6时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
（3）求证：对任意k∈N*，当n＝4k+2时，A不是正交数表．
【答案】（1）A1是正交数表，A2不是正交数表；
（2）证明见解析；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）对于，，，
计算，满足正交向量的定义，因此A1是正交数表，
对于，，，
计算1×（﹣1）+1×（﹣1）＝﹣1﹣1＝﹣2≠0，不满足正交向量的定义，因此A2不是正交数表，
综上所述A1是正交数表，A2不是正交数表．
（2）证明：设，，
由与为正交向量，与为正交向量，得
a1+a2+a3+a4+a5+a6＝0且b1+b2+b3+b4+b5+b6＝0．其中ai，bj∈{﹣1，1}，i，j∈{1，2，…，6}．
故不妨设a1＝a2＝a3＝1，a4＝a5＝a6＝﹣1，
则，
即，因此与不是正交向量．
（3）证明：因为k∈N*，因此n＝4k+2的最小值为6．因此我们可以从数表A中选出三个不同的行向量，不妨设为．
若A为正交数表，则有．
且若A为正交数表，可得如下变换成立，
变换1：交换正交数表A的任意两行，所得的新数表A′仍是正交数表；
变换2：交换正交数表A的任意两列，所得的新数表A′仍是正交数表；
变换3：将正交数表A的任意一列实数都变成其相反数，所得的新数表A′仍是正交数表．
因此我们将第一行的所有元素都变成1，即假设，
由得，在中，1和﹣1的数量相等，即有个1和﹣1；
同样地，中也有有个1和﹣1．现在考虑．
我们将乘积值的情况分成四类：
①a2j＝a3j＝1，设数量为a；
②a2j＝1，a3j＝﹣1，设数量为b；
③a2j＝﹣1，a3j＝1，设数量为c；
④a2j＝a3j＝﹣1，设数量为d．
且a+b+c+d＝n．
根据中有个1和﹣1，，同样根据中有个1和﹣1，．
因此得b＝c，a＝d，从而有．
故有，因此，即正交数表的行列数必须是4的倍数．
因此n＝4k+2（k∈N*）时必不成立．命题得证．
28．定义向量n，x＝（cosnx，sinnx），x∈（0，π）．
（1）求；
（2）若1，x与（1，2）共线，求tan2x；
（3）证明：当且仅当x时，|对任意n∈N*恒成立．
【答案】（1）（0，1）；
（2）；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）因为（cos，sin）＝（，），
（cos，sin）＝（，），
所以（，）+（，）＝（0，1）．
（2）因为1，x＝（cosx，sinx）与共线，因此2cosx﹣sinx＝0，
因为x∈（0，π），因此sinx≠0，cosx≠0，因此，
因此．
（3）证明：因为|n，x1，x|，
||，
要证|n，x1，x|≤||，只要证．
①当时，对 n∈N*成立，
②当时，取n＝2，，解得，
取n＝9，cos8x≥cos2π＝1，因此8x＝4π，6π，即，，
又因为，，因此不存在使原不等式成立．
综上，当且仅当时，|n，x1，x|≤||．
29．对于数集X＝{﹣1，x1，x2， ，xn}，其中0＜x1＜x2＜ ＜xn，n≥2．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．
（1）已知数集X1＝{﹣1，1，2}．请你写出数集X1对应的向量集Y1，X1是否具有性质P？
（2）若x＞2，且X2＝{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值．
【答案】（1）Y1＝{（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，2），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2）}，X1具有性质P；
（2）x＝4．
【解答】解：先确定向量集Y1，数集X1＝{﹣1，1，2}，则向量集Y1是所有s∈X1、t∈X1组成的向量（s，t）的集合，即：
Y1＝{（﹣1，﹣1），（﹣1，1），（﹣1，2），（1，﹣1），（1，1），（1，2），（2，﹣1），（2，1），（2，2）}
对于任意，找使：
若，取，计算点积（﹣1）×（﹣1）+（﹣1）×1＝1﹣1＝0．
若，取，点积（﹣1）×（﹣1）+1×（﹣1）＝1﹣1＝0．
若，取，点积（﹣1）×2+2×1＝﹣2+2＝0．
若，取，点积1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）＝﹣1+1＝0．
若，取，点积1×1+1×（﹣1）＝1﹣1＝0．
若，取，点积1×2+2×（﹣1）＝2﹣2＝0．
若，取，点积2×1+（﹣1）×2＝2﹣2＝0．
若，取，点积2×（﹣1）+1×2＝﹣2+2＝0．
若，取，点积2×（﹣1）+2×1＝﹣2+2＝0．
因任意，都能找到满足点积为0，故X1具有性质P．
（2）由题X2＝{﹣1，1，2，x}具有性质P，
取，而x＞2，若存在，使得，则的横坐标或纵坐标不能全是在1，2，x中选取，否则，即的横坐标或纵坐标必然含有﹣1，
即或，其中b∈{﹣1，1，2，x}，
若，则即：﹣x+2b＝0，x＝2b，又x＞2，所以x＝4；
若，则即：bx﹣2＝0，bx＝2，又x＞2，故不存在；
综上：x＝4，经检验，此时X2＝{﹣1，1，2，x}具有性质P，
故x＝4．
30．设单位圆O上三点A1，A2，A3等分圆周，P为圆O上一点，定义：|| || ||为“∏距积”，||+||+||为“Γ距和”．
（1）为便于解答（2）、（3），请你选择合适的变量表示出||，||，||；
（2）求“Γ距和”的最大值；
（3）求“∏距积”的最大值．
【答案】（1），，；（2）4；（3）2．
【解答】解：（1）以圆心O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点，设点P（cosθ，sinθ），
则，
，
．
（2）由对称性，不妨设，则，则，，
所以，，
，
同理可得，
所以，
，
因为，则，
故当时，即当时，“Γ距和”取最大值4．
（3）由对称性，设，
由（2）可得
，
所以，
，即，
当且仅当时，由于，
故当时，即当时，“Π距积”取最大值2．
31．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求g（x）的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为f（x），求当且时，sinx的值；
（3）当向量时，伴随函数为f（x），函数，若y＝h（x）﹣af（x）在区间上的最小值为﹣2，求a的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为，
结合题意可知，函数g（x）的伴随向量为；
（2）由题意可得，
由，可得，
因为，则，则，
因此，
；
（3）由题意可得，
，
设，则，故sin2x＝2t2﹣1，
当时，，则，
则y＝h（x）﹣af（x）＝2t2﹣at﹣1，
又二次函数y＝2t2﹣at﹣1的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当a≤0时，函数y＝2t2﹣at﹣1在[0，1]上单调递增，
则ymin＝﹣1，不合乎题意；
当时，即当0＜a＜4时，
函数y＝2t2﹣at﹣1在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
因为0＜a＜4，解得；
当时，即当a≥4时，函数y＝2t2﹣at﹣1在[0，1]上单调递减，
则ymin＝1﹣a＝﹣2，解得a＝3，不符合题意，
综上所述，．
32．给定平面上一个图形D，以及图形D上的点P1，P2， ，Pn，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称P1，P2， ，Pn为关于图形D的一组稳定向量基点．
（1）已知P1（0，0），P2（2，0），P3（0，2），△P1P2P3为图形D，判断点P1，P2，P3是不是关于图形D的一组稳定向量基点；
（2）若图形D是边长为2的正方形，P1，P2，P3，P4是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围；
（3）若给定单位圆E及其内接正2024边形P1P2 P2024，P为该单位圆上的任意一点，证明P1，P2， ，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，并求的值．
【答案】（1）不是；
（2）；
（3）证明见解答，4048．
【解答】解：（1）点P1（0，0），P2（2，0），P3（0，2）不是关于D的一组稳定向量基点，理由如下：
当P与P1（0，0）重合时，有，
当P与P2（2，0）重合时，有，
故P1（0，0），P2（2，0），P3（0，2）不是关于D的一组稳定向量基点．
（2）因为，
故由正方形结构性质得：
当P与P2重合时，取得最大值；
当P与P4重合时，取得最小值0．
所以的取值范围为．
（3）证明：设单位圆E的圆心为O，
则，
所以，
因为多边形P1P2 P2024是正2024边形，
所以由偶数边的正多边形图形结构性质可知，故，
又，所以，
故P1，P2， ，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，且．
33．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且，若P为△ABC的费马点，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．
【答案】D
【解答】解：因为，
角A，B，C为三角形ABC的内角，
则A+B+C＝π，
，
所以，
即．因为sinC≠0，所以．
因为B∈（0，π），所以．
由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于120°，结合题设易知P点一定在△ABC的内部．
由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB＝3，
解得，
所以|PA| |PB|+|PB| |PC|+|PA| |PC|＝3，
所以．
故选：D．
34．已知对任意平面向量（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（0，1） C．（1，﹣3） D．（0，﹣1）
【答案】D
【解答】解：由已知，
∴，
∵，
∴，
∴点P的坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
（多选）35．武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动．则下列结论正确的有（　　）
A．
B．，则
C．在方向上的投影向量为
D．的最大值是﹣1
【答案】BCD
【解答】解：依题意，以O为坐标原点，OB为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
因为∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，∠BOF＝120°，
所以，
设，
对于A，，故A错误；
对于B，由，得，
即，解得，
所以，故B正确；
对于C，，
所以在方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，
，
因为，
所以，
当，即时，取得最大值为﹣1，
所以的最大值是﹣1．故D正确．
故选：BCD．
（多选）36．设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若平面向量满足xy，则有序数对（x，y）称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作（x，y）θ，下列命题中是真命题的是（　　）
A．已知（2，3），则||
B．已知（x1，y1）θ，（x2，y2）θ，则（x1+x2，y1+y2）θ
C．已知（﹣1，2）θ，（2，1）θ，则0
D．已知（x1，y1）θ，（x2，y2）θ，若∥，则x2 y1＝x1 y2
【答案】BD
【解答】解：选项A，由（2，3），
可得，故A错误；
选项B，由（x1，y1）θ，（x2，y2）θ，
可得，则，故B正确；
选项C，由（﹣1，2）θ，（2，1）θ，
可得3cosθ，故C错误；
选项D，（x1，y1）θ，（x2，y2）θ，
若∥，则由向量共线定理，可得（λ∈R），
则有x2 y1＝x1 y2，故D正确．
故选：BD．第1章第7节 平面向量的应用举例
题型1 平面向量在物理中的应用 题型2 平面向量的综合题
▉题型1 平面向量在物理中的应用
【知识点的认识】
向量在物理中的应用
向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决．因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题．
应用1：向量与力
向量是既有大小又有方向的量，它们有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上．
应用2：向量与速度、加速度与位移
速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．
应用3：向量与功、动量
物理上力作功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积，它的实质是向量的数量积．
（1）力的做功涉及到两个向量及这两个向量的夹角，即，功是一个实数，它可正，也可负．
（2）在解决问题时要注意数形结合．
1．一质点在力的共同作用下，由点A（4，﹣5）移动到点B（2，0），则的合力对该质点所做的功为 　 ．
2．河水的流速为2m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（　　）
A．10 m/s B．2m/s C．4m/s D．12 m/s
3．如图，作用于同一点O的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 　 ．
4．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ．给出以下结论：
①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0，π]；③当时，；④当时，．
其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知一个物体在三个力1＝（1，2），2＝（﹣1，﹣3），3的作用下，处于静止状态，则3＝（　　）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（0，﹣1） D．（﹣1，1）
（多选）6．如图所示，小船被绳索拉向岸边，设船在水中运动时水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小
C．船的浮力不断小 D．船的浮力保持不变
7．已知两个力，的夹角为，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为，那么的大小为（　　）
A．5N B． C． D．10N
8．在河水的流速大小为2m/s情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速10m/s的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 m/s．
9．两同学合提一捆书，提起后书保持静止，如图所示，则F1与F2大小之比为 ．
▉题型2 平面向量的综合题
【知识点的认识】
1、向量的概念：
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
2、相关概念
（1）向量的模：的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
3、向量的加减运算
求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二：
（1）三角形法则：设与不共线，在平面上任取一点A（如图1），依次作a，b，则向量 叫做与的和，记作，即
特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点．
（2）平行四边形法则：如图2所示，ABCD为平行四边形，由于，根据三角形法则得，这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．
特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线．（首尾相接，结果为首尾）
（3）向量的加法性质
①；（）；
②；
③（）（）．
向量的减法运算．
求两个向量差的运算叫向量的减法运算．
法则：以将向量a与向量b的负向量的和定义为与的差，即（）．
设，，则．即．即
特征；有共同起点的两个向量、，其差仍然是一个向量，叫做与的差向量，其起点是减向量的终点，终点是被减向量的终点．（减终指向被减终）
10．如图所示，已知正方形ABCD的中心为点O，其边长为2．分别以A，B，C，D为圆心，1为半径作圆．若动点P，Q，M，N分别在圆A，圆B，圆C，圆D上，则||的最大值为（　　）
A． B．2 C． D．4
11．已知A，B，C为单位圆O（O为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（　　）
A． B． C． D．
12．向量集合S，对于任意，∈S，以及任意λ∈[0，1]，都有λ∈S，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
①集合M是“凸集”；
②若S为“凸集”，则集合N也是“凸集”；
③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；
④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”．
其中，所有正确说法的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．在△ABC中，，且，若m∈R，则的最小值为（　　）
A． B． C．4 D．
14．在正六边形ABCDEF中，P是正六边形ABCDEF内部以及边界上任意一点，且，则λ+μ的最大值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．向量集合，对于任意，，以及任意λ∈[0，1]，都有，则称集合S是“凸集”，现有四个命题：
①集合是“凸集”；
②若S为“凸集”，则集合也是“凸集”；
③若A1，A2都是“凸集”，则A1∪A2也是“凸集”；
④若A1，A2都是“凸集”，且交集非空，则A1∩A2也是“凸集”．
其中，所有正确的命题的序号是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
（多选）16．如图，已知直线l1∥l2，A是直线l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为1，2，B，C分别是l1，l2上的动点且AB⊥AC，若点G满足，则（　　）
A．
B．△GBC面积的最小值为
C．
D．存在最小值
17．已知对任意平面向量（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角，得到向量（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P，已知平面内点A（1，2），点B（1，2﹣2），把点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，则 　 ，点P坐标为 　 　 ．
（多选）18．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2BC＝2CD＝2DA，M为线段BC的中点，AM与BD交于点N，P为线段CD上的一个动点（　　）
A．
B．向量与共线
C．S△BCN：S△ACN：S△ABN＝1：2：2
D．若，则λ+μ最大值为
（多选）19．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的一个定点，点A到l1，l2的距离分别为1，2．点B是直线l2上一个动点，过点A作AC⊥AB，交直线l1于点C，，则（　　）
A．
B．△GAB面积的最小值是
C．
D．存在最小值
（多选）20．记圆O是△ABC的外接圆，且AB＝6，AC＝4，，则（　　）
A． B．
C．△ABC的面积为 D．圆O的周长为
21．对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”．
（1）设向量，n∈N*．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围；
（2）设向量，n∈N*，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
（3）已知均是向量集的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系xOy中的点集{P1，P2，…，Pn}，其中，，且P2k+1与P2k关于点P1对称，P2k+2与P2k+1关于点P2对称（k∈N*），求的最小值．
22．定义函数f（x）＝asinx+bcosx的“积向量”为，向量的“积函数”为f（x）＝asinx+bcosx．
（1）若a＝1，，求f（x）最大值及对应x的取值集合；
（2）若向量的“积函数”f（x）满足，求的值；
（3）已知，，设，且的“积函数”为g（x），其最大值为t，求（t﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时，的关系．
23．如图，设Ox、Oy是平面内相交成α（0＜α＜π）的两条射线，，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α﹣仿射坐标系，在α﹣仿射坐标系中，若，则记．
（1）在仿射坐标系中，若，求；
（2）如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值．
24．锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（b+c）（sinB﹣sinC）＝（a﹣c）sinA，S△ABC，点D是AB的中点，点E在线段BC上，且BE＝2EC，线段CD与线段AE交于点M．
（1）求角B的大小；
（2）若，求x+y的值；
（3）若点G是三角形ABC的重心，求||的最小值．
25．定义向量的“伴随函数”为f（x）＝asinx+bcosx；函数f（x）＝asinx+bcosx的“伴随向量”为．
（1）写出的“伴随函数”f（x），并直接写出f（x）的最大值；
（2）写出函数的“伴随向量”为，并求；
（3）已知，的“伴随函数”为f（x），的“伴随函数”为g（x），设，且的伴随函数为h（x），其最大值为p，
①若，λ＝μ＝1，求p的值；
②求证：向量的充要条件是p＝λ+μ．
26．在平面直角坐标系中，将横、纵坐标都是整数的点称为整点．对于任意相邻三点都不共线的有序整点列A（n）：A1，A2， ，An与B（n）：B1，B2， ，Bn，其中n≥3，若同时满足：
①两个点列的起点和终点分别相同；
②，其中i＝1，2， ，n﹣1．
则称A（n）与B（n）互为正交点列．
（1）判断A（3）：A1（0，0），A2（1，2），A3（3，0）与B（3）：B1（0，0），B2（2，﹣1），B3（3，0）是否互为正交点列，并说明理由；
（2）已知P（4）：P1（0，0），P2（2，2），P3（4，0），P4（6，2）与Q（4）：Q1，Q2，Q3，Q4互为正交点列．
（i）求；
（ii）若Q2的横、纵坐标都取自集合M＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，写出所有符合条件的有序整点列Q（4）．
27．如图，设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表，其中aij表示位于第i行第j列的实数，且aij∈{﹣1，1}（i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，n）．
记向量，若，则称与为正交向量．若对任意不同的i，j∈{1，2，…，n}，都有与为正交向量，则称A为正交数表．
（1）直接判断，是否为正交数表（不需要说明理由）；
（2）当n＝6时，设，且与为正交向量，与为正交向量，求证：与不是正交向量；
（3）求证：对任意k∈N*，当n＝4k+2时，A不是正交数表．
28．定义向量n，x＝（cosnx，sinnx），x∈（0，π）．
（1）求；
（2）若1，x与（1，2）共线，求tan2x；
（3）证明：当且仅当x时，|对任意n∈N*恒成立．
29．对于数集X＝{﹣1，x1，x2， ，xn}，其中0＜x1＜x2＜ ＜xn，n≥2．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．
（1）已知数集X1＝{﹣1，1，2}．请你写出数集X1对应的向量集Y1，X1是否具有性质P？
（2）若x＞2，且X2＝{﹣1，1，2，x}具有性质P，求x的值．
30．设单位圆O上三点A1，A2，A3等分圆周，P为圆O上一点，定义：|| || ||为“∏距积”，||+||+||为“Γ距和”．
（1）为便于解答（2）、（3），请你选择合适的变量表示出||，||，||；
（2）求“Γ距和”的最大值；
（3）求“∏距积”的最大值．
31．已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcosx，称向量为函数f（x）的伴随向量，同时称函数f（x）为向量的伴随函数．
（1）设函数，试求g（x）的伴随向量；
（2）记向量的伴随函数为f（x），求当且时，sinx的值；
（3）当向量时，伴随函数为f（x），函数，若y＝h（x）﹣af（x）在区间上的最小值为﹣2，求a的值．
32．给定平面上一个图形D，以及图形D上的点P1，P2， ，Pn，如果对于D上任意的点P，为与P无关的定值，我们就称P1，P2， ，Pn为关于图形D的一组稳定向量基点．
（1）已知P1（0，0），P2（2，0），P3（0，2），△P1P2P3为图形D，判断点P1，P2，P3是不是关于图形D的一组稳定向量基点；
（2）若图形D是边长为2的正方形，P1，P2，P3，P4是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求的取值范围；
（3）若给定单位圆E及其内接正2024边形P1P2 P2024，P为该单位圆上的任意一点，证明P1，P2， ，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，并求的值．
33．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔 德 费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成120°角；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且，若P为△ABC的费马点，则（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．
34．已知对任意平面向量（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P．已知平面内点A（1，2），点，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣1，﹣3） B．（0，1） C．（1，﹣3） D．（0，﹣1）
（多选）35．武汉十一中举行了春季运动会，运动会上有同学报名了实心球项目，其中实心球项目的比赛场地是一个扇形．类似一把折扇，经过数学组老师的实地测量，得到比赛场地的平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝150°，OA＝2OC＝2OD＝2，点F在弧AB上，且∠BOF＝120°，点E在弧CD上运动．则下列结论正确的有（　　）
A．
B．，则
C．在方向上的投影向量为
D．的最大值是﹣1
（多选）36．设Ox，Oy是平面内相交的两条数轴，其中，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若平面向量满足xy，则有序数对（x，y）称为向量在“仿射”坐标系xOy下的“仿射”坐标，记作（x，y）θ，下列命题中是真命题的是（　　）
A．已知（2，3），则||
B．已知（x1，y1）θ，（x2，y2）θ，则（x1+x2，y1+y2）θ
C．已知（﹣1，2）θ，（2，1）θ，则0
D．已知（x1，y1）θ，（x2，y2）θ，若∥，则x2 y1＝x1 y2

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