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第2章第1节 两角和与差的三角函数
题型1 求两角和与差的三角函数值 题型2 两角和与差的三角函数的逆用
▉题型1 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
1．已知，，则sin（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：若，
则，
若，
则，
将两式子相加可得，
化简得，
由两角和的正弦公式得，故C正确．
故选：C．
2．若tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7＝0的两个实根，
所以，
则．
故选：B．
3．已知，，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解： ，
又 ，
所以cos2α．
故选：D．
4．已知2sinαcosα＝cos2β，cos2α＝cos2（β），则tan（α﹣β）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解答】解：因为2sinαcosα＝cos2β＝sin2α，
又cos2α＝cos2（β），
所以，
则cos2α＝﹣sin2β，
故2α＝2β，k∈Z，即α﹣β，k∈Z，
所以tan（α﹣β）＝1．
故选：A．
5．已知角，且sinβ＝2cos（α+β）sinα，当tanβ取得最大值时，角α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为sinβ＝2cos（α+β）sinα＝2（cosαcosβ﹣sinαsinβ）sinα＝2cosαcosβsinα﹣2sin2αsinβ，
所以sinβ+2sin2αsinβ＝2cosαcosβsinα，
所以sinβ（1+2sin2α）＝2cosαcosβsinα，
因为，
所以，即，
所以，
令t＝tanα，
则，
因为，所以t＞0，则．
根据均值不等式对于有：，
当且仅当，即时等号成立．
所以，即当时，tanβ取得最大值．
因为，且，所以．
当tanβ取得最大值时，角．
故选：D．
6．已知α，β∈（0，π），且，，则α+β＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵α，β∈（0，π），且，
∴
∴，
∴cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，
∵α+β∈（0，π），∴．
故选：A．
7．已知sin（α+2β）＝2sinα，其中，其中k∈Z，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：因为sin（α+2β）＝2sinα，
所以sin[（α+β）+β]＝2sin[（α+β）﹣β]，
即sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ＝2sin（α+β）cosβ﹣2sinβcos（α+β），
整理得：sin（α+β）cosβ＝3cos（α+β）sinβ，
又，其中k∈Z，
所以cosβ≠0，cos（α+β）≠0，
左右同时乘以，则tan（α+β）＝3tanβ，即．
故选：B．
8．已知，，则（　　）
A．tanα﹣3tanβ＝0 B．tanα+3tanβ＝0
C．3tanα﹣tanβ＝0 D．3tanα+tanβ＝0
【答案】B
【解答】解：因为，，
所以，，
两式相除得，3，故tanα+3tanβ＝0．
故选：B．
9．若sin（α+β）﹣2cosαsinβ＝cos（α﹣β），则下列结论一定正确的是（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
【答案】A
【解答】解：因为sin（α+β）﹣2cosαsinβ＝cos（α﹣β），
即sinαcosβ+cosαsinβ﹣2cosαsinβ＝cos（α﹣β），
即sin（α﹣β）＝cos（α﹣β），
所以tan（α﹣β）＝1．
故选：A．
10．已知，，则tanα＝ 　2　 ．
【答案】2．
【解答】解：因为，，
所以，即，
则tanα＝tan（）2．
故答案为：2．
11． 　　 ．
【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
12．已知角α，β满足，，且，0＜β＜π．则sin（α﹣β）＝ 　　 ； 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：由题意可得，，
可得sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ，
由于0＜β＜π，可得，
可得，
可得，
由于，且，
可得，可得，
可得．
故答案为：；．
13．设向量，且，则tanα＝ 　　 ； 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：由题意，，化简得，
则tanα，
则．
故答案为：；．
14．计算sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin30°．
故答案为：．
15．已知A（cosθ，sinθ）和关于x对称，写出一个满足条件的θ＝ 　（答案不唯一）　 ．
【答案】（答案不唯一）．
【解答】解：若A（cosθ，sinθ）和关于x对称，则且，
则由，得，化简，，
根据，得，则，．
所以，取k＝0得．
故答案为：（答案不唯一）．
（多选）16．已知α，β∈（0，），α+β，则下列不等关系一定正确的是（　　）
A．sin（α+β）＞sinα+sinβ B．cos（α+β）＜cosα+cosβ
C．sinα+sinβ＞1 D．cosα+cosβ
【答案】BCD
【解答】解：对于A，令，则，所以，
，故sin（α+β）＜sinα+sinβ，故A错误；
对于B，因为，所以cosα＞0，因为，所以cosβ＞0，
因为，所以cos（α+β）＜0，所以cos（α+β）＜cosα+cosβ，故B正确；
对于C选项，α、，，则，
且函数y＝sinx在上为增函数，所以，
故，因为，
则，故，故，C对；
对于D选项，，
因为，则，故，
故，即，D对．
故选：BCD．
17．设α，β为钝角，且，，分别求cos（α+β），sin（α﹣β）的值．
【答案】；．
【解答】解：∵，且，
∴，
可得cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ．
sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ（）﹣（）．
18．已知α、β均为锐角，．
（1）求cosα，sin（α+β）的值；
（2）求sin（2α+β），cosβ的值．
【答案】（1）cosα，sin（α+β）；
（2），．
【解答】解：（1）因为α，β均为锐角，所以0＜α+β＜π．
又，
所以cosα，sin（α+β）；
（2）sin（2α+β）＝sin[（α+β）+α]
，
cosβ＝cos[（α+β）﹣α]
．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β（β＞α）的终边分别与单位圆交于A，B两点，点．
（1）若点，求cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β的值；
（2）若，求sinβ．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为α，β是锐角，且在单位圆上，
由三角函数的定义，可得，
所以cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β
＝cos（α﹣β）cos2β﹣sin（α﹣β）sin2β＝cos（α+β），
结合，
可知cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β；
（2）因为且，
所以，即，
可得，且，
所以sinβ＝sin[α+（β﹣α）]＝sinαcos（β﹣α）+cosαsin（β﹣α）
．
20．（1）计算：（1+tan18°）（1+tan27°）；
（2）定义运算，若，，，求β的值．
【答案】（1）2；（2）．
【解答】解：（1）因为，
整理可得tan18°+tan27°+tan18° tan27°＝1，
所以（1+tan18°）（1+tan27°）＝1+tan18°+tan27°+tan18° tan27°＝2；
（2）由题意可得，
因为，则，
所以cos（α﹣β），
因为，则sin，
可得sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）
，
所以．
21．（1）求值：．
（2）在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB＝1，求角C的大小．
【答案】（1）； （2）135°．
【解答】解：（1）∵，
（2）；
（2）△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB＝1，
若tanAtanB＝1，则tanA+tanB＝0，不合题意；
∴tanAtanB≠1，，
由已知，tanA+tanB＝1﹣tanAtanB，
∴tan（A+B）＝1，0°＜A+B＜180°，
∴A+B＝45°，∴C＝180°﹣（A+B）＝135°．
22．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
cos3α＝cos（2α+α）＝cos2αcosα﹣sin2αsinα
＝（2cos2α﹣1）cosα﹣2sin2αcosα
＝4cos3α﹣3cosα
（1）根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
（2）求的值；
（3）求证：sin18°是方程8x3﹣4x+1＝0的一个根．
【答案】（1）sin3α＝3sinα﹣4sin3α；
（2）；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）sin3α＝sin（2α+α）
＝sin2αcosα+cos2αsinα
＝2sinαcos2α+（1﹣2sin2α）sinα
＝2sinα（1﹣sin2α）+sinα﹣2sin3α
＝2sinα﹣2sin3α+sinα﹣2sin3α
＝3sinα﹣4sin3α．
（2）因为sin36°＝cos54°，
即sin（2×18°）＝cos（3×18°），可得2sin18°cos18°＝4cos318°﹣3cos18°，
所以2sin18°＝4cos218﹣3＝4（1﹣sin218）﹣3＝1﹣4sin218°，
整理得4sin218°+2sin18°﹣1＝0，
所以，
．
（3）证明：对于方程8x3﹣4x+1＝0，
有
＝0，即sin18°适合8x3﹣4x+1＝0，
所以sin18°是8x3﹣4x+1＝0的一个根．
23．设函数y＝2cosx与y＝3tanx在区间上的图象交于点P（x0，y0）．
（1）求x0，y0；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）由题意可得2cosx0＝3tanx0，即2cos，
所以2cos2x0＝3sinx0，所以2（1﹣sin2x0）＝3sinx0，
即2sin2x0+3sinx0﹣2＝0，解得sin或sinx0＝﹣2（舍去），
又，则，所以；
（2）由题意可得sin（x），
所以sin（）sin[]
＝sin（x）1．
24．若，且（1+cos2α）（1+cos2β）＝sin2αcosβ，则2tanα﹣tanβ的最小值为 　不存在　 ．
【答案】不存在．
【解答】解：由（1+cos2α）（1+cos2β）＝sin2αcosβ得，2cos2α 2cos2β＝2sinαcosαcosβ，
又，所以cosα≠0，cosβ≠0，所以2cosαcosβ＝sinα，
所以2cosβ＝tanα，
所以2tanα﹣tanβ＝4cosβ﹣tanβ，
因为y＝cosβ在上单调递减，y＝tanβ在单调递增，
所以y＝2tanα﹣tanβ＝4cosβ﹣tanβ在上单调递减，
所以2tanα﹣tanβ在上没有最小值．
故答案为：不存在．
▉题型2 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
25．cos105°cos45°+cos15°sin45°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：cos105°cos45°+cos15°sin45°
＝﹣sin15°cos45°+cos15°sin45°＝sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
．
故选：C．
26．设p：0＜a＜1，q：关于x的方程有实数解，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：若关于x的方程有实数解，
由2sin（x）∈[﹣2，2]，
则﹣2≤a≤2，
因为（0，1） [﹣2，2]，
故p是q的充分不必要条件．
故选：A．
27．cos40°cos20°﹣sin20°cos50°的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：cos40°cos20°﹣sin20°cos50°
＝cos40°cos20°﹣sin20°sin40°
＝cos（40°+20°）．
故答案为：．
28．设常数a使方程在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得sinxcosx＝2（sinxcoscosxsin）＝2sin（x），
所以方程，可化为2sin（x）＝a，
该方程的根为函数y＝2sin（x）图象与直线y＝a在区间[0，2π]上的交点横坐标，
根据函数的图象，可知要满足两图象在区间[0，2π]上有三个交点，
则需，此时x1＝0，x2，x3＝2π，可得x1+x2+x3．
故答案为：．
29．已知cosβ＝2cos（2α+β），则tan（α+β）tanα＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由已知可得cos（α+β﹣α）＝2cos（α+β+α），
cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα＝2cos（α+β）cosα﹣2sin（α+β）sinα，
3sin（α+β）sinα＝cos（α+β）cosα，
所以．
故答案为：．
30．记三角形ABC的内角A，B，C，已知，则A＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以．
因为A∈（0，π），
所以，所以．
故答案为：
31．（1）已知，β∈（0，π），求tanβ的值；
（2）化简：．
【答案】（1）；
（2）﹣1．
【解答】解：（1）已知，β∈（0，π），
又sin2β+cos2β＝1，sinβ＞0，
可得25sin2β﹣5sinβ﹣12＝0，
解得，
所以，
于是；
（2）原式
＝﹣1．
32．已知，则tanαtanβ＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：已知，
则cosαcosβ﹣sinαsinβ，cosαcosβ+sinαsinβ，
则cosαcosβ，sinαsinβ，
则tanαtanβ．
故选：A．第2章第1节 两角和与差的三角函数
题型1 求两角和与差的三角函数值 题型2 两角和与差的三角函数的逆用
▉题型1 求两角和与差的三角函数值
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
1．已知，，则sin（α+β）＝（　　）
A． B． C． D．
2．若tanα，tanβ是方程3x2+5x﹣7＝0的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
3．已知，，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知2sinαcosα＝cos2β，cos2α＝cos2（β），则tan（α﹣β）＝（　　）
A．1 B．2 C． D．
5．已知角，且sinβ＝2cos（α+β）sinα，当tanβ取得最大值时，角α＝（　　）
A． B． C． D．
6．已知α，β∈（0，π），且，，则α+β＝（　　）
A． B． C． D．
7．已知sin（α+2β）＝2sinα，其中，其中k∈Z，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．3
8．已知，，则（　　）
A．tanα﹣3tanβ＝0 B．tanα+3tanβ＝0
C．3tanα﹣tanβ＝0 D．3tanα+tanβ＝0
9．若sin（α+β）﹣2cosαsinβ＝cos（α﹣β），则下列结论一定正确的是（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
10．已知，，则tanα＝ 　 ．
11． ．
12．已知角α，β满足，，且，0＜β＜π．则sin（α﹣β）＝ 　　 ； ．
13．设向量，且，则tanα＝ 　　 ； ．
14．计算sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝ ．
15．已知A（cosθ，sinθ）和关于x对称，写出一个满足条件的θ＝ ．
（多选）16．已知α，β∈（0，），α+β，则下列不等关系一定正确的是（　　）
A．sin（α+β）＞sinα+sinβ B．cos（α+β）＜cosα+cosβ
C．sinα+sinβ＞1 D．cosα+cosβ
17．设α，β为钝角，且，，分别求cos（α+β），sin（α﹣β）的值．
18．已知α、β均为锐角，．
（1）求cosα，sin（α+β）的值；
（2）求sin（2α+β），cosβ的值．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，锐角α、β（β＞α）的终边分别与单位圆交于A，B两点，点．
（1）若点，求cos（α﹣β）cos2β+sin（β﹣α）sin2β的值；
（2）若，求sinβ．
20．（1）计算：（1+tan18°）（1+tan27°）；
（2）定义运算，若，，，求β的值．
21．（1）求值：．
（2）在△ABC中，已知tanA+tanB+tanAtanB＝1，求角C的大小．
22．通过两角和的正．余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式．例如：
cos3α＝cos（2α+α）＝cos2αcosα﹣sin2αsinα
＝（2cos2α﹣1）cosα﹣2sin2αcosα
＝4cos3α﹣3cosα
（1）根据上述过程，推导出sin3α关于sinα的表达式；
（2）求的值；
（3）求证：sin18°是方程8x3﹣4x+1＝0的一个根．
23．设函数y＝2cosx与y＝3tanx在区间上的图象交于点P（x0，y0）．
（1）求x0，y0；
（2）若，求的值．
24．若，且（1+cos2α）（1+cos2β）＝sin2αcosβ，则2tanα﹣tanβ的最小值为 　 　 ．
▉题型2 两角和与差的三角函数的逆用
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
25．cos105°cos45°+cos15°sin45°＝（　　）
A． B． C． D．
26．设p：0＜a＜1，q：关于x的方程有实数解，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
27．cos40°cos20°﹣sin20°cos50°的值为 ．
28．设常数a使方程在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3＝ 　 ．
29．已知cosβ＝2cos（2α+β），则tan（α+β）tanα＝ ．
30．记三角形ABC的内角A，B，C，已知，则A＝ ．
31．（1）已知，β∈（0，π），求tanβ的值；
（2）化简：．
32．已知，则tanαtanβ＝（　　）
A． B． C． D．

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