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第2章第2节 二倍角的三角函数
题型1 二倍角的三角函数 题型2 求二倍角的三角函数值
题型3 二倍角的三角函数的逆用
▉题型1 二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
1．函数y＝sin（sincos）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：y＝sin（sincos）＝sin2sincoscosxsinxsin（x），
当且仅当x＝2kπ时，函数取得最大值．
故选：B．
2．已知，，则tanθ＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解答】解：已知，，
解得（负值舍去），
故．
故选：A．
3．若，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：若，
则cosαcossinαsinsinαcosα，
即cosαsinαsinαcosα，可得sinα＝2cosα，tanα，
所以．
故选：C．
▉题型2 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
4．若tanθ＝4，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：因为tanθ＝4，所以．
故选：A．
5．若sinαtanα＝cosα﹣4sinα，则sin4α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵sinαtanα＝cosα﹣4sinα，
∴，
∴cos2α﹣sin2α＝4sinαcosα，
∴cos2α＝2sin2α，
∴，
∴．
故选：B．
6．如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，△BOC为正三角形．
（1）求的值；
（2）化简，并求其值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，（2cos21）（2sinαcosα）cosαsinα＝cos（α），
又由∠AOC＝α，∠AOC＝α，
则角α与单位圆的交点为B，而点B的坐标为，则cos（α），
故；
（2）sinα，
又由cos（α），sin（α），
则sinα＝sin[（α）]＝sin（α）coscos（α）sin，
故．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：，
＝2cos2（）﹣1＝21．
故选：D．
8．“cos2α”是“cosα”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：cos2α＝2cos2α﹣1 cosα，
故cos2α是cosα的必要不充分条件．
故选：A．
9．已知sinθ﹣4cosθ＝0，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：由sinθ﹣4cosθ＝0，得tanθ＝4，
由sin2θ+cos2θ＝1，sin2θ＝2sinθcosθ，
故
．
故选：D．
10．已知，则　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为，
所以
．
故答案为：．
11．已知，且α为第二象限角，则sin2α＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得，
所以．
故答案为：．
12．已知角θ的终边上有一点，则 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由三角函数的定义，可得tanθ，
所以tan（θ），
可得．
故答案为：．
13．在△ABC中，已知，则cosB＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为tan，
可得tanA，
所以，
可得，，
由于，可得，则，
可得cosC，
所以cosB＝﹣cos（A+C）＝﹣cosAcosC+sinAsinC．
故答案为：．
14．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0）的图象关于对称，且，则sin2x0的值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：函数，其中θ为辅助角，
由于它的图象关于对称，
∴，化简可得a＝b，
∴，
取，故．
再根据，可得sin（），即sin（），
则，故，故，
故答案为：．
15．计算的值是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：22sin2．
故答案为：．
16．已知函数y＝3ax+3+1（a＞0且a≠1）图象恒过的顶点A在角α的终边上，则tan2α＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵y＝3ax+3+1恒过点（﹣3，4），
∴，
∴．
故答案为：．
（多选）17．已知，则以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解答】解：因为tan（α+β）＝7，tan（α﹣β）＝1，
所以，
，故选项AB正确；
因为，tan2α＜0，tan2β＞0，
所以，
所以，0，
所以0＜α﹣β，
因为tan（α﹣β）＝1，所以即，所以C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）18．若，则（　　）
A．tanx＝2 B． C． D．
【答案】ACD
【解答】解：若，
则tanx＝2，A正确；
所以sinx＝2cosx，即x为第一或第三象限角，
当x为第三象限角时，B错误；
tan2x，C正确；
sin2x，D正确．
故选：ACD．
（多选）19．已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解答】解：由题意，，
对于A项，，故A项错误；
对于B项，，故B项正确；
对于C项，因，，则，故C项错误；
对于D项，，故D项正确．
故选：BD．
20．已知，．
（1）求tanα和sin2α的值；
（2）若，β为锐角，求sin（α﹣β）的值；
（3）若，β为锐角，求角α+2β．
【答案】（1），；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）根据，可得cos2α＝1﹣sin2α，结合，解得，
所以tanα＝sinαcosα，sin2α＝2sinαcosα；
（2由题意得，结合，可得，
所以sinβ＝sin（（α+β）﹣α）＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα，
可得cosβ，所以；
（3）因为，，所以，且，
由，结合，可得．
21．已知0＜αβ＜π，cosα，sinβ．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求sin2α﹣cos2α的值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，
所以；
（2）sin2α﹣cos2α
＝2sinαcosα﹣（2cos2α﹣1）
．
22．已知，则的值为（　　）
A．3 B．或﹣1 C． D．
【答案】D
【解答】解：由 ，
整理得，解得或，
因为cosθ≠0，所以，k∈Z，
所以，k∈Z，
所以tanθ≠﹣1 （舍去），
故．
故选：D．
23．（　　）
A．4 B． C．2 D．
【答案】B
【解答】解：．
故选：B．
▉题型3 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
24．（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由二倍角公式，得原式＝cos．
故选：A．
25．若，则 　sin　 ．
【答案】sin．
【解答】解：∵π＜α，∴，∴sin0，cos0，
∴
（cossin）（sincos）
sin．
故答案为：sin．
（多选）26．下列选项中，值为的是（　　）
A．2cos215°
B．sin27°cos3°+cos27°sin3°
C．2sin15°sin75°
D．
【答案】BCD
【解答】解：选项A：，
故选项A不符合题意；
选项B：，
故选项B符合题意；
选项C：，
故选项C符合题意；
选项D：，
故选项D符合题意．
故选：BCD．
（多选）27．下列四个等式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解答】解：对于A，由二倍角公式可得，sin2cos，故A错误；
对于B，
4，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以tan20°+tan40°tan20°tan40°，
即tan20°+tan40°tan20°tan40°，故D正确．
故选：BCD．
28．已知α为第一象限的角，终边经过点P（2，t），且．
（1）求t的值；
（2）求sinαcosα+cos2α的值．
【答案】（1）1；
（2）．
【解答】解：（1）因为α为第一象限的角，终边经过点P（2，t），且，
所以，解得t＝1；
（2）因为α为第一象限的角，，
所以，
可得sinαcosα+cos2α．
29．将圆的圆周九等分后，每份圆弧所对的圆心角为θ，则cosθcos2θcos4θ的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：依题意得，
所以
．
故选：C．
30．函数在区间上的最大值为　6　 ．
【答案】6．
【解答】解：函数，
当时，，
则当，即时，f（x）max＝6．
故答案为：6．
31．1﹣2cos267.5°＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：1﹣2cos267.5°
＝1﹣（1+cos135°）
＝﹣cos135°
＝cos45°
．
故选：D．第2章第2节 二倍角的三角函数
题型1 二倍角的三角函数 题型2 求二倍角的三角函数值
题型3 二倍角的三角函数的逆用
▉题型1 二倍角的三角函数
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
1．函数y＝sin（sincos）的最大值为（　　）
A． B． C． D．
2．已知，，则tanθ＝（　　）
A． B． C．2 D．3
3．若，则cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
▉题型2 求二倍角的三角函数值
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
4．若tanθ＝4，则（　　）
A． B． C． D．
5．若sinαtanα＝cosα﹣4sinα，则sin4α＝（　　）
A． B． C． D．
6．如图，单位圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，∠AOC＝α，△BOC为正三角形．
（1）求的值；
（2）化简，并求其值．
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．“cos2α”是“cosα”的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．已知sinθ﹣4cosθ＝0，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知，则　 ．
11．已知，且α为第二象限角，则sin2α＝ ．
12．已知角θ的终边上有一点，则 ．
13．在△ABC中，已知，则cosB＝ ．
14．已知函数f（x）＝asinx+bcosx（ab≠0）的图象关于对称，且，则sin2x0的值是 ．
15．计算的值是 ．
16．已知函数y＝3ax+3+1（a＞0且a≠1）图象恒过的顶点A在角α的终边上，则tan2α＝ 　 ．
（多选）17．已知，则以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
（多选）18．若，则（　　）
A．tanx＝2 B． C． D．
（多选）19．已知角α的终边经过点P（3，﹣4），则（　　）
A． B．
C． D．
20．已知，．
（1）求tanα和sin2α的值；
（2）若，β为锐角，求sin（α﹣β）的值；
（3）若，β为锐角，求角α+2β．
21．已知0＜αβ＜π，cosα，sinβ．
（1）求sin（α﹣β）的值；
（2）求sin2α﹣cos2α的值．
22．已知，则的值为（　　）
A．3 B．或﹣1 C． D．
23．（　　）
A．4 B． C．2 D．
▉题型3 二倍角的三角函数的逆用
【知识点的认识】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【解题方法点拨】
﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α
﹣将具有二倍角公式展开模式的表达式，改写成二倍角并求解．
24．（　　）
A． B． C． D．
25．若，则 　sin　 ．
（多选）26．下列选项中，值为的是（　　）
A．2cos215°
B．sin27°cos3°+cos27°sin3°
C．2sin15°sin75°
D．
（多选）27．下列四个等式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
28．已知α为第一象限的角，终边经过点P（2，t），且．
（1）求t的值；
（2）求sinαcosα+cos2α的值．
29．将圆的圆周九等分后，每份圆弧所对的圆心角为θ，则cosθcos2θcos4θ的值为（　　）
A． B． C． D．
30．函数在区间上的最大值为 　 ．
31．1﹣2cos267.5°＝（　　）
A． B． C． D．

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