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第2章第3节 简单的三角恒等变换
题型1 半角的三角函数 题型2 三角函数的积化和差公式
题型3 三角函数的和差化积公式 题型4 平面向量数量积的性质及其运算
▉题型1 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
故；
则．
故选：C．
2．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：．
故选：C．
3．在△ABC中，，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：由，得cos2cosA＝cosB
∴A＝B
故选：A．
4．若α为第三象限角，且sinα，则tan（　　）
A．﹣3 B． C．2 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：因为α为第三象限角，且sinα，
所以cosα，
则tan3．
故选：A．
5．已知sinθ，θ＜3π，那么tancos的值为（　　）
A．3 B．3 C．﹣3 D．3
【答案】B
【解答】解：∵sinθ，θ＜3π，∴cosθ，∈（，），
∴sin，cos，∴tan3，
∴tancos3，
故选：B．
6．已知cosθ，θ＜3π，那么sin 等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：∵θ＜3π，
∴，
∴sin 0；①
又cosθ＝1﹣2，
∴；②
由①②得：sin ，
故选：A．
7．已知cosα，，则sin等于　　 ．
【答案】
【解答】解：∵cosα，，则sin，
故答案为：．
8．若α是第一象限角，且，则的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：α是第一象限角，且，
所以cos，
则．
故答案为：．
9．已知α∈（0，），cosα，则sin　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为α∈（0，），
所以0，
因为cosα＝1﹣2sin2，
则sin．
故答案为：．
10．已知，则tanα的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：tanα，
故答案为．
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
（1）求的值；
（2）若a＝2，，求b的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）因为锐角△ABC中，A+B+C＝π，，
所以cosA，
则
（2），则bc＝3．
将a＝2，cosA，c代入余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccosA中得b4﹣6b2+9＝0
解得b
▉题型2 三角函数的积化和差公式
【知识点的认识】
三角函数的积化和差公式：
（1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]
cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）]
（2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）]
cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]
（3）tanαtanβ
tanαcotβ．
12．在△ABC中，B，则sinA sinC的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：sinAsinC＝sinAsin（π﹣A﹣B）
＝sinAsin（A）
＝sinA（cosAsinA）
sin2Acos2A
sin（2A）
∵0
∴2A
∴2A时，sinAsinC取得最大值．
故选：D．
▉题型3 三角函数的和差化积公式
【知识点的认识】
三角函数的和差化积公式：
（1）sinα+sinβ＝2sincos
sinα﹣sinβ＝2cossin
（2）cosα+cosβ＝2coscos
cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin
（3）cosα+sinαsin（α）cos（）
cosα﹣sinαcos（α）sin（α）
13．已知sinα+sinβ，cosα+cosβ，则tan（α+β）的值为　　 ．
【答案】
【解答】解：由，得，
由，得，
两式相除，得，
则
故答案为：
▉题型4 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
14．已知向量（sinx，），（cosx，﹣1）．
（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；
（2）求f（x）＝（） 在[，0]上的最大值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）当∥时，﹣sinxcosx，
∴tanx，
∴2cos2x﹣sin2x
；
（2）f（x）＝（）
sinxcosxcos2x+1
sin2x1
sin2xcos2xsin（2x），
∵x∈[，0]，∴2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[﹣1，]，
∴当sin（2x）时，f（x）＝（） 取最大值．第2章第3节 简单的三角恒等变换
题型1 半角的三角函数 题型2 三角函数的积化和差公式
题型3 三角函数的和差化积公式 题型4 平面向量数量积的性质及其运算
▉题型1 半角的三角函数
【知识点的认识】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan；②tan．
1．已知，则（　　）
A． B． C． D．
2．若，则tanα＝（　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，，则△ABC一定是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
4．若α为第三象限角，且sinα，则tan（　　）
A．﹣3 B． C．2 D．﹣2
5．已知sinθ，θ＜3π，那么tancos的值为（　　）
A．3 B．3 C．﹣3 D．3
6．已知cosθ，θ＜3π，那么sin 等于（　　）
A． B． C． D．
7．已知cosα，，则sin等于 ．
8．若α是第一象限角，且，则的值为 　 ．
9．已知α∈（0，），cosα，则sin ．
10．已知，则tanα的值为 ．
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
（1）求的值；
（2）若a＝2，，求b的值．
▉题型2 三角函数的积化和差公式
【知识点的认识】
三角函数的积化和差公式：
（1）sinαsinβ[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]
cosαcosβ[cos（α﹣β）+cos（α+β）]
（2）sinαcosβ[sin（α+β）+sin（α﹣β）]
cosαsinβ[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]
（3）tanαtanβ
tanαcotβ．
12．在△ABC中，B，则sinA sinC的最大值是（　　）
A． B． C． D．
▉题型3 三角函数的和差化积公式
【知识点的认识】
三角函数的和差化积公式：
（1）sinα+sinβ＝2sincos
sinα﹣sinβ＝2cossin
（2）cosα+cosβ＝2coscos
cosα﹣cosβ＝﹣2sinsin
（3）cosα+sinαsin（α）cos（）
cosα﹣sinαcos（α）sin（α）
13．已知sinα+sinβ，cosα+cosβ，则tan（α+β）的值为 ．
▉题型4 平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的认识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
平面向量数量积的运算
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
14．已知向量（sinx，），（cosx，﹣1）．
（1）当∥时，求2cos2x﹣sin2x的值；
（2）求f（x）＝（） 在[，0]上的最大值．

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