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第3章第1节 复数的概念
题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部
题型3 纯虚数 题型4 复数集C及其关系和运算
题型5 复数的相等
▉题型1 虚数单位i及其性质
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数．
1．1+i+i2+i3+ +i2023＝　0　 ．
【答案】0．
【解答】解：1+i+i2+i3+ +i2023＝1+505（i+i2+i3+1）+i+i2+i3＝0．
故答案为：0．
▉题型2 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
2．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由（2﹣i）z＝i4×505+2＝﹣1，
得，
则，即的虚部为．
故选：B．
3．若（m2﹣1）+（m2﹣2m﹣3）i＞0，则实数m的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．±1
【答案】A
【解答】解：由（m2﹣1）+（m2﹣2m﹣3）i＞0，可得，解得m＜﹣1或m＞3．
则实数m的值为3．
故选：A．
4．复数z＝3﹣2i的虚部为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣2i
【答案】C
【解答】解：z＝3﹣2i的虚部为﹣2．
故选：C．
（多选）5．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．i+i2+i3+i4＝0
B．复数，
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解答】解：对于A，i+i2+i3+i4＝i﹣1﹣i+1＝0，故A正确；
对于B，，
∴|z|，故B错误；
对于C，z＝（1+2i）2＝﹣3+4i，
∴，
∴复平面内对应的点坐标为（﹣3，﹣4），位于第三象限，故C错误；
对于D，复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，
表示复数z对应的点到点A（1，0）和点B（﹣1，0）两点的距离相等，
∴若复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确．
故选：AD．
6．已知复数z＝cosα+icos2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，则α的取值不可能为（　　）
A． B． C．π D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，复数z＝cosα+icos2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，
则有cosα+cos2α＝0，变形可得2cos2α+cosα﹣1＝0，解可得cosα或cosα＝﹣1，
又由0＜α＜2π，则α、或π，
分析选项，α的取值不可能为．
故选：D．
▉题型3 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
7．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），i为虚数单位，若复数z1﹣z2为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），可得z1﹣z2＝（2+i）﹣（a﹣i）＝（2﹣a）+2i为纯虚数，
则2﹣a＝0，解得a＝2．
故选：C．
8．已知z是纯虚数，（z+2）（1﹣i）是实数，那么|z|＝ 　2　 ．
【答案】2
【解答】解：设z＝bi（b≠0），
则（z+2）（1﹣i）＝（2+bi）（1﹣i）＝2+b+（b﹣2）i，
∵（z+2）（1﹣i）是实数，
∴b﹣2＝0，即b＝2，则z＝2i，
故|z|＝2．
故答案为：2．
9．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
【答案】A
【解答】解：由（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，
，解得x＝1．
故选：A．
（多选）10．已知复数z1，z2，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|
B．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则
C．若，则z1+z2为纯虚数
D．若，则z1+z2为实数
【答案】AD
【解答】解：由，得2z1z2＝﹣2z1z2，可得z1z2＝0，则z1＝0或z2＝0，
此时|z1+z2|＝|z1﹣z2|成立，故A正确；
取z1＝i，z2＝1，则，
此时，故B错误；
设z1＝1+2i，z2＝1﹣2i，满足，此时z1+z2＝2为实数，故C错误；
若，可知为实数，则z1+z2为实数或纯虚数，
若z1+z2为纯虚数时，，不合题意，
若z1+z2为实数时，满足（其中只有z1+z2＝0时取等号），
所以由，可得z1+z2为实数，故D正确．
故选：AD．
（多选）11．已知复数z＝（m2﹣1）i2﹣（m2﹣5m﹣6）i3（m∈R），i为虚数单位，为z的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若z是纯虚数，则m＝±1
B．若z＜0，则m＝6
C．若m＝0，则
D．若m＝﹣2，则在复平面内对应点位于第三象限
【答案】BCD
【解答】解：若z是纯虚数，则，可得m＝1，A错误；
若z＜0，即，可得m＝6，B正确；
若m＝0，则z＝1﹣6i，，故，C正确；
若m＝﹣2，则z＝﹣3+8i，故在复平面内对应点坐标为（﹣3，﹣8），在第三象限，D正确．
故选：BCD．
12．已知复数z＝（m2﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，m∈R．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线x﹣y+1＝0上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）m＝1；（2）m＝﹣2；（3）（1，2）．
【解答】解：（1）∵z是纯虚数，∴，∴m＝1．
（2）∵z在复平面内对应的点为（m2﹣1，m2﹣m﹣2），在直线x﹣y+1＝0上，
∴m2﹣1﹣（m2﹣m﹣2）+1＝0，∴m＝﹣2．
（3））∵z在复平面内对应的点为（m2﹣1，m2﹣m﹣2），在第四象限，
∴，∴1＜m＜2．
m的取值范围为（1，2）．
13．复数z＝a2﹣a﹣6+（a2﹣3a﹣10）i，其中a∈R．
（1）若复数z为实数，求a的值；
（2）若复数z为纯虚数，求a的值．
【答案】（1）a＝5或a＝﹣2；
（2）a＝3．
【解答】解：（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣10＝0，即a＝5或a＝﹣2；
（2）若复数z为纯虚数，则，解得a＝3．
14．已知2﹣i是关于x的方程x2﹣mx+n＝0（m，n∈R）的一个根．
（1）求m，n的值；
（2）若z＝a2﹣na+m+（a﹣m）i是纯虚数，求实数a的值和|z|．
【答案】（1）m＝4，n＝5；
（2）a＝1，|z|＝3．
【解答】解：（1）由2﹣i是方程x2﹣mx+n＝0的一个根，得（2﹣i）2﹣m（2﹣i）+n＝0，
整理得3﹣2m+n+（m﹣4）i＝0，因此3﹣2m+n＝0，m﹣4＝0，
所以m＝4，n＝5；
（2）由（1）知，z＝a2﹣5a+4+（a﹣4）i，
由z是纯虚数，得，解得a＝1，则z＝﹣3i，
所以．
15．设复数z＝1+mi（m∈R）．
（1）若（2﹣i）z是实数，求m的值；
（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数．
【答案】（1）；
（2）1+i．
【解答】解：（1）复数z＝1+mi，
则（2﹣i）z＝（2﹣i）（1+mi）＝2+m+（2m﹣1）i是实数，故2m﹣1＝0，解得m；
（2）是纯虚数，
则，解得m＝﹣1，
故z＝1﹣i，．
16．已知复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i．
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值．
【答案】（1）0；
（2）±2．
【解答】解：（1）∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i为纯虚数，
∴，解得m＝0；
（2）由，得，
∴，
即m2＝8，得m＝±2．
17．设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2+ai，z2＝4﹣3i．
（1）若z1 z2是实数，求a的值；
（2）若是纯虚数，求|z1|．
【答案】（1）．（2）．
【解答】解：（1）z1 z2＝（2+ai）（4﹣3i）＝3a+8+（4a﹣6）i，
∵z1 z2是实数，
∴4a﹣6＝0，解得a．
（2），
∵是纯虚数，
∴，解得a，
∴|z1|．
18．已知复数z＝a﹣i（i为虚数单位，a∈R），且z（1+i）是纯虚数．
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若复数（z﹣mi）2（m∈R）对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
【答案】（1）z＝﹣1﹣i；
（2）（﹣∞，﹣2）．
【解答】解：（1）∵z＝a﹣i（a∈R），且z（1+i）是纯虚数，
∴（a﹣i）（1+i）＝（a+1）+（a﹣1）i是纯虚数，
则，即a＝﹣1．
∴z＝﹣1﹣i；
（2）（z﹣mi）2＝[﹣1﹣（m+1）i]2＝1﹣（m+1）2+2（m+1）i，
由题意可得，解得m＜﹣2．
∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
19．已知复数z＝m﹣i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）m＝3；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为z＝m﹣i，则，
所以，又为纯虚数，
所以m＝3；
（2），
所以；
（3）因为i2025＝i506×4+1＝i，
所以，
因为复数在复平面内对应的点在第一象限，则，
解得，所以实数a的取值范围为．
（多选）20．已知复数z＝a+bi，下列说法正确的是（　　）
A．若z为纯虚数，则a+b＝0
B．若z是的共轭复数，则
C．若z＝（1+i）（1﹣3i），则a+b＝2
D．若|z﹣i|＝1，则|z|取最大值时，a+b＝2
【答案】CD
【解答】解：对于A，z＝a+bi的实部为a，虚部为b，若z为纯虚数，则，
故a+b＝b≠0，错误；
对于B：因为，所以，则，错误；
对于C：z＝（1+i）（1﹣3i）＝4﹣2i，则a+b＝2，正确；
对于D：因为|z﹣i|＝1，所以，即a2+（b﹣1）2＝1，
令，
则，
因为θ∈R，
所以﹣1≤sinθ≤1，
所以当sinθ＝1时，|z|取到最大值2，
此时，
所以a+b＝2，正确．
故选：CD．
21．设复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣7a+6）i，其中a∈R．
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）z所对应的点在复平面的第四象限内，求a的取值范围．
【答案】（1）﹣2；（2）（1，6）．
【解答】解：（1）z是纯虚数，只需，解得a＝﹣2．
（2）由题意知，
解得1＜a＜6，
故当1＜a＜6时，z所对应的点在复平面的第四象限内．
22．已知复数z是纯虚数，（z+2）2﹣8i是实数．
（1）求z；
（2）若，求|z1|．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设z＝mi（m∈R且m≠0）．
则（z+2）2﹣8i＝4﹣m2+（4m﹣8）i为实数，
所以4m﹣8＝0，所以m＝2，
所以z＝2i；
（2）由（1），，
所以．
23．已知复数，z2＝（2+i）m﹣3（1+2i），m∈R，i为虚数单位．
（1）若z1+z2是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1+z2＞0，求|z2|．
【答案】（1）1；
（2）．
【解答】解：（1）m2+m2i，
z2＝（2+i）m﹣3（1+2i）＝2m﹣3+（m﹣6）i，
故（m2+m﹣6）i，
z1+z2是纯虚数，
则，解得m＝1；
（2）（m2+m﹣6）i，
则，解得m＝2，
故．
24．已知复数z＝a﹣3+i（a∈R）是纯虚数．
（1）求a的值；
（2）若ω＝z+2，求复数ω以及ω的模．
【答案】（1）a＝3；
（2）ω＝2+i，．
【解答】解：（1）因为z＝a﹣3+i（a∈R）为纯虚数，故a﹣3＝0，解得a＝3．
（2）由（1）z＝i，故ω＝z+2＝2+i，．
25．已知复数z＝m2﹣m﹣2﹣（m+1）i，m∈R，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当m＝1时，求z的模．
【答案】（1）m＝2；
（2）．
【解答】解：（1）由z是纯虚数，有，
解得m＝2；
（2）当m＝1时，z＝﹣2﹣2i，
所以．
26．已知复数z＝（1﹣i）+λ（1+i）是纯虚数，则实数λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解答】解：z＝（1+λ）+（λ﹣1）i，因为复数z＝（1﹣i）+λ（1+i）是纯虚数，所以1+λ＝0，且λ﹣1≠0，解得λ＝﹣1．
故选：B．
27．下列运算结果为纯虚数的是（　　）
A．i（1﹣i） B．i（1+i）2 C．i3 D．i2
【答案】C
【解答】解：对于A：i（1﹣i）＝1+i，不是纯虚数；
对于B：i（1+i）2＝i×2i＝﹣2，不是纯虚数；
对于C：i3＝﹣i，是纯虚数；
对于D：i2＝﹣1，不是纯虚数．
故选：C．
28．复数z1＝a+4i，z2＝﹣3+bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为（　　）
A．a＝﹣3，b＝﹣4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝3，b＝4
【答案】A
【解答】解：因为复数z1＝a+4i，z2＝﹣3+bi，它们的和为实数，差为纯虚数，
所以a+4i+（﹣3+bi）＝a﹣3+（4+b）i为实数，则b＝﹣4，
a+4i﹣（﹣3+bi）＝a+3+（4﹣b）i为纯虚数，所以a+3＝0且4﹣b≠0，故a＝﹣3．
故选：A．
29．复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m＝　2　 ．
【答案】2
【解答】解：当 纯虚数．
故答案为：2．
30．已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R）．
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线，求|z|．
【答案】（1）m＝﹣2；
（2）答案见解析．
【解答】解：（1）若z为纯虚数，则，解得m＝﹣2．
（2）由题意可得，解得m＝0或m＝1，
当m＝0时，z＝﹣2﹣i，所以；
当m＝1时，z＝0，所以|z|＝0．
▉题型4 复数集C及其关系和运算
【知识点的认识】
复数集包含所有形如a+bi的数，其中a和b是实数．复数集是代数封闭的，即任何复数运算的结果仍为复数．
（多选）31．下列命题为真命题的是（　　）
A．复数2﹣2i对应的点在第二象限
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0的两个解分别为和
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
【答案】BC
【解答】解：复数2﹣2i对应的点的坐标为（2，﹣2），在第四象限，故A错误；
i4×505+3＝i3＝﹣i，故B正确；
∵x2+x+1（xi）（xi），
因此在复数集C中，方程x2+x+1＝0有两个解，依次为和，故C正确；
复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z对应的点Z的集合是以点（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆面，故D错误．
∴真命题的是BC．
故选：BC．
▉题型5 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
32．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解答】解：由i2＝a+bi＝﹣1，可得，则a+b＝﹣1．
故选：A．
33．已知复数，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
（1）若z1为纯虚数，求m的值；
（2）若z1＝z2，求μ的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）∵z1为纯虚数，∴，∴．
（2）∵z1＝z2，∴，∴μ＝﹣cos2θ﹣sinθ+3＝sin2θ﹣sinθ+2，
∵sinθ∈[﹣1，1]，当时，；当sinθ＝﹣1时，μmax＝4，∴．
34．（1）若（x+y）+yi＝（x+1）i，求实数x，y的值；
（2）已知a2+（m+2i）a+2+mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值．
【答案】（1），；
（2）．
【解答】解：（1）由复数相等的充要条件，得x+y＝0，y＝x+1，解得，；
（2）因为a2+（m+2i）a+2+mi＝0（m∈R），a∈R，
所以a2+am+2+（2a+m）i＝0，
可得，解得，或，
所以．
35．已知复数z满足|z|＝2，且，则|a|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由，得（）zz+4，
可得，则z，
∴|z|2，即，
解得|a|．
故选：C．
36．已知虚数z＝a+bi（a，b∈R），z2+4＞0，z＝i（答案不唯一）　 （写出一个符合题意的即可）．
【答案】i（答案不唯一）．
【解答】解：z＝a+bi（a，b∈R），z2+4＞0，
则（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，
z2+4＞0，
则a2﹣b2+4＞0且2ab＝0，
令a＝0，b＝1，
故z＝i符合题意．
故答案为：i（答案不唯一）．
37．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1 z2 … zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；
（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．
【答案】（1）|z|＝﹣2cos；argz．
（2）506．
（3）1017．
【解答】解：（1）由复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），∈（，π），
得|z|2cos，
∵1+cosθ＞0，sinθ＜0，∴，tan（argz）tan，
∵∈（，π），∈（），∴argz．
（2）由（sinθ+icosθ）n＝[cos（）+isin（θ）]n＝cos（）+isin（nθ），
∴cos（nθ）+isin（）＝sinnθ+icosnθ，
∴，
∴，k∈Z，解得n＝4k+1，
∵n≤2024，n∈N，∴0≤4k+1≤2024，∴0≤k≤505，k∈Z，
∴符合条件的k有506个，
∴这样的n有506个．
（3）令ω＝cos20°+isin20°，而2034×20°＝113×360°，则ω2034＝1，
令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+ +2034sin（2034×20°），
则s+iT＝ω+2ω2+3ω3+ +2034ω2035，
两边同乘ω，得：
ω（S+iT）＝ω2+2ω3+3ω4+ +ω2034﹣2034ω2035
2034ω2034 ω＝﹣2034ω，
∴S+iT，
i，
∴S+iT＝﹣2034（），
∴S＝1017．
38．已知复数z1＝x﹣1+yi，z2＝1+（4﹣y）i，x、y∈R．
（1）若z1＝z2，求|z1|；
（2）若x＝y＝3，计算．
【答案】（1）；（2）i．
【解答】解：（1）∵z1＝z2，
∴，∴，
∴z1＝x﹣1+yi＝1+2i，
∴|z1|；
（2）若x＝y＝3，则z1＝x﹣1+yi＝2+3i，z2＝1+（4﹣y）i＝1+i，
∴i．第3章第1节 复数的概念
题型1 虚数单位i及其性质 题型2 复数的实部与虚部
题型3 纯虚数 题型4 复数集C及其关系和运算
题型5 复数的相等
▉题型1 虚数单位i及其性质
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数．
1．1+i+i2+i3+ +i2023＝　 　 ．
▉题型2 复数的实部与虚部
【知识点的认识】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．
2．若复数z满足（2﹣i）z＝i2022，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
3．若（m2﹣1）+（m2﹣2m﹣3）i＞0，则实数m的值为（　　）
A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．±1
4．复数z＝3﹣2i的虚部为（　　）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣2i
（多选）5．已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（　　）
A．i+i2+i3+i4＝0
B．复数，
C．若z＝（1+2i）2，则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足|z﹣1|＝|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
6．已知复数z＝cosα+icos2α（0＜α＜2π）的实部与虚部互为相反数，则α的取值不可能为（　　）
A． B． C．π D．
▉题型3 纯虚数
【知识点的认识】
形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．
纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．
7．已知复数z1＝2+i，z2＝a﹣i（a∈R），i为虚数单位，若复数z1﹣z2为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．1 B．0 C．2 D．﹣2
8．已知z是纯虚数，（z+2）（1﹣i）是实数，那么|z|＝ 　 ．
9．若（x2﹣1）+（2x+2）i是纯虚数，则实数x的值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣2
（多选）10．已知复数z1，z2，则下列说法正确的有（　　）
A．若，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|
B．若|z1+z2|＝|z1﹣z2|，则
C．若，则z1+z2为纯虚数
D．若，则z1+z2为实数
（多选）11．已知复数z＝（m2﹣1）i2﹣（m2﹣5m﹣6）i3（m∈R），i为虚数单位，为z的共轭复数，则下列说法正确的是（　　）
A．若z是纯虚数，则m＝±1
B．若z＜0，则m＝6
C．若m＝0，则
D．若m＝﹣2，则在复平面内对应点位于第三象限
12．已知复数z＝（m2﹣1）+（m2﹣m﹣2）i，m∈R．
（1）若z是纯虚数，求m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线x﹣y+1＝0上，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
13．复数z＝a2﹣a﹣6+（a2﹣3a﹣10）i，其中a∈R．
（1）若复数z为实数，求a的值；
（2）若复数z为纯虚数，求a的值．
14．已知2﹣i是关于x的方程x2﹣mx+n＝0（m，n∈R）的一个根．
（1）求m，n的值；
（2）若z＝a2﹣na+m+（a﹣m）i是纯虚数，求实数a的值和|z|．
15．设复数z＝1+mi（m∈R）．
（1）若（2﹣i）z是实数，求m的值；
（2）若是纯虚数，求复数z的共轭复数．
16．已知复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i．
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若，求实数m的值．
17．设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2+ai，z2＝4﹣3i．
（1）若z1 z2是实数，求a的值；
（2）若是纯虚数，求|z1|．
18．已知复数z＝a﹣i（i为虚数单位，a∈R），且z（1+i）是纯虚数．
（1）求复数z；
（2）在复平面内，若复数（z﹣mi）2（m∈R）对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围．
19．已知复数z＝m﹣i（m∈R），且为纯虚数（是z的共轭复数）．
（1）求实数m的值；
（2）设复数，求|z1|；
（3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
（多选）20．已知复数z＝a+bi，下列说法正确的是（　　）
A．若z为纯虚数，则a+b＝0
B．若z是的共轭复数，则
C．若z＝（1+i）（1﹣3i），则a+b＝2
D．若|z﹣i|＝1，则|z|取最大值时，a+b＝2
21．设复数z＝a2+a﹣2+（a2﹣7a+6）i，其中a∈R．
（1）若z是纯虚数，求a的值；
（2）z所对应的点在复平面的第四象限内，求a的取值范围．
22．已知复数z是纯虚数，（z+2）2﹣8i是实数．
（1）求z；
（2）若，求|z1|．
23．已知复数，z2＝（2+i）m﹣3（1+2i），m∈R，i为虚数单位．
（1）若z1+z2是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1+z2＞0，求|z2|．
24．已知复数z＝a﹣3+i（a∈R）是纯虚数．
（1）求a的值；
（2）若ω＝z+2，求复数ω以及ω的模．
25．已知复数z＝m2﹣m﹣2﹣（m+1）i，m∈R，i为虚数单位．
（1）当z是纯虚数时，求m的值；
（2）当m＝1时，求z的模．
26．已知复数z＝（1﹣i）+λ（1+i）是纯虚数，则实数λ＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
27．下列运算结果为纯虚数的是（　　）
A．i（1﹣i） B．i（1+i）2 C．i3 D．i2
28．复数z1＝a+4i，z2＝﹣3+bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为（　　）
A．a＝﹣3，b＝﹣4 B．a＝﹣3，b＝4 C．a＝3，b＝﹣4 D．a＝3，b＝4
29．复数（m2﹣5m+6）+（m2﹣3m）i是纯虚数，则实数m＝ ．
30．已知复数z＝m2+m﹣2+（m﹣1）i（m∈R）．
（1）若z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若z在复平面内对应的点在直线，求|z|．
▉题型4 复数集C及其关系和运算
【知识点的认识】
复数集包含所有形如a+bi的数，其中a和b是实数．复数集是代数封闭的，即任何复数运算的结果仍为复数．
（多选）31．下列命题为真命题的是（　　）
A．复数2﹣2i对应的点在第二象限
B．若i为虚数单位，则i2023＝﹣i
C．在复数集C中，方程x2+x+1＝0的两个解分别为和
D．复平面内满足条件|z+i|≤2的复数z所对应的点Z的集合是以点（0，1）为圆心，2为半径的圆
▉题型5 复数的相等
【知识点的认识】
复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等，即a1＝a2和b1＝b2．
32．若i2＝a+bi（a，b∈R），则a+b＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
33．已知复数，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．
（1）若z1为纯虚数，求m的值；
（2）若z1＝z2，求μ的取值范围．
34．（1）若（x+y）+yi＝（x+1）i，求实数x，y的值；
（2）已知a2+（m+2i）a+2+mi＝0（m∈R）成立，求实数a的值．
35．已知复数z满足|z|＝2，且，则|a|＝（　　）
A． B． C． D．
36．已知虚数z＝a+bi（a，b∈R），z2+4＞0，z＝ 　 （写出一个符合题意的即可）．
37．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1 z2 … zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；
（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．
38．已知复数z1＝x﹣1+yi，z2＝1+（4﹣y）i，x、y∈R．
（1）若z1＝z2，求|z1|；
（2）若x＝y＝3，计算．

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