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第3章第2节 复数的四则运算
题型1 复数的加、减运算及其几何意义 题型2 复数的乘法及乘方运算
题型3 复数的除法运算 题型4 复数的混合运算
▉题型1 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
1．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　 ．
2．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．
（1）求，及，；
（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．
▉题型2 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
3．已知复数z＝（5﹣i）（1﹣9i），则（　　）
A．14+46i B．14﹣46i C．﹣4+46i D．﹣4﹣46i
4．若复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
5．已知z＝2﹣i，则z（z+i）＝（　　）
A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i
6．已知复数z＝（7﹣8i）i，则z的虚部为（　　）
A．7 B．﹣8 C．7i D．﹣8i
7．若z＝（3+i）（2﹣i），则z＝（　　）
A．5+i B．7+i C．5﹣i D．7﹣i
8．计算：的结果是（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．1﹣i D．1+i
9．复数z＝（2﹣2i）（3+i）＝（　　）
A．4+4i B．8+4i C．4﹣4i D．8﹣4i
10．复数（2﹣i）（4+5i）的虚部是（　　）
A．4i B．4 C．6i D．6
11．已知复数，则x﹣y＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．若，分别是非零复数z1，z2的共轭复数，，则下列等式中一定成立的是（　　）
A．z1＝z2 B． C． D．
13．若实数a，b满足a+bi＝i（1﹣i），则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1
14．若纯虚数z满足z（1+i）＝a+i，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
15．法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的公式（cosx+isinx）n＝cosnx+isinnx推动了复数领域的研究．根据该公式，可得（　　）
A．﹣1+i B．1+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i
16．已知i是虚数单位，则（1+i）（1﹣2i）＝（　　）
A．3+i B．3﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
17．i是虚数单位，若复数z满足，则复数z2019的值是（　　）
A．i B．﹣1 C．﹣i D．1
（多选）18．若复数z满足z4＝1，且z≠1，则z可能是（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1﹣i
（多选）19．已知复数z＝（1﹣i）（6+i），则（　　）
A．
B．
C．z+7为纯虚数
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
（多选）20．已知z1、z2∈C，且复平面内z1对应的点为Z，则下面说法正确的有（　　）
A．
B．复数z1、z2可以比较大小
C．若z1z2＝0，则z1、z2中至少有1个是0
D．满足|z1﹣1+2i|≤2的点Z形成的图形的面积为4π
（多选）21．已知复数z1，z2，下列结论正确的有（　　）
A．
B．若z1z2＝0，则z1＝z2＝0
C．|z1z2|＝|z1||z2|
D．若，则
（多选）22．下列与复数相等的是（　　）
A．1 B．﹣1
C．cos2π+isin2π D．cosisin
（多选）23．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（　　）
A．z2＝2i B．|z|＝2
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
24．已知复数z＝i2024+（1﹣i）2，若z z1＝4﹣3i，则 ．
25．设复数z满足（1﹣i）z＝i2024（i为虚数单位），则|z|＝ ．
26．已知复数z是方程x2+6x+13＝0的一个复数根，且z的虚部大于零．
（1）求z；
（2）若az＝b﹣i（a，b∈R，i为虚数单位），求ab．
▉题型3 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
27．若复数z满足z（1﹣i）＝1，则z的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
28．已知，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
29．若复数z满足，则（　　）
A．1 B．2 C． D．5
30．若，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
31．已知复数，为z的共轭复数，则（　　）
A． B． C． D．
32．（　　）
A．1﹣2i B． C．1+2i D．
33．已知，则|z|2＝（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
34．复数　 ．
35．已知，则|z+1|＝ ．
36．已知i是虚数单位，化简的结果为 ．
37．复数的共轭复数为 　 ．
38．已知复数，，m∈R，i为虚数单位．
（1）若z1﹣z2是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1+z2是实数，求|z1|．
39．已知复数，则（　　）
A．z的实部为﹣1 B．z的虚部为i
C． D．
40．已知i为虚数单位，则复数（　　）
A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i
41．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．
42．已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝i2020，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
43．设i为虚数单位，若复数z满足z （2﹣i）＝5，则 ．
44．复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 　 ．
45．在英语中，实数是RealQuantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是ImaginaryQuantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re（2+3i）＝2，Im（2+3i）＝3；Re（﹣3i）＝0，Im（﹣3i）＝﹣3．已知复数z是方程x2+2x+2＝0的解．
（1）若Im（z）＞0，且（a，b∈R，i是虚数单位），求|a+bi|；
（2）若Im（z）＜0，复数，t∈R，且Re（z1）＜0，Im（z1）＞0，求t的取值范围．
46．已知复数，其中i为虚数单位．
（1）求z及|z|；
（2）若，求实数a，b的值．
47．已知复数z满足z（1﹣i）＝3+i（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
48．设复数z1＝8﹣ai（a∈R），z2＝3﹣4i．
（1）若z1+z2是实数，求z1 z2；
（2）若是纯虚数，求z1的共轭复数．
49．已知复数z1＝i﹣a，z2＝1﹣i，其中a是实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求．
▉题型4 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
50．已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
51．（）6 ．
（多选）52．已知复数z满足，则下列说法正确的是（　　）
A．i
B．|z|＝1
C．z3＝1
D．z是关于x的方程x2﹣x+1＝0的一个根
53．若且|z|＝1，则x取值的集合为（　　）
A．{2} B．{3} C．{3，7} D．{1，3}第3章第2节 复数的四则运算
题型1 复数的加、减运算及其几何意义 题型2 复数的乘法及乘方运算
题型3 复数的除法运算 题型4 复数的混合运算
▉题型1 复数的加、减运算及其几何意义
【知识点的认识】
﹣加法：两个复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的和是（a1+a2）+（b1+b2）i．
﹣减法：两个复数z1和z2的差是（a1﹣a2）+（b1﹣b2）i．
﹣几何意义：加法和减法可以看作是复平面中向量的平移操作．
1．已知复数z1，z2满足，则|z2﹣2i|的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：设复数z1＝a+bi，a，b∈R，由已知条件得a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，
整理得3a﹣bi＝3﹣i，于是3a＝3，﹣b＝﹣1，即a＝1，b＝1，z1＝1+i，
由|z2﹣z1|＝1，可知复平面内表示复数z2的对应点在以表示复数z1的对应点（1，1）为圆心，1为半径的圆上，
|z2﹣2i|表示这个圆上的点到表示复数2i的对应点（0，2）的距离，
距离的最大值是．
故答案为：．
2．在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C，对应复数分别为0，2+i，﹣1+3i．
（1）求，及，；
（2）设∠OCB＝θ，求cosθ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵，
∴所对应的复数z1＝（2+i）+（﹣1+3i）＝1+4i，
∴，．
∵，
∴所对应的复数z2＝（2+i）﹣（﹣1+3i）＝3﹣2i，
∴，；
（2）由题意，，
∵，，
∴，，．
∴．
▉题型2 复数的乘法及乘方运算
【知识点的认识】
﹣乘法：复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i的乘积是（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+b1a2）i．
﹣乘方：复数的乘方可通过乘法运算重复进行，或利用极坐标表示．
3．已知复数z＝（5﹣i）（1﹣9i），则（　　）
A．14+46i B．14﹣46i C．﹣4+46i D．﹣4﹣46i
【答案】C
【解答】解：∵z＝（5﹣i）（1﹣9i）＝5﹣45i﹣i+9i2＝5﹣46i﹣9＝﹣4﹣46i，
∴，
故选：C．
4．若复数，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：复数，得，则的虚部为．
故选：B．
5．已知z＝2﹣i，则z（z+i）＝（　　）
A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i
【答案】B
【解答】解：z＝2﹣i，则z（z+i）＝（2﹣i）（2﹣i+i）＝4﹣2i．
故选：B．
6．已知复数z＝（7﹣8i）i，则z的虚部为（　　）
A．7 B．﹣8 C．7i D．﹣8i
【答案】A
【解答】解：由题意可知，z＝（7﹣8i）i＝7i﹣8i2＝8+7i，
所以z的虚部为7．
故选：A．
7．若z＝（3+i）（2﹣i），则z＝（　　）
A．5+i B．7+i C．5﹣i D．7﹣i
【答案】D
【解答】解：因为z＝（3+i）（2﹣i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝7﹣i．
故选：D．
8．计算：的结果是（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．1﹣i D．1+i
【答案】D
【解答】解：由题意，．
故选：D．
9．复数z＝（2﹣2i）（3+i）＝（　　）
A．4+4i B．8+4i C．4﹣4i D．8﹣4i
【答案】D
【解答】解：z＝（2﹣2i）（3+i）＝6+2i﹣6i﹣2i2＝8﹣4i．
故选：D．
10．复数（2﹣i）（4+5i）的虚部是（　　）
A．4i B．4 C．6i D．6
【答案】D
【解答】解：因为（2﹣i）（4+5i）＝8+10i﹣4i+5＝13+6i，
故（2﹣i）（4+5i）的虚部是6．
故选：D．
11．已知复数，则x﹣y＝（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解答】解：由得x+yi＝（2﹣i）（1+i）＝2+2i﹣i+1＝3+i，
所以x＝3，y＝1，则x﹣y＝2．
故选：A．
12．若，分别是非零复数z1，z2的共轭复数，，则下列等式中一定成立的是（　　）
A．z1＝z2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），则，
所以．
故选：B．
13．若实数a，b满足a+bi＝i（1﹣i），则a+b＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1
【答案】A
【解答】解：因为a+bi＝i（1﹣i）＝1+i，
所以a＝1，b＝1，
所以a+b＝2，
故选：A．
14．若纯虚数z满足z（1+i）＝a+i，则实数a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．0 D．±1
【答案】B
【解答】解：设z＝bi，b∈R，b≠0，由z（1+i）＝a+i，可得﹣b+bi＝a+i，
所以，解得a＝﹣1．
故选：B．
15．法国数学家棣莫弗（1667﹣1754）发现的公式（cosx+isinx）n＝cosnx+isinnx推动了复数领域的研究．根据该公式，可得（　　）
A．﹣1+i B．1+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i
【答案】B
【解答】解：根据题意可知，
故．
故选：B．
16．已知i是虚数单位，则（1+i）（1﹣2i）＝（　　）
A．3+i B．3﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【答案】B
【解答】解：（1+i）（1﹣2i）＝1﹣2i+i﹣2i2＝3﹣i．
故选：B．
17．i是虚数单位，若复数z满足，则复数z2019的值是（　　）
A．i B．﹣1 C．﹣i D．1
【答案】C
【解答】解：，则1+z＝i﹣zi，
即（1+i）z＝﹣1+i，
即zi，
∴z2019＝i2019＝i i2018＝i （i2）1009＝﹣i，
故选：C．
（多选）18．若复数z满足z4＝1，且z≠1，则z可能是（　　）
A．i B．﹣i C．﹣1 D．1﹣i
【答案】ABC
【解答】解：i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，故A正确；
（﹣i）4＝i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，故B正确；
（﹣1）4＝[（﹣1）2]2＝12＝1，故C正确；
（1﹣i）4＝[（1﹣i）2]2＝（﹣2i）2＝4i2＝﹣4，故D错误．
故选：ABC．
（多选）19．已知复数z＝（1﹣i）（6+i），则（　　）
A．
B．
C．z+7为纯虚数
D．z在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ABD
【解答】解：∵z＝（1﹣i）（6+i）＝6+1﹣6i+i＝7﹣5i，
∴，故A正确；
，故B正确；
z+7＝7﹣5i+7＝14﹣5i不是纯虚数，故C错误；
z在复平面内对应的点的坐标为（7，﹣5），位于第四象限，故D正确．
故选：ABD．
（多选）20．已知z1、z2∈C，且复平面内z1对应的点为Z，则下面说法正确的有（　　）
A．
B．复数z1、z2可以比较大小
C．若z1z2＝0，则z1、z2中至少有1个是0
D．满足|z1﹣1+2i|≤2的点Z形成的图形的面积为4π
【答案】ACD
【解答】解：对于A，设zn＝an+bni（n＝1，2，an，bn∈R），
则z1z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+a2b1）i，
所以（a1a2﹣b1b2）﹣（a1b2+a2b1）i，
（a1﹣b1i） （a2﹣b2）＝（a1a2﹣b1b2）﹣（a1b2+a2b1）i，
所以，选项A正确；
对于B，两个实数能比大小，两个虚数不能比较大小，故复数z1、z2不一定能比大小，选项B错误；
对于C，若z1z2＝（a1+b1i）（a2+b2i）＝（a1a2﹣b1b2）+（a1b2+a2b1）i，
则，即，则或，
则a1＝b1＝0或a2＝b2＝0，则z1、z2中至少有1个是0，选项C正确；
对于D，|z1﹣1+2i|＝|z1﹣（1﹣2i）|≤2，
所以，复数z1在复平面内对应的点Z的轨迹是以点（1，﹣2）为圆心，半径为2的圆及其内部，
所以点Z形成的图形的面积为π×22＝4π，选项D正确．
故选：ACD．
（多选）21．已知复数z1，z2，下列结论正确的有（　　）
A．
B．若z1z2＝0，则z1＝z2＝0
C．|z1z2|＝|z1||z2|
D．若，则
【答案】ACD
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，a，b，c，d∈R，
对于A，，，故选项A正确；
对于B，因为z1z2＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i＝0，
则，则a＝b＝0或c＝d＝0，
所以z1，z2中至少有一个0，即z1＝0或z2＝0，故选项B不正确；
对于C，由复数模的运算性质可知，
，
，
所以|z1z2|＝|z1||z2|，故选项C正确；
对于D，当z1＝a+bi，则，
可得，解得，即z1＝±1，
所以，故选项D正确．
故选：ACD．
（多选）22．下列与复数相等的是（　　）
A．1 B．﹣1
C．cos2π+isin2π D．cosisin
【答案】AC
【解答】解：复数，
所以复数，故A正确，B错误；
cos2π+isin2π＝1，故C正确，
cosisin，故D错误．
故选：AC．
（多选）23．下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（　　）
A．z2＝2i B．|z|＝2
C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i
【答案】AC
【解答】解：∵，
∴|z|，z2＝（﹣1﹣i）2＝2i，z的虚部为﹣1，z的共轭复数为﹣1+i．
故选：AC．
24．已知复数z＝i2024+（1﹣i）2，若z z1＝4﹣3i，则 　2﹣i ．
【答案】2﹣i．
【解答】解：z＝i2024+（1﹣i）2，
＝1+1﹣2i+i2
＝1﹣2i，
∵z z1＝4﹣3i，
∴z12+i，
则2﹣i．
故答案为：2﹣i．
25．设复数z满足（1﹣i）z＝i2024（i为虚数单位），则|z|＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：由（1﹣i）z＝i2024，得，
所以．
故答案为：．
26．已知复数z是方程x2+6x+13＝0的一个复数根，且z的虚部大于零．
（1）求z；
（2）若az＝b﹣i（a，b∈R，i为虚数单位），求ab．
【答案】（1）z＝﹣3+2i；
（2）．
【解答】解：（1）由x2+6x+13＝（x+3）2+4＝0，即（x+3）2＝﹣4，
可得x+3＝±2i，解得x＝﹣3±2i，
因为z的虚部大于零，所以z＝﹣3+2i
（2）由（1）知z＝﹣3+2i，因为az＝b﹣i，所以az＝a（﹣3+2i）＝﹣3a+2ai＝b﹣i
则，
解得，，
所以．
▉题型3 复数的除法运算
【知识点的认识】
复数除法涉及分子与分母的复数．对于复数z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法结果是．
27．若复数z满足z（1﹣i）＝1，则z的共轭复数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为z（1﹣i）＝1，
所以，
所以由共轭复数的定义可知，，
故选：C．
28．已知，则的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：z，
故，其虚部为．
故选：C．
29．若复数z满足，则（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】A
【解答】解：，
则1．
故选：A．
30．若，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【答案】D
【解答】解：1﹣i，则z＝1+i，
故选：D．
31．已知复数，为z的共轭复数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为，
所以，
则．
故选：C．
32．（　　）
A．1﹣2i B． C．1+2i D．
【答案】A
【解答】解：．
故选：A．
33．已知，则|z|2＝（　　）
A．2 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【解答】解：，
则|z|，
故|z|2＝5．
故选：C．
34．复数　﹣35+12i ．
【答案】﹣35+12i．
【解答】解：原式35+12i．
故答案为：﹣35+12i．
35．已知，则|z+1|＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
则|z+1|＝|﹣i+1|．
故答案为：．
36．已知i是虚数单位，化简的结果为 　1﹣i ．
【答案】1﹣i．
【解答】解：．
故答案为：1﹣i．
37．复数的共轭复数为 　﹣3+2i ．
【答案】﹣3+2i．
【解答】解：复数3﹣2i，
﹣3﹣2i的共轭复数为﹣3+2i．
故答案为：﹣3+2i．
38．已知复数，，m∈R，i为虚数单位．
（1）若z1﹣z2是纯虚数，求实数m的值；
（2）若z1+z2是实数，求|z1|．
【答案】（1）m＝﹣3；
（2）．
【解答】解：（1），
，
z1﹣z2＝（2m+3﹣m）+（6﹣m+2m）i＝（m+3）+（6+m）i，
因z1﹣z2是纯虚数，需满足实部为0且虚部不为0，
即：m+3＝0且6+m≠0，解得m＝﹣3．
（2）z1+z2＝（2m+3+m）+（6﹣m﹣2m）i＝（3m+3）+（6﹣3m）i，
因z1+z2是实数，虚部需为0，即：6﹣3m＝0，解得m＝2，
将m＝2代入z1，得z1＝（2×2+3）+（6﹣2）i＝7+4i，
则．
39．已知复数，则（　　）
A．z的实部为﹣1 B．z的虚部为i
C． D．
【答案】C
【解答】解：，
z的实部为1，z的虚部为﹣1，故AB错误；
，故C正确；
，故D错误．
故选：C．
40．已知i为虚数单位，则复数（　　）
A．3+i B．3﹣i C．﹣3+i D．﹣3﹣i
【答案】A
【解答】解：3+i．
故选：A．
41．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为（　　）
A．﹣5 B．5 C． D．
【答案】A
【解答】解：，
复数z为纯虚数，
则，解得m＝﹣5．
故选：A．
42．已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝i2020，则下列说法正确的是（　　）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】D
【解答】解：因为z（2﹣i）＝i2020＝（i4）505＝1，所以，
对于A，复数z的模为，故错误；
对于B，复数z的共轭复数为，故错误；
对于C，复数z的虚部为，故错误；
对于D，复数z在复平面内对应的点为，所以在第一象限，故正确．
故选：D．
43．设i为虚数单位，若复数z满足z （2﹣i）＝5，则 　2﹣i ．
【答案】2﹣i．
【解答】解：依题意，，
所以．
故答案为：2﹣i．
44．复数z满足z（1﹣i）＝|1+i|，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：，
所以，．
故答案为：．
45．在英语中，实数是RealQuantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是ImaginaryQuantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re（2+3i）＝2，Im（2+3i）＝3；Re（﹣3i）＝0，Im（﹣3i）＝﹣3．已知复数z是方程x2+2x+2＝0的解．
（1）若Im（z）＞0，且（a，b∈R，i是虚数单位），求|a+bi|；
（2）若Im（z）＜0，复数，t∈R，且Re（z1）＜0，Im（z1）＞0，求t的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）因为z是方程x2+2x+2＝0的根，解得z＝﹣1±i，
∵Im（z）＞0，∴z＝﹣1+i，
∴，a＝（b﹣2i）（﹣1+i）＝﹣b+2+（b+2）i，
∴，解得a＝4，b＝﹣2，
∴；
（2）∵Im（z）＜0，复数，t∈R，且Re（z1）＜0，Im（z1）＞0
∴z＝﹣1﹣i，又i2023＝i3＝﹣i，
∴，
∵Re（z1）＜0，Im（z1）＞0
∴，解得．
所以t的取值范围为．
46．已知复数，其中i为虚数单位．
（1）求z及|z|；
（2）若，求实数a，b的值．
【答案】（1）z＝2﹣3i，；
（2）a＝3，b＝1．
【解答】解：（1）依题意，，
．
（2）由（1）知，
则（2a+b﹣5）+（3a﹣12）i＝2﹣3i，而a，b∈R，
因此，解得a＝3，b＝1，
所以a＝3，b＝1．
47．已知复数z满足z（1﹣i）＝3+i（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解答】解：复数z满足z（1﹣i）＝3+i（其中i为虚数单位），
由条件得，
所以z在复平面内对应的点为（1，2），在第一象限．
故选：A．
48．设复数z1＝8﹣ai（a∈R），z2＝3﹣4i．
（1）若z1+z2是实数，求z1 z2；
（2）若是纯虚数，求z1的共轭复数．
【答案】（1）40﹣20i；
（2）．
【解答】解：（1）z1＝8﹣ai（a∈R），z2＝3﹣4i，
则z1+z2＝11﹣（a+4）i是实数，可得a＝﹣4，
则z1 z2＝（8+4i）（3﹣4i）＝40﹣20i；
（2）由是纯虚数，
得，即a＝﹣6．
∴．
49．已知复数z1＝i﹣a，z2＝1﹣i，其中a是实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求．
【答案】（1）1；
（2）﹣1．
【解答】解：（1），
∴，解得a＝1；
（2），且是纯虚数，
∴﹣1﹣a＝0，a＝﹣1，
∴，，，
∴，且函数，x∈N*的周期为4，2023＝3+4×505，
∴i﹣1﹣i＝﹣1．
▉题型4 复数的混合运算
【知识点的认识】
复数的混合运算包括加法、减法、乘法和除法的组合运算．混合运算需要按照运算优先级处理，确保准确性．
50．已知i为虚数单位，x，y∈R，若（x﹣i）i＝y﹣2i，则（　　）
A．x＝﹣2，y＝﹣1 B．x＝2，y＝﹣1 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝1
【答案】C
【解答】解：由i为虚数单位，x，y∈R，（x﹣i）i＝y﹣2i，化简得xi+1＝y﹣2i，
故x＝﹣2，y＝1．
故选：C．
51．（）6　﹣1+i ．
【答案】﹣1+i
【解答】解：（）6
＝（i2）3+i＝﹣1+i．
故答案为：﹣1+i．
（多选）52．已知复数z满足，则下列说法正确的是（　　）
A．i
B．|z|＝1
C．z3＝1
D．z是关于x的方程x2﹣x+1＝0的一个根
【答案】ABD
【解答】解：因为i zi，所以zi，所以i，选项A正确；
由|z|1，选项B正确；
z33i+31，选项C错误；
由x2﹣x+1（i）+1＝0，所以zi是方程的一个根，选项D正确．
故选：ABD．
53．若且|z|＝1，则x取值的集合为（　　）
A．{2} B．{3} C．{3，7} D．{1，3}
【答案】C
【解答】解：由，
且|z|＝1，得，即，
可得（5﹣x）2+1＝5，解得：x＝3或7．
∴x取值的集合为{3，7}．
故选：C．

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