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第3章第3节 复数的几何表示
题型1 复数对应复平面中的点 题型2 由复平面中的点确定复数
题型3 共轭复数 题型4 复数的模
▉题型1 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
1．复数，则复数z在复平面对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知复数z，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则复平面内满足|z﹣1+i|＝m的点Z的集合围成的图形面积为16π，则实数m＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
4．已知复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），则iz在复平面内对应的点为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（1，2）
5．在复平面内，已知复数z满足|z﹣1|＝|z+i|（i为虚数单位），记z0＝2+i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值 　 ．
6．在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，∠OAB＝120°，点A所对应的复数是2+i，则点B所对应的复数为 　 ．
（多选）7．已知复数，则（　　）
A．
B．
C．复数z的虚部为3i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
（多选）8．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝19
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
（多选）9．下列命题正确的是（　　）
A．若z＝（a2﹣1）+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，a∈R，则a＝±1
B．若（m+n）+（m﹣2n）i＝﹣1+5i，m，n∈R，则m＝1，n＝﹣2
C．若复数z满足|z+（1﹣i）|＝2，则z在复平面内对应点的轨迹为以（1，﹣1）为圆心，2为半径的圆
D．若﹣4+3i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，则p＝8
10．已知复数z1＝1+mi，（m∈R，i为虚数单位）．
（1）若z＝z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
11．已知z＝i4+（1﹣i）2，．
（1）求，z1；
（2）若，z1在复平面内对应的向量分别为，且，求实数λ的值．
12．知复数z1＝5+10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，﹣4）．
（1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n﹣1＝0的一个根，m、n∈R，求m+n的值；
（2）若复数z满足，求复数z的共轭复数．
13．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为（0，﹣2），（3，4）．
（1）若，求复数z；
（2）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
14．设复数z1＝﹣2﹣i，z2＝﹣1+2i在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 　　 ．
（多选）15．在复平面内，复数对应的点为A，复数z2＝z1﹣1对应的点为B，下列说法正确的是（　　）
A．|z1|＝|z2|＝1
B．
C．向量对应的复数是1
D．
16．复数z＝（m2﹣3m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i；
（1）若z是虚数，求实数m的取值范围；
（2）若z所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；
（3）若z＞0，求|z|．
17．（1）计算：（5﹣6i）+（﹣2﹣i）﹣（3+4i）．
（2）已知复数z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i，m∈R．若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．
18．已知i为虚数单位．
（1）若复数z＝（2m2﹣m﹣3）+（m2+m﹣2）i（m∈R）在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若复数z满足2z﹣|z|＝1﹣8i，求复数z．
19．复平面内复数z所对应的点为（2，﹣1），则（　　）
A．2 B． C． D．
（多选）20．已知复数z1＝1﹣i，复数z2＝x+yi，x，y∈R，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（　　）
A．若，则x+y＝0
B．若，则
C．若，则z1z2＝0
D．若，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|
21．在英语中，实数是RealQuantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是ImaginaryQuantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re（1+2i）＝1，Im（1+2i）＝2．已知复数ω是方程x2+x+1＝0的解．
（1）若Im（ω）＞0，求证；
（2）若Im（ω）＜0，复数z＝a+bi（a，b∈R）且满足|z|＝ω3，在复平面内z对应的点为Z，当|z﹣2|取得最大值时，求点Z的坐标．
22．已知复数z满足z（1+i）＝i，则复数z的共轭复数对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
▉题型2 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
23．复平面上，点（2，﹣1）对应的复数z＝　 ．
（多选）24．在复平面内，，对应的复数分别为，z2＝cosθ+isinθ，且，则z2可能是（　　）
A． B． C． D．
25．已知复数z1＝1﹣i，z2＝﹣1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点分别为A，B，将向量绕着点O（O为复平面内的原点）逆时针旋转90°得到向量，则对应的复数为（　　）
A．﹣1+2i B．2i C．3i D．1﹣2i
26．如图，已知复平面上的平行四边形OACB，O为坐标原点，点A、B分别对应的复数为3+i、2+4i，M是OC、AB的交点，则点C，M分别对应的复数为 　 、　　 ．
27．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为z1＝1+i，z2＝5+i，z3＝3+3i．
（1）求向量及的坐标；
（2）若以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．
28．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（　　）
A．6 B．﹣6 C．2 D．
29．已知复数z1＝2﹣i，z2＝m+2i（i为虚数单位），m∈R，且 z2为纯虚数．
（1）求|z1+z2|；
（2）设复数z1，z2对应的点分别为A，B，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的原点），求点C对应的复数z3．
30．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝cosθ﹣sinθ+i（cosθ+sinθ），z2．
（1）当θ为何值时，z＝z1+z2的模取得最大值，并求此最大值；
（2）若θ∈（0，2π），设对应的复数是z'，若复数z'对应的点P在直线y＝x，求θ的值．
▉题型3 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
31．已知复数z＝m+2+（m﹣2）i（m∈R），为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若z﹣3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
32．设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则为（　　）
A． B．5 C．2 D．
33．复数的共轭复数对应的点在复平面的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
34．已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是（　　）
A． B．|z1﹣z2|＝||
C．z1 z2 D．|z1 |＝| z2|
（多选）35．已知z1，z2∈C，则（　　）
A． B．z1﹣z2＞0 z1＞z2
C． D．|z1|+|z2|≥|z1+z2|
（多选）36．已知z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论正确的是（　　）
A．若z1z2＝0，则z1＝0
B．若，则z1+z2是实数
C．若，则z1是纯虚数
D．若，则z1＝z2
37．已知复数z在复平面上对应点在第四象限，且，z2的虚部为﹣2．
（1）求复数z；
（2）设复数z、、z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求的值．
38．已知复数z1＝2﹣i，z2＝3+2i．
（1）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
（2）若，求z的共轭复数．
▉题型4 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
39．复数z＝1﹣3i，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．5
40．已知x，y∈R，i是虚数单位，若4x﹣i＝（3+i）y，则|x+yi|＝（　　）
A． B． C． D．
41．设复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝4，且z1﹣z2＝3﹣4i，则|z1+z2|＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
42．已知复数z满足|z﹣2|＝2，则|1|的最大值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
43．已知i是虚数单位，则|2+i2+2i3|＝　 ．
44．设复数z满足|z+2i|+|z﹣2i|＝4，则|z﹣1﹣i|的取值范围是 　 ．
45．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝4，则|z1﹣z2|＝　 ．
46．已知z2＝﹣1，则|z+1|＝　　 ．
47．复数的模是 　 ．
48．已知复数z满足|z|＝1，其中i为虚数单位，则|z﹣1+i|的最小值为 　 ．
49．设复数z满足zi+1＝z，则|z|＝　 ．
（多选）50．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（　　）
A．若复数z满足，则复数z对应的点在以（1，0）为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z+|z|＝2+8i，则复数z＝﹣15+8i
C．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则
D．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则
51．已知复数z1＝i﹣a，z2＝1+i，其中a是实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求．第3章第3节 复数的几何表示
题型1 复数对应复平面中的点 题型2 由复平面中的点确定复数
题型3 共轭复数 题型4 复数的模
▉题型1 复数对应复平面中的点
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
1．复数，则复数z在复平面对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：，
所以由复数的几何意义可知，复数z对应点坐标为，该点在第四象限．
故选：D．
2．已知复数z，在复平面内对应的点分别为A，B，则“A在第二象限”是“B在第三象限”的（　　）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，
若A在第二象限，则a＜0，b＞0，
则a＜0，﹣b＜0，所以B在第三象限．反之亦成立，
所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要条件．
故选：A．
3．已知复数z＝x+yi（x，y∈R），则复平面内满足|z﹣1+i|＝m的点Z的集合围成的图形面积为16π，则实数m＝（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解答】解：因为复平面内满足|z﹣1+i|＝m，
则|x﹣1+（y+1）i|，即（x﹣1）2+（y+1）2＝m2，
故点Z的集合围成的图形是以（1，﹣1）圆心，m为半径的圆，且面积为16π，
所以πm2＝16π，即m＝4或m＝﹣4（舍）．
故选：B．
4．已知复数z在复平面内对应的点为（﹣1，2），则iz在复平面内对应的点为（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（1，2）
【答案】A
【解答】解：由题意可得z＝﹣1+2i，
所以iz＝i（﹣1+2i）＝﹣2﹣i，则iz在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：A．
5．在复平面内，已知复数z满足|z﹣1|＝|z+i|（i为虚数单位），记z0＝2+i对应的点为点Z0，z对应的点为点Z，则点Z0与点Z之间距离的最小值 　　 ．
【答案】
【解答】解：设复数z＝a+bi（a，b∈R），
则z﹣1＝a﹣1+bi，z+i＝a+（b+1）i，
∵|z﹣1|＝|z+i|，
∴，
化简得：a+b＝0，
即z对应的点Z的轨迹方程为：x+y＝0，
又z0＝2+i对应的点为点Z0（2，1），
则点Z0与点Z之间距离的最小值为：．
故答案为：．
6．在复平面的上半平面内有一个菱形OABC，∠OAB＝120°，点A所对应的复数是2+i，则点B所对应的复数为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为菱形OABC在复平面的上半平面，且∠OAB＝120°，
由复数的几何意义可得A（2，1），故菱形OABC位置只能如图，且|OB||OA|，∠AOB＝30°，
记点A、B对应的复数分别为z1、z2，
则
．
故答案为：．
（多选）7．已知复数，则（　　）
A．
B．
C．复数z的虚部为3i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
【答案】BD
【解答】解：复数，
，故A错误；
，故B正确；
复数z的虚部为3，故C错误；
复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，3），在第一象限，故D正确．
故选：BD．
（多选）8．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B．若点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，则p+q＝19
C．若，则z的虚部为﹣2i
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【答案】BD
【解答】解：对于A，令z，满足|z|＝1，但z≠±1或z≠±i，故A错误，
对于B，∵点Z的坐标为（﹣3，2），且z是关于x的方程x2+px+q＝0的一个根，
∴也是关于x的方程x2+px+q＝0的另一个根，
∴，解得p＝6，q＝13，
故p+q＝19，故B正确，
对于C，，则z的虚部为﹣2，故C错误，
对于D，设z＝a+bi，a，b∈R，
则|z﹣2i|＝|a+（b﹣2）i|，
故1≤a2+（b﹣2）2≤2，
圆x2+（y﹣2）2＝2的面积为2π，圆x2+（y﹣2）2＝1的面积为π，
故点Z的集合所构成的图形的面积为2π﹣π＝π，故D正确．
故选：BD．
（多选）9．下列命题正确的是（　　）
A．若z＝（a2﹣1）+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，a∈R，则a＝±1
B．若（m+n）+（m﹣2n）i＝﹣1+5i，m，n∈R，则m＝1，n＝﹣2
C．若复数z满足|z+（1﹣i）|＝2，则z在复平面内对应点的轨迹为以（1，﹣1）为圆心，2为半径的圆
D．若﹣4+3i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，则p＝8
【答案】BD
【解答】解：对于A、∵z＝（a2﹣1）+（a2﹣2a﹣3）i为纯虚数，a∈R，
∴，解得a＝1，故A错误；
对于B，、∵（m+n）+（m﹣2n）i＝﹣1+5i，m，n∈R，
∴，解得，故B正确；
对于C、|z+（1﹣i）|＝2即|z﹣（﹣1+i）|＝2，表示z对应点的轨迹是以（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆，故C错误；
对于D、∵﹣4+3i是关于x的方程x2+px+q＝0（p，q∈R）的根，
∴（﹣4+3i）2+p（﹣4+3i）+q＝0，即16﹣9﹣24i﹣4p+3pi+q＝0，
整理得7﹣4p+q+（3p﹣24）i＝0，∴，解得，故D正确．
故选：BD．
10．已知复数z1＝1+mi，（m∈R，i为虚数单位）．
（1）若z＝z1+z2为纯虚数，求实数m的值；
（2）若在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）解：由复数z1＝1+mi，，
得，
∵复数z为纯虚数，∴，解得m＝4；
（2）解：由z1＝1+mi，
得ω，
∵在复平面内所对应的点位于第四象限，∴，解得﹣1＜m＜1．
∴实数m的取值范围为（﹣1，1）．
11．已知z＝i4+（1﹣i）2，．
（1）求，z1；
（2）若，z1在复平面内对应的向量分别为，且，求实数λ的值．
【答案】（1）1+2i，z1＝2﹣i；（2）1．
【解答】解：（1）由题意，z＝1﹣2i，则1+2i，
z12﹣i；
（2）由题意，（1，2），（2，﹣1），
λλ（1，2）+（2，﹣1）＝（λ+2，2λ﹣1），（1，2）﹣（2，﹣1）＝（﹣1，3），
由题意得，（λ+2，2λ﹣1） （﹣1，3）＝﹣λ﹣2+6λ﹣3＝0，解得λ＝1．
12．知复数z1＝5+10i，复数z2在复平面内对应的点为Z（3，﹣4）．
（1）若复数z2是关于x的方程x2+mx+n﹣1＝0的一个根，m、n∈R，求m+n的值；
（2）若复数z满足，求复数z的共轭复数．
【答案】（1）m+n＝20；
（2）．
【解答】解：（1）z2＝3＝4i，z2＝3﹣4i，
因为复数z2是关于x的方程x2+mx+n＝1＝0的一个根，
所以（3﹣4i）2+m（3﹣4i）+n﹣1＝0，
即3m+n﹣8﹣（4m+24）i＝0，
即，
解得m＝﹣6，n＝26，所以m+n＝20；
（2）由题意可得，
∴．
13．已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为（0，﹣2），（3，4）．
（1）若，求复数z；
（2）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）（0，）．
【解答】解：（1）由复数z1，z2在复平面上对应的点分别为（0，﹣2），（3，4），
可得z1＝﹣2i，z2＝3+4i，则；
（2）由z1+az2＝﹣2i+a（3+4i）＝3a+（4a﹣2）i在第四象限，则．
故实数a的取值范围为（0，）．
14．设复数z1＝﹣2﹣i，z2＝﹣1+2i在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为 　（1，3）　 ．
【答案】（1，3）．
【解答】解：因为z1＝﹣2﹣i，z2＝﹣1+2i在复平面内对应的向量分别为、，
所以，，
则，
所以向量对应的复数所对应的点的坐标为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
（多选）15．在复平面内，复数对应的点为A，复数z2＝z1﹣1对应的点为B，下列说法正确的是（　　）
A．|z1|＝|z2|＝1
B．
C．向量对应的复数是1
D．
【答案】AD
【解答】解：根据题意，复数，z2＝z1﹣1i，
依次分析选项：
对于A，|z1|＝|z2|1，A正确；
对于B，z1 z2＝（i）（i）＝﹣1，B错误；
对于C，A（，），B（，），则（﹣1，0），向量对应的复数为﹣1，C错误；
对于D，由复数的几何意义，||＝|z1﹣z2|，D正确．
故选：AD．
16．复数z＝（m2﹣3m﹣4）+（m2﹣5m﹣6）i；
（1）若z是虚数，求实数m的取值范围；
（2）若z所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；
（3）若z＞0，求|z|．
【答案】（1）m≠﹣1且m≠6；
（2）（4，6）；
（3）14．
【解答】解：（1）由题意，z是虚数，得：m2﹣5m﹣6≠0，
解得：m≠﹣1且m≠6；
（2）因为z所对应的点在第四象限，
，
解得：4＜m＜6，
所以实数m的取值范围是（4，6）；
（3）若z＞0，则，
解得m＝6，即z＝14，所以|z|＝14．
17．（1）计算：（5﹣6i）+（﹣2﹣i）﹣（3+4i）．
（2）已知复数z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i，m∈R．若z在复平面内对应的点在第三象限，求m的取值范围．
【答案】（1）﹣11i；
（2）（﹣6，1）．
【解答】解：（1）（5﹣6i）+（﹣2﹣i）﹣（3+4i）＝﹣11i．
（2）因为z在复平面内对应的点在第三象限，复数z＝（m2+5m﹣6）+（m﹣1）i，m∈R，
所以，解得﹣6＜m＜1，
故m的取值范围为（﹣6，1）．
18．已知i为虚数单位．
（1）若复数z＝（2m2﹣m﹣3）+（m2+m﹣2）i（m∈R）在复平面内对应的点在第二象限，求m的取值范围；
（2）若复数z满足2z﹣|z|＝1﹣8i，求复数z．
【答案】（1）（1，）；
（2）z＝3﹣4i．
【解答】解：（1）依题意，，解得，
所以m的取值范围是（1，）；
（2）设z＝a+bi，a，b∈R，由2z﹣|z|＝1﹣8i，得，
则，解得a＝3，b＝﹣4，
所以z＝3﹣4i．
19．复平面内复数z所对应的点为（2，﹣1），则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：复平面内复数z所对应的点为（2，﹣1），
则z＝2﹣i，
故，
|2+2i|．
故选：C．
（多选）20．已知复数z1＝1﹣i，复数z2＝x+yi，x，y∈R，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，则（　　）
A．若，则x+y＝0
B．若，则
C．若，则z1z2＝0
D．若，则|z1+z2|＝|z1﹣z2|
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A，当时，
则1×y＝（﹣1）×x，则x+y＝0，即选项A正确；
对于选项B，结合A，x∈R，即选项B正确；
对于选项C，若，则x＝y，
则z1z2＝（1﹣i）（x+xi）＝2x≠0，
对于选项D，若，则x＝y，
则z1+z2＝1+x+（x﹣1）i，z1﹣z2＝1﹣x+（﹣x﹣1）i，
则|z1+z2|＝|z1﹣z2|，即选项D正确．
故选：ABD．
21．在英语中，实数是RealQuantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是ImaginaryQuantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部．如：Re（1+2i）＝1，Im（1+2i）＝2．已知复数ω是方程x2+x+1＝0的解．
（1）若Im（ω）＞0，求证；
（2）若Im（ω）＜0，复数z＝a+bi（a，b∈R）且满足|z|＝ω3，在复平面内z对应的点为Z，当|z﹣2|取得最大值时，求点Z的坐标．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）（﹣1，0）．
【解答】解：（1）x2+x+1＝0的解为或，
若Im（ω）＞0，则，
所以，
所以；
（2）若Im（ω）＜0，则，
所以|z|＝ω3＝ω2 ω＝1，所以向量的模等于1，
所以满足条件|z|＝1的点Z的集合为以原点O为圆心，以1为半径的圆的圆，
|z﹣2|为圆上的点到（2，0）的距离，当距离最大时，点Z的坐标为（﹣1，0）．
22．已知复数z满足z（1+i）＝i，则复数z的共轭复数对应的点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解答】解：因z（1+i）＝i，
则，
则，其对应的点位于第四象限．
故选：D．
▉题型2 由复平面中的点确定复数
【知识点的认识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
23．复平面上，点（2，﹣1）对应的复数z＝　2﹣i ．
【答案】2﹣i．
【解答】解：点（2，﹣1）对应的复数z＝2﹣i．
故答案为：2﹣i．
（多选）24．在复平面内，，对应的复数分别为，z2＝cosθ+isinθ，且，则z2可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解答】解：因为，z2＝cosθ+isinθ，且，
所以，即cosθsinθ＝0，即cosθsinθ，
又因为sin2θ+cos2θ＝1，所以sinθ且cosθ或sinθ且cosθ，
所以z2i或z2i．
故选：AC．
25．已知复数z1＝1﹣i，z2＝﹣1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点分别为A，B，将向量绕着点O（O为复平面内的原点）逆时针旋转90°得到向量，则对应的复数为（　　）
A．﹣1+2i B．2i C．3i D．1﹣2i
【答案】C
【解答】解：依题意可得A（1，﹣1），B（﹣1，2），，
由图知，向量与向量关于x轴对称，
∴，
∴，
所以对应的复数为3i．
故选：C．
26．如图，已知复平面上的平行四边形OACB，O为坐标原点，点A、B分别对应的复数为3+i、2+4i，M是OC、AB的交点，则点C，M分别对应的复数为 　5+5i 、　　 ．
【答案】5+5i；．
【解答】解：O为坐标原点，点A、B分别对应的复数为3+i、2+4i，
则对应的复数为3+i+2+4i＝5+5i，
对应的复数为，
故答案为：5+5i；．
27．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为z1＝1+i，z2＝5+i，z3＝3+3i．
（1）求向量及的坐标；
（2）若以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．
【答案】（1），．
（2）z4＝7+3i，．
【解答】解：（1）因为点A，B，C对应的复数分别为z1＝1+i，z2＝5+i，z3＝3+3i，
所以A（1，1），B（5，1），C（3，3），
所以，．
（2）由（1）知，A（1，1），B（5，1），C（3，3），，
设顶点D的坐标为（x，y），则，
由题意可知，，所以（2，2）＝（x﹣5，y﹣1），
即，解得x＝7，y＝3，
所以D（7，3），
所以点D对应的复数为z4＝7+3i，
所以，
所以AD的长为．
28．在复平面内，O为坐标原点，复数4i对应的向量为，将绕点O按逆时针方向旋转60°后，再将模变为原来的倍，得到向量，则对应的复数的实部是（　　）
A．6 B．﹣6 C．2 D．
【答案】B
【解答】解：（0，4）绕点O按逆时针方向旋转60°后变为（﹣2，2），再将模变为原来的倍，得到向量（﹣6，2），则对应的复数的实部是﹣6．
故选：B．
29．已知复数z1＝2﹣i，z2＝m+2i（i为虚数单位），m∈R，且 z2为纯虚数．
（1）求|z1+z2|；
（2）设复数z1，z2对应的点分别为A，B，若四边形OABC为平行四边形（O为复平面的原点），求点C对应的复数z3．
【答案】（1）；（2）﹣1+3i．
【解答】解：（1）∵z1＝2﹣i，∴，
∴ z2＝（2+i）（m+2i）＝（2m﹣2）+（4+m）i为纯虚数，
∴，解得m＝1，
∴z2＝m+2i＝1+2i，∴z1+z2＝3+i，
∴|z1+z2|．
（2）由题意可得，A（2，﹣1），B（1，2），设C（x，y），
由四边形OABC为平行四边形，
可得，解得，即C（﹣1，3），
故z3＝﹣1+3i．
30．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝cosθ﹣sinθ+i（cosθ+sinθ），z2．
（1）当θ为何值时，z＝z1+z2的模取得最大值，并求此最大值；
（2）若θ∈（0，2π），设对应的复数是z'，若复数z'对应的点P在直线y＝x，求θ的值．
【答案】（1）2；（2）或．
【解答】解：（1）z＝z1+z2＝cosθ﹣sinθ（cosθ+sinθ）i，
∴|z|
＝2
当cos（）＝1时，|z|取最大值，
即θ2kπ（k∈Z），
∴最大值为2．
（2）（cosθ+sinθ，﹣cosθ﹣sinθ），
∴点P的坐标为（cosθ+sinθ，﹣cosθ﹣sinθ），
代入y＝x，
cosθ+sinθ＝﹣cosθ﹣sinθ，
解得：sinθ，
∵θ∈（0，2π），
∴θ或．
▉题型3 共轭复数
【知识点的认识】
实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数a﹣bi．
【解题方法点拨】
共轭复数的常见公式有：
；；；
31．已知复数z＝m+2+（m﹣2）i（m∈R），为z的共轭复数，且．
（1）求m的值；
（2）若z﹣3i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，求该一元二次方程的另一复数根．
【答案】（1）1；
（2）3+4i．
【解答】解：（1）z＝m+2+（m﹣2）i，
则，
由于，得m+2+（m﹣2）i+m+2﹣（m﹣2）i＝2m+4＝6，解得：m＝1；
（2）由（1）可知，z＝3﹣i，
将z﹣3i＝3﹣4i代入方程可得：（3﹣4i）2+a（3﹣4i）+b＝0，化简整理可得，（﹣7+3a+b）﹣（4a+24）i＝0，
，解得a＝﹣6，b＝25，
代入一元二次方程中得：x2﹣6x+25＝0，解得，，
故方程另外一个复数根为3+4i．
32．设i为虚数单位，复数z满足（1+i）z＝﹣1+2i，则为（　　）
A． B．5 C．2 D．
【答案】D
【解答】解：（1+i）z＝﹣1+2i，
则z（﹣1+3i﹣2i2）（1+3i）i，
∴i，∴（i）（i）．
故选：D．
33．复数的共轭复数对应的点在复平面的（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：复数2﹣i，
它的共轭复数为﹣2+i，在复平面内的对应点的坐标为（﹣2，1），
故选：B．
34．已知复数z1，z2均不为0，则下列等式不恒成立的是（　　）
A． B．|z1﹣z2|＝||
C．z1 z2 D．|z1 |＝| z2|
【答案】C
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a、b、c、d∈R），
对于A：z1﹣z2＝（a﹣c）+（b﹣d）i，故，，故A正确；
对于B：，，故B正确；
对于C：，，故C错误；
对于D：，，故D正确．
故选：C．
（多选）35．已知z1，z2∈C，则（　　）
A． B．z1﹣z2＞0 z1＞z2
C． D．|z1|+|z2|≥|z1+z2|
【答案】CD
【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di，（a、b、c、d∈R），
对于A：，，故A错误；
对于B：复数是不能比较大小的，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：根据三角不等式，|z1|+|z2|≥|z1+z2|，当z1和z2方向相同时，等号成立，故D正确．
故选：CD．
（多选）36．已知z1，z2均为复数，且z2≠0，则下列结论正确的是（　　）
A．若z1z2＝0，则z1＝0
B．若，则z1+z2是实数
C．若，则z1是纯虚数
D．若，则z1＝z2
【答案】ABC
【解答】解：因为z1z2＝0，
所以|z1z2|＝|z1||z2|＝0，
z2≠0，
则|z2|≠0，
故|z1|＝0，即z1＝0，故A正确；
设z2＝a+bi（a，b∈R），则 ，
所以z1+z2＝（a﹣bi）+（a+bi）＝2a∈R，故B正确；
设z1＝a+bi（a，b∈R），则，所以，
解得a＝0，b≠0，所以 z1 是纯虚数，故C正确；
，
则，
但z1≠z2，故D错误．
故选：ABC．
37．已知复数z在复平面上对应点在第四象限，且，z2的虚部为﹣2．
（1）求复数z；
（2）设复数z、、z2在复平面上对应点分别为A、B、C，求的值．
【答案】（1）1﹣i；
（2）﹣2．
【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），
则z2＝（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi，
，z2的虚部为﹣2．
则，解得或，
复数z在复平面上对应点在第四象限，
则z＝1﹣i；
（2）z＝1﹣i，，z2＝﹣2i，
复数z、、z2在复平面上对应点分别为A、B、C，
则A（1，﹣1），B（1，1），C（0，﹣2），
，，
故2．
38．已知复数z1＝2﹣i，z2＝3+2i．
（1）若复数z1+az2在复平面上对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
（2）若，求z的共轭复数．
【答案】（1）．（2）．
【解答】解：（1）∵复数z1＝2﹣i，z2＝3+2i，
∴z1+az2＝（2﹣i）+a（3+2i）＝（3a+2）+（2a﹣1）i，
∵复数z1+az2在复平面上对应的点（3a+2，2a﹣1）在第三象限，
∴，解得，
故实数a的取值范围为．
（2）∵复数z1＝2﹣i，z2＝3+2i，
∴，
∴．
▉题型4 复数的模
【知识点的认识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
39．复数z＝1﹣3i，其中i为虚数单位，则|z|＝（　　）
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【解答】解：z＝1﹣3i，
则|z|．
故选：C．
40．已知x，y∈R，i是虚数单位，若4x﹣i＝（3+i）y，则|x+yi|＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵4x﹣i＝（3+i）y，∴4x﹣i＝3y+yi，∴，解得，
∴．
故选：B．
41．设复数z1，z2满足|z1|＝3，|z2|＝4，且z1﹣z2＝3﹣4i，则|z1+z2|＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解答】解：设z1，z2在复平面内对应的向量分别为．
由|z1|＝3，|z2|＝4，且z1﹣z2＝3﹣4i，
可知，，
由于32+42＝52，则以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形为矩形，
故．
故选：C．
42．已知复数z满足|z﹣2|＝2，则|1|的最大值为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：|z﹣2|＝2的点Z是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称，
因此，由复数的几何意义知表示点Z0与点（﹣1，0）的距离，
又圆上的点到（﹣1，0）的距离最大值为5，
所以的最大值为5．
故选：B．
43．已知i是虚数单位，则|2+i2+2i3|＝ 　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵2+i2+2i3＝2﹣1﹣2i＝1﹣2i，
∴|2+i2+2i3|＝|1﹣2i|．
故答案为：．
44．设复数z满足|z+2i|+|z﹣2i|＝4，则|z﹣1﹣i|的取值范围是 　　 ．
【答案】
【解答】解：在复平面内，|z+2i|+|z﹣2i|＝4，
则复数z表示以（0，2），（0，﹣2）为端点的一条线段，
又|z﹣1﹣i|表示在复平面内Z到点（1，1）的距离，
则|z﹣1﹣i|的最小值为1，最大值为，
故|z﹣1﹣i|的取值范围为．
故答案为：．
45．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝4，则|z1﹣z2|＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），
所以z1+z2＝a+c+（b+d）i，
又|z1|＝|z2|＝|z1+z2|＝4，
所以a2+b2＝16，c2+d2＝16，（a+c）2+（b+d）2＝a2+b2+2ac+c2+d2+2bd＝16，
所以2ac+2bd＝﹣16，
又z1﹣z2＝a+bi﹣（c+di）＝a﹣c+（b﹣d）i，
所以．
故答案为：．
46．已知z2＝﹣1，则|z+1|＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为z2＝﹣1＝（±i）2，
所以z＝±i，所以．
故答案为：．
47．复数的模是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意，复数，
所以，
故复数的模是．
故答案为：．
48．已知复数z满足|z|＝1，其中i为虚数单位，则|z﹣1+i|的最小值为 　1　 ．
【答案】．
【解答】解：复数z满足|z|＝1，其中i为虚数单位，
设z＝x+yi（x，y∈R），则，
∴，两边同时平方得x2+y2＝1．
这表示复平面内以原点（0，0）为圆心，1为半径的圆．
将z＝x+yi代入|z﹣1+i|，可得|z﹣1+i|＝|x+yi﹣1+i|＝|（x﹣1）+（y+1）i|．
根据复数模的计算公式，
，
它表示复平面内点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．
点（1，﹣1）到圆心（0，0）的距离为．
∵圆的半径为1，
∴点（1，﹣1）到圆上的点的距离的最小值为点（1，﹣1）到圆心的距离减去圆的半径，即．
∴|z﹣1+i|的最小值为．
故答案为：．
49．设复数z满足zi+1＝z，则|z|＝　　 ．
【答案】．
【解答】解：∵zi+1＝z，
则，
故．
故答案为：．
（多选）50．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（　　）
A．若复数z满足，则复数z对应的点在以（1，0）为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z+|z|＝2+8i，则复数z＝﹣15+8i
C．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则
D．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则
【答案】BC
【解答】解：对于A，复数z满足，则复数z对应的点在以（0，1）为圆心，为半径的圆上，故A错误，
对于B，令z＝a+bi，a，b∈R，
∵z+|z|＝2+8i，
∴，即，解得，
∴z＝﹣15+8i，故B正确，
对于C，，，
∵|z1|＝|z2|，
∴则，故C正确，
对于D，令z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但，故D错误．
故选：BC．
51．已知复数z1＝i﹣a，z2＝1+i，其中a是实数．
（1）若，求实数a的值；
（2）若是纯虚数，求．
【答案】（1）﹣1；
（2）i．
【解答】解：（1）∵z1＝i﹣a，∴，
则，解得a＝﹣1，
∴实数a的值是﹣1；
（2）复数z1＝i﹣a，z2＝1+i，a∈R，
则，
由是纯虚数，得，解得a＝1，
因此，又i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，
则i4n﹣3＝i，i4n﹣2＝﹣1，i4n﹣1＝i，i4n＝1，
即有i4n﹣3+i4n﹣2+i4n﹣1+i4n＝0（n∈N*），
∴．

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