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第4章第1节 空间的几何体
题型1 棱柱的结构特征 题型2 棱锥的结构特征
题型3 棱台的结构特征 题型4 圆锥的结构特征
题型5 圆台的结构特征 题型6 球的结构特征
题型7 空间几何体的直观图 题型8 斜二测法画直观图
题型9 由斜二测直观图还原图形
▉题型1 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
1．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，，则B1D＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，P为侧面ADD1A1内（含边界）的动点，且B1P∥平面BEF，则CP的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则平面D1AE截正方体所得的平面图形为（　　）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
4．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（　　）
A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）
5．如图，一个水平放置的三棱柱形容器中盛有水，则有水部分呈现的几何体是（　　）
6．下列关于空间几何体的论述，正确的是（　　）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形
7．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD，C1B1的中点，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，若MP⊥CN，则AP的最大值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，P为线段A1B1的中点，Q为线段C1P（包括端点）上一点，则△BCQ的面积的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
9．下列几何体为棱柱的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．下列说法正确的是（　　）
A．侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．过圆柱的轴的截面是一个矩形
D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
（多选）11．《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列命题正确的是（　　）
A．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球的体积为
B．该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2：3
C．该牟合方盖的内切球被平面A1C1D截得的截面面积为
D．以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为
（多选）12．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则（　　）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
（多选）13．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（　　）
A．当时，S为四边形
B．当时，S为等腰梯形
C．当时，S与C1D1的交点R1，满足
D．当时，S为四边形
14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），①若，则点Q的轨迹长度为　 ；②若P为棱CD的中点，则QP+QA1的最小值为　 ．
15．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 　 ．
16．下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台．其中的真命题有　 ．
17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S、T分别为线段AA1、AB、BC、BD、BB1的中点，联结A1S、D1T对空间任意两点M、N，若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交，则称M、N两点可视．则此正方体中的点A、P、Q、R中与点C1可视的点有 　 ．（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
18．如图，在棱长为6正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，DD1的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 　 ．
19．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DD1上一动点，则PB1+PC的最小值为 ．
20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，F是A1D1中点，则下列命题正确的有 　 　 ．
①直线EF与CD所成角的正切值为；
②三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为；
③平面B1EF截正方体所得截面为等腰梯形；
④点F到平面A1BC1的距离为．
21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BC的中点，F为线段CC1上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是 　 　 ．
①直线D1D与直线AF相交；
②当时，S为四边形；
③当F为CC1的中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为；
④当时，截面S与A1D1，C1D1分别交于M，N，则．
22．如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱AA1＝8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
（1）如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
（2）当水面经过线段A1B1时，水面与地面的距离为多少？
（3）试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）
▉题型2 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
23．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且，则点P的轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．π
24．两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（　　）
A．一个三棱锥 B．一个四棱锥
C．一个三棱柱 D．一个四棱柱
25．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足CF＝2FB，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 ．
（多选）26．满足下列条件的四面体存在的是（　　）
A．1条棱长为，其余5条棱长均为1
B．1条棱长为1，其余5条棱长均为
C．2条棱长为，其余4条棱长均为1
D．2条棱长为1，其余4条棱长均为
27．在正三棱锥A﹣OBC中，顶点A在底面OBC的射影为点D，OA＝OB＝1，则AD＝（　　）
A． B． C． D．
28．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（　　）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
29．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π﹣3π，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（　　）
A．2π B．4π C．5π D．6π
30．已知正四棱锥S﹣ABCD，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（　　）
A． B．2 C． D．2
31．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
32．如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝　 ．
▉题型3 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
33．下列几何体中，有且仅有8个面的是（　　）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱
34．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，截去三棱锥A1﹣ABC，则剩余部分是（　　）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥
35．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为 　 ．
（多选）36．下面说法正确的是（　　）
A．多面体至少有四个面
B．棱柱所有的面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
37．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．用平面BCNM把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 　 　 .（填：棱柱、棱锥、棱台其中一个）
▉题型4 圆锥的结构特征
【知识点的认识】
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
38．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
（多选）39．下列说法中正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
（多选）40．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA＝l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为12π，则下列说法正确的是（　　）
A．当r＝3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当l＝6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当l＝6时，圆锥SO的外接球表面积为
D．当l＝6时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
▉题型5 圆台的结构特征
【知识点的认识】
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
41．下列几何体为旋转体的是（　　）
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台
42．有下列命题，其中错误命题个数是（　　）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形
③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
43．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（　　）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
44．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 ．
▉题型6 球的结构特征
【知识点的认识】
球是所有距离球心相等的点组成的几何体．球的主要特征是半径r．
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
45．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，O1、O2为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径R＝2，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为 ；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为 ．
▉题型7 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
46．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm
▉题型8 斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
47．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝2
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为
48．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　）
A． B． C． D．5
49．如图所示，正方形A′B′C′O′的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观图，则原图形的周长为（　　）
A．12cm B．16cm C． D．
50．用斜二测画法作出水平放置的正方形ABCD的直观图A′B′C′D′如图所示，则正方形ABCD与直观图A′B′C′D′的周长之比为 ．
▉题型9 由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
51．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图△A′O′B′（图中虚线分别与x′轴，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是（　　）
A．6 B． C．12 D．
52．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B'到x轴的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．
53．如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△A'B'C'，其中∠x'O'y'＝45°，A'O'＝B'O'＝C'O'＝1，则△ABC为（　　）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
54．如图，△A′B′O′是用斜二测画法画出的△ABO的直观图，其中O′A′＝1，O′B′＝2，则△ABO的周长是 ．
55．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为45°，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 　 ．
56．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝O′C′＝2，A′O′，那么原△ABC是一个（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
57．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若A′C′＝2cm，且，则原图形中AC边上的高为（　　）
A． B． C． D．第4章第1节 空间的几何体
题型1 棱柱的结构特征 题型2 棱锥的结构特征
题型3 棱台的结构特征 题型4 圆锥的结构特征
题型5 圆台的结构特征 题型6 球的结构特征
题型7 空间几何体的直观图 题型8 斜二测法画直观图
题型9 由斜二测直观图还原图形
▉题型1 棱柱的结构特征
【知识点的认识】
1．棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．
2．认识棱柱
底面：棱柱中两个互相平行的面，叫做棱柱的底面．
侧面：棱柱中除两个底面以外的其余各个面都叫做棱柱的侧面．
侧棱：棱柱中两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
顶点：棱柱的侧面与底面的公共顶点．
高：棱中两个底面之间的距离．
3．棱柱的结构特征
根据棱柱的结构特征，可知棱柱有以下性质：
（1）侧面都是平行四边形
（2）两底面是全等多边形
（3）平行于底面的截面和底面全等；对角面是平行四边形
（4）长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和．
4．棱柱的分类
（1）根据底面形状的不同，可把底面为三角形、四边形、五边形…的棱柱称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…．
（2）根据侧棱是否垂直底面，可把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面为正多边形，则称其为正棱柱．
5．棱柱的体积公式
设棱柱的底面积为S，高为h，
V棱柱＝S×h．
1．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，，则B1D＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：在长方体中，
．
故选：B．
2．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，P为侧面ADD1A1内（含边界）的动点，且B1P∥平面BEF，则CP的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由题意，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AD，B1C1的中点，P为侧面ADD1A1内（含边界）的动点，且B1P∥平面BEF，
如图，取A1D1的中点G，连接AG，B1G，AB1，
由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的性质，可得AG∥BF，B1G∥BE，
因为AG 平面BEF，B1G 平面BEF，BF 平面BEF，BE 平面BEF，
所以AG∥平面BEF，B1G∥平面BEF，
因为AG 平面AB1G，B1G 平面AB1G，且AG∩B1G＝G，
所以平面AB1G∥平面BEF，
因为AG 平面AA1D1D，
所以当P∈AG时，B1P 平面AB1M，此时B1P∥平面BEF，
故点P在侧面AA1D1D内的轨迹为线段AG，
连接DG，EG，作DH⊥AG，垂足为H，则AG DH＝AD EG，
所以，故，
因为，当P与H重合时，等号成立，
所以CP的最小值为．
故选：A．
3．在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，则平面D1AE截正方体所得的平面图形为（　　）
A．三角形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．五边形
【答案】B
【解答】解：延长AE交直线DC于G，连接D1G交CC1于F，连接EF，即AEFD1即为所求截面，
由题设有，
即F为D1G的中点，则EF∥BC1且，
又AB∥DC∥D1C1，AB＝DC＝D1C1，
则ABC1D1为平行四边形，
所以AD1∥BC1且AD1＝BC1，
故AD∥EF且，
又AE＝D1F，
所以AEFD1为等腰梯形．
故选：B．
4．观察下面的几何体，哪些是棱柱？（　　）
A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【解答】解：由棱柱的定义可知，（1）（3）（5）满足棱柱的定义．
故选：A．
5．如图，一个水平放置的三棱柱形容器中盛有水，则有水部分呈现的几何体是（　　）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
【答案】C
【解答】解：记水面与三棱柱四条棱的交点分别为D，E，D1，E1，如图所示，
由三棱柱性质可知，ABED和A1B1E1D1是全等的梯形，
又平面ABB1A1∥平面DEE1D1，
平面ACC1A1分别与平面ABB1A1和DEE1D1相交于AA1，DD1，
所以AA∥DD1，同理BB1∥EE1，
又AA1∥BB1，所以AA1，BB1，DD1，EE1互相平行，
所以盛水部分的几何体是以ABED和A1B1E1D1为底面的四棱柱．
故选：C．
6．下列关于空间几何体的论述，正确的是（　　）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D．存在三棱锥，其四个面都是直角三角形
【答案】D
【解答】解：对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，
但该几何体不是棱柱，故A错误；
对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件，
但该几何体不是棱台，故B错误；
对于C，连接圆柱上下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，故C错误；
对于D，如图3，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接BD，AB1，B1D，
因为BB1⊥平面ABCD，BD，AB 平面ABCD，
所以BB1⊥AB，BB1⊥BD，所以△B1BA，△B1BD为直角三角形．
又AD⊥平面ABB1A1，AB，AB1 平面ABB1A1，
所以AD⊥AB，AD⊥AB1，所以△DAB，△DAB1为直角三角形．
所以三棱锥B1﹣ABD的四个面都是直角三角形，故D正确．
故选：D．
7．棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为BD，C1B1的中点，点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，若MP⊥CN，则AP的最大值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，取AA1的中点E，BB1的中点为F，连接C1F，EF，D1E，
可证CN⊥C1F，CN⊥EF，所以CN⊥平面C1FED1，
取AD中点T，BC中点Q，CC1的四等分点R，满足CRCC1，
DD1的四等分点S，满足，
可证平面QRST∥平面C1FED1，所以CN⊥平面QRST，
又因为平面QRST经过BD的中点M，
由已知可得P点轨迹为四边形QRST的边界（不包括内部和点M），
所以当点P位于点R时，AP取最大值，为．
故选：B．
8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，P为线段A1B1的中点，Q为线段C1P（包括端点）上一点，则△BCQ的面积的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：取AB的中点E，连接CE，过Q作QM⊥CE，垂足为M，
过M作MN⊥BC，垂足为N，连接QN，PE，
则QM∥CC1∥PE，且QM＝CC1＝PE＝2，点E到BC的距离为，
由直三棱柱的性质知CC1⊥平面ABC，
所以QM⊥平面ABC，MN，BC 平面ABC，
则QM⊥MN，QM⊥BC，且QM∩MN＝M，QM，MN 平面QMN，
所以BC⊥平面QMN，且QN 平面QMN，
则BC⊥QN，可知，
当且仅当点Q与点P重合时，等号成立，
所以△BCQ面积的最大值为．
故选：A．
9．下列几何体为棱柱的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A中，侧棱长不一样长，由棱柱的定义可知，不是棱柱，所以A不正确；
B中，由图知是四棱柱，所以B正确；
C中，由图知几何体为棱台，所以C不正确；
D中，图为三棱锥，所以D不正确．
故选：B．
（多选）10．下列说法正确的是（　　）
A．侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．过圆柱的轴的截面是一个矩形
D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥
【答案】BCD
【解答】解：对于选项A，侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以侧棱都相等的棱锥不一定为正棱锥，故错误；
对于选项B，由于长方体的侧棱和底面垂直，可得长方体是直四棱柱，故正确；
对于选项C，由圆柱的几何特征可知过圆柱的轴的截面是一个矩形，故正确；
对于选项D，棱台是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截完剩下的部分，则延伸侧棱可还原为棱锥，故正确．
故选：BCD．
（多选）11．《九章算术》中称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图所示），已知该正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列命题正确的是（　　）
A．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱切球的体积为
B．该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2：3
C．该牟合方盖的内切球被平面A1C1D截得的截面面积为
D．以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积与该牟合方盖的内切球的体积之比为
【答案】AB
【解答】解：对于A，正方体的棱切球半径为面对角线长的一半，
则体积为，故A正确；
对于B：因为正方体的内切球与正方体的两个内切圆柱的侧面和底面都相切，
又因为牟合方盖与的两个顶点和侧面四个曲面刚好与正方体的侧面相切，
故正方体的内切球内切于牟合方盖，该牟合方盖的内切球的半径为，
体积为，
其中一个圆柱体的底面半径为，高为1，体积为，
所以该牟合方盖的内切球的体积与其中一个圆柱体的体积之比为2：3，故B正确；
对于C：因为A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，则A1C1⊥BB1，
∵BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1，
∵BD1 平面BB1D1，则BD1⊥A1C1，同理可证B1D1⊥A1D，
∵A1C1∩A1D＝A1，所以BD1⊥平面A1C1D，
设BD1∩平面A1C1D＝E，则D1E⊥平面A1C1D，
因为，
易知△A1C1D是边长为的等边三角形，则，
由，所以，
易知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球球心为BD1的中点O，且OD1BD1，
所以，内切球半径为，
所以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球被平面A1C1D截得的截面圆半径，
截面面积为，故C错误；
对于D，以正方体的顶点A为球心，1为半径的球在该正方体内部部分的体积恰为该球体积的，
即为，
该牟合方盖的内切球的体积为，
因此，所求体积之比为1，故D错误．
故选：AB．
（多选）12．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，2，1，则（　　）
A．长方体的表面积为20
B．长方体的体积为6
C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为
【答案】BC
【解答】解：长方体的表面积为2×（3×2+3×1+2×1）＝22，故选项A错误；
长方体的体积为3×2×1＝6，故选项B正确；
如图（1）所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设AB＝3，BC＝2，BB1＝1，
求表面上两点间最短（长）距离，可把几何体展开成平面图形，
如图（2）所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1，
即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离为；
如图（3）所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则AC1，
即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离为；
如图（4）所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则AC1，
即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离为，
因为，
所以沿着长方体表面由A到C1的最短距离是，故选项C正确，选项D错误．
故选：BC．
（多选）13．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是（　　）
A．当时，S为四边形
B．当时，S为等腰梯形
C．当时，S与C1D1的交点R1，满足
D．当时，S为四边形
【答案】ABC
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，
过点A，P，Q的平面截该正方体所得截面记为S，
对于A，作图如下：
AE＝平面APQE∩平面ADD1A1，PQ＝平面APQE∩平面BCC1B1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，则PQ∥AE，
由题意知△PCQ～△ADE，则，由P为CB的中点，则，即ED＝2CQ，
由，则0＜ED＜1，所以S为四边形，故A正确；
对于B，由题意作图如下：
由A可知DE＝2QC，由，则DE＝1，即点E与D1重合，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝C1D1＝1，，∠ABP＝∠QC1D1＝90°，
所以△APB △D1QC1，则AP＝QD1，由A可知PQ∥AD1，则S为等腰梯形，故B正确；
对于C，由题意作图如下：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知△AA1E～△QCP，则，
由，，AA1＝1，则，即，
易知△ABP～△R1D1E，则，即，解得，故C正确；
对于D，由题意作图如下：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，易知△QCP～△FDA，则，
由，AD＝1，则DF＝2CQ，由，则，
所以F位于DD1的延长线上，则E＝AF∩A1D1，R1＝FQ∩C1D1，
即S为五边形，故D错误．
故选：ABC．
14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界），①若，则点Q的轨迹长度为　　 ；②若P为棱CD的中点，则QP+QA1的最小值为　　 ．
【答案】；．
【解答】解：已知在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q为正方形BB1C1C内一动点，
因为DC⊥平面BB1C1C，QC 平面BB1C1C，所以DC⊥QC，
因为，所以，
即点Q的轨迹是以C为圆心，半径为的四分之一圆，
所以其轨迹长为；
如图，延长DC到点M，使得PC＝CM，则点P关于平面BB1C1C对称的点为点M，
连接A1M与平面BB1C1C交于点Q，此时使得QP+QA1取得最小值，
且最小值为．
故答案为：；．
15．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据正六棱锥的底面边长为1，高为，则侧棱长为2，斜高等于，
所以正六棱锥的底面积，侧面积，
正六棱锥的体积，
设正六棱锥的内切球的半径为r，
则，解得，
要使正方体能在该正六棱锥内任意转动，则正方体的外接球直径不超过正六棱锥的内切球直径，
若正方体的棱长为a，则正方体的外接球直径为，
可得，解得，所以正方体的棱长的最大值为．
故答案为：．
16．下列命题中：①有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱；②有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥；③平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；④有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台．其中的真命题有　②③　 ．
【答案】②③．
【解答】解：对于①，有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，如图所示，该几何体不是棱柱，命题①错误；
对于②，侧面全为三角形，底面为平行四边形的棱锥是四棱锥，命题②正确；
对于③，底面是平行四边形的棱柱是平行六面体，所以平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，命题③正确；
对于④，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不一定是棱台，因为棱台的所有侧棱的延长线交于同一点，所以命题④错误．
故答案为：②③．
17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R、S、T分别为线段AA1、AB、BC、BD、BB1的中点，联结A1S、D1T对空间任意两点M、N，若线段MN与线段A1S不相交或与线段D1T不相交，则称M、N两点可视．则此正方体中的点A、P、Q、R中与点C1可视的点有 　点A，点Q，点R ．（答案从“点A、点P、点Q、点R”中选择）
【答案】点A、点Q、点R．
【解答】解：对于点A，连接AD1，BC1，AC1，因为D1、A、C1∈平面D1C1BA，T 平面D1C1BA，且D1 AC1，
所以直线D1T与AC1是异面直线，
所以点C1与点A可视；
对于点P，如图，连接A1C1，PC1，BD，AC，得A1S、PC1 平面A1C1CA，且A1S与PC1相交，
连接D1P，PT，TC1，因为D1C1∥PT，D1C1＝PT，
所以四边形D1C1TP是平行四边形，得D1T与PC1相交，所以点C1与点P不可视，
对于点Q，如图，连接A1C1，AC，C1Q，
因为A1、S、C1∈平面A1C1CA，Q 平面A1C1CA，且C1 A1S，
所以直线A1S．与QC1是异面直线，所以点C1与点Q可视；
对于点R，如图，连接RC1，TC1，TD1，
因为C1、T、D1∈平面D1C1T，R 平面D1C1T，且C1 D1T，
所以直线D1T与RC1是异面直线，所以点C1与点R可视，故D错误．
故答案为：点A、点Q、点R．
18．如图，在棱长为6正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AB，BC，DD1的中点，过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：直线EF与直线AD，CD分别交于点M，N，连接GM，GN，
分别交AA1，CC1于点K，H，连接EK，FH，
则五边形EFHGK是过三点E，F，G三点的平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面，如图，
由题意得AM＝AE＝GF＝CN＝3，，则AK＝1，
FH＝EK，GH＝GK2，
∵EF＝3，
∴过E，F，G三点的平面与正方体各个面所得交线围成的平面图形的周长为：．
故答案为：．
19．已知棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱DD1上一动点，则PB1+PC的最小值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，将平面BB1D1D绕D1D翻折到与平面CC1D1D共面（如下平面图形
连接B1C交DD1于点P，此时PB1+PC取得最小值B1C，
又DC＝BB1＝2，，
所以，则，
即PB1+PC的最小值为．
故答案为：．
20．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E是线段AB上靠近B点的三等分点，F是A1D1中点，则下列命题正确的有 　①②④　 ．
①直线EF与CD所成角的正切值为；
②三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球的半径为；
③平面B1EF截正方体所得截面为等腰梯形；
④点F到平面A1BC1的距离为．
【答案】①②④．
【解答】解：对于①：由AB∥CD，故直线EF与CD所成角与直线EF与AB所成角相等，
连接AF，可得，又AE＝2，
AE⊥平面ADD1A1，AF 平面ADD1A1，所以AE⊥AF，
故，故①正确；
对于②：三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球与正方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球相同，
故其外接球半径为，故②正确；
对于③：如图：取AD中点N，连接BN，过E点作EM∥BN，
交AD于点M，则EM∥B1F，所以平面B1EF截正方体所得截面为梯形B1EMF，
由 AM＝1，所以，
所以，，所以MF≠B1E，
所以梯形B1EMF不是等腰梯形，故③错误；
对于④：如图：设点F到平面A1BC1的距离为h，
则，
而，
，
所以，故④正确．
故答案为：①②④．
21．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为BC的中点，F为线段CC1上的动点，过点A，E，F的平面截该正方体所得截面记为S，则下列命题正确的是 　②③④　 ．
①直线D1D与直线AF相交；
②当时，S为四边形；
③当F为CC1的中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为；
④当时，截面S与A1D1，C1D1分别交于M，N，则．
【答案】②③④．
【解答】解：①，因为F为线段CC1上的动点，所以AF 平面ACC1A，由正方体可知D1D∥平面ACC1A1，所以直线D1D与直线AF不可能相交，故①错误；
②，时，截面S与正方体的另一个交点落在线段DD1上，如图所示：
所以截面为四边形；
又A1G 面A1MG，故A1G∥面AEF，故②正确；
③，连接AD1，D1F，AE，BC1，如下所示：
因为E为BC的中点，F为CC1的中点，
则EF∥BC1∥AD1，故面AEFD1即为平面AEF截正方体所得截面；
在Rt△D1C1F和Rt△ABE中，
又，故该截面为等腰梯形，
又，AD1，
故截面面积，故③正确；
④，，延长DD1至R，使得D1R，
连接AR交A1D1于M，连接RF交C1D1于N，连接MN，
取AD的中点S，DD1上一点Q，使，连接SE、SQ、QF，
如图所示：
因为SE∥DC且SE＝DC，QF∥DC且QF＝DC，
所以SE∥QF且SE＝QF，所以四边形SEFQ是平行四边形，则SQ∥EF，
由，，所，
则Q为DR中点，则SQ∥AR，所以EF∥AR，
又ΔRD1N～△FC1N，ΔRD1M～ΔAA1M，
可得．
所以D1ND1C1，D1MD1A1，
则在Rt△MD1N中，，故④正确．
故答案为：②③④．
22．如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱AA1＝8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
（1）如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
（2）当水面经过线段A1B1时，水面与地面的距离为多少？
（3）试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）
【答案】（1）6；（2）4；（3）．
【解答】解：（1）记水面与棱AC，BC，A1C1，B1C1分别交于点D，E，E1，D1，
当侧面AA1B1B水平放置时，水是以ABED为底，高为8的直棱柱，
因为AB＝4，D、E分别为棱AC，BC的中点，
所以，
所以水的体积为8，
当底面ABC水平放置时，设水面高为h1，
则，解得h1＝6，
即当底面ABC水平放置时，水面高为6；
（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为，
所以三棱锥C﹣A1B1C1的体积为，
空气部分的体积为，
因为，
所以当水面经过线段A1B1时，水面与棱CC1交于点G，
如图，
由，
得GC1＝6，
记A1B1的中点为H，连接GH，C1H，
则，
因为A1C1＝B1C1，所以C1H⊥A1B1，
又GC1⊥平面A1B1C1，A1B1，C1H 平面A1B1C1，
所以GC1⊥A1B1，GC1⊥C1H，
因为GC1∩C1H＝C1 GC1，C1H 平面GC1H，
所以A1B1⊥平面GC1H，
因为A1B1 平面GA1B1，所以平面GC1H⊥平面GA1B1，
所以直线GC1在平面GA1B1内的投影为GH，
所以∠C1GH 为直线GC1与水平面所成角，
又GC1⊥C1H，所以，
所以，
因为AA1∥CC1，所以水面到地面的距离为；
（3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱AC，BC，A1C1，B1C相交，
如图：
记DE，D1E1的中点分别为F，F1，Q在C1F1上，且QF1＝CF，∠C1CQ＝θ，
易知，△CDE，△C1D1E1为正三角形，设CD＝m，C1D1＝n，
则，，
所以，
整理得，
又因为DD1 平面AA1C1C，EE1 平面BB1C1C，平面AA1C1C∩平面BB1C1C＝CC1，
所以DD1与EE1的交点必在CC1上，所以CDE﹣C1D1E1为棱台，
所以，
整理得n2+m2+mm＝12，②，
联立①②可得n，，
因为CF∥QF1，CF＝QF1，
所以CFF1Q为平行四边形，
所以，
易知DEE1D1为等腰梯形，所以FF1为等腰梯形DEE1D1的高，
所以水面面，
则
，
当水面刚好过点C时，，
解得，
则C1F1＝3 ，
由题意可知，则，
记tan2θ＝t，，
由二次函数性质可知，，
即，
所以219＜S2＜162，所以，
即水面面积S的取值范围为．
▉题型2 棱锥的结构特征
【知识点的认识】
1．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体叫做棱锥．用顶点和底面各顶点的字母表示，例：S﹣ABCD．
2．认识棱锥
棱锥的侧面：棱锥中除底面外的各个面都叫做棱锥的侧面．
棱锥的侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱．
棱锥的顶点；棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．
棱锥的高：棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高．
棱锥的对角面；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面．
3．棱锥的结构特征
根据棱锥的结构特征，可知棱锥具有以下性质：
平行于底面的截面和底面相似，且它们的面积比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比．
4．棱锥的分类
棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形…我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形．
5．棱锥的体积公式
设棱锥的底面积为S，高为h，
V棱锥Sh．
23．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且，则点P的轨迹的长度为（　　）
A． B． C． D．π
【答案】C
【解答】解：设A在底面正三角形BCD内的射影为H，
则BH，
所以AH，又点P在△BCD内，且，
所以PH，
作出底面BCD的平面图，如下图所示：
作HG⊥CD于G，E，F为以H为圆心，为半径的圆与三角形BCD的其中的两个交点，
又H到正三角形BCD各边的距离为HG，HE＝HF，
所以cos∠EHG，所以∠EHG，所以∠EHF，
所以点P的轨迹为底面BCD内以H为圆心，为半径的三段对称的弧，且每段弧所对的圆心角为，
所以点P的轨迹的长度为．
故选：C．
24．两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（　　）
A．一个三棱锥 B．一个四棱锥
C．一个三棱柱 D．一个四棱柱
【答案】D
【解答】解：根据题意，两个三棱锥和一个四棱锥能否拼成某几何体，可以看该几何体是否可拆割成两个三棱锥和一个四棱锥，
依次分析选项：
对于A，三棱锥ABCD中，分别取BC，BD中点为E，F，EF中点为M，连接AM，则三棱锥A﹣BCD可拆割为三棱锥A﹣BEM，A﹣BFM和四棱锥A﹣CDFE，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱锥，符合题意；
对于B，取BC、AD的中点分别为E，F，则四棱锥P﹣ABCD可拆割为三棱锥P﹣AFB，P﹣BEF和四棱锥P﹣EFDC，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个四棱锥，符合题意，符合题意；
对于C，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取B1C1的中点为E，则三棱柱ABC﹣A1B1C1可拆割为三棱锥B1﹣A1BE，C1﹣A1BE和四棱柱B﹣ACC1A1，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱柱，符合题意；
对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三棱锥拼成，故D不可能．
故选：D．
25．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PA的中点，F在棱BC上，满足CF＝2FB，G在棱PB上，满足D，E，F，G四点共面，则的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图，延长DF，交AB的延长线于点Q，连接EQ，EQ与PB的交点即为G，
理由如下：设D，E，F共面α，
因AB∩DF＝Q，则Q∈α，Q∈平面PAB，
又因α∩平面PAB＝EG，
故E，G，Q三点共线，即EQ∩PB＝G，
取AB的中点M，连接EM，
因CF＝2FB，由△FBQ∽△FCD可得，
因，则BM＝BQ，
又E是棱PA的中点，则EM∥PB，则得EG＝GQ，
故有，
又，
所以，
故．
（多选）26．满足下列条件的四面体存在的是（　　）
A．1条棱长为，其余5条棱长均为1
B．1条棱长为1，其余5条棱长均为
C．2条棱长为，其余4条棱长均为1
D．2条棱长为1，其余4条棱长均为
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，不妨设四面体ABCD满足AB＝BC＝CA＝BD＝CD＝1，
设BC中点为E，则，
设∠AED＝θ，则，
所以；
所以当有1条边为1，5条边为a时，，故A错误，
对于B，同理A，当有1条边为1，5条边为a时，，故B正确，
对于C，当有2条边为a，4条边为1时，分两种情况：
①长为a的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD＝CD＝a，
设AD与平面ABC所成的角为θ，BC中点为E，
则；
②长为a的两条棱为相对棱，不妨设为BC＝AD＝a，设BC中点为E，则，所以，综上可知，，C正确；
对于D，同理C，当有2条边为1，4条边为a时，，故D正确．
故选：BCD．
27．在正三棱锥A﹣OBC中，顶点A在底面OBC的射影为点D，OA＝OB＝1，则AD＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，正三棱锥A﹣OBC中，若点A在平面OBC的射影是点D，
则D为等边△OBC的外心，
又由OB＝1，则，
由于AD⊥底面OBC，OD 底面OBC，可得AD⊥OD，
则由勾股定理可得高．
故选：D．
28．一个棱锥所有的棱长都相等，则该棱锥一定不是（　　）
A．正三棱锥 B．正四棱锥 C．正五棱锥 D．正六棱锥
【答案】D
【解答】解：若一个棱锥的各棱长均相等，
则该棱锥一定不是六棱锥，
因为正六边形到中心的距离等于边长，
所以正六棱锥的侧锥必大于底面棱长．
故选：D．
29．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为2π﹣3π，故其总曲率为4π，则四棱锥的总曲率为（　　）
A．2π B．4π C．5π D．6π
【答案】B
【解答】解：由题意可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，
可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合，
由图可知四棱锥有5个顶点，5个面，其中4个三角形，1个四边形，
所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，
所以面角和为4π+2π＝6π，
故总曲率为5×2π﹣6π＝4π．
故选：B．
30．已知正四棱锥S﹣ABCD，底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（　　）
A． B．2 C． D．2
【答案】C
【解答】解：因为正四棱锥S﹣ABCD，底面边长是2，所以底面积为2×2＝4．
设正四棱锥的高为h，由，所以．
所以侧棱长为．即侧棱长为．
故选：C．
31．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，
如图，PO是正四棱锥的高，
设底面边长为a，底面积为，
因为，
所以，
所以△PAB是正三角形，面积为，
所以．
故选：D．
32．如图，在三棱锥P﹣ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝　　 ．
【答案】
【解答】解：由已知得BDAB，BC＝2，
因为D、E、F三点重合，所以AE＝AD，BF＝BDAB，
则在△ACE中，由余弦定理可得CE2＝AC2+AE2﹣2AC AE cos∠CAE＝1+3﹣21，
所以CE＝CF＝1，
则在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB，
故答案为：．
▉题型3 棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
33．下列几何体中，有且仅有8个面的是（　　）
A．六棱柱 B．六棱锥 C．八棱锥 D．五棱柱
【答案】A
【解答】解：根据六棱柱有6个侧面、2个底面，共8个面，可知A项符合题意；
根据六棱锥有6个侧面、1个底面，共7个面，可知B项不符合题意；
根据八棱锥有8个侧面、1个底面，共9个面，可知C项不符合题意；
根据五棱柱有5个侧面、2个底面，共7个面，可知D项不符合题意．
故选：A．
34．如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，截去三棱锥A1﹣ABC，则剩余部分是（　　）
A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．五棱锥
【答案】B
【解答】解：如图所示，
三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，
剩余部分是四棱锥A′﹣BCC′B′．
故选：B．
35．棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则棱台的体积为 　6+2　 ．
【答案】6+2．
【解答】解：依题意，棱台的上底面面积S′＝2，
下底面面积为S＝4，高为h＝2，
∴由公式可知棱台的体积是：
V（）h（2）×3＝6+2．
故答案为：6+2．
（多选）36．下面说法正确的是（　　）
A．多面体至少有四个面
B．棱柱所有的面都是平行四边形
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
【答案】AC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，多面体至少有四个面，A正确；
对于B，棱柱的上底面和下底面不一定是平行四边形，B错误；
对于C，棱台的侧面都是梯形，C正确；
对于D，以等腰梯形的对称轴所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台，D错误．
故选：AC．
37．如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．用平面BCNM把这个长方体分成两部分，则左侧几何体是 　棱柱　 .（填：棱柱、棱锥、棱台其中一个）
【答案】棱柱．
【解答】解：左侧几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，
并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以左侧几何体为棱柱．
故答案为：棱柱．
▉题型4 圆锥的结构特征
【知识点的认识】
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．
38．若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意得，圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，圆锥的母线长为l＝3，
设过圆锥顶点的截面三角形顶角为α，则，
则截面面积为，当时，．
故选：C．
（多选）39．下列说法中正确的是（　　）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以选项A错误；
对于选项B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故选项B正确；
对于选项C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，
圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故选项C错误；
对于选项D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）40．在圆锥SO中，C是母线SA上靠近点S的三等分点，SA＝l，底面圆的半径为r，圆锥SO的侧面积为12π，则下列说法正确的是（　　）
A．当r＝3时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
B．当l＝6时，从点A到点C绕圆锥侧面一周的最小长度为
C．当l＝6时，圆锥SO的外接球表面积为
D．当l＝6时，棱长为的正四面体在圆锥SO内可以任意转动
【答案】BC
【解答】解：依题意可知πrl＝12π，所以rl＝12，
对于A选项，r＝3，l＝4，所以，
所以∠ASB为钝角，
所以过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为，A选项错误；
对于BCD选项，当l＝6时，r＝2，圆锥的高为，
以下分析BCD选项：
侧面展开图的弧长为2πr＝4π，所以圆心角，
所以，B选项正确；
设圆锥SO的外接球的球心为O1，半径为r1，
所以，解得，
所以外接球的表面积为，C选项正确；
棱长为的正四面体A1﹣B1C1D1如下图所示，
正方体的棱长为，体对角线长为，
所以棱长为的正四面体A1﹣B1C1D1的外接球半径为，
设△SAB内切圆的半径为r3，
则，
解得，
所以r3＜r2，所以棱长为的正四面体在圆锥SO内不可以任意转动，D选项不正确．
故选：BC．
▉题型5 圆台的结构特征
【知识点的认识】
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台．
41．下列几何体为旋转体的是（　　）
A．三棱锥 B．四棱台 C．六棱柱 D．圆台
【答案】D
【解答】解：在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体．
故选：D．
42．有下列命题，其中错误命题个数是（　　）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形
③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：对于①：圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
对于②：过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
对于③：以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
对于④；平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
所以其中错误命题个数为3．
故选：C．
43．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（　　）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V）
A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸
【答案】B
【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
∵积水深9寸，
∴水面半径为（14+6）＝10寸，
则盆中水的体积为π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．
∴平地降雨量等于3（寸）．
故选：B．
44．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：如图所示，ABCD为圆台的轴截面，O1，O2分别为上下底面圆心，
则BO1＝2，CO2＝5，BC＝5，
过点B作BE⊥CD于点E，则O2E＝O1B＝2，CE＝5﹣2＝3，
在△BCE中，由勾股定理得，
故圆台的高为4．
故答案为：4．
▉题型6 球的结构特征
【知识点的认识】
球是所有距离球心相等的点组成的几何体．球的主要特征是半径r．
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径．
45．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，O1、O2为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径R＝2，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为 　　 ；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为 　[2+2，4]　 ．
【答案】①；②[2+2，4]．
【解答】解：①过O作OG⊥DO 于G，则由题可得，
设O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，
则，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为；
②由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P′，
则，
设t＝P′E2，则，
所以．
所以．
故答案为：①；②[2+2，4]．
▉题型7 空间几何体的直观图
【知识点的认识】
1．直观图：用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感．
2．空间几何体的直观图画法：斜二测画法（关键是确定图形的各顶点）
46．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（　　）
A．8cm B．6cm C．2（1）cm D．2（1）cm
【答案】A
【解答】解：由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y'轴上，
可求得其长度为 ，故在平面图中其在y轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为2 ，其原来的图形如图所示，
则原图形中的平行四边形中，一边长为1，另一边长为3，它的周长是8
观察四个选项，A选项符合题意．
故选：A．
▉题型8 斜二测法画直观图
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
47．如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'＝4，C'D'＝2，则下列说法正确的是（　　）
A．AB＝2
B．
C．四边形ABCD的周长为
D．四边形ABCD的面积为
【答案】D
【解答】解：如图过D'作DE⊥O'B'，
由等腰梯形A'B'C'D'可得：△A'D'E是等腰直角三角形，
即，即B错误；
还原平面图为下图，
即，即A错误；
过C作CF⊥AB，由勾股定理得，
故四边形ABCD的周长为：，即C错误；
四边形ABCD的面积为：，即D正确．
故选：D．
48．如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（　　）
A． B． C． D．5
【答案】C
【解答】解：由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，
由斜二测法则知AB＝2A′B′＝2，BC＝B′C′＝1，AB⊥BC，
所以．
故选：C．
49．如图所示，正方形A′B′C′O′的边长为2cm，它是用斜二测画法画出的一个平面图形水平放置的直观图，则原图形的周长为（　　）
A．12cm B．16cm C． D．
【答案】B
【解答】解：根据题意，原图形的直观图为正方形A′B′C′O′，其边长为2cm，
则，
还原原图形，如图：
则四边形OABC为平行四边形，，
，
所以其周长为（2+6）×2＝16cm．
故选：B．
50．用斜二测画法作出水平放置的正方形ABCD的直观图A′B′C′D′如图所示，则正方形ABCD与直观图A′B′C′D′的周长之比为 　　 ．
【答案】
【解答】解：根据题意，设正方形ABCD的边长为2a，则其周长为8a，
在直观图中，A′B′＝AB＝2a，A′D′AD＝a，则直观图A′B′C′D′的周长为6a，
则正方形ABCD与直观图A′B′C′D′的周长之比为．
故答案为：．
▉题型9 由斜二测直观图还原图形
【知识点的认识】
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点，画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使∠x′Oy′＝45°（或135°），它确定的平面表示水平平面．
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′或y′轴的线段
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
51．如图所示的是用斜二测画法画出的△AOB的直观图△A′O′B′（图中虚线分别与x′轴，y′轴平行），则原图形△AOB的面积是（　　）
A．6 B． C．12 D．
【答案】C
【解答】解：由题可得原图的底面边长OB＝O′B′＝3，原图的高为8，
所以原图形△AOB的面积为，
故选：C．
52．由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为30°，腰长为2，如图，那么它在原平面图形中，顶点B'到x轴的距离是（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，
如图，过点B′作B′C′∥y′′轴，交x′′轴于点C′，
在△O′B′C′中，∠B′O′C′＝30°，∠B′C′O′＝135°，O′B′＝2，
由正弦定理得，
于是得，且原图中BC即为B到x轴的距离，
由斜二测画法规则知，在原平面图形中，顶点B到x轴的距离是．
故选：D．
53．如图所示，水平放置的△ABC用斜二测画法画出的直观图为△A'B'C'，其中∠x'O'y'＝45°，A'O'＝B'O'＝C'O'＝1，则△ABC为（　　）
A．等腰非等边三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【解答】解：根据题意，由斜二测画法还原原图，
如图：
其中OA＝OB＝1，OC＝2，则AC＝BC，
又由AB＝2，易得AC＝BC＞AB，
则△ABC为等腰非等边三角形．
故选：A．
54．如图，△A′B′O′是用斜二测画法画出的△ABO的直观图，其中O′A′＝1，O′B′＝2，则△ABO的周长是 　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，由斜二测画法还原原图，如图：
在△ABO中，OA＝2，OB＝2，所以，
故△ABO的周长是2+2+2．
故答案为：．
55．用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为45°，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为 　8　 ．
【答案】8．
【解答】解：根据题意，直观图是一个角为45°，边长为2的菱形，则直观图的面积S′＝2（2×2×sin45°）＝2，
故原来的平行四边形的面积S＝2S′＝8．
故答案为：8．
56．水平放置的△ABC的直观图如图，其中B′O′＝O′C′＝2，A′O′，那么原△ABC是一个（　　）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
【答案】B
【解答】解：根据题意，在原△ABC中，AO⊥BC，
因为，则，
因为B′O′＝O′C′＝2，则BC＝4，
而AO⊥BC，AB＝AC＝4，故AB＝AC＝BC，即原△ABC是一个等边三角形．
故选：B．
57．如图，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若A′C′＝2cm，且，则原图形中AC边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：根据题意，画出平面直角坐标系xOy，在x轴上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′，
在图①中，过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于D′，在x轴上取OD＝O′D′，
过点D作DB∥y轴，并使DB＝2D′B′，
连接AB，BC，则△ABC即为△A′B′C′原来的图形，如图②所示：
原图形中，BD⊥AC于点D，
则BD为原图形中AC边上的高，且BD＝2B′D′，
在直观图③中作B′E′⊥A′C′于点E′，则△A′B′C′的面积，
则有B′E′cm，
在直角三角形B′E′D′中，B′D′B′E′cm，
所以cm，
故原图形中AC边上的高为cm．
故选：D．

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