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第4章第2节 平面
题型1 平面的基本性质及推论 题型2 平面的交线及其性质
▉题型1 平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为Q，过A，Q，B1三点的截面是（　　）
A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】D
【解答】解：如图所示，取C1D1的中点P，连接PQ、PB1、AB1、AQ和DC1，
P，Q分别是C1D1，DD1的中点，故PQ∥C1D，且，
AB1∥C1D，故PQ∥AB1，，故A，B1，P，Q四点共面，
故四边形AB1PQ是过A，Q，B1三点的截面，且四边形AB1PQ是梯形．
故选：D．
2．下列判断正确的是（　　）
A．若空间五点中任何三不共线，则这五点不共面
B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面
C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面
D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A和B，平面五边形的五个顶点任何三点和四点均不共线，但这五点共面，故A，B错误；
对于C，若空间五点中有三点共线，则这五点仍不一定共面，故C错误；
对于D，若空间五点中有四点共线，由于直线与直线外一点可确定唯一平面，即这五点一定共面，故D正确．
故选：D．
3．下列不是基本事实的是（　　）
A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
【答案】D
【解答】解：对于选项A，“如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线”是基本事实3，故选项A正确．
对于选项B，“平行于同一条直线的两条直线平行”是基本事实4，故选项B正确；
对于选项C，“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内”是基本事实2，故选项C正确；
对于选项D，经过两条平行直线，有且只有一个平面是基本事实1的推论，故选项D错误．
故选：D．
4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：①若m，n，l在同一平面内，则m，n，l可能平行，可能相交，即m，n，l两两相交不一定正确，即充分性不成立，
②若m，n，l两两相交，且不过同一点，则m，n，l一定在同一平面内，即必要性成立，
∴m，n，l在同一平面内是m，n，l两两相交的必要不充分条件，
故选：B．
5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，设CC1的中点为P，
连接NP，DP，D1M，AM，AD1，
则根据正方体的性质易知NP⊥平面DCC1D1，
∴DN在平面DCC1D1内的射影为DP，
又M为棱DC的中点，CC1的中点为P，
∴易得D1M⊥DP，
∴根据三垂线定理可得D1M⊥DN，
同理可得AM⊥DN，又D1M∩AM＝M，
∴DN⊥平面AMD1，
∴平面α截正方体AC1所得的截面即为△AMD1，
又易知AM＝D1M＝2，AD1＝4，可得cos∠AMD1，
可得sin∠AMD1，
∴平面α截正方体AC1所得的截面面积AM MD1 sin∠AMD1224．
故选：D．
6．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图1，连接BC1，则N为BC1的中点，
将三棱锥B﹣B1C1D1的侧面展开与平面D1B1B在同一个平面，如图2，
|NN'|即为三角形PMN周长的最小值，
其中BN＝BN'，∠C1BC1'＝135°，
所以△PMN的周长的最小值为：l＝|NN'|，
故选：B．
7．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．则下列判断中正确的个数是（　　）
（1）M，N，K三点共线；
（2）P，N，M，C四点共面；
（3）BC∥NK．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解答】解：因为PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K，
因为PQ，RQ，PR 截面PQR，DB，CB，DC 平面BCD，
所以M，N，K∈截面PQR，且M，N，K∈平面BCD，
所以M，N，K一定在这两个平面的交线上，
所以M，N，K三点共线，所以（1）正确；
因为N在平面PMC外，所以P，N，M，C四点不共面，所以（2）不正确；
因为CB∩NK＝M，
所以BC与NK不平行，所以（3）不正确．
故选：B．
8．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（　　）
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
【答案】C
【解答】解：当一个平面与三棱锥的底面平行时，与三条侧棱都有交点，得到的截面是三角形，如下图所示：
当一个平面与三棱锥的两组相对的棱都有交点时，得到的截面是四边形，如下图所示：
综上所述，截面形状可能是三角形或四边形．
故选：C．
9．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB∥平面MNP的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：对于A：连接MB，NC，由图可知，AB与平面MNP相交，故不满足AB∥平面MNP，故A错误；
对于B：如图所示，G，H，F，E分别是所在棱的中点，连接NH，NG，GF，FM，EM
则平面MNP和平面NGFMPH为同一平面，因为AB∥EM，
因为EM与平面NGFMPH相交，所以不满足AB∥平面MNP，故B错误；
对于C：连接AD，交MN于点O，连接PO，因为O，P分别为AD，BD中点，
所以PO∥AB，由线面平行的判定定理可知，AB∥平面MNP，故C正确；
对于D：D，F，E分别是所在棱的中点，连接DN，NF，FM，ME，PE，DP，AC，
平面DNFMEP与平面MNP为同一平面，
取AC的中点为O，连接MO，由中位线定理可知，AB∥MO，
因为MO与平面MNP相交，所以不满足AB∥平面MNP，故D错误；
故选：C．
10．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果点E是AA1的中点，那么过点D1、B、E的截面图形为（　　）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【答案】D
【解答】解：分别取BB1，CC1的中点G，F，连接A1G，BF，D1F，GF，
如图D1EBF即为过点D1、B、E截正方体所得的截面图形，
由题意可知：A1E∥GB且A1E＝GB，所以四边形A1EBG为平行四边形，
所以A1G∥EB，又因为GF∥B1C1且GF＝B1C1，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，
所以A1D1∥GF且A1D1＝GF，所以四边形A1GFD1为平行四边形，所以D1F∥A1G，
所以D1F∥EB，同理ED1∥BF，所以四边形D1EBF为平行四边形，
又因为EB＝BF，所以平行四边形D1EBF为菱形．
故选：D．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段AA1的中点，若点P∈平面α，且AC1⊥平面α，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：记AB，AD的中点分别为E，F，连接PE，EF，FP，A1B，AB1，
由正方体性质可知，B1C1⊥平面AA1B1B，
因为A1B 平面AA1B1B，所以B1C1⊥A1B，
又AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B，
因为AB1∩B1C1＝B1，AB1，B1C1 平面AB1C1，
所以A1B⊥平面AB1C1，
因为AC1 平面AB1C1，所以A1B⊥AC1
因为P，E分别为AA1，AB的中点，所以PE∥A1B，所以AC1⊥PE，
同理可证，AC1⊥EF，
又PE∩EF＝E，PE，EF 平面PEF，
所以AC1⊥平面PEF，
所以三角形PEF即为平面α截正方体所得截面，
易知三角形PEF为正三角形，，
所以截面周长为．
故选：C．
12．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是（　　）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
【答案】A
【解答】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”．
故选：A．
13．已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解答】解：根据题意，若m，n，l在同一平面内，m、n、l三条直线可以互相平行，
则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的充分条件；
反之，若m，n，l两两相交，m，n，l可以不在同一平面内，
则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的必要条件；
故“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
14．如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（　　）
A．点P必在平面ABD内
B．点P必在平面CBD内
C．点P必在直线BD上
D．直线FG与直线BD为异面直线
【答案】D
【解答】解析：因为直线EH在平面ABD内，且P∈EH，所以点P必在平面ABD内，故A正确；
同理直线FG在平面CBD内，且P∈FG，所以点P必在平面CBD内，故B正确；
由A，B选项得点P在平面ABD内，也在平面CBD内，由基本事实3得点P在交线BD上，故C正确；
直线FG与直线BD为相交直线，故D不正确．
故选：D．
（多选）15．下面四个命题中，正确的为（　　）
A．相交于同一点的三条直线在同一平面内
B．△ABC在平面α外，其三边延长线分别和α交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线
C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D．在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分
【答案】BD
【解答】解：对于A，三棱锥的三条侧棱所在直线交于同一点，而这三条直线不共面，A错误；
对于B，△ABC所在平面与平面α相交，由平面基本事实知，公共点P，Q，R都在交线上，B正确；
对于C，一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等或互补，C错误；
对于D，当两个平面平行，与第三个都相交或三个平面相交于一条直线时，三个平面分空间成6部分；
当三个平面互相平行时，三个平面分空间成4部分；
当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线平行时，
三个平面分空间成7部分；当三个平面两两相交，有3条交线，且3条交线交于一点时，三个平面分空间成8部分，
所以三个平面最多把空间分成8部分，D正确．
故选：BD．
16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、D1三点作正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面α，则截面α的周长为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设直线MN与直线DA，DC分别交于E，F，
连接D1E，D1F分别与AA1，CC1交于点P，Q，连接PM，QN，
则五边形D1PMNQ是过M、N、D1的正方体的截面α，
由M为AB中点，N为BC中点，
得AM＝BM＝BN＝CN＝1，AE＝AM＝1，CF＝CN＝1，
所以，即，同理，
则，，
，
故截面α的周长为．
故答案为：．
17．如图，在棱长为的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E、F、G分别是棱A′B′、B′C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 　　 ．
【答案】
【解答】解：分别取AD中点P，CC1中点M，AA1中点N，可得出过E，F，G三点的平面截正方体所得截面为正六边形EFMGPN，则正六边形的边长MG，
故截面多边形的面积等于S．
18．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为　17π　 ，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为　　 ．
【答案】17π；．
【解答】解：在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，
设球O半径为R，则R，
∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝17π．
∵P为线段AD的中点，∴OP，
当过点P的平面截球O所得截面面积最小时，
截面圆半径r，
∴过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为：
S截面min．
故答案为：17π；．
19．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G是AB，A1D1，C1D1的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 　六边形　 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 　　 ．
【答案】六边形； ．
【解答】解：如图，分别取BC、AA1、CC1 的中点为H、I、J，连接FI，IE，EH，HJ，JG，
则由正方体的结构特征可知：FI＝IE＝EH＝HJ＝JG＝FG，且 FI∥HJ，IE∥JG，FG∥EH，
又由面面平行的性质定理可知过点E，F，G的截面与正方体上下面的两条交线平行，
与左右两个面的两条交线平行，与前后两个面的交线也平行，
故六边形FGJHEI是正方体中过点E，F，G的截面，
所以过点E，F，G的截面图形为六边形．
因为 ，
所以六边形FGJHEI是棱长为 的正六边形，
如图，根据正六边形结构特征可以将其分割成6个全等的正三角形，且边长为 ，
故由正三角形面积公式得截面图形的面积为 ．
故答案为：六边形； ．
20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N，E，F分别是A1D1，B1C1，C1D1的中点．
（1）求证：E，F，B，D四点共面；
（2）设平面BNF与平面ABCD交于直线l，求证：NF∥l．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）如图，连接EF、EB、BD，FD、B1D1，
因为E，F分别是B1C1，C1D1的中点，
所以EF∥B1D1，又BB1∥DD1，且BB1＝DD1，
所以四边形BDD1B1为平行四边形，故BD∥B1D1，
所以EF∥BD，
故E，F，B，D四点共面；
（2）如图，连接NF，
因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面BNF∩平面ABCD＝l，平面BNF∩平面A1B1C1D1＝NF，
所以NF∥l．
▉题型2 平面的交线及其性质
【知识点的认识】
两个平面在空间中交于一条直线，称为交线．交线的性质涉及交点、方向等特征．
21．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
【答案】D
【解答】解：∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，
∴β∩γ＝MC，
∴γ与β的交线必通过点C和点M，
故选：D．
22．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是　①②④　 （写出所有正确命题的编号）．
①当CQ时，S为等腰梯形；
②当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；
③当 CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ＝1时，S的面积为 ．
【答案】①②④
【解答】解：如图
对于①，当CQ时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP＝QD1，故可得截面APQD1为等腰梯形，所以①正确；
对于②，当CQ时，如图，
延长DD1至N，使D1N，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R＝C1Q：D1N＝1：2，故可得C1R，故②正确；
对于③由②可知当CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故③错误；
对于④，当CQ＝1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1＝AF，
可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1 PF ，故④正确．
故答案为：①②④．第4章第2节 平面
题型1 平面的基本性质及推论 题型2 平面的交线及其性质
▉题型1 平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
1．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为Q，过A，Q，B1三点的截面是（　　）
A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
2．下列判断正确的是（　　）
A．若空间五点中任何三不共线，则这五点不共面
B．若空间五点中任何四点不共线，则这五点不共面
C．若空间五点中有三点共线，则这五点必共面
D．若空间五点中有四点共线，则这五点必共面
3．下列不是基本事实的是（　　）
A．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
D．经过两条平行直线，有且只有一个平面
4．已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，1在同一平面”是“m，n，1两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，M为棱DC的中点，N为侧面BC1的中心，过点M的平面α垂直于DN，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体ABCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K．则下列判断中正确的个数是（　　）
（1）M，N，K三点共线；
（2）P，N，M，C四点共面；
（3）BC∥NK．
A．0 B．1 C．2 D．3
8．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是（　　）
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
9．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足AB∥平面MNP的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果点E是AA1的中点，那么过点D1、B、E的截面图形为（　　）
A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P为线段AA1的中点，若点P∈平面α，且AC1⊥平面α，则平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的周长为（　　）
A． B． C． D．
12．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格．工人师傅运用的数学原理是（　　）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
13．已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
14．如图，在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若直线EH，GF相交于点P，则下列结论错误的是（　　）
A．点P必在平面ABD内
B．点P必在平面CBD内
C．点P必在直线BD上
D．直线FG与直线BD为异面直线
（多选）15．下面四个命题中，正确的为（　　）
A．相交于同一点的三条直线在同一平面内
B．△ABC在平面α外，其三边延长线分别和α交于P，Q，R，则P，Q，R一定共线
C．一个角的两边所在直线分别平行于另一个角的两边所在直线，则这两角相等
D．在三维空间中，三个平面最多把空间分成八部分
16．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、D1三点作正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面α，则截面α的周长为 　 ．
17．如图，在棱长为的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点E、F、G分别是棱A′B′、B′C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于 　 ．
18．已知在球O的内接长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝3，则球O的表面积为　 　 ，若P为线段AD的中点，则过点P的平面截球O所得截面面积的最小值为 ．
19．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G是AB，A1D1，C1D1的中点，那么过点E，F，G的截面图形为 （在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为 ．
20．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，N，E，F分别是A1D1，B1C1，C1D1的中点．
（1）求证：E，F，B，D四点共面；
（2）设平面BNF与平面ABCD交于直线l，求证：NF∥l．
▉题型2 平面的交线及其性质
【知识点的认识】
两个平面在空间中交于一条直线，称为交线．交线的性质涉及交点、方向等特征．
21．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）
A．点A B．点B
C．点C但不过点M D．点C和点M
22．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面为S．则下列命题正确的是
（写出所有正确命题的编号）．
①当CQ时，S为等腰梯形；
②当CQ时，S与C1D1的交点R满足C1R；
③当 CQ＜1时，S为六边形；
④当CQ＝1时，S的面积为 ．

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