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第4章第3节 直线与直线、直线与平面的位置关系
题型1 异面直线及其所成的角 题型2 异面直线的判定
题型3 空间中直线与直线平行 题型4 直线与平面平行
题型5 直线与平面垂直
▉题型1 异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
1．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AD＝1，，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【解答】解：连接BD，根据AA1∥BB1，可得∠BB1D（或其补角）就是异面直线DB1与AA1的所成角，
因为，所以Rt△BB1D中，，∠BB1D＝30°，
所以异面直线DB1与AA1所成角的大小为30°．
故选：A．
2．如图，四面体ABCD中，AC＝3，BD＝2，M、N分别为AB、CD的中点．若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解答】解：取BC的中点P，连接PM、PN，
在△ABC中，PM为中位线，所以PM∥AC，且，
同理可证PN∥BD，且，
因为异面直线AC与BD所成角的大小为60°，所以∠MPN＝60°或120°，
①△PMN中，当∠MPN＝60°时，
由余弦定理得，得，
②△PMN中，当∠MPN＝120°时，
由余弦定理得，得．
综上所述，MN的长为或．
故选：D．
3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AD1与CP所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：对AB中点Q，连接PQ，CQ，
∵AQ∥D1P，AQ＝D1P，
∴四边形AQPD1是平行四边形，则PQ∥AD1，
∴∠CPQ或其补角是异面直线AD1与CO所成角，
设AB＝2，则PC＝CQ，PQ＝AD1＝2，
∴异面直线AD1与CP所成角的余弦值为：
cos∠CPQ．
故选：A．
4．在空间中，过点O作三条线段OA，OB，OC，，，D为线段BC上的动点，则直线OA与OD所成角的正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设点E为点A在平面BOC内的射影，连接OE、AE，
则OE平分∠BOC，过点E作EF⊥OB，垂足为F，连接AF，
因为AE⊥平面BOC，所以∠AOE就是直线OA与平面BOC所成的角，
若直线OD在平面BOC内运动，则∠AOE就是OA与OD所成角的最小值．
设EF＝m，则Rt△OEF中，∠EOF∠BOC，可得OE2m，OF，
在Rt△AOF中，cos∠AOF，可得OA＝4OF，
Rt△AOE中，cos∠AOE，所以sin∠AOE，
即直线OA与OD所成角的正弦值的最小值为．
故选：D．
5．在三棱锥P﹣ABC中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，
设AB的中点D，PA的中点E，BC的中点F，连结DE，DF，EF，
则DE∥PB，DF∥AC，且，，
则∠EDF（或其补角）为异面直线PB与AC所成角，
由于PB＝PC＝AB＝AC＝BC＝4，，
所以在等边△PBC中，，
在等边△ABC中，，故PA＝PF＝AF，
所以△PAF为等边三角形，故，
所以在△DEF中，DE＝2，DF＝2，EF＝3，
，
则，
则，
由于异面直线的夹角范围为，所以异面直线PB与AC所成角为∠EDF的补角，
则异面直线PB与AC所成角的正切值为．
故选：C．
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 　60°　 °．
【答案】60°
【解答】解：连结BC1、A1C1，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1AC1C，
∴四边形AA1C1C为平行四边形，可得A1C1∥AC，
因此∠BA1C1（或其补角）是异面直线A1B与AC所成的角，
设正方体的棱长为a，则△A1B1C中A1B＝BC1＝C1A1a，
∴△A1B1C是等边三角形，可得∠BA1C1＝60°，
即异面直线A1B与AC所成的角等于60°；
故答案为：60°．
7．在四面体ABCD中，AD＝BC，E，F分别为AB，CD的中点，若异面直线AD与BC所成的角为60°，则异面直线EF与BC所成的角为 　60°或30°　 ．
【答案】60°或30°
【解答】解：如图，
设G为BD的中点，连接GF，GE，
因为E，F分别为AB，CD的中点，
所以EG∥AD，GF∥BC，且，，
又AD＝BC，所以EG＝GF，△EFG为以∠EGF为顶角的等腰三角形，
且∠EGF（或其补角）为直线AD与BC所成的角，即∠EGF＝120°或60°，
当∠EGF＝120°时，∠EFG＝30°，
当∠EGF＝60°时，∠EFG＝60°．
故答案为：60°或30°．
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与A1B所成角的大小为 　60°　 ．（用角度表示）
【答案】60°
【解答】解：如图：
连接A1C1，BC1，易知A1C1∥AC，所以∠BA1C1或其补角即为AC所成的角，
易知△A1BC1为等边三角形，所以∠BA1C1＝60°．
故答案为：60°
9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为 　　 ．
【答案】
【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接BC1交B1C于O点，取A1C1的中点F，连接OF，
显然O是BC1的中点，则OF∥A1B，∠B1OF是A1B与B1C所成的角或其补角，
在△OB1F中，，，，
，，
所以直线A1B与直线B1C所成角的正切值为．
故答案为：．
10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，M，N分别是BC和AD中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接DM，设O为MD的中点，连接OC、ON，
因为O、N分别为DM、AD的中点，因此且ON∥AM，
因此∠ONC为异面直线AM和CN所成的角，
因为△ABC是边长为a的等边三角形，M为BC的中点，因此AM⊥BC，
因此，同理可得，
因此，，
，
在△CON中由余弦定理可得：，
因此，异面直线AM和CN所成角的余弦值为．
故答案为：．
（多选）11．如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为（　　）
A．AC∥截面PQMN
B．异面直线PM与BD所成的角为60°
C．AC⊥BD
D．BD⊥平面ACD
【答案】AC
【解答】解：对于选项A：因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，所以PQ∥AC，
因为PQ 平面PQMN，AC 平面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故A正确；
对于选项B：因为点Q，M分别是棱BC，CD的中点，所以MQ∥BD，
所以∠PMQ为异面直线PM与BD所成的角，
因为截面PQMN是正方形，所以∠PMQ＝45°，
即异面直线PM与BD所成的角为45°，故B错误；
对于选项C：因为截面PQMN是正方形，所以MN⊥QM，
又因为点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，
所以MN∥AC，QM∥BD，所以AC⊥BD，故C正确；
对于选项D：若要使BD⊥平面ACD，则需要BD⊥AC，BD⊥DC，
但由题意知BD⊥DC不一定成立，故D错误．
故选：AC．
（多选）12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1的中点，点P在线段AN上，Q在正方形ABB1A1内，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线DD1与直线AN所成角的正切值为
B．平面AMN截正方体，所得截面的周长为
C．点P到直线DD1的距离的最小值为
D．若A1Q∥平面AMN，则DQ的最小值是
【答案】ACD
【解答】解：对于A选项，连接AC，如下图所示：
因为CC1∥DD1，故直线DD1与直线AN所成角为∠ANC或其补角，
因为CC1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，因此CC1⊥AC，
因为CN＝1，，故，
因此，直线DD1与直线AN所成角的正切值为，A选项对；
对于B选项，连接AD1、D1N、BC1，如下图所示：
因为M、N分别为BC、CC1的中点，因此MN∥BC1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，
因此，四边形ABC1D1为平行四边形，故AD1∥BC1，因此MN∥AD1，
因此M、N、A、D1四点共面，因此，平面AMN截正方体，所得截面为四边形AMND1，
由勾股定理可得，
同理可得，，，
因此，所得截面的周长为，B选项错；
对于C选项，连接BD交AC于点E，连接A1C1、B1D1交于点F，连接EF，
则P到直线DD1的距离的最小值因此为异面直线AN、DD1公垂线段的长度，
易知E、F分别为正方形ABCD、A1B1C1D1的中心，
因为四边形ABCD为正方形，因此BD⊥AC，
因为AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，因此BD⊥AA1，
因为AC∩AA1＝A，AA1、AC 平面AA1C1C，故BD⊥平面AA1C1C，因此DE⊥平面AA1C1C，
因为BB1∥DD1，BB1＝DD1，故四边形BB1D1D为平行四边形，
因为E、F分别为BD、B1D1的中点，因此DE∥D1F，DE＝D1F，
因此，四边形DD1FE为平行四边形，
设EF∩AN＝G，过点G作GH∥DE交棱DD1于点H，
因为EG∥DH，故四边形DEGH为平行四边形，因此GH∥DE，
因为DE⊥平面AA1C1C，AN、EF 平面AA1C1C，因此DE⊥AN，DE⊥EF，
因为GH∥DE，EF∥DD1，故GH⊥AN，GH⊥DD1，
因此异面直线AN、DD1公垂线段为GH，且，
因此点P到直线DD1的距离的最小值为，C选项对；
对于D选项，分别取线段B1C1、BB1的中点I、J，连接A1I、A1J、IJ、IM、BC1，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1＝CC1，
故四边形BB1C1C为平行四边形，则BC∥B1C1，BC＝B1C1，
因为I、M分别为B1C1、BC的中点，因此BM＝B1I，BM∥B1I，
故四边形BB1IM为平行四边形，因此IM∥BB1，IM＝BB1，
因为AA1∥BB1，AA1＝BB1，则AA1∥IM，AA1＝IM，故四边形AA1IM为平行四边形，
因此A1I∥AM，
因为A1I 平面AMN，AM 平面AMN，因此A1I∥平面AMN，
因为I、J分别为B1C1、BB1的中点，因此IJ∥BC1，由A选项可知，MN∥BC1，故IJ∥MN，
因为IJ 平面AMN，MN 平面AMN，因此IJ∥平面AMN，
因为A1I∩IJ＝I，A1I、IJ 平面A1IJ，故平面A1IJ∥平面AMN，
当Q∈A1J时，A1Q 平面A1IJ，则A1Q∥平面AMN，因此点Q的轨迹为线段A1J，
根据勾股定理可得，
同理可得，DJ＝3，
由余弦定理可得，
因此，
因此，点DQ的最小值为，D选项对．
故选：ACD．
13．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为AB的中点．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1；
（3）求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）．
【解答】解：（1）证明：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，连接AC1交A1C于O，则O为AC1的中点，连接DO，
由于D为AB的中点．故OD∥BC1，
而OD 平面A1CD，BC1 平面A1CD，
故BC1∥平面A1CD；
（2）证明：由题意知CA＝CB，D为AB的中点，故CD⊥AB；
又因为在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CD 平面ABC，
故BB1⊥CD，而AB∩BB1＝B，AB，BB1 平面ABB1A1，
故CD⊥平面ABB1A1；又CD 平面A1CD，
故平面A1CD⊥平面ABB1A1．
（3）因为OD∥BC1，故异面直线BC1与A1C所成角即为直线OD与A1C所成角，
即为∠DOC或其补角，
由于AB＝AA1＝2，则在△DOC中，，
，
故，
故异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为．
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，A1B1的中点．
（1）证明：平面BC1E∥平面A1DC；
（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：因为D，E分别是AB，A1B1的中点，
结合三棱柱ABC﹣A1B1C1的定义可得A1E＝DB，A1E∥DB，
所以四边形A1DBE是平行四边形，所以A1D∥BE，
又A1D 平面A1DC，BE 平面A1DC，所以BE∥平面A1DC，
连接DE，由棱柱的性质，可知DB∥EB1，DB＝EB1，所以四边形DBB1E为平行四边形，
所以DE∥BB1，DE＝BB1，又CC1∥BB1，CC1＝BB1，
所以DE∥CC1，DE＝CC1，
所以四边形DEC1C是平行四边形，所以EC1∥DC，
又DC 平面A1DC，EC1 平面A1DC，
由线面平行的判定定理可得EC1∥平面A1DC，
又因为BE∩EC1＝E，BE，EC1 平面BC1E，
由面面平行的判定地理可得平面BC1E∥平面A1DC．
（2）由（1）知A1D∥BE，所以异面直线A1D与BC1所成角为∠EBC1（或其补角），
由三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱可得所有的侧棱都与底面垂直，即有BB1⊥平面A1B1C1，
因为B1E，B1C1 平面A1B1C1，所以BB1⊥B1E，BB1⊥B1C1，
所以，，，
所以，即BE⊥EC1，
所以在Rt△BEC1中，，
即异面直线A1D与BC1所成角的正弦值为．
15．如图，多面体ABCD﹣A1B1C1是由一个直三棱柱ABC﹣A1B1C1与一个四棱锥D﹣A1C1CA组成，其中BC∥AD，AD＝2BC，AB＝BC＝CA＝AA1＝4，E是AC上的一点．
（1）若E是AC中点．
①求证：B1C∥平面A1EB；②求异面直线A1E与B1C所成角的余弦值．
（2）若E为BD与AC交点，问A1B上是否存在一点K，使得EK∥平面A1AD？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②；
（2）存在，且．
【解答】解：（1）①证明：连接AB1交A1B于点F，连接EF，如下图所示：
由三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，
且A1B∩AB1＝F，所以F为AB1的中点，
又因为E为AC的中点，所以EF∥B1C，
因为B1C 平面A1EB，EF 平面A1EB，故B1C∥平面A1EB；
②在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AE 平面ABC，所以AA1⊥AE，
所以，
同理可得，，
所以，，
因为EF∥B1C，所以，异面直线A1E与B1C所成角为∠FEA1或其补角，
由余弦定理可得，
因此，异面直线A1E与B1C所成角的余弦值为；
（2）如下图所示：
因为AD∥BC，AC∩BD＝E，所以，
因为EK∥平面AA1D，EK 平面A1BD，平面A1BD∩平面AA1D＝A1D，
所以EK∥A1D，故，因此，
所以，线段A1B上存在一点K，使得EK∥平面A1AD，且．
16．已知空间四边形ABCD的对角线AC＝2，BD＝2，M，N分别为AB，CD的中点，若MN＝1，则异面直线AC，BD所成角为 　45°　 ．
【答案】45°．
【解答】解：如图，
取AD中点G，连接MG，NG，
则BD∥GM，CD∥NG，
∴异面直线AC和BD所成的角即为∠MGN（或其补角），
∵AC，BD＝2，M、N分别为AB、CD的中点，
∴NG，MG＝1，又MN＝1，
，
∴∠MGN＝45°，
则异面直线AC和BD所成的角等于45°．
故答案为：45°．
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，记平面AD1E与平面ABCD的交线为l1，平面AD1E与平面ABB1A1的交线为l2，若直线AB分别与l1、l2所成的角为α、β，则tanα＝　　 ，tan（α+β）＝　　 ．
【答案】，．
【解答】解：根据题意，延长D1E与DC延长线交于点F，连接AF，则直线AF即为直线l1，可得α＝∠BAF，
由CE∥DD1，可得CF＝DC，由AB∥CD得∠AFD＝∠BAF，可得，
由平面CDD1C1∥平面ABB1A1，平面AD1E∩平面ABB1A1＝l2，平面AD1E∩平面CDD1C1＝D1E，
可得D1E∥l2，结合C1D1∥AB，可得β＝∠C1D1E，，因此．
故答案为：，．
18．已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E，F分别是PA和BC的中点．
（1）求证：EF与PC是异面直线；
（2）求EF与PC所成的角．
【答案】（1）证明见解析．
（2）45°．
【解答】解：（1）证明：用反证法，设EF与PC不是异面直线，
则EF与PC共面，
所以CF与PE共面，即AP与BC共面，
∴A、B、C、P在同一平面内，
这与P是△ABC所在平面外的一点相矛盾，
所以直线EF与PC是异面直线．
（2）取AC的中点G，连接EG、FG，
由于E、F分别是PA、BC的中点，
则EG∥PC，FG∥AB，且，，
∴相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与PC所成的角，
由PC⊥AB，PC＝AB，
可得EG⊥GF，EG＝GF，
故在等腰Rt△EGF中，有∠FEG＝45°，
即异面直线EF与PC所成的角为45°．
▉题型2 异面直线的判定
【知识点的认识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
（多选）19．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是C1D1，DD1的中点，则（　　）
A．直线AP与直线B1Q是异面直线
B．过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面面积为
C．三棱锥A1﹣AB1P的外接球的表面积为
D．点A1到平面AB1P的距离为
【答案】BCD
【解答】解：选项A，因为P，Q分别是C1D1，DD1的中点，
所以PQ∥C1D∥AB1，
所以P，Q，A，B1四点共面，
所以直线AP与直线B1Q不可能是异面直线，即选项A错误；
选项B，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面就是四边形PQAB1，
因为PQ∥AB1，PB1＝AQ，所以四边形PQAB1是等腰梯形，其中上底PQ，下底AB1＝2，腰AQ，
所以等腰梯形PQAB1的高h，
其面积为，即选项B正确；
选项C，因为△AA1B1是直角三角形，
所以三棱锥A1﹣AB1P的外接球的球心一定在线段AB1的中垂线上，设球心为O，半径为R，
分别取AB1和A1B1的中点E，F，连接OE，EF，PF，OB1，过点O作OG⊥PF于点G，则四边形OEFG是矩形，
所以OG＝EFAA1＝1，
设GF＝OE＝x，则PG＝2﹣x，
由勾股定理知，OP2＝OG2+PG2，，
所以R2＝12+（2﹣x）2，R2，
解得x，R，
所以外接球的表面积为4πR2＝4π ，即选项C正确；
选项D，由选项B可知， AB1 h3，
设点A1到平面AB1P的距离为d，
因为，
所以 2 ，解得d，
所以点A1到平面AB1P的距离为，即选项D正确．
故选：BCD．
20．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）
A．直线DD1 B．直线B1C C．直线AD1 D．直线AC
【答案】D
【解答】解：对于A，连接B1D1，设A1C1∩B1D1＝D，
由BB1∥DD1，当P点位于点Q时，BP与DD1共面；
对于B，当点P与C1重合时，直线BP与直线B1C相交；
对于C，因为AB∥C1D1且AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1为平行四边形，
所以AD1∥BC1，
当点P与C1重合时，BP与AD1共面；
对于D，连接AC，
因为P 平面ABCD，B∈平面ABCD，AC 平面ABCD，B AC，
所以直线BP与直线AC是异面直线．
故选：D．
（多选）21．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：其中正确结论的为（　　）
A．直线AF与直线BQ是异面直线
B．直线BE与直线MN是异面直线
C．直线BQ与直线MN共面
D．直线BE与直线AF是异面直线
【答案】BCD
【解答】解：根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对于选项A，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，
所以FN∥CD，又AB∥CD，则FN∥AB，
故F，N，A，B四点共面，
故直线AF与直线BQ是共面直线，故选项A错误；
对于选项B，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，
故直线BE与直线MN是异面直线，故选项B正确；
对于选项C，N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，故选项C正确；
对于选项D，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，
故直线BE与直线AF是异面直线，故选项D正确．
故选：BCD．
▉题型3 空间中直线与直线平行
【知识点的认识】
在空间中，若两条直线在同一平面内且不相交，则它们平行．也可以通过平面来判断直线之间的平行关系．
（多选）22．设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
【答案】BD
【解答】解：对A：若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故选项A错误；
对B：若m⊥α，n⊥α，则m∥n，故选项B正确；
对C：若m∥α，m β，则α∥β或α与β相交，故选项C错误；
对D：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n α，又n⊥β，则α⊥β，故选项D正确．
故选：BD．
▉题型4 直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E分别在棱AA1，CC1上，且AA1＝4，CE＝AD＝3，点F满足，若B1E∥平面ACF，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
点D、E分别在棱AA1，CC1上，且AA1＝4，CE＝AD＝3，
点F满足，BE∥平面ACF，
在BB1上取一点G使得B1G＝3，连接CG，AG，
AG与BD交于一点F，即为所求，如图，
证明如下：
∵CE＝B1G＝3，CE∥B1G，则四边形B1GCE为平行四边形，则B1E∥GC，
又B1E 平面ACG，CG 平面ACG，∴B1E∥平面ACG，
∴B1E∥平面ACF，
又△BFG∽△DFA，AD＝3，BG＝1，则，
则，∴λ的值为．
故选：D．
24．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1∥平面AEF，则线段PA1的长度的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】A
【解答】解：取B1C1的中点M，BB1的中点N，连接A1M，A1N，MN，ME，如图所示：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AA1∥BB1∥ME，且AA1＝BB1＝ME，
所以四边形AA1ME是平行四边形，所以A1M∥AE，
又因为A1M 平面AEF，AE 平面AEF，所以A1M∥平面AEF．
因为M，N分别是B1C1和BB1的中点，所以MN∥BC1．
同理可知EF∥BC1，所以EF∥MN．
又因为MN 平面AEF，EF 平面AEF，所以MN∥平面AEF．
又因为A1M∩MN＝M，A1M 平面A1MN，MN 平面A1MN，
所以平面A1MN∥平面AEF．
因为PA1∥平面AEF，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，
所以点P在线段MN上运动．
在△A1MN中，A1M＝A1N，MN，△A1MN为等腰三角形，
所以点P为线段MN的中点时，PA1取得最小值．
此时PA1，
即PA1的最小值为．
故选：A．
25．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN∥BF，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．
故选：D．
26．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解答】解：连接AC，设AC交BE于O，连接OF，
因为PA∥平面EBF，OF 平面BEF，
且PA，OF 平面PAC，
所以PA∥OF，
在平行四边形ABCD，E为AD的中点，所以2，
所以．
故选：A．
27．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
【答案】B
【解答】解：四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，
MN 平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，
由直线与平面平行的性质定理可得：MN∥PA．
故选：B．
28．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，AD，D1C1，C1B1的点，满足，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（　　）
A．时，该截面是正六边形
B．时，四边形EFMN为正方形
C．MN∥平面AD1B1
D．当四边形EFMN为正方形时，它的面积为
【答案】B
【解答】解：
在正方体中，因为，根据相似三角形的判定定理（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
可知△C1MN与△C1B1D1相似，
所以∠MC1N＝∠B1C1D1，
进而可得 MN∥B1D1，
又因为线面平行的判定定理，已知MN 平面AD1B1，B1D1 平面AD1B1，
所以MN∥平面 AD1B1，故C选项正确；
判断当时截面的形状：当时，如前面第一个图，可以得到该截面为正六边形，所以A选项正确；
判断四边形EFMN为正方形时的情况：如前面第二个图，作NH⊥BC，垂足为H，
在正方体中，棱长设为1，所以NH＝1，
因为，
根据正方体棱长以及线段比例关系可得，
根据正方体棱长以及λ的关系可得，
在Rt△ENH 中，根据勾股定理，
由于四边形EFMN为正方形，
所以 MN＝EN，即，
等式两边同时平方可得2λ2＝1+2（1﹣2λ+λ2），
展开括号：2λ2＝1+2﹣4λ+2λ2，
移项化简可得：4λ＝3，解得，
此时，
正方形EFMN的面积为，
所以B选项错误，D 选项正确．
故选：B．
29．下列结论正确的是（　　）
A．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β
B．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β
C．若两直线l1、l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2
D．若直线l上两个不同的点A、B到平面α的距离相等，则l∥α
【答案】A
【解答】解：A中，垂直于同一直线的两平面互相平行，所以直线直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β，正确；
B中，若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则两平面可能相交或平行，故B错；
C中，若两直线l1、l2与平面α所成的角相等，则l1、l2可能相交、平行或异面，故C错；
D中，若直线l上两个不同的点A、B到平面α的距离相等，则直线与平面可能相交或者平行，故D错．
故选：A．
30．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，平面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形的周长为 　　 ，若F是侧面CDD1C1上的动点，且满足B1F∥平面A1BE，则点F的轨迹长度为 　　 ．
【答案】；．
【解答】解：取CD中点G，连接BG、EG，
正方体中，BC∥A1D1，BC＝A1D1，四边形BCD1A1为平行四边形，则BA1∥CD1，
E是DD1中点，G是CD中点，GE∥CD1∥BA1，则等腰梯形A1EGB为截面，
而，，
故梯形A1EGB的周长为，
取C1D1中点M，CC1中点N，连接B1M，B1N，MN，NE，MG，
则NE∥A1B1，NE＝A1B1，故四边形A1B1NE为平行四边形，
则得B1N∥A1E，而B1N 平面A1BE，A1E 平面A1BE，
故B1N∥平面A1BE，同理B1M∥平面A1BE，
而B1N∩B1M＝B1，B1N，B1M 平面B1MN，故平面B1MN∥平面A1BE，
∴点F的运动轨迹为线段MN，其长度为．
故答案为：；．
31．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱CC1上的一点，且，D是棱BC上一点．若A1B∥平面ADE，则的值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：连接A1C，交AE于点F，连接FD，则平面A1CB∩平面AED＝FD，
因为A1B∥平面ADE，且A1B 平面A1CB，所以A1B∥FD，
所以在△CA1B中，，
因为，所以，
由三棱柱性质有CC1∥AA1，所以，即，
所以，即，
所以．
故答案为：．
（多选）32．设α，β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β＝m．下述四个命题为真命题的有（　　）
A．若m∥n，则n∥α且n∥β
B．若m∥n，则n平行于平面α内的无数条直线
C．若n∥α且n∥β，则m∥n
D．若n在平面β外，则m与n平行或异面
【答案】BC
【解答】解：对于A，若m∥n，则n∥α且n∥β或n α或n β，故A错误；
对于B，若m∥n，α∩β＝m，
因为m α，过直线n可以有无数个平面与α相交，
则交线与直线n平行，故B正确；
对C，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，
因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，
则n∥s，
同理可得n∥t，则s∥t，
因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β，
因为s 平面α，α∩β＝m，则s∥m，
又因为n∥s，则m∥n，故C正确；
对于D，若n在平面β外，则n∥β或n与β相交，
当n∥β时，m∥n或m，n异面，
当n与β相交时，m，n相交或m，n异面，故D错误．
故选：BC．
（多选）33．已知三棱台ABC﹣A′B′C′，上下底面边长之比为1：2，棱AB、BC、AC的中点为点M、P、N，则下列结论错误的有（　　）
A．A′N∥PC′ B．A′P与AC为异面直线
C．AB∥面A′C′P D．面A′MN∥面BCC′B′
【答案】AC
【解答】解：对于A，上下底面边长之比为1：2，棱AB、BC、AC的中点为点M、P、N，
所以A'C'∥AC，且A'C'＝AC，所以四边形A'C'CN为平行四边形，
所以A'N∥CC'，CC' 平面BCC'B'，A'N 平面BCC'B'，
所以A'N∥平面BCC'B'，PC' 平面BCC'B'，PC'∩CC'＝C'，
所以A′N、PC′是异面直线，故A错误；
对于B，由题意可得PM∥AC，AC 平面A′C′CA，PM 平面A′C′CA，
所以PM∥平面A′C′CA，所以P 平面A′C′CA，A'∈平面A′C′CA，
所以A′P与AC为异面直线，故B正确；
对于C，因为棱AB、BC的中点为点M、P，所以AC∥MP，
因为AC∥A′C′，所以MP∥A′C′，可得AB∩平面A′C′PM＝M，故C错误；
对于D，因为AB、AC的中点为点M、N，所以MN∥BC，
因为MN 平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，所以MN∥平面BCC′B′，
因为AC∥A′C′，，所以四边形A′C′CN为平行四边形，
可得A′N∥C′C，因为A′N 平面BCC′B′，C′C 平面BCC′B′，
所以A′N∥平面BCC′B′，
因为MN∩A′N＝N，MN、A′N 平面A′MN，
所以平面A′MN∥面BCC′B′，故D正确．
故选：AC．
34．如图，在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中，AA1＝2，，AC＝2，BC＝1，AA1⊥平面ABCD．
（1）若AD⊥AB，证明：AD∥平面A1BC；
（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣A1C﹣D的正弦值为，求AD．
【答案】（1）证明见解析．
（2）．
【解答】解：（1）在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中，
AA1＝2，，AC＝2，BC＝1，AA1⊥平面ABCD，
∵AA1⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，∴AA1⊥AD，
又AD⊥A1B，AA1∩A1B＝A1，AA1，A1B 平面AA1B1B，
∴AD⊥平面AA1B1B，
∵AB 平面AA1B1B，∴AD⊥AB．
∵BC2+AB2＝AC2，∴BC⊥AB，∴AD∥BC，
又AD 平面A1BC，BC 平面A1BC，
∴AD∥平面A1BC．
（2）过点D作DM⊥AC于M，过点M作MN⊥CA1于N，连接DN，如图，
∵AA1⊥平面ABCD，AA1 平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABCD，
∵平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，DM 平面ABCD，
∴DM⊥平面AA1C1C．
∵AC1 平面AA1C1C，∴DM⊥A1C，
又MN⊥A1C，∴A1C⊥平面DMN．
根据二面角的定义可知，∠DNM即为二面角A﹣A1C﹣D的平面角，
∵AD⊥DC，且二面角A﹣A1C﹣D的正弦值为，
∴，即．
∵AD⊥DC，设AD＝x，则，由等面积法可得，
代入得，
又，而△CMN～△CA1A，
∴，得，
∴，解得，即．
35．多面体ABCDEF中，AD∥BC，BC＝8，AD＝10，四边形CDEF为矩形，ED＝4，CD＝6，BC⊥CD，二面角E﹣CD﹣B为60°．
（1）求证：AE∥平面BCF；
（2）求直线DF与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）求点A到平面CDEF的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）证明：多面体ABCDEF中，AD∥BC，BC＝8，AD＝10，
四边形CDEF为矩形，ED＝4，CD＝6，BC⊥CD，二面角E﹣CD﹣B为60°，
由四边形CDEF是矩形，得DE∥CF，
∵DE 平面ADE，CF 平面ADE，∴CF∥平面ADE，
又AD∥BC，AD 平面ADE，BC 平面ADE，
则BC∥平面ADE，
而BC∩CF＝C，BC，CF 平面BCF，
∴平面BCF∥平面ADE，
又AE 平面ADE，∴AE∥平面BCF．
（2）由CD⊥CF，BC⊥CD，得∠FCB即为二面角E﹣CD﹣B的平面角，
即∠FCB＝60°，又BC∩CF＝C，BC，CF 平面BCF，
则CD⊥平面BCF，作FO⊥BC于O，OF 平面BCF，∴CD⊥OF，
又CD∩BC＝C，CD，BC 平面ABCD，
则OF⊥平面ABCD，连接DO，
∴∠FDO为直线DF与平面ABCD所成的角，
，，
∴直线DF与平面ABCD所成角的正弦值为．
（3）由（2）得OF⊥平面ABCD，
设点A到平面CDEF的距离为d，由VA﹣CDF＝VF﹣ACD，
得，而S△CDF＝12，S△ACD＝30，，则，
∴点A到平面CDEF的距离为．
36．如图，三棱锥P﹣ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD＝DA，，线段BC上的点G满足AG∥平面DEF，点Q在PC上，AQ∥DF．
（1）求证：平面AQG∥平面DEF；
（2）求证：QG∥EF；
（3）若GC＝2BG，求λ的值．
【答案】（1）∵AQ∥DF，DF 平面DEF，AQ 平面DEF，
∴AQ∥平面DEF，
∵AG∥平面DEF，AQ∥平面DEF，AG∩AQ＝A，AG 平面AGQ，AQ 平面AGQ，
∴平面AQG∥平面DEF；
（2）由（1）知：平面AQG∥平面DEF，
又平面BCP∩平面DEF＝EF，平面BCP∩平面AQG＝QG，
∴QG∥EF；
（3）．
【解答】解：（1）证明：∵AQ∥DF，DF 平面DEF，AQ 平面DEF，
∴AQ∥平面DEF，
∵AG∥平面DEF，AQ∥平面DEF，AG∩AQ＝A，AG 平面AGQ，AQ 平面AGQ，
∴平面AQG∥平面DEF，得证；
（2）证明：由（1）知：平面AQG∥平面DEF，
又平面BCP∩平面DEF＝EF，平面BCP∩平面AQG＝QG，
∴QG∥EF，得证；
（3）由题意可得D是PA的中点，
由于AQ∥DF，可得，
可得F是PQ的中点，PF＝FQ，
∵，且三棱锥P﹣ABC各棱长均为1，可得BE＝PF＝λ，
∴PE＝1﹣λ，FQ＝λ，PQ＝2λ，CQ＝1﹣2λ，
∵点Q在PC上，
∴1﹣2λ＞0，解得，
∵GC＝2BG，
∴，
∴，
2λ
，
由（2）知：QG∥EF，
∴，
∴ k∈R，使得，
即，
由平面向量基本定理可得，解得，
综上所述，λ的值为．
37．已知在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，BB1＝2，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）求直线A1F和平面BCD的夹角的正弦值；
（2）求证：平面A1BD⊥平面A1AF；
（3）棱AA1上是否存在点G，使EG∥平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由题意可得AA1⊥平面ABCD，
所以∠A1FA为直线A1F和平面BCD的夹角，
在直角梯形ABCD中，过点C作CH⊥AD于H，如图所示：
由AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，
得△CHD为等腰直角三角形，所以四边形ABCH为正方形，所以BC＝2，
所以BF＝1，
在△A1FA中，，
所以；
（2）证明：由AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，
得△CHD为等腰直角三角形，所以四边形ABCH为正方形，
所以BF＝1，△DAB∽△ABF，所以∠BAF＝∠ADB，
所以∠BAF+∠ABD＝∠ADB+∠ABD＝90°，
从而得到DB⊥AF，
由AA1⊥平面ABCD，
可得DB⊥AA1，
由AF，AA1为平面AA1F内的两条相交直线，
所以DB⊥平面AA1F，
因为BD 平面A1BD，
所以平面A1BD⊥平面A1AF；
（3）存在点G，且，使得EG∥平面A1FD，
则在AD上取点M，使，连接EG，EM，MG，如图所示：
此时，，
所以∠AME＝∠ADF，即EM//DF，
在平面ADD1A1中，，所以MG∥A1D，
此时由EM∥DF，DF 平面A1FD，EM 平面A1FD，得EM∥平面A1FD，
由MG∥A1D，MG 平面A1FD，A1D 平面A1FD，得MG∥平面A1FD，
又MG∩EM＝M，MG，EM 平面EMG，
所以平面EMG∥平面A1FD，
因为EG 平面EMG，所以EG∥平面A1FD．
38．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E、F分别为AB、B1C1的中点．
（1）求证：C1B∥平面A1CE；
（2）求证：EF⊥BC．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【解答】证明：（1）连接AC1，A1C交于O点，连接OE，
则直三棱柱ABC﹣AB1C1中，四边形ACC1A为平行四边形，
则O为AC1的中点，又E为AB的中点，
所以OE∥C1B，
而OE 平面ACE，C1B 平面ACE，
所以C1B∥平面A1CE；
（2）取BC中点为H，连接EH，FH，F为B1C的中点，
故FH∥BB1，而BB1⊥底面ABC，
故FH⊥底面ABC，BC 底面ABC，
故FH⊥BC；
又E为AB的中点，则EH∥AC，而，即AC⊥BC，
故EH⊥BC，
而EH∩FH＝H，
故BC⊥平面FEH，
又EF 平面FEH，
可得EF⊥BC．
▉题型5 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
39．设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β＝m．下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β，则m∥n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解答】解：对①，当n α，因为m∥n，m β，则n∥β，
当n β，因为m∥n，m α，则n∥α，
当n既不在α也不在β内，因为m∥n，m α，m β，则n∥α且n∥β，故①正确；
对②，若m⊥n，则n与α，β不一定垂直，故②错误；
对③，过直线n分别作两平面与α，β分别相交于直线s和直线t，
因为n∥α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s，则根据线面平行的性质定理知n∥s，
同理可得n∥t，则s∥t，因为s 平面β，t 平面β，则s∥平面β，
因为s 平面α，α∩β＝m，则s∥m，又因为n∥s，则m∥n，故③正确；
对④，若α∩β＝m，n与α和β所成的角相等，如果n∥α，n∥β，则m∥n，故④错误；
综上只有①③正确．
故选：A．
40．设a，b是两条异面直线，α，β是两个平面，若a⊥α，b⊥β，则（　　）
A．a⊥β B．b⊥α C．α∥β D．α与β相交
【答案】D
【解答】解：A中，因为b⊥β，若a⊥β，则a∥b，与a，b是两条异面直线相矛盾，所以A不正确；
B中，同理可得B不正确；
C中，若α∥β，则可得a∥b，与a，b是两条异面直线相矛盾，所以C不正确；
D中，只有α，β相交才正确．
故选：D．
41．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠DAB，AA1⊥底面ABCD，AA1，点P是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为，则点P的轨迹长度为 　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，
因为CC1∥AA1，直线AP与CC1所成的角为，所以直线AP与AA1所成的角为，
则线段AP围成几何体为以为AA1轴且母线与轴夹角为30°的圆锥在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中体内的部分，
则点P轨迹为A1B1C1D1平面内以为A1圆心的圆弧再加线段AN和线段AM，
圆心角∠MA1N＝∠DAB，
因为AA1，且AA1⊥底面ABCD，直线AP与AA1所成的角为，
所以MA1＝NA1tan1，
则弧长为1，AN＝AM＝2，即点P的轨迹长度为4．
故答案为：4．
（多选）42．在正四棱锥M﹣ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P，Q分别是AB和MC的中点，则（　　）
A．PQ∥MA B．PQ∥平面MAD
C．PQ⊥MD D．PQ⊥平面MBD
【答案】BC
【解答】解：如图，取MD中点E，连接AE，EQ，
因为P，Q分别是AB和MC的中点，四棱锥M﹣ABCD是正四棱锥，
可得EQ∥DC∥AP且，即四边形APQE是平行四边形，
对于A，因为PQ∥AE，AE∩MA＝A，所以PQ与MA不平行，故A错误；
对于B，因为PQ∥AE，AE 平面MAD，PQ 面MAD，所以PQ∥平面MAD，故B正确；
对于C，因为MA＝AD＝MD，E是MD中点，所以AE⊥MD，又因为PQ∥AE，所以PQ⊥MD，故C正确；
对于D，连接AC，BD交于点O，连接MO，
因为四棱锥M﹣ABCD是正四棱锥，所以MO⊥平面ABCD，AC⊥BD，
AC 平面ABCD，所以MO⊥AC，
则由AC⊥BD，MO⊥AC，BD 平面MBD，MO 平面MBD，BD∩MO＝O，可证得AC⊥平面MBD，
又因为PQ∥AE，AE∩AC＝A，所以PQ与AC为异面直线，
如果PQ⊥平面MBD，则PQ∥AC与题意矛盾，故D错误．
故选：BC．
（多选）43．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，则下列说法正确的有（　　）
A．A1B∥平面CEF
B．DC1⊥平面CEF
C．异面直线A1C1与EF所成角为
D．平面CEF截正方体所得截面的面积为18
【答案】ACD
【解答】解：对于A，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，
可得A1B∥EF，EF 平面CEF，A1B 平面CEF，
所以A1B∥平面CEF，故A正确；
对于B，取BB1的中点M，连结AB1，ME，MC，
因为，AB1∥DC1，AB1∥ME，所以ME∥DC1，
则 ，不满足勾股定理，
所以ME不垂直于CE，则ME不垂直于平面CEF，
所以DC1不垂直于平面CEF，故B错误；
对于C，连结A1C1，BC1，△A1BC1是等边三角形，
所以直线A1C1与A1B所成角为，
所以异面直线A1C1与EF所成角为，故C正确；
对于D．连结D1F，D1C，D1C∥A1B∥EF，
所以E，F，D1，C四点共面，
四边形EFD1C是平面CEF截正方体所得截面，
如图，四边形EFD1C是等腰梯形，，
，
作EN⊥D1C于N，则，
可得EFD1C的面积，故D正确．
故选：ACD．
44．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（2）在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1；③AA1．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）选①③能证明AB1⊥平面C1DF，证明过程见解答．
【解答】解：（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°．
又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1．
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，A1B1，AA1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥平面AA1B1B．
（2）选①③能证明AB1⊥平面C1DF：
连接DF，A1B，∴DF∥A1B，
在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，
则AB，又AA1，则A1B⊥AB1，
∴DF⊥AB1，
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1 平面AA1B1B，
∴C1D⊥AB1，又DF∩C1D＝D，
∴AB1⊥平面C1DF．
45．如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，，平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD，P，M分别为AD，CD的中点．
（1）证明：BP⊥平面ACD；
（2）求MP与平面BPC所成角的余弦值；
（3）求二面角P﹣BM﹣D的正弦值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）证明：三棱锥A﹣BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，
，平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD，
P，M分别为AD，CD的中点，
取BD中点E，连接AE，
∵△ABD是等边三角形，∴AE⊥BD，
∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，
∴AE⊥平面BCD，∵CD 平面BCD，∴AE⊥CD．
∵CD⊥AD，AD∩AE＝A，AD、AE 平面ABD，
∴CD⊥平面ABD，而BP 平面ABD，∴CD⊥BP，
∵P为AD的中点，∴BP⊥AD，
∵CD∩AD＝D，CD，AD 平面ACD，
∴BP⊥平面ACD．
（2）过点M作MH⊥PC，垂足为H．
∵BP⊥平面ACD，MH 平面ACD，∴BP⊥MH，
∵BP∩PC＝P，BP，PC 平面BPC，∴MH⊥平面BPC，
∴∠MPC为MP与平面BPC所成的角．
∵AD⊥CD，，，
∴，，
在△CPM中，由余弦定理得，
∴MP与平面BPC所成角的余弦值为．
（3）取ED的中点O，连接PO，
由题意知PO∥AE，，
过点P作PG⊥BM，垂足为G，连接OG．
由（1）知，AE⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD．
又OG，BM 平面BCD，∴PO⊥BM，PO⊥OG．
∵PO∩PG＝P，PO，PG 平面POG，∴BM⊥平面POG．
∵OG 平面POG，∴BM⊥OG，
∴∠PGO为二面角P﹣BM﹣D的平面角．
由（1）知CD⊥平面ABD，BD 平面ABD，∴CD⊥BD，
∴在Rt△BDM中，，
由（2）知，BP⊥平面ACD，
∵PM 平面ACD，∴BP⊥PM．
在Rt△BPM中，，
即，解得，
在Rt△POG中，，
∴二面角P﹣BM﹣D的平面角的正弦值为．
46．已知，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，CD＝CP＝4，E为PD的中点．
（1）在棱BC上是否存在点F，使AF⊥BE？若存在，求BF的长；若不存在，说明理由．
（2）已知点M同时满足下列条件：
①M∈平面BCE；②DM⊥平面ABP．
请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：_____，_____．（结论不要求证明）
【答案】（1）存在，2；
（2）如图，作CN⊥PB于N，
而AB⊥平面PBC，
因为CN 面PBC，所以AB⊥CN，
因为PB，AB 面PAB，PB∩AB＝B，
所以CN⊥平面PAB，
因为DM⊥平面PAB，所以DM∥CN，
因为CN 面PBC，DM 面PBC，
所以DM∥平面PBC，
因为DM⊥平面PAB，AB 面PAB，
所以DM⊥AB，
由正方形性质得AB∥CD，CD⊥AD，则DM⊥CD，
因为AD，DM 面ADM，AD∩DM＝D，
所以CD⊥平面ADM．
【解答】（1）解：存在，当点F为棱BC的中点时，可使AF⊥BE，
理由如下：如图，过点E作ES∥PC，交CD于点S，连接BS，
设BS∩AF＝O，
因为E为PD的中点，所以S为CD的中点，即BS⊥AF，
因为PC⊥底面ABCD，所以ES⊥底面ABCD，
因为AF 面ABCD，所以ES⊥AF，
又因为tan∠BAF，tan∠SBC，
所以∠BAF＝∠SBC，所以AF⊥BS，
又因为BS∩ES＝S，BS，ES 面BES，
所以AF⊥面BES，
因为BE 面BES，所以AF⊥BE，
故当点F为棱BC的中点时，可使AF⊥BE，
此时；
（2）证明：如图，作CN⊥PB于N，而AB⊥平面PBC，
因为CN 面PBC，所以AB⊥CN，
因为PB，AB 面PAB，PB∩AB＝B，
所以CN⊥平面PAB，
因为DM⊥平面PAB，所以DM∥CN，
因为CN 面PBC，DM 面PBC，
所以DM∥平面PBC，
因为DM⊥平面PAB，AB 面PAB，
所以DM⊥AB，
由正方形性质得AB∥CD，CD⊥AD，则DM⊥CD，
因为AD，DM 面ADM，AD∩DM＝D，
所以CD⊥平面ADM．
47．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥平面PCD．
【答案】见试题解答内容
【解答】
证明：（1）取CD的中点E，连接NE，ME，
∵M、N分别是AB、PC的中点，
∴NE∥PD，EM∥DA，
∴面NEM∥面PDA，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
∴CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∵EN∥PD
∴EN⊥CD
又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E
∴CD⊥平面ENM
∴MN⊥CD
∵PMMC，M、N分别是AB、PC的中点，
∴MN⊥PC，CD∩PC＝C
∴MN⊥平面PCD．
48．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．
（1）若BC＝BD＝AD＝AC，证明：CD⊥AB．
（2）若EF∥平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由．
【答案】（1）证明见详解；
（2）F是CD的中点，理由见详解．
【解答】（1）证明：取CD的中点G，连接BG，AG，
∵BC＝BD＝AD＝AC，G为CD中点，
∴CD⊥AG，CD⊥BG，
∵BG∩AG＝G，BG，AG 平面ABG，
∴CD⊥平面ABG，
∵AB 平面ABG，
∴CD⊥AB．
（2）解：F是CD的中点，理由如下：
若EF∥平面ABC，由平面ACD∩平面ABC＝AC，EF 平面ACD，
得EF∥AC，又E是AD的中点，F在CD上，
∴F是CD的中点．
49．如图1，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别为AC，BC的中点．将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到四棱锥C1﹣DABE，如图2．
（1）求证：DE⊥C1A；
（2）若M是线段C1B上的点，平面DEM与线段C1A交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点M存在，并解答问题．
（i）求证：N为C1A的中点；
（ii）求证：C1A⊥平面DEMN．
条件①DE∥BM；
条件②C1M＝MB；
条件③EM⊥C1B．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）条件①：由题意可得与已知条件矛盾；
条件②：（i）证明过程见详解；（ii）证明过程见详解；
条件③：（i）证明过程见详解；（ii）证明过程见详解．
【解答】证明：（1）在△ABC中，由AB＝3，AC＝4，BC＝5，可得AB2+AC2＝BC2，
可得AB⊥AC，由D，E分别为AC，BC的中点，
得DE∥AB，所以DE⊥AC，
因此DE⊥C1D，DE⊥AD，而C1D∩AD＝D，C1D，AD 平面C1AD，
则DE⊥平面C1AD，又C1A 平面C1AD，
所以DE⊥C1A；
（2）M是线段C1B上的点，
对于条件①，DE∥BM，而实际上DE与BM异面，因此这样的点M不存在；
选条件②：C1M＝MB，即M为C1B的中点，
（i）由DE∥AB，DE 平面C1AB，AB 平面C1AB，
所以DE∥平面C1AB，
又DE 平面DEMN，平面DEMN∩平面C1AB＝NM，
因此DE∥NM，
则NM∥AB，
所以N为C1A的中点；
（ii）因为DC1＝DA，由（i）得C1N＝NA，则DN⊥C1A，
由（1）得DE⊥C1A，又DN∩DE＝D，DN，DE 平面DEMN，
所以C1A⊥平面DEMN；
选条件③：EM⊥C1B，由EC1＝EB，得C1M＝MB，即M为C1B的中点，
（i）由DE∥AB，DE 平面C1AB，AB 平面C1AB，得DE∥平面C1AB，
又DE 平面DEMN，平面DEMN∩平面C1AB＝NM，因此DE∥NM，
则NM∥AB，可得N为C1A的中点；
（ii）因为DC1＝DA，由（i）得C1N＝NA，则DN⊥C1A，
由（1）得DE⊥C1A，又DN∩DE＝D，DN，DE 平面DEMN，
所以C1A⊥平面DEMN．
50．若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由l⊥α，l⊥m，则m∥α或m α，不满足充分性，
由l⊥α，m∥α，则l⊥m，满足必要性，
故“l⊥m”是“m∥α”的必要不充分条件，
故选：B．
51．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A′BD，则下列直线中有可能与直线A′B垂直的是（　　）
①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A′C．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】A
【解答】解：如图：
对于①，若BC⊥BD，当平面A′BD⊥平面BCD时，平面A′BD∩平面BCD＝BD，BC 平面BCD，
所以BC⊥平面A′BD，A′B 平面A′BD，则BC⊥A′B，故①正确；
对于②，若∠ABD＞45°，则在翻折过程中，∠A′BA会超过90°，故存在∠A′BA＝90°，
所以AB∥CD，故直线CD与直线A′B有可能垂直，故②正确；
对于③，在△ABD中，因为AB＞AD，所以∠ABD为锐角，即∠A′BD为锐角，
故直线BD与直线A′B不可能垂直，故③错误；
对于④，因为AB＞AD，所以△A′BC中，A′B＞BC，
所以∠BA′C始终为锐角，故直线A′C不可能与直线A′B垂直，故④错误．
故选：A．
（多选）52．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，BC的中点，Q为侧面ADD1A1内一点，则（　　）
A．存在点Q，使得DQ⊥平面BDM
B．线段AD1上不存在点Q，使B1Q与CD所成角为30°
C．当B1Q∥平面BDM时，tan∠A1QB1的最大值为
D．当点Q为侧面ADD1A1中心时，平面MNQ截正方体所得的截面为五边形
【答案】BCD
【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，BC的中点，Q为侧面ADD1A1内一点，
设正方体的棱长为2，
对于A，若存在DQ⊥平面BDM，
∵DQ 平面ADD1A1，∴平面ADD1A1⊥平面BDM，矛盾，
∴不存在点Q使DQ⊥平面BDM，故A错误；
对于B，∵CD∥A1B1，∴∠A1B1Q是异面直线B1Q与CD所成角，
∵A1B1⊥平面ADD1A1，A1Q 平面ADD1A1，
∴A1B1⊥A1Q，
∴△A1B1Q为直角三角形，
，，
∴∠A1B1Q＞30°，
∴不存在点Q使B1Q与CD所成角为30°，故B正确；
对于C，取AD中点G，AB中点H，则GH∥BD，GH 平面BDM，BD 平面BDM，
则GH∥平面BDM，
∵B1H∥DM，B1H 平面BDM，DM 平面BDM，
∴B1H∥平面BDM，
又B1H∩GH＝H，B1H 面B1HG，GH 面B1HG，
∴平面B1HG∥平面BDM，
∵GH∥B1D1，G，H，B1，D1四点共面，平面B1HGD∥平面BDM，
∴B1Q∥平面BDM时，B1Q 平面B1HGD1，
又平面B1HGD1∩平面ADD1A1＝D1G，tan∠A1QB1，
在△A1GD1中，GD1边上的高h满足2A1D1＝h GD1，
则，
∴（A1Q）min，
∴（tan∠A1QB1）max，故C正确；
对于D，过Q作QQ′∥DD1交AD于Q′，过M作MM′∥DD1交CD于M′，QQ′∥MM′且，
延长MQ，M′Q′相交于E，
∵E∈平面ABCD，Q′为EM′中点，且Q′为AD中点，
∴EA∥DM′且EA＝DM′，
即E，A，B三点共线且，
连接EN并延长，与AD相交于点R，与DC的延长线相交于点F，
根据题意可得EB＝CF，AEDF，EA∥DF，
∴RADR，
连接MF与C1C相交于点l，MC1CF，MC1∥CF，
∴C1llC，
连接RQ与A1A相交于点L，由对称性可得LD1LA1，
连接LM，IN，则平面MNQ截正方体所得的截面图形为五边形RNIML，故D正确．
故选：BCD．第4章第3节 直线与直线、直线与平面的位置关系
题型1 异面直线及其所成的角 题型2 异面直线的判定
题型3 空间中直线与直线平行 题型4 直线与平面平行
题型5 直线与平面垂直
▉题型1 异面直线及其所成的角
【知识点的认识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
1．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝3，AD＝1，，则异面直线DB1与AA1所成角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．如图，四面体ABCD中，AC＝3，BD＝2，M、N分别为AB、CD的中点．若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．或
3．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AD1与CP所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
4．在空间中，过点O作三条线段OA，OB，OC，，，D为线段BC上的动点，则直线OA与OD所成角的正弦值的最小值为（　　）
A． B． C． D．
5．在三棱锥P﹣ABC中，，则异面直线PB与AC所成角的正切值是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与AC所成的角是 　 　 °．
7．在四面体ABCD中，AD＝BC，E，F分别为AB，CD的中点，若异面直线AD与BC所成的角为60°，则异面直线EF与BC所成的角为 　 ．
8．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AC与A1B所成角的大小为 　 ．（用角度表示）
9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为 ．
10．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，M，N分别是BC和AD中点，则异面直线AM和CN所成角的余弦值为 ．
（多选）11．如图，在四面体ABCD中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的为（　　）
A．AC∥截面PQMN
B．异面直线PM与BD所成的角为60°
C．AC⊥BD
D．BD⊥平面ACD
（多选）12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱BC，CC1的中点，点P在线段AN上，Q在正方形ABB1A1内，则下列说法中正确的是（　　）
A．直线DD1与直线AN所成角的正切值为
B．平面AMN截正方体，所得截面的周长为
C．点P到直线DD1的距离的最小值为
D．若A1Q∥平面AMN，则DQ的最小值是
13．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，D为AB的中点．
（1）证明：BC1∥平面A1CD；
（2）证明：平面A1CD⊥平面ABB1A1；
（3）求异面直线BC1与A1C所成角的余弦值．
14．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，A1B1的中点．
（1）证明：平面BC1E∥平面A1DC；
（2）若三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，且棱长均为2，求异面直线A1D与BC1所成角的正弦值．
15．如图，多面体ABCD﹣A1B1C1是由一个直三棱柱ABC﹣A1B1C1与一个四棱锥D﹣A1C1CA组成，其中BC∥AD，AD＝2BC，AB＝BC＝CA＝AA1＝4，E是AC上的一点．
（1）若E是AC中点．
①求证：B1C∥平面A1EB；②求异面直线A1E与B1C所成角的余弦值．
（2）若E为BD与AC交点，问A1B上是否存在一点K，使得EK∥平面A1AD？如果存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
16．已知空间四边形ABCD的对角线AC＝2，BD＝2，M，N分别为AB，CD的中点，若MN＝1，则异面直线AC，BD所成角为 　 ．
17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，记平面AD1E与平面ABCD的交线为l1，平面AD1E与平面ABB1A1的交线为l2，若直线AB分别与l1、l2所成的角为α、β，则tanα＝ ，tan（α+β）＝ ．
18．已知P为△ABC所在平面外一点，PC⊥AB，PC＝AB＝2，E，F分别是PA和BC的中点．
（1）求证：EF与PC是异面直线；
（2）求EF与PC所成的角．
▉题型2 异面直线的判定
【知识点的认识】
（1）判定空间直线是异面直线方法：
①根据异面直线的定义；
②异面直线的判定定理．
（多选）19．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是C1D1，DD1的中点，则（　　）
A．直线AP与直线B1Q是异面直线
B．过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面面积为
C．三棱锥A1﹣AB1P的外接球的表面积为
D．点A1到平面AB1P的距离为
20．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1面对角线A1C1上的动点，下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　）
A．直线DD1 B．直线B1C C．直线AD1 D．直线AC
（多选）21．一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：其中正确结论的为（　　）
A．直线AF与直线BQ是异面直线
B．直线BE与直线MN是异面直线
C．直线BQ与直线MN共面
D．直线BE与直线AF是异面直线
▉题型3 空间中直线与直线平行
【知识点的认识】
在空间中，若两条直线在同一平面内且不相交，则它们平行．也可以通过平面来判断直线之间的平行关系．
（多选）22．设m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列结论中正确的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
C．若m∥α，m β，则α∥β
D．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
▉题型4 直线与平面平行
【知识点的认识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
23．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、E分别在棱AA1，CC1上，且AA1＝4，CE＝AD＝3，点F满足，若B1E∥平面ACF，则λ的值为（　　）
A． B． C． D．
24．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动，若PA1∥平面AEF，则线段PA1的长度的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
25．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）
A． B．
C． D．
26．如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，（　　）
A． B． C．2 D．
27．如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（　　）
A．MN∥PD B．MN∥PA
C．MN∥AD D．以上均有可能
28．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，AD，D1C1，C1B1的点，满足，过E，F，M，N四点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（　　）
A．时，该截面是正六边形
B．时，四边形EFMN为正方形
C．MN∥平面AD1B1
D．当四边形EFMN为正方形时，它的面积为
29．下列结论正确的是（　　）
A．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β，则α∥β
B．若直线l∥平面α，直线l∥平面β，则α∥β
C．若两直线l1、l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2
D．若直线l上两个不同的点A、B到平面α的距离相等，则l∥α
30．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，平面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形的周长为 　　 ，若F是侧面CDD1C1上的动点，且满足B1F∥平面A1BE，则点F的轨迹长度为 ．
31．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱CC1上的一点，且，D是棱BC上一点．若A1B∥平面ADE，则的值为 ．
（多选）32．设α，β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β＝m．下述四个命题为真命题的有（　　）
A．若m∥n，则n∥α且n∥β
B．若m∥n，则n平行于平面α内的无数条直线
C．若n∥α且n∥β，则m∥n
D．若n在平面β外，则m与n平行或异面
（多选）33．已知三棱台ABC﹣A′B′C′，上下底面边长之比为1：2，棱AB、BC、AC的中点为点M、P、N，则下列结论错误的有（　　）
A．A′N∥PC′ B．A′P与AC为异面直线
C．AB∥面A′C′P D．面A′MN∥面BCC′B′
34．如图，在四棱柱ABCD﹣AB1C1D1中，AA1＝2，，AC＝2，BC＝1，AA1⊥平面ABCD．
（1）若AD⊥AB，证明：AD∥平面A1BC；
（2）若AD⊥DC，且二面角A﹣A1C﹣D的正弦值为，求AD．
35．多面体ABCDEF中，AD∥BC，BC＝8，AD＝10，四边形CDEF为矩形，ED＝4，CD＝6，BC⊥CD，二面角E﹣CD﹣B为60°．
（1）求证：AE∥平面BCF；
（2）求直线DF与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）求点A到平面CDEF的距离．
36．如图，三棱锥P﹣ABC各棱长均为1，侧棱上的D，E，F满足PD＝DA，，线段BC上的点G满足AG∥平面DEF，点Q在PC上，AQ∥DF．
（1）求证：平面AQG∥平面DEF；
（2）求证：QG∥EF；
（3）若GC＝2BG，求λ的值．
37．已知在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，AD＝4，AB＝2，∠BCD＝135°，BB1＝2，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）求直线A1F和平面BCD的夹角的正弦值；
（2）求证：平面A1BD⊥平面A1AF；
（3）棱AA1上是否存在点G，使EG∥平面A1FD，若存在，确定点G的位置，若不存在，请说明理由．
38．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E、F分别为AB、B1C1的中点．
（1）求证：C1B∥平面A1CE；
（2）求证：EF⊥BC．
▉题型5 直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
39．设α、β为两个平面，m、n为两条直线，且α∩β＝m．下述四个命题：
①若m∥n，则n∥α或n∥β
②若m⊥n，则n⊥α或n⊥β
③若n∥α且n∥β，则m∥n
④若n与α，β所成的角相等，则m⊥n
其中所有真命题的编号是（　　）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
40．设a，b是两条异面直线，α，β是两个平面，若a⊥α，b⊥β，则（　　）
A．a⊥β B．b⊥α C．α∥β D．α与β相交
41．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠DAB，AA1⊥底面ABCD，AA1，点P是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1表面上的一个动点，且直线AP与CC1所成的角为，则点P的轨迹长度为 　 ．
（多选）42．在正四棱锥M﹣ABCD中，侧棱MA与底面边长相等，P，Q分别是AB和MC的中点，则（　　）
A．PQ∥MA B．PQ∥平面MAD
C．PQ⊥MD D．PQ⊥平面MBD
（多选）43．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为棱AB和AA1的中点，则下列说法正确的有（　　）
A．A1B∥平面CEF
B．DC1⊥平面CEF
C．异面直线A1C1与EF所成角为
D．平面CEF截正方体所得截面的面积为18
44．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．
（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；
（2）在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
①F为BB1的中点；②AB1；③AA1．
45．如图，三棱锥A﹣BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，，平面ABD⊥平面BCD，AD⊥CD，P，M分别为AD，CD的中点．
（1）证明：BP⊥平面ACD；
（2）求MP与平面BPC所成角的余弦值；
（3）求二面角P﹣BM﹣D的正弦值．
46．已知，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，CD＝CP＝4，E为PD的中点．
（1）在棱BC上是否存在点F，使AF⊥BE？若存在，求BF的长；若不存在，说明理由．
（2）已知点M同时满足下列条件：
①M∈平面BCE；②DM⊥平面ABP．
请再写出与点M有关的两个结论：一个为“线面平行”，一个为“线面垂直”：_____，_____．（结论不要求证明）
47．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA＝AD＝a．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）求证：MN⊥平面PCD．
48．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E是线段AD的中点，F是线段CD上的一点．
（1）若BC＝BD＝AD＝AC，证明：CD⊥AB．
（2）若EF∥平面ABC，试确定F在CD上的位置，并说明理由．
49．如图1，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，D，E分别为AC，BC的中点．将△CDE沿DE折起到△C1DE的位置，得到四棱锥C1﹣DABE，如图2．
（1）求证：DE⊥C1A；
（2）若M是线段C1B上的点，平面DEM与线段C1A交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使点M存在，并解答问题．
（i）求证：N为C1A的中点；
（ii）求证：C1A⊥平面DEMN．
条件①DE∥BM；
条件②C1M＝MB；
条件③EM⊥C1B．
50．若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
51．平行四边形ABCD中，AB＞AD，将三角形ABD沿着BD翻折至三角形A′BD，则下列直线中有可能与直线A′B垂直的是（　　）
①直线BC；②直线CD；③直线BD；④直线A′C．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
（多选）52．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为C1D1，BC的中点，Q为侧面ADD1A1内一点，则（　　）
A．存在点Q，使得DQ⊥平面BDM
B．线段AD1上不存在点Q，使B1Q与CD所成角为30°
C．当B1Q∥平面BDM时，tan∠A1QB1的最大值为
D．当点Q为侧面ADD1A1中心时，平面MNQ截正方体所得的截面为五边形

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