资源简介

第4章第4节 平面与平面的位置关系
题型1 平面与平面平行 题型2 平面与平面垂直
▉题型1 平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，A1D1的中点，则（　　）
A．AF∥EC1
B．AF⊥BC
C．平面ACF∥平面A1EC
D．EF与A1C所成的角大小为60°
2．设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知a，b表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，现给出下列四个命题：①若a α，b β，a∥b，则α∥β；②若a α，b β，α∥β，则a∥b；③若a，b与平面α所成的角相等，则a∥b；④若a，b异面，且a，b均与平面α，β平行，则α∥β．其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β平行于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
6．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若m α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α
（多选）7．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中，正确的是（　　）
A．平面AEF∥平面DBC1
B．存在点E（E与D1不重合），使得BE与AD1共面
C．当E点运动时，总有A1C⊥AE
D．三棱锥B﹣AEF的体积为定值
8．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点．
（1）求证：BD1∥平面AMC；
（2）若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1．
9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是B1C1的中点，D是BC上一点．
（1）若D是BC中点，求证：平面AC1D∥平面A1BE；
（2）若AD⊥C1D，求证：D是BC中点．
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，G在棱BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是棱B1C1上一点．
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；
（2）若平面A1GH∥平面BED1F，求证：H为B1C1的中点．
11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．
12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面PAD．
（2）在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
▉题型2 平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
13．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，如图，则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论不正确的是（　　）
A．CD⊥AB B．CD⊥BD
C．平面ADC⊥平面ABD D．平面ABC⊥平面BDC
（多选）14．如图（1），在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使点D到达点P的位置，并满足PA⊥PB，如图（2），则（　　）
A．平面PAB⊥平面PBE B．平面PAE⊥平面PBE
C．平面PAB⊥平面ABCE D．平面PAE⊥平面ABCE
（多选）15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E是棱CC1（不包含端点）上的动点，F在正方形ADD1A1内，CF∥平面AD1E，则下列结论正确的是（　　）
A．平面AD1E截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面一定是等腰梯形
B．存在点E，使得异面直线D1E与BC1夹角的余弦值为
C．若E是CC1的中点，则点F的轨迹长度是
D．三棱锥D﹣AD1E外接球表面积的最小值是
（多选）16．平面α垂直于平面β，且α∩β＝l，下列命题正确的是（　　）
A．平面α内一定存在直线平行于平面β
B．平面α内已知直线必垂直于平面β内无数条直线
C．平面α内任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
（多选）17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为四边形A1B1C1D1的中心，平面AOB∩平面COD＝l，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AO与BC1异面 B．AO⊥BD
C．平面AOB⊥平面COD D．l∥平面ABC1D1
18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的位置关系是 　 ．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
（1）求证：EO∥平面PDC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．
20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝AD＝2，四边形ABCD为正方形，E、M分别为AD、BC的中点．
（1）求证：EM∥平面SCD；
（2）求证：平面SAD⊥平面SCD；
（3）在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求；若不存在，说明理由．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，，侧面BCC1B1为正方形，D为棱BB1的中点，点E为棱AC上一点，且AD∥平面BC1E．
（1）证明：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求的值；
（3）若∠ABB1＝60°，求直线C1E与平面ABB1A1所成角的正弦值．
22．△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，BC＝4，D是BC的中点，E是AB的中点，F是BD的中点．如图，将△BEF和△ACD分别沿EF，AD向平面ADFE的同侧翻折至△MEF和△NAD的位置，且使得DN∥MF．
（1）证明：平面ADN⊥平面DFN；
（2）证明：A，E，M，N共面；
（3）若，求三棱锥A﹣DEN的体积．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝2．E为AB边上一点且BE＝3，F为线段AE上的动点（不含端点）．过F作AD的平行线交CD于G，现将四边形AFGD沿FG翻折成如图的直二面角A﹣FG﹣B．
（1）若AF＝4，求证：GE⊥AC；
（2）在（1）的条件下，求直线AE与直线CD所成角的正切值；
（3）当直线AE与直线CD所成角最大时，求AF的长．
24．如图所示，AC为圆的直径，∠PCA＝45°，PA⊥圆所在的平面，B为圆周上与点A，C均不重合的点，AN⊥PB于N，S为线段PC上任一点．
（1）求证：平面ANS⊥平面PBC；
（2）已知AC＝2R，（R为常数），设直线PB与平面PAC所成角为θ，当θ变化时，求sinθ的最大值．
25．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥CD，FB＝FD．
（Ⅰ）若CD＝2EF，求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACF⊥平面ABCD．
26．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
（1）求证：AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1成立吗？请说明理由．
27．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1．
（1）证明：平面ABC1⊥面B1CD1．
（2）若正方体的棱长为4，AC1⊥平面α，当平面α经过BC的中点时，求平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的周长．
28．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论，并说明P的位置．
29．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥平面，∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（3）若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由．
31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，M为线段PC上的动点，N为线段BC的中点．
（1）若M为线段PC的中点，证明：平面PBC⊥平面MND；
（2）若PA∥平面MND，试确定点M的位置，并说明理由．第4章第4节 平面与平面的位置关系
题型1 平面与平面平行 题型2 平面与平面垂直
▉题型1 平面与平面平行
【知识点的认识】
两个平面平行的判定：
（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
（2）垂直于同一直线的两个平面平行．即a⊥α，且a⊥β，则α∥β．
（3）平行于同一个平面的两个平面平行．即α∥γ，β∥γ，则α∥β．
1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，A1D1的中点，则（　　）
A．AF∥EC1
B．AF⊥BC
C．平面ACF∥平面A1EC
D．EF与A1C所成的角大小为60°
【答案】A
【解答】解：对于A，取AD中点H，连接HF，AE，HC，FC1，
∵E，F分别为BC，A1D1的中点，
则FH∥CC1，且FH＝CC1，∴CHFC1是平行四边形，
∴CH∥C1F，且CH＝C1F，
又AH∥EC，且AH＝EC，
∴AHCE平行四边形，则AE∥HC，且AE＝HC，
∴AE∥FC1，且AE＝FC1，则四边形AEC1F是平行四边形，
∴AF∥EC1，故A正确；
对于B，∵AD∥BC，AF与AD不垂直，∴AF与BC不垂直，故B错误；
对于C，∵平面ACF与平面A1EC均过点C，
∴平面ACF与平面A1EC不平行，故C错误；
对于D，连接A1B，∵A1F∥BE，且A1F＝BE，
∴四边形A1BEF是平行四边形，
则A1B∥EF，∴∠BA1C为EF与A1C所成的角，
在Rt△A1BC中，设BC＝a，则BA1，CA1，
∴sin∠BA1C，故D错误．
故选：A．
2．设α，β，γ是三个不同平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则“l∥m”是“α∥β”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解答】解：由α∩γ＝l，β∩γ＝m，l∥m，则α，β可能相交，
故“l∥m”推不出“α∥β”，
由α∩γ＝l，β∩γ＝m，α∥β，由面面平行的性质定理知l∥m，
故“α∥β”能推出“l∥m”，
故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选：B．
3．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1D1，FG，如图，
因为平面AEF∥平面BD1G，平面AEF∩平面BB1D1D＝EF，
平面BD1G∩平面BB1D1D＝BD1，则EF∥BD1，于是，
平面ADD1A1∥平面BCC1B1，而BG 平面BCC1B1，则BG∥平面ADD1A1，
在平面ADD1A1内存在与AF不重合的直线l∥BG，又平面AEF∥平面BD1G，BG 平面BD1G，
则BG∥平面AEF，在平面AEF内存在与AF不重合直线m∥BG，从而m∥l，m 平面AEF，
l 平面AEF，则l∥平面AEF，又l 平面ADD1A1，平面AEF∩平面ADD1A1＝AF，
因此AF∥l∥BG，BG，AF可确定平面ABGF，因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
平面ABGF∩平面ABB1A1＝AB，平面ABGF∩平面CDD1C1＝FG，于是AB∥FG，即有CD∥FG，
所以．
故选：D．
4．已知a，b表示两条不重合的直线，α，β表示两个不重合的平面，现给出下列四个命题：①若a α，b β，a∥b，则α∥β；②若a α，b β，α∥β，则a∥b；③若a，b与平面α所成的角相等，则a∥b；④若a，b异面，且a，b均与平面α，β平行，则α∥β．其中真命题的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解答】解：对于①，由a α，b β，a∥b，
得α∥β或α与β相交，则①是假命题；
对于②，由a α，b β，α∥β，
得a∥b或a与b为异面直线，则②是假命题；
对于③，由a，b与平面α所成的角相等，
得a，b平行或相交或异面，则③是假命题；
对于④，过空间内一点P作异面直线a，b的平行线，可以确定一个平面γ，
因为a，b均与平面α，β平行，
所以α∥γ，β∥γ，从而α∥β，则④是真命题，
故真命题的个数是1．
故选：A．
5．设α，β为两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α，β平行于同一个平面
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一个平面
【答案】B
【解答】A选项，α内有无数条直线与β平行，α与β可能相交，A选项错误；
B选项，α，β平行于同一个平面，则α∥β，B选项正确；
C选项，α，β平行于同一条直线，α与β可能相交，C选项错误；
D选项，垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，D选项错误．
故选：B．
6．设α，β是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题为真命题的是（　　）
A．若m α，n β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
C．若m α，n α，m∥β，n∥β，则α∥β
D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α
【答案】B
【解答】解：对于A：由m α，n β，m⊥n，可得α、β可能平行或相交，故A错误；
对于B：由m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质定理得m∥n，故B正确；
对于C：由m α，n α，m∥β，n∥β，可得α、β可能平行或相交，故C错误；
对于D：由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n α，故D错误．
故选：B．
（多选）7．如图所示，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中，正确的是（　　）
A．平面AEF∥平面DBC1
B．存在点E（E与D1不重合），使得BE与AD1共面
C．当E点运动时，总有A1C⊥AE
D．三棱锥B﹣AEF的体积为定值
【答案】ACD
【解答】解：对于A，连接AD1，AB1，BD，BC1，DC1，
∵AB∥D1C1且AB＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴AD1∥BC1，
又AD1 平面DBC1，BC1 平面DBC1，
∴AD1∥平面DBC1，
同理AB1∥平面DBC1，
又AD1∩AB1＝A，AD1，AB1 平面AEF，
∴平面AEF∥平面DBC1，故A正确；
对于B，∵平面AB1D1∩平面BDD1B1＝B1D1，AD1 平面AB1D1，BE 平面BDD1B1，AD1∩B1D1＝D1，BE∩B1D1＝E，
若BE与AD1共面，则平面AB1D1与平面BDD1B1重合，
与题意相矛盾，
故不存在点E（E与D1不重合），使得BE与AD1共面，故B错误；
对于C，连接AC，A1C1，则A1C1⊥B1D1，
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1 平面A1B1C1D1，
∴AA1⊥B1D1，
又AA1∩A1C1＝A1，AA1，A1C1 平面ACC1A1，
∴B1D1⊥平面ACC1A1，
又A1C 平面ACC1A1，∴A1C⊥B1D1，
同理AD1⊥A1C，
又AD1∩B1D1＝D1，AD1，B1D1 平面AB1D1，
∴A1C⊥平面AB1D1，
又AE 平面AB1D1，
∴A1C⊥AE，
即当E点运动时，总有A1C⊥AE，故C正确；
对于D，∵BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴BB1⊥AC，
又AC⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BDD1B1，
∴AC⊥平面BDD1B1，
则三棱锥A﹣BEF的高为，，
则为定值，故D正确．
故选：ACD．
8．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为DD1的中点．
（1）求证：BD1∥平面AMC；
（2）若N为CC1的中点，求证：平面AMC∥平面BND1．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）设AC∩BD＝O，连接OM，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，
∴O是BD中点，∵M是DD1的中点，
∴OM∥BD1，
∵BD1 平面AMC，OM 平面AMC，
∴BD1∥平面AMC；
（2）∵N为CC1的中点，M为DD1的中点，
∴CN∥D1M，
∴CN＝D1M，
∴四边形CND1M为平行四边形，
∴D1N∥CM，
又∵MC 平面AMC，
∵D1N 平面AMC，
∴D1N∥平面AMC，
由（1）知BD1∥平面AMC，
∵BD1∩D1N＝D1，BD1 平面BND1，D1N 平面BND1，
∴平面AMC∥平面BND1．
9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是B1C1的中点，D是BC上一点．
（1）若D是BC中点，求证：平面AC1D∥平面A1BE；
（2）若AD⊥C1D，求证：D是BC中点．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解．
【解答】证明：（1）连接DE，
因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以BC∥B1C1，BC＝B1C1，AA1∥BB1，AA1＝BB1，
因为E是B1C1的中点，D是BC中点，
所以EC1∥BD，EC1＝BD，B1E∥BD，B1E＝BD，
所以四边形EC1DB，B1EDB均为平行四边形，
所以BE∥C1D，BB1∥DE，BB1＝DE，
所以AA1∥DE，AA1＝DE，
所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1E∥AD，
因为A1E 平面AC1D，AD 平面AC1D，
所以A1E∥平面AC1D，
同理BE∥平面AC1D，
因为A1E∩BE＝E，A1E 平面A1BE，BE 平面A1BE，
所以平面AC1D∥平面A1BE；
（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC，△ABC为正三角形，
因为AD 平面ABC，所以CC1⊥AD，
因为AD⊥C1D，
又因为CC1∩C1D＝C1，所以AD⊥平面BB1C1C，
因为BC 平面BB1C1C，所以AD⊥BC，
又因为△ABC为正三角形，
所以D是BC中点．
10．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E在棱AA1上，点F在棱CC1上，G在棱BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是棱B1C1上一点．
（1）求证：E，B，F，D1四点共面；
（2）若平面A1GH∥平面BED1F，求证：H为B1C1的中点．
【答案】（1）证明见解答．
（2）证明见解答．
【解答】证明：（1）如图，在DD1上取一点N使得DN＝1，
连接CN，EN，则AE＝DN＝1．CF＝ND1＝2、
因为CF∥ND1，所以四边形CFD1N是平行四边形，
所以D1F∥CN．
同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN∥AD，且EN＝AD，
又BC∥AD，且AD＝BC，所以EN∥BC，EN＝BC，
所以四边形CNEB是平行四边形，
所以CN∥BE，
所以D1F∥BE，
所以E，B，F，D1四点共面；
（2）因为平面A1GH∥平面BED1F，平面BB1C1C∩平面A1HG＝HG，
平面BBC1C∩平面BED1F＝BF，所以BF∥HG．
所以∠B1GH＝∠FBG＝∠CFB，在Rt△BCF中，，
在Rt△HB1G中，，
所以，即H为 B1C1 的中点．
11．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．
（1）求证：EF∥平面BCC1B1；
（2）在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）存在，理由见解析．
【解答】（1）证明：因为E，F分别为线段AC1A1C1的中点，
所以EF∥A1A，
因为B1B∥A1A，所以EF∥B1B，
又因为EF 平面BCC1B1，B1B 平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．
解：（2）取BC1的中点G，连接GE，GF，
因为E为AC1的中点，所以GE∥AB，
因为GE 平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，
同理可得，EF∥平面ABB1A1，
又因为EF∩EG＝E，EG，EF 平面EFG，所以平面EFG∥平面ABB1A1，
故在线段BC1上存在一点G，使平面EFG∥平面ABB1A1．
12．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
（1）求证：CE∥平面PAD．
（2）在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH．
因为E为PB的中点，
所以EH∥AB，EHAB．
又AB∥CD，CDAB，
所以EH∥CD，EH＝CD．
因此四边形DCEH是平行四边形，
所以CE∥DH．
又DH 平面PAD，CE 平面PAD，
因此CE∥平面PAD．
（2）解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，
所以AFAB
又CDAB，所以AF＝CD．
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，
因此CF∥AD．
又CF 平面PAD，所以CF∥平面PAD．
由（1）可知CE∥平面PAD．
因为CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD．
▉题型2 平面与平面垂直
【知识点的认识】
平面与平面垂直的判定：
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
平面与平面垂直的性质：
性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．
性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．
13．在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A﹣BCD，如图，则在三棱锥A﹣BCD中，下列结论不正确的是（　　）
A．CD⊥AB B．CD⊥BD
C．平面ADC⊥平面ABD D．平面ABC⊥平面BDC
【答案】D
【解答】解：对于B，如图，
因为AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90°，
所以∠ABD＝∠ADB＝45°，
又因为∠BCD＝45°，AD∥BC，
所以∠ADC＝135°，
所以∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝135°﹣45°＝90°，
所以CD⊥BD，所以B正确；
对于A，由B选项知CD⊥BD，
又因为平面ABD⊥平面BCD，CD 平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以CD⊥平面ABD，
因为AB 平面ABD，
所以CD⊥AB，所以A正确；
对于C，由选项A知，CD⊥平面ABD，
因为CD 平面ADC，
所以平面ADC⊥平面ABD，所以C正确；
对于D，如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E，
因为平面ABD⊥平面BCD，AE 平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以AE⊥平面BCD，
显然AE 平面ABC，所以平面ABC与平面BDC不垂直，所以D错误．
故选：D．
（多选）14．如图（1），在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD的中点，沿AE将△ADE折起，使点D到达点P的位置，并满足PA⊥PB，如图（2），则（　　）
A．平面PAB⊥平面PBE B．平面PAE⊥平面PBE
C．平面PAB⊥平面ABCE D．平面PAE⊥平面ABCE
【答案】ABD
【解答】解：因为PA⊥PB，PA⊥PE，且PB∩PE＝P，PB，PE 平面PBE，
所以PA⊥平面PBE，
又PA 平面PAB，PA 平面PAE，
所以平面PAB⊥平面PBE，平面PAE⊥平面PBE，故A，B正确；
如图（1），取AB的中点F，连接DF，交AE于点G，
则△ADE和△ADF均为等腰直角三角形，
所以∠DAE＝∠ADF＝45°，所以∠AGD＝90°，即DF⊥AE，
如图（2），连接PF，因为PG⊥AE，FG⊥AE，
所以∠PGF为二面角P﹣AE﹣B的平面角．
设AD＝2，则，
在Rt△PAB中，AB＝2AD＝4，F为AB的中点，
故．
所以，所以∠PGF＝90°，
所以平面PAE⊥平面ABCE，则平面PAB与平面ABCE不垂直，故C错误，D正确．
故选：ABD．
（多选）15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E是棱CC1（不包含端点）上的动点，F在正方形ADD1A1内，CF∥平面AD1E，则下列结论正确的是（　　）
A．平面AD1E截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面一定是等腰梯形
B．存在点E，使得异面直线D1E与BC1夹角的余弦值为
C．若E是CC1的中点，则点F的轨迹长度是
D．三棱锥D﹣AD1E外接球表面积的最小值是
【答案】ACD
【解答】解：对于A，设平面AD1E截正方体所得的截面在正方形BCC1B1内的边为EE1，
由平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面ADD1A1∩平面AD1E＝AD1，得EE1∥AD1，
而AD1∥BC1，则EE1∥BC1，CE1＝CE，
因此AE1＝D1E，而EE1＜BC1＝AD1，所以截面四边形AD1EE1是等腰梯形，所以A正确；
对于B，∠AD1E是异面直线D1E与BC1所成的角或其补角，设CE＝t（0＜t＜2），
则，而，
由余弦定理得cos∠AD1E
整理得7t2﹣28t﹣8＝0，该方程在（0，2）上无解，所以B错误；
对于C，分别取DD1，DA的中点F1，F2，连接CF1，CF2，F1F2，
则CF1∥D1E，F1F2∥AD1，
而D1E 平面AD1E，CF1 平面AD1E，
则CF1∥平面AD1E，同理F1F2∥平面AD1E，
又CF1∩F1F2＝F1，CF1，F1F2 平面CF1F2，
所以平面CF1F2∥平面AD1E，
又CF∥平面AD1E，点C∈平面CF1F2，则CF 平面CF1F2，
又F∈平面ADD1A1，所以点F的轨迹为线段F1F2，长度为，所以C正确；
对于D，△DD1E外接圆半径r，当E为CC1中点时，CC1与该圆相切，r取最小值，
此时，
当E与C，C1之一重合时，r取最大值，
三棱锥D﹣AD1E外接球球心在线段AD的中垂面上，由AD⊥平面AD1E，
得球心到平面AD1E的距离，
则该球半径R满足R2＝r2+d21，
所以三棱锥D﹣AD1E外接球表面积，D正确．
故选：ACD．
（多选）16．平面α垂直于平面β，且α∩β＝l，下列命题正确的是（　　）
A．平面α内一定存在直线平行于平面β
B．平面α内已知直线必垂直于平面β内无数条直线
C．平面α内任一条直线必垂直于平面β
D．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面β
【答案】AB
【解答】解：选项A，因为l 面β，所以平面α内平行于l的直线都平行于平面β，故选项A正确；
选项B，在平面β内作直线l的垂线m，则m⊥面α，
所以m垂直于平面α的任意直线，
所以平面α内已知直线必垂直于直线m，以及与m平行的无数条直线，故选项B正确；
选项C，平面α内垂直于两平面交线l的直线才垂直于平面β，故选项C错误；
选项D，若在交线l上取一点，作交线的垂线，则该垂线不一定垂直于平面β，
只有过平面α内，且在交线l外的一点作交线l的垂线，才有此垂线必垂直于平面β，故选项D错误．
故选：AB．
（多选）17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为四边形A1B1C1D1的中心，平面AOB∩平面COD＝l，则下列结论正确的是（　　）
A．直线AO与BC1异面 B．AO⊥BD
C．平面AOB⊥平面COD D．l∥平面ABC1D1
【答案】ABD
【解答】解：选项A，设平面ABB1A1的中心为G，则G是A1B的中点，
因为O是A1C1的中点，所以OG∥BC1，
所以O，G，B，C1四点共面，
假设直线AO与BC1共面，
由于平面OABC1与平面OGBC1有3个交点O，B，C1，且O，B，C1三点不共线，
所以平面OABC1与平面OGBC1重合，显然点A 平面OGBC1，
所以假设不成立，即直线AO与BC1异面，故选项A正确；
选项B，由正方体的性质知，BD⊥AC，AA1⊥平面ABCD，
因为BD 平面ABCD，所以AA1⊥BD，
又AC∩AA1＝A，AC、AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
因为AO 平面ACC1A1，所以AO⊥BD，故选项B正确；
选项C，分别取AB，CD的中点E，F，连接OE，OF，EF，显然OE⊥AB，OF⊥CD，
因为AB∥CD，AB 平面COD，CD 平面COD，所以AB∥平面COD，
又AB 平面AOB，平面AOB∩平面COD＝l，所以AB∥l，即AB∥CD∥l，
所以OE⊥l，OF⊥l，
所以∠EOF即为平面AOB与平面COD所成的角，
设正方体的棱长为2，则EF＝2，OE＝OF，
在△OEF中，由余弦定理知，cos∠EOF，
所以∠EOF≠90°，即平面AOB⊥平面COD不成立，故选项C错误；
选项D，由选项B知，AB∥l，
因为AB 平面ABC1D1，l 平面ABC1D1，所以l∥平面ABC1D1，故选项D正确．
故选：ABD．
18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的位置关系是 　垂直　 ．
【答案】垂直
【解答】解：因为AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，所以BE⊥AC，DE⊥AC，
又BE∩DE＝E，所以AC⊥面BDE，
因为AC 面ADC，
所以平面ADC⊥平面BDE，
故答案为：垂直．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．
（1）求证：EO∥平面PDC；
（2）求证：平面PAC⊥平面PBD．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，
∴O为BD中点，
又E为PB的中点，
∴EO∥PD，
∵EO 平面PDC，PD 平面PDC，
∴EO∥平面PDC；
（2）∵底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵PD∩BD＝D，
∴AC⊥平面PBD，
又AC 平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
20．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，SA＝SD＝AD＝2，四边形ABCD为正方形，E、M分别为AD、BC的中点．
（1）求证：EM∥平面SCD；
（2）求证：平面SAD⊥平面SCD；
（3）在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？若存在，求；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解答；（2）证明见解答；（2）存在，理由见解答．
【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD中，E、M分别为AD、BC的中点，
所以EM∥CD，因为EM 平面SCD，CD 平面SCD，
所以EM∥平面SCD；
（2）证明：由于平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，
因为CD⊥AD，CD 平面ABCD，
所以CD⊥平面SAD，又因为CD 平面SCD，
所以平面SAD⊥平面SCD；
（3）存在，当N为SC中点时，平面DMN⊥平面ABCD，
证明如下：连接EC，DM交于点O，连接SE，
因为ED∥CM，并且ED＝CM，
所以四边形EMCD为平行四边形，所以EO＝CO，
又因为N为SC中点，
所以NO∥SE，
因为平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，
又SE 平面SAD，由已知SE⊥AD，
所以SE⊥平面ABCD，
所以NO⊥平面ABCD，
又因为NO 平面DMN，
所以平面DMN⊥平面ABCD．
所以存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD，．
21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC，，侧面BCC1B1为正方形，D为棱BB1的中点，点E为棱AC上一点，且AD∥平面BC1E．
（1）证明：平面ABB1A1⊥平面BCC1B1；
（2）求的值；
（3）若∠ABB1＝60°，求直线C1E与平面ABB1A1所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．
【解答】解：（1）证明：由AB＝BC，，
得AC2＝AB2+BC2，所以AB⊥BC，
又因为侧面BCC1B1为正方形，
所以BC⊥BB1，
因为AB∩BB1＝B，AB，BB1 平面ABB1A1，
所以BC⊥平面ABB1A1，
又BC 平面BCC1B1，
故平面ABB1A1⊥平面BCC1B1．
（2）如图，连接CD与BC1交于点F，连接EF，
因为AD∥平面BC1E，平面ADC∩平面BC1E＝EF，AD 平面ADC，
所以AD∥EF，则，
在正方形BCC1B1中，
△BDF∽△C1CF，D为棱BB1的中点，
所以，
所以．
（3）设AB＝BC＝2，
由（1）可知，BC⊥平面ABB1A1，又BC∥B1C1，
所以B1C1⊥平面ABB1A1，
由（2）知，，延长C1E交A1A的延长线于H，
因为侧面BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则，
连接B1H，所以直线C1E与平面ABB1A1所成的角为∠B1HC1，
所以AA1＝BB1＝2，A1B1＝AB＝2，则A1H＝3，
由∠ABB1＝60°得∠AA1B1＝60°，
在△A1B1H中，根据余弦定理，
，
则，
在Rt△B1C1H中，，
所以．
故直线C1E与平面ABB1A1所成角的正弦值为．
22．△ABC中，AB＝AC，AB⊥AC，BC＝4，D是BC的中点，E是AB的中点，F是BD的中点．如图，将△BEF和△ACD分别沿EF，AD向平面ADFE的同侧翻折至△MEF和△NAD的位置，且使得DN∥MF．
（1）证明：平面ADN⊥平面DFN；
（2）证明：A，E，M，N共面；
（3）若，求三棱锥A﹣DEN的体积．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）证明过程见详解；
（3）．
【解答】（1）证明：因为AD⊥DF，AD⊥DN，DN∩DF＝D，
所以AD⊥平面DFN，
因为AD 平面ADN，
所以平面ADN⊥平面DFN；
（2）证明：取DN中点G，AD中点H，
则GH∥DN，因为MF∥DN，MF＝DG，所以四边形DGMF是平行四边形，
所以MG∥DF，MG＝DF，因为EF∥DH，EF＝DH，所以四边形DFEH是平行四边形，
所以EH∥DF，EH＝DF，所以MG∥EH，MG＝EH，
所以四边形MGHE是平行四边形，
所以ME∥GH，所以ME∥AN，
所以A，E，M，N共面；
（3）过点N作NP⊥DF，垂足为P，由（1）知，AD⊥平面DFN，
因为NP 平面DFN，所以AD⊥NP，
因为AD，DF 平面ADE，AD∩DF＝D，所以NP⊥平面ADE，即NP是三棱锥N﹣ADE的高，
由（1）的图，在△MNG中，
由余弦定理得 ，
所以，
所以，
所以三棱锥A﹣DEN的体积V＝VN﹣ADE S△ADE NP．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝2．E为AB边上一点且BE＝3，F为线段AE上的动点（不含端点）．过F作AD的平行线交CD于G，现将四边形AFGD沿FG翻折成如图的直二面角A﹣FG﹣B．
（1）若AF＝4，求证：GE⊥AC；
（2）在（1）的条件下，求直线AE与直线CD所成角的正切值；
（3）当直线AE与直线CD所成角最大时，求AF的长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）；
（3）2．
【解答】（1）证明：连接GE，CF，
AB＝8，BC＝2，E为AB边上一点且BE＝3，AF＝4，
可得EF＝1，
由题意可得tan∠GEF2，tan∠GFC2，
所以∠EGF+∠GFC，即GE⊥CF，
又因为直二面角A﹣FG﹣B，AF⊥GF，可得AF⊥平面BCGF，
GE 平面BCGF，所以AF⊥GE，
又因为AF∩FC＝F，AF，FC 平面AFC，
所以GE⊥平面AFC，
而AC 平面AFC，
所以GE⊥AC；
（2）解：由题意可得AB∥CD，所以AE与CD所成的角等于AE与AB所成的角，即∠BAE或它的补角即为所求的角，
因为tan∠FAB1，∠EAF，
所以tan∠EAB＝tan（∠FAB﹣∠EAF），
即直线AE与直线CD所成角的正切值为；
（3）解：设AF＝x，x∈（0，5），
因为tan∠FAB，∠EAF，
所以tan∠EAB＝tan（∠FAB﹣∠EAF），
设f（x）＝2x，x∈（0，5），令2x，可得x＝2∈（0，5），即此时f（x）取到最小值，
可得tan∠EAB取到最大值，即此时直线AE与直线CD所成角最大．
24．如图所示，AC为圆的直径，∠PCA＝45°，PA⊥圆所在的平面，B为圆周上与点A，C均不重合的点，AN⊥PB于N，S为线段PC上任一点．
（1）求证：平面ANS⊥平面PBC；
（2）已知AC＝2R，（R为常数），设直线PB与平面PAC所成角为θ，当θ变化时，求sinθ的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵PA⊥圆所在的平面，∴PA⊥BC，
又∵AC为圆的直径且B为圆周上与点A，C均不重合的点，∴BC⊥AB，
∵PA⊥BC，BC⊥AB，PA 平面PAB，AB 平面PAB，且PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，∵AN 平面PAB，∴AN⊥BC，
又∵AN⊥PB，且PB∩BC＝B，
∴AN⊥平面PBC，∵AN 平面ANS，∴平面ANS⊥平面PBC；
（2）过点B作AC的垂线交AC于点Q，连接PQ，易得BQ⊥平面PAC，
故直线PB与平面PAC所成角为θ＝∠BPQ，即，|AC|＝2R，∠BAC＝α且α∈（0°，90°），
则|AB|＝|AC|cosα＝2Rcosα，|BQ|＝|AB|sinα＝2Rcosαsinα，
因PA⊥圆所在的平面且∠PCA＝45°，
故，
因此，
令t＝1+cos2α且t∈（1，2），则cos2α＝t﹣1，sin2α＝2﹣t，
故，
因t∈（1，2），所以，当且仅当“”时，等号成立，
故，因此sinθ的最大值为．
25．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥CD，FB＝FD．
（Ⅰ）若CD＝2EF，求证：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）求证：平面ACF⊥平面ABCD．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（Ⅰ）证明：取AD的中点M，连接OM、FM，
∵对角线AC与BD的交点为O，
∴OM∥CD，OMCD．
∵EF∥CD，CD＝2EF，
∴OM∥EF，OM＝EF，
∴OMFE为平行四边形，
∴OE∥FM．
∵FM 平面ADF，OE 平面ADF，
∴OE∥平面ADF．
（Ⅱ）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵BF＝FD，O是BD的中点，
∴OF⊥BD．
又∵OF∩AC＝O，
∴BD⊥平面ACF．
∵BD 平面ABCD，
∴平面ACF⊥平面ABCD．
26．如图所示，在斜三棱柱A1B1C1﹣ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中点，侧面BB1C1C⊥底面ABC．
（1）求证：AD⊥CC1；
（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱AA1于点M，若AM＝MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C；
（3）若截面MBC1⊥平面BB1C1C，则AM＝MA1成立吗？请说明理由．
【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3）见解析．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC．
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C，底面ABC∩侧面BB1C1C＝BC，AD 底面ABC，
∴AD⊥侧面BB1C1C．
又CC1 侧面BB1C1C1，∴AD⊥CC1．
（2）证明：如图，延长B1A1，与BM的延长线交于点N，
连接C1N，则C1N 平面MB1C1，
∵AM＝MA1，∴NA1＝A1B1∵A1B1＝A1C1，
∴A1C1＝A1N＝A1B1，
∴C1N⊥B1C1，由已知侧面BB1C1C⊥底面ABC，
所以侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1，交线为B1C1，
C1N 底面A1B1C1，
∴C1N⊥侧面BB1C1C，C1N 平面MB1C1，
∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C．
（3）成立理由如下：
过M作ME⊥BC1，于点E，连接DE，
∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C，根据面面垂直的性质，
∴ME⊥侧面BB1C1C．
又AD⊥侧面BB1C1C，∴ME∥AD，
∴M，E，D，A四点共面．
∵MA∥侧面BB1C1C，MA 平面AMED，
平面AMED∩平面BB1C1C＝DE，∴AM∥DE．
∴四边形AMED是平行四边形，
又AM∥CC1，∴DE∥CC1．
∵D是BC的中点，∴．
∴．
∴AM＝MA1．
27．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1．
（1）证明：平面ABC1⊥面B1CD1．
（2）若正方体的棱长为4，AC1⊥平面α，当平面α经过BC的中点时，求平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的周长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，
因为B1C 平面BCC1B1，所以AB⊥B1C．
在正方形BCC1B1中，B1C⊥BC1，
又AB∩BC1＝B，AB，BC1 平面ABC1，
所以B1C⊥平面ABC1，又B1C 平面B1CD1，
所以平面ABC1⊥平面B1CD1．
（2）连接DC1，因为AD⊥平面DCC1D1，
又D1C 平面DCC1D1，所以AD⊥D1C．
在正方形DCC1D1中，D1C⊥DC1，
又AD∩DC1＝D，AD，DC1 平面ADC1，
所以D1C⊥平面ADC1，又AC1 平面ADC1，
所以D1C⊥AC1．
由（1）知B1C⊥平面ABC1，AC1 平面ABC1，则B1C⊥AC1．
又D1C∩B1C＝C，D1C，B1C 平面B1CD1，所以AC1⊥平面B1CD1，
因为AC1⊥平面α，所以平面α∥平面B1CD1．
分别取BC，CD，DD1，A1D1，A1B1，BB1的中点E，F，G，H，M，N，连接各点，
则多边形EF﹣GHMN即平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面．
又，
所以平面α截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面的周长为．
28．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；
（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论，并说明P的位置．
【答案】（1）证明见解答．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．理由见解答．
【解答】（1）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC 平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为半圆弧上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM＝C，BC 平面BMC，CM 平面BMC，
所以DM⊥平面BMC．
因为DM 平面AMD，∴平面AMD⊥平面BMC．
（2）解：当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．
又MC 平面PBD，OP 平面PBD，
所以MC∥平面PBD．
29．如图，四面体ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED⊥平面ACD；
（2）设AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求三棱锥F﹣ABC的体积．
【答案】（1）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．
∴AC⊥BE，
∵AD＝CD，E为AC的中点．
∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面BED，
又∵AC 平面ACD，
∴平面BED⊥平面ACD；
（2）．
【解答】证明：（1）∵AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，BD＝BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴AB＝BC，又∵E为AC的中点．
∴AC⊥BE，
∵AD＝CD，E为AC的中点．
∴AC⊥DE，又∵BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面BED，
又∵AC 平面ACD，
∴平面BED⊥平面ACD；
解：（2）由（1）可知AB＝BC，
∴AB＝BC＝2，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，边长为2，
∴BE，AC＝2，AD＝CD，DE＝1，
∵DE2+BE2＝BD2，∴DE⊥BE，
又∵DE⊥AC，AC∩BE＝E，
∴DE⊥平面ABC，
由（1）知△ADB≌△CDB，∴AF＝CF，连接EF，则EF⊥AC，
∴S△AFCEF，
∴当EF⊥BD时，EF最短，此时△AFC的面积最小，
过点F作FG⊥BE于点G，则FG∥DE，∴FG⊥平面ABC，
∵EF，
∴BF，∴FG，
∴三棱锥F﹣ABC的体积V．
30．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，BC∥平面，∠ABC＝90°，E是PD的中点．
（1）求证：BC∥AD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（3）若M是线段CE上任意一点，试判断线段AD上是否存在点N，使得MN∥平面PAB？请说明理由．
【答案】（1）见解析
（2）见解析
（3）当N为AD中点时，MN∥平面PAB．
【解答】解：（1）证明：∵BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以BC∥AD．
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BA⊥AD，所以BA⊥平面PAD，又因为BA 平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD．
（3）当N为AD中点时，MN∥平面PAB．
证明：取AD的中点N，连接CN，EN，E，N分别为PD，AD的中点，所以EN∥PA，EN 平面PAB，PA 平面PAB，所以EN∥平面PAB，
又因为，BC∥AD，所以四边形ABCN为平行四边形，
所以CN∥AB，CN 平面PAB，AB 平面PAB，所以CN∥平面PAB，CN∩NE，所以平面CNE∥平面PAB，又因为MN 平面CNE，所以MN∥平面PAB．
线段AD上存在点N，使得MN∥平面PAB．
31．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，M为线段PC上的动点，N为线段BC的中点．
（1）若M为线段PC的中点，证明：平面PBC⊥平面MND；
（2）若PA∥平面MND，试确定点M的位置，并说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：因为底面ABCD为正方形，PD＝AD，所以PD＝CD，BC⊥CD，
因为M为线段PC中点，所以在平面PCD中，DM⊥PC，
因为PD⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD＝D，PD 平面PCD，CD 平面PCD，
所以BC⊥平面PCD，
因为DM 平面PCD，所以BC⊥DM，
又DM⊥PC，PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC，
所以DM⊥平面PBC，
因为DM 平面MND，所以平面PBC⊥平面MND；
（2）解：如图，连接AC，交DN于点O，连接OM，
因为在正方形ABCD中，N为线段BC中点，
AD∥BC，所以，即AO＝2CO，
因为PA∥平面MND，PA 平面PAC，平面PAC∩平面MND＝OM，
所以PA∥OM，
所以，即，
所以点M为线段PC的三等分点，且靠近点C处．

展开更多......

收起↑