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第4章第5节 几种简单的几何体的表面积和体积
题型1 棱柱的侧面积和表面积 题型2 棱锥的侧面积和表面积
题型3 棱台的侧面积和表面积 题型4 棱柱的体积
题型5 棱锥的体积 题型6 棱台的体积
题型7 球的表面积 题型8 球的体积
▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
1．已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　）
A．40 B． C． D．
2．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为A'B'C'，其中O'A'＝O'B'＝O'C'＝1，则此三棱柱的表面积为（　　）
A． B． C． D．
3．道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一体的观光胜地．道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积为平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积是（　　）
A．460平方米 B．1840平方米
C．2760平方米 D．3680平方米
4．已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
▉题型2 棱锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱锥是底面为多边形的几何体，顶点与底面相连形成侧面，棱锥的侧面为多个三角形．
5．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为（　　）
A．32 B．48 C．64 D．
6．棱长都是3的三棱锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（　　）
A．27cm2 B． C．9cm2 D．
8．以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为　 ．
▉题型3 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
9．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（　　）
A．6 B． C．24 D．44
▉题型4 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
10．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为a，若侧面AA1B1B水平放置时，液面高为，若底面ABC水平放置时，液面高为3，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，且二面角A1﹣BC﹣A是60°，则三棱柱体积为（　　）
A． B． C． D．
12．已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为4，体积为，点N在正六边形A1B1C1D1E1F1内及其边界上运动，若，则动点N的轨迹长度为（　　）
A．π B． C． D．
13．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，如图所示，若A′O′＝O′B′＝2，B′C′＝2，则该直四棱柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
14．正六棱柱底面边长为10，高为15，则这个正六棱柱的体积是 ．
15．现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB＝6，PO1＝2，求该几何体的体积．
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，PO1＝2．
（i）求正四棱锥P﹣A1B1C1D1的侧面积．
（i）若Q，N分别是线段A1B1，PB1上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值．
16．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F∈平面），四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，BF＝FE，且平面FEB⊥平面EDB
（1）设M为棱EB的中点，证明：A，C，F，M四点共面；
（2）若ED＝2AB＝2，求六面体EFABCD的体积．
▉题型5 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，则四棱锥A1﹣ABCD与四棱锥B1﹣ABCD重叠部分的体积是（　　）
A． B． C． D．
18．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E（点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）
①平面AB1E⊥平面B1EC
②AB1与CF的夹角为定值
③三棱锥B1﹣AED体积最大值为
④点F的轨迹的长度为
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
19．以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的体积为（　　）
A．π B． C． D．
20．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成角为30°，则四棱锥C1﹣ABCD的体积为（　　）
A． B． C． D．
21．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，动点P满足，λ∈（0，1），则下列几何体体积为定值的是（　　）
A．四棱锥P﹣A1ABB1 B．四棱锥P﹣A1ACC1
C．三棱锥P﹣A1BC1 D．三棱锥P﹣A1BC
22．《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，EF∥AB且EFAB，△BCF为等边三角形，且平面BCF⊥平面ABCD，点M为棱EF上靠近点E的三等分点，平面BCM将几何体分成体积为V1，V2（V1＞V2）的左、右两部分，则的值为（　　）
A． B． C． D．
23．在单位正方体内任取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分成8个小长方体，则这些小长方体中体积不大于的长方体的个数的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
（多选）24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A．不存在点P，使得FP∥平面ABC1D1
B．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥C1﹣A1B1P的体积为4
D．三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为9π
（多选）25．如图，在多边形ABPCD中（图1）．四边形ABCD为长方形，△BPC为正三角形，AB＝3，，现以BC为折痕将△BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）．若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（　　）
A．AB⊥平面PAD
B．平面PCD⊥平面PAB
C．Q到平面EBC的距离为2
D．当时，三棱锥E﹣DCP的体积为
26．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC、CD的中点，点P是线段B1D1上的动点，点Q是侧面DCC1D1上（包括边界）的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有CP⊥AC1；
②存在无数组点P和点Q，使得PQ⊥平面ABC1；
③点P由B1滑到D1时，三棱锥P﹣MNC1体积逐渐增大；
④使得PQ∥平面A1MN的点Q的轨迹长度为．
其中所有正确结论的序号是 　 ．
27．如图，四边形ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB＝AD＝4，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，PA＝5，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为 ，四棱锥P﹣ABCD的体积的最大值为 ．
28．已知四边形ABCD中，，将△ABC沿AC折起，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，则三棱锥B﹣ACD体积的最大值为 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 ．
29．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，M，N分别为AB，CC1的中点，则三棱锥D1﹣MND的体积为 ．
30．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，，M是线段AD上（包括端点）的一动点，如图2，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点P的位置，满足点P 平面BCDM．
（1）如图2，当BC＝2MD时，点N是线段PC上的点，且DN∥平面PBM，求的值．
（2）如图2，若点P在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．
（i）是否存在点M，使得BP⊥平面PCM？若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由．
（ii）当三棱锥E﹣PBM的体积最大时，求点E到平面PCD的距离．
31．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，直线PA与BC所成的角的余弦值等于，PB＝3，点M为线段PB上的动点，N是PC的中点．
（1）若直线AM和DN相交，求证：MN∥BC；
（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（3）当三棱锥A﹣BMD的体积最大值时，求此时三棱锥A﹣BMD外接球的体积．
32．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D﹣PN﹣C的正切值为2．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
▉题型6 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
33．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB＝10，A1B1＝2，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（　　）
A．112 B． C． D．496
34．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（　　）（注：1丈＝10尺）
A．2800立方尺 B．3640立方尺
C．3892立方尺 D．11676立方尺
35．已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1：4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
36．降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）．气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量/mm （0，10） [10，25） [25，50） [50，100）
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为4：1，母线长为5cm，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
37．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，则该棱台的体积为　 ．
38．已知一个正四棱台的体积为152cm3，上、下底面边长分别为4cm、6cm，则棱台的高为
　 cm．
39．如图，已知四面体PABC的棱长均为6，棱PA，PB，PC的中点分别为D，E，F，用平面DEF截四面体PABC，得到三棱台DEF﹣ABC．
（1）求三棱台DEF﹣ABC的体积；
（2）若M为棱BC上的动点，求EM+MA的最小值，并求取最小值时线段BM的长度．
▉题型7 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
40．已知正四面体ABCD各条棱的中点都在球O的表面上，则球O的表面积与该正四面体的表面积之比为（　　）
A． B． C． D．
41．三棱锥A﹣BCD中，底面是边长为2的正三角形，AC⊥BC，AD⊥BD，直线AC与BD所成角为45°，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积为（　　）
A．6π B． C．8π D．
42．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑A﹣BCD中，满足CD⊥平面ABD，且CD＝AD＝5，BD＝3，AB＝4，则此鳖臑外接球的表面积为（　　）
A．25π B．50π C．100π D．200π
43．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（　　）
A． B． C． D．
44．在正三棱锥P﹣ABC中，O为△ABC的中心，已知AB＝6，∠APB＝2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．49π B．36π C．32π D．28π
45．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为60°，则得到的球的表面积的最大值为（　　）
A．48π B． C．24π D．
46．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为16，且AA1＝2，则长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面积的最小值为（　　）
A． B． C．20π D．100π
47．将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（　　）
A． B．π C．4π D．6π
48．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形OA'B'C'，其中O'A'＝2，则该直棱柱外接球的表面积为（　　）
A．8π B．16π C．32π D．64π
（多选）49．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△PAB是等边三角形，AB＝AC＝2，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．PB⊥AC
C．点D到平面ABC的距离为
D．球O的表面积为
（多选）50．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图2，设AB＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．该多面体的体积为
B．过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为
C．设点O为平面AQG截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为
D．该多面体的外接球表面积为4π
51．所有棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 ．
52．已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 　 ．
53．在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该正三棱台的体积为 ，其外接球表面积为 ．
▉题型8 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为．
54．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为3，高为，则其内切球体积是（　　）
A．π B． C． D．
55．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（　　）
A．2 B．3 C． D．
56．将一块棱长为4厘米的正方体木块打磨成一个球，则该球体积的最大值是（　　）
A．立方厘米 B．立方厘米
C．65π立方厘米 D．16π立方厘米
57．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日．小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）．如图：已知粽子三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE或平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅．则肉馅与整个粽子体积的比为（　　）
A． B． C． D．
（多选）58．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥A1﹣APD的体积为定值
B．A1P∥平面ACD1
C．AP+B1P的最小值为
D．当A1，C，D1，P四点共面时，四面体B1PA1C1的外接球的体积为
59．已知圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，则该圆台的外接球的体积为 ．
60．一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为 ．第4章第5节 几种简单的几何体的表面积和体积
题型1 棱柱的侧面积和表面积 题型2 棱锥的侧面积和表面积
题型3 棱台的侧面积和表面积 题型4 棱柱的体积
题型5 棱锥的体积 题型6 棱台的体积
题型7 球的表面积 题型8 球的体积
▉题型1 棱柱的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱柱是底面为多边形的几何体，侧面为平行四边形．棱柱的主要特征包括底面周长P和高h．
1．已知一个直四棱柱的高为4，其底面ABCD水平放置的直观图（斜二测画法）是边长为2的正方形，则这个直四棱柱的表面积为（　　）
A．40 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由于直观图是边长为2的正方形，
所以ABCD是两邻边分别为2与6，高为的平行四边形，
其周长是2+6+2+6＝16，面积是，
所以直四棱柱的表面积是．
故选：C．
2．已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为A'B'C'，其中O'A'＝O'B'＝O'C'＝1，则此三棱柱的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：斜二测画法的“三变”“三不变”得到直三棱柱的底面平面图，如图，
其中OA＝2OB＝2OC＝2，
∴AB＝AC，
∴此三棱柱的表面积为S8+4．
故选：C．
3．道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部雕梁画栋，有倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗一体的观光胜地．道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积为平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积是（　　）
A．460平方米 B．1840平方米
C．2760平方米 D．3680平方米
【答案】D
【解答】解：如图，由题意可知，底面ABCDEFGH是正八边形，，
由余弦定理可得，AB2＝OA2+OB2，
则，
因为底面ABCDEFGH的面积为平方米，
所以，解得AB＝40，
则该八棱柱的侧面积为320×11.5＝3680平方米．
故选：D．
4．已知圆锥的半径，母线长为．
（1）求圆锥的表面积和体积；
（2）如图，过AO的中点O1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面积．
【答案】（1）表面积9π，体积3π；（2）体积，表面积．
【解答】解：（1）设圆锥的高为h，
由题意得：
，
所以h＝3，
所以圆锥侧面积，
圆锥的底面积，
所以圆锥的表面积S圆锥＝S1+S2＝9π；
所以圆锥的体积为．
（2）因为圆柱的底面半径为，高（母线）为，
所以圆柱的体积为，
所以剩下几何体的体积为，
由（1）得圆锥的表面积S圆锥＝S1+S2＝9π，
，
．
▉题型2 棱锥的侧面积和表面积
【知识点的认识】
棱锥是底面为多边形的几何体，顶点与底面相连形成侧面，棱锥的侧面为多个三角形．
5．正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为（　　）
A．32 B．48 C．64 D．
【答案】A
【解答】解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，
底面边心距OE组成直角△POE．
∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE4，
∴S正棱锥侧Ch′4×4×4＝32．
故选：A．
6．棱长都是3的三棱锥的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：棱长都是2的三棱锥的四个面都是等边三角形，
每个等边三角形的面积，所以三棱锥的表面积是．
故选：A．
7．已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为6cm，顶点P到底面ABC的距离是cm，则这个正三棱锥的侧面积为（　　）
A．27cm2 B． C．9cm2 D．
【答案】A
【解答】解：由题意可作底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为：cm，
所以正三棱锥的斜高为：3cm，
所以这个正三棱锥的侧面积为：327（cm2）．
故选：A．
8．以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为　4　 ．
【答案】4．
【解答】解：由题意知，以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体，表面是边长为的8个全等正三角形，
所以该八面体的表面积为S＝8sin4．
故答案为：4．
▉题型3 棱台的侧面积和表面积
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
9．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，高是，则它的侧面积为（　　）
A．6 B． C．24 D．44
【答案】C
【解答】解：∵正四棱台的侧面为等腰梯形，
又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、4，高为，
∴侧面梯形的斜高为h'2，
∴棱台的侧面积为S（a+b）h'＝4（2+4）×2＝24．
故选：C．
▉题型4 棱柱的体积
【知识点的认识】
棱柱的体积可以通过底面面积B和高度h计算．底面为多边形的几何体．
10．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为a，若侧面AA1B1B水平放置时，液面高为，若底面ABC水平放置时，液面高为3，则a＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解答】解：因为正三棱柱的底面边长和侧棱长都为a，
又当侧面AA1B1B水平放置时，液面高为，
所以可得此时侧面等腰梯形的上底为a﹣2，
所以水的体积为，
又当底面ABC水平放置时，液面高为3，
所以水的体积为，
所以，解得a＝4．
故选：D．
11．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，且二面角A1﹣BC﹣A是60°，则三棱柱体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：作出示意图如下：
因为在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，且二面角A1﹣BC﹣A是60°，
取BC中点H，连接AH，A1H，
因为AA1⊥面ABC，BC在面ABC内，所以AA1⊥BC．
又AH⊥BC，AA1∩AH＝A，AA1，AH在面AA1H内，则BC⊥面AA1H，
又A1H在面AA1H内，所以BC⊥A1H，
所以二面角A1﹣BC﹣A的平面角为，所以AA1＝3，
所以三棱柱的体积为．
故选：A．
12．已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为4，体积为，点N在正六边形A1B1C1D1E1F1内及其边界上运动，若，则动点N的轨迹长度为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的底面边长为4，
所以作出示意图如下：
则．
又正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的体积为，解得AA1＝5．
也点N在正六边形A1B1C1D1E1F1内及其边界上运动，
AA1⊥底面A1B1C1D1E1F1，所以AA1⊥A1N，
所以，解得A1N＝2，
所以动点N的运动轨迹是以A1为圆心，半径为2，圆心角为的圆弧，
所以动点N的运动轨迹长度为．
故选：C．
13．已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，如图所示，若A′O′＝O′B′＝2，B′C′＝2，则该直四棱柱的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：在斜二测直观图中，由O′B′＝2，B′C′＝2，得，
则原四边形中，又D′C′＝DC＝A′B′＝AB＝4，且AB⊥OC，
∴平行四边形ABCD的面积为S＝AB×OC＝4，
∴该直四棱柱的体积为Sh．
故选：B．
14．正六棱柱底面边长为10，高为15，则这个正六棱柱的体积是　2250　 ．
【答案】2250
【解答】解：∵正六棱柱底面边长为10，
∴正六棱柱的底面积为S，
又正六棱柱的高为15，
∴这个正六棱柱的体积是．
故答案为：．
15．现有一几何体由上、下两部分组成，上部是正四棱锥P﹣A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如图所示），且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
（1）若AB＝6，PO1＝2，求该几何体的体积．
（2）若正四棱锥的侧棱长为6，PO1＝2．
（i）求正四棱锥P﹣A1B1C1D1的侧面积．
（i）若Q，N分别是线段A1B1，PB1上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值．
【答案】（1）312；（2）（i）；（ii）．
【解答】解：（1）由条件可知，正四棱柱的高O1O＝8，
所以正四棱柱的体积为6×6×8＝288，
三棱锥P﹣A1B1C1D1的体积为，
所以该几何体的体积为288+24＝312；
（2）（i），
所以，
正四棱锥P﹣A1B1C1D1侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
（ii）如图，将长方形ABB1A1，△PA1B1和△PB1C1展开在一个平面，
PA1＝PB1＝PC1＝6，A1B1＝B1C1＝8，
设∠A1B1P＝α，，A1B1＝AA1＝8，，
，所以，
所以，
，
，
当A，Q，N，C1四点共线时，AQ+QN+NC1最短，
所以，
所以AQ+QN+NC1的最小值为．
16．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F∈平面），四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，BF＝FE，且平面FEB⊥平面EDB
（1）设M为棱EB的中点，证明：A，C，F，M四点共面；
（2）若ED＝2AB＝2，求六面体EFABCD的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：连接AC，由于四边形ABCD是正方形，所以AC⊥DB，
又ED⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，所以ED⊥AC，又DE∩BD＝D，
所以AC⊥平面EDB，
因为M为棱EB的中点，BF＝FE，所以FM⊥EB，
又平面FEB⊥平面EDB，平面FEB∩平面EDB＝EB，FM 平面EFB，
所以FM⊥平面EDB，
身体FM∥AC，所以A，C，F，M四点共面；
（2）设AC与BD交于O点，连OM，则OM∥DE，
又OM 平面ACFM，DE 平面ACFM，
所以DE∥平面ACFM，
又平面CDEF∩平面ACFM＝CF，DE 平面CDEF，所以DE∥CF，
所以四边形OCFM为矩形，则CF＝1，且CF⊥平面ABCD，
则．
▉题型5 棱锥的体积
【知识点的认识】
棱锥的体积可以通过底面面积B和高度h计算，顶点到底面的垂直距离即为高度．
17．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为，则四棱锥A1﹣ABCD与四棱锥B1﹣ABCD重叠部分的体积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：四棱锥A1﹣ABCD与四棱锥B1﹣ABCD重叠部分示意图如下：
则重叠部分为五面体ABE﹣DCE1，
根据题意易得，
所以，，
所以，
点E1到平面ABCD的高，
又该五面体由一个三棱柱和一个四棱锥组成，如图：
所以该五面体ABE﹣DCE1的体积为：
，
故选：C．
18．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E（点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（　　）
①平面AB1E⊥平面B1EC
②AB1与CF的夹角为定值
③三棱锥B1﹣AED体积最大值为
④点F的轨迹的长度为
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【解答】解：对于①：由AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点知且BE＝1，
易知AE⊥EC，AE⊥B1E，而EC∩B1E＝E，EC，B1E 面B1EC，
故AE⊥面B1EC，又AE 面AB1E，所以面AB1E⊥面B1EC，故①正确；
对于②：若G′是AB1的中点，又F为B1D的中点，则G′F∥AD且，
而且EC∥AD，所以G′F∥EC且G′F＝EC，即FG′EC为平行四边形，
故CF∥EG′，所以AB1与CF的夹角为∠AG′E或其补角，
若G为AB中点，即∠AG′E＝∠AGE，由①分析易知，
故AB1与CF的夹角为，故②正确；
对于③：由上分析知：翻折过程中当B1E⊥面ABCD时，最大，
此时，故③错误；
对于④：由②分析知：EG′＝CF且EG′∥CF，故F的轨迹与G到G′的轨迹相同，
由①知：B到B1的轨迹为以E为圆心，B1E为半径的半圆，而G为AB中点，
故G到G′的轨迹为以AE中点为圆心，为半径的半圆，所以F的轨迹长度为，故④正确．
故选：C．
19．以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周得到的几何体的体积为（　　）
A．π B． C． D．
【答案】D
【解答】解：如图，根据题目：边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，
正三角形绕AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，圆锥的底面半径为，所得几何体的底面积为，则体积为．
故选：D．
20．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成角为30°，则四棱锥C1﹣ABCD的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，可得AB⊥平面B1C1CB，
则AC1与平面B1C1CB所成的角即为∠AC1B，从而∠AC1B＝30°，
因为AB⊥平面B1C1CB，BC1 平面B1C1CB，所以AB⊥BC1，
在直角△ABC1中，因为AB＝2，∠BAC1＝60°，可得，
所以，
由长方体的性质可知，CC1⊥平面ABCD，
所以该四棱锥C1﹣ABCD的体积为，
故选：B．
21．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，动点P满足，λ∈（0，1），则下列几何体体积为定值的是（　　）
A．四棱锥P﹣A1ABB1 B．四棱锥P﹣A1ACC1
C．三棱锥P﹣A1BC1 D．三棱锥P﹣A1BC
【答案】D
【解答】解：对于正三棱柱ABC﹣A1B1C1且，λ∈（0，1），则P在B1C1上运动，
所以P到平面A1ACC1，平面A1ABB1，平面A1BC1的距离均是变化的，故A、B、C不符合题意；
由B1C1∥BC，BC 平面A1BC，B1C1 平面A1BC，则B1C1∥平面A1BC，
所以P到平面A1BC的距离为定值，故D符合题意．
故选：D．
22．《九章算术》中记载了几何体“刍甍”，即“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”译为：底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．现有一刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，EF∥AB且EFAB，△BCF为等边三角形，且平面BCF⊥平面ABCD，点M为棱EF上靠近点E的三等分点，平面BCM将几何体分成体积为V1，V2（V1＞V2）的左、右两部分，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：设AB＝4a，BC＝b，则 EF＝3a，MF＝2a．
由于平面BCF∩平面ABCD＝BC，AB⊥BC，则AB⊥平面BCF，
又EF∥AB，故EF⊥平面BCF，
则．
如图，在平面EABF上作EK∥FB，与棱AB交于点K，在平面EDCF上作EI∥FC，与棱DC交于点I，连接KI．
故五面体ABCDEF的体积可视为三棱柱EKI﹣FBC与四棱锥 E﹣AKID的体积之和，
则五面体ABCDEF的体积V＝VEKI﹣FBC+VE﹣AKID．
又点E到平面AKID的距离为△FBC的高，即为．
所以 ．
则．
故．
故选：D．
23．在单位正方体内任取一个点，过这个点作三个平行于正方体面的平面，将正方体分成8个小长方体，则这些小长方体中体积不大于的长方体的个数的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：设该正方体的长宽高分别被切成长度为a和1﹣a，b和1﹣b，c和1﹣c的两段，这里a，b，c∈（0，1），且根据对称性，可不妨设，
此时，8个长方体的体积分别是：abc，ab（1﹣c），a（1﹣b）c，a（1﹣b）（1﹣c），（1﹣a）bc，（1﹣a）b（1﹣c），（1﹣a）（1﹣b）c，（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c）．
由，可知abc≤ab（1﹣c）≤a（1﹣b）c≤（1﹣a）bc，
a（1﹣b）（1﹣c）≤（1﹣a）b（1﹣c）≤（1﹣a）（1﹣b）c≤（1﹣a）（1﹣b）（1﹣c）．
由于2a（1﹣b）c≤a（1﹣b）c+（1﹣a）bc＝c（a+b﹣2ab）（1﹣（1﹣2a）（1﹣2b）2，
故abc≤ab（1﹣c）≤a（1﹣b）c，
而（1﹣a）bc a（1﹣b）（1﹣c）＝a（1﹣a）b（1﹣b）c（1﹣c）（1﹣（2a﹣1）2）（1﹣（2b﹣1）2）（1﹣（2c﹣1）2），
故（1﹣a）bc和a（1﹣b）（1﹣c）中至少有一个数不超过，
所以这8个长方体中至少有4个的体积不超过，
当a＝0.25，b＝0.45，c＝0.45时，
8个长方体的体积分别是0.0625，0.061875，0.061875，0.075625，0.151875，0.185625，0.185625，0.226875，
此时这8个长方体中恰有4个的体积不超过．
综上，这些小长方体中体积不大于的长方体个数的最小值为4．
故选：B．
（多选）24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A．不存在点P，使得FP∥平面ABC1D1
B．过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C．三棱锥C1﹣A1B1P的体积为4
D．三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为9π
【答案】BD
【解答】解：作出示意图如下：
对于A选项，当P为BD中点时，由中位线可得FP∥BD1，
因为FP 平面ABC1D1，BD1 平面ABC1D1，所以FP∥平面ABC1D1，所以A选项错误；
对于B选项，由中位线可得EF∥AD1，在正方体中，易证AD1∥BC1，所以EF∥BC1，
又EF≠BC1，所以截面EBC1F为梯形，所以B选项正确；
对于C选项，，所以C选项错误；
对于D选项，三棱锥F﹣ACD的外接球的直径2R即为长方体的体对角线长，
所以（2R）2＝4+4+1＝9，
所以三棱锥F﹣ACD的外接球表面积为4πR2＝9π，所以D选项正确．
故选：BD．
（多选）25．如图，在多边形ABPCD中（图1）．四边形ABCD为长方形，△BPC为正三角形，AB＝3，，现以BC为折痕将△BPC折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好是AD的中点（图2）．若点E在线段PB上运动，Q点在AD上运动，则（　　）
A．AB⊥平面PAD
B．平面PCD⊥平面PAB
C．Q到平面EBC的距离为2
D．当时，三棱锥E﹣DCP的体积为
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A，取AD的中点O，连接PO，
由题知PO⊥平面ABCD，
因为AB 平面ABCD，所以PO⊥AB，
又四边形ABCD为长方形，则AB⊥AD，
又PO∩AD＝O，PO，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，故选项A正确；
对于选项B，设平面PCD∩平面PAB＝l，
因为AB∥CD，AB 平面PCD，CD 平面PCD，所以AB∥平面PCD，
因为AB 平面PAB，且平面PCD∩平面PAB＝l，所以AB∥l，
由A选项可知，AB⊥平面PAD，因为AP，PD 平面PAD，
所以AB⊥AP，AB⊥PD，则l⊥AP，l⊥PD，
所以∠APD为二面角A﹣l﹣D的平面角，
因为，△BPC为正三角形，则，
因为AB＝3，则在Rt△PAB中，所以，
同理DP＝3，
则AP2+DP2＝AD2，即AP⊥PD，
所以平面PCD⊥平面PAB，故选项B正确；
对于选项C，由AB选项易得，
设点Q到平面PBC的距离为d，
则由VP﹣QBC＝VQ﹣PBC，
得S△QBC PO＝S△PBC d，
则
即，
故Q到平面EBC的距离为，故选项C错误；
对于D，因为，
则，
故选项D正确．
故选：ABD．
26．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC、CD的中点，点P是线段B1D1上的动点，点Q是侧面DCC1D1上（包括边界）的动点，给出下列四个结论：
①任意点P，都有CP⊥AC1；
②存在无数组点P和点Q，使得PQ⊥平面ABC1；
③点P由B1滑到D1时，三棱锥P﹣MNC1体积逐渐增大；
④使得PQ∥平面A1MN的点Q的轨迹长度为．
其中所有正确结论的序号是 　①②④　 ．
【答案】①②④
【解答】解：对于①：因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，且AA1∩A1C1＝A1，AA1，A1C1 平面AA1C1，
所以B1D1⊥平面AA1C1，又AC1 平面AA1C1，所以B1D1⊥AC1，
同理，B1C⊥AC1，又B1D1∩B1C＝B1，B1D1，B1C 平面CB1D1，
所以AC1⊥平面CB1D1，而点P是线段B1D1上的动点，即CP 平面CB1D1，
所以CP⊥AC1，正确；
对于②：因为B1C⊥BC1，B1C⊥AB，且AB∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，在△CB1D1中，只要满足PQ∥B1C，都有PQ⊥平面ABC1D1，
即存在无数组点P和点Q，使得PQ⊥平面ABC1，正确；
对于③：因为M、N分别是BC、CD的中点，所以BD∥MN，
所以B1D1∥MN，MN 平面MNC1，B1D1 平面MNC1，
由线面平行的判定定理可知：B1D1∥平面MNC1，
所以直线B1D1上各点到平面MNC1的距离相等，又△MNC1的面积为定值，
所以三棱锥P﹣MNC1体积不变，错误；
对于④：设直线MN与直线AB，AD分别交于E，F，连接A1E，A1F，
分别交B1B，D1D于G，H，连接GM，HN，
则五边形A1GMNH即为平面A1MN截正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面；
由于M、N分别是BC、CD的中点，故BM＝CM＝CN＝DN＝1，
由于△MCN≌△MBE，故BE＝CN＝1，同理DF＝CM＝1，
又BG∥AA1，则，则，，
同理可求得，，即点G为BB1上靠近B的三等分点，
点H为DD1上靠近D的三等分点，
取点K为CC1上靠近C的三等分点，连接D1K，B1K，
则B1D1∥MN，MN 平面A1MN，B1D1 平面A1MN，所以B1D1∥平面A1MN，
又D1K∥NH，NH 平面A1MN，D1K 平面A1MN，所以D1K∥平面A1MN，
因为B1D1∩D1K＝D1，B1D1，D1K 平面B1D1K，所以平面B1D1K∥平面A1MN，
PQ 平面B1D1K，所以PQ∥平面A1MN，所以点Q的轨迹为D1K，
所以D1K，正确．
故答案为：①②④．
27．如图，四边形ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，AB＝AD＝4，C为底面圆周上一动点，，PA为圆台的母线，PA＝5，圆台上底面的半径为1，则该圆台的表面积为 　42π　 ，四棱锥P﹣ABCD的体积的最大值为 　　 ．
【答案】42π；．
【解答】解：作出示意图如下：
因为，所以，
所以BD2＝AB2+AD2﹣2AB AD cos∠BAD
＝42+42﹣2×4×4×cos120°＝48，
所以，
所以外接圆的直径，
所以圆台的下底面半径R＝4，上底面半径r＝1，
圆台的侧面积S侧＝π（r+R）l＝π×5×5＝25π，
上底面面积，下底面面积，
所以圆台的表面积S表＝25π+π+16π＝42π，
因为，
又根据余弦定理可得BD2＝BC2+CD2﹣BC CD≥2BC CD﹣BC CD＝BC CD，
所以BC CD≤48，当且仅当时等号成立，
所以△BCD的面积，
即底面ABCD面积的最大值为，
四棱锥P﹣ABCD的高，
所以四棱锥P﹣ABCD的体积的最大值为．
故答案为：42π；．
28．已知四边形ABCD中，，将△ABC沿AC折起，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，则三棱锥B﹣ACD体积的最大值为 　2　 ，此时该三棱锥的外接球的表面积为 　16π　 ．
【答案】2；16π．
【解答】解：作出示意图如下：
因为在四边形ABCD中，，
所以，
又DC⊥AC，∠CAD＝30°，
所以，所以CD＝2，易知AD＝4，
将△ABC沿AC折起，连接BD，得到三棱锥B﹣ACD，
当点B到平面ACD的距离最大时，则三棱锥B﹣ACD体积最大，
即当平面BAC⊥平面ACD时，三棱锥B﹣ACD体积最大，
此时点B到平面ACD的距离即为点B到AC的高，△ABC是等腰直角三角形，
所以点B到AC的高，
则三棱锥B﹣ACD体积的最大值为2；
设该三棱锥的外接球的球心为O，
则O到平面ABC的距离为d1，
设△ABC的外接圆的半径为r，
则，所以，
设求球的半径为R，
则R2＝d2+r2＝1+3＝4，
此时该三棱锥的外接球的表面积为4πR2＝4π×4＝16π．
故答案为：2；16π．
29．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝4，M，N分别为AB，CC1的中点，则三棱锥D1﹣MND的体积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，
又AB 平面CDD1C1，CD 平面CDD1C1，所以AB∥平面CDD1C1，
所以M到平面CDD1C1的距离等价于A到平面CDD1C1的距离，
又AD⊥平面CDD1C1，所以M到平面CDD1C1的距离为AD，
因为AB＝AD＝2，AA1＝4，N为CC1的中点，则DD1＝4，CD＝2，
又在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形CDD1C1是矩形，
所以，
则三棱锥D1﹣MND的体积为．
故答案为：．
30．如图1，在矩形ABCD中，AB＝1，，M是线段AD上（包括端点）的一动点，如图2，将△ABM沿着BM折起，使点A到达点P的位置，满足点P 平面BCDM．
（1）如图2，当BC＝2MD时，点N是线段PC上的点，且DN∥平面PBM，求的值．
（2）如图2，若点P在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．
（i）是否存在点M，使得BP⊥平面PCM？若存在，求PM的长；若不存在，请说明理由．
（ii）当三棱锥E﹣PBM的体积最大时，求点E到平面PCD的距离．
【答案】1．（1）；
（2）（i）存在，；
（ii）．
【解答】解：（1）取BC的中点F，连接DF，FN，
因为BC＝2MD，所以BF＝FC＝DM，
因为MD∥BF，所以四边形MDFB为平行四边形，
所以DF∥BM，
因为DF 平面PBM，BM 平面PBM，
所以DF∥平面PBM，
因为DN∥平面PBM，DF∩DN＝D，DF，DN 平面DNF，
所以平面DNF∥平面PBM，
因为平面DNF∩平面PBC＝NF，平面PBM∩平面PBC＝PB，
所以FN∥PB，
因为F是BC的中点，所以．
（2）（i）存在点M，当点M与点D重合，即时，PB⊥平面PCM，
理由如下：当点M与点D重合时，则CM⊥BC，
因为PE⊥平面BCD，CM 平面BCD，所以PE⊥CM，
因为BC∩PE＝E，BC，PE 平面PBC，
所以CM⊥平面PBC，
因为PB 平面PBC，所以CM⊥PB，
因为PB⊥PM，PM∩MC＝M，PM，MC 平面PMC，
所以PB⊥平面PCM，
即当点M与点D重合，时，PB⊥平面PCM；
（ii）在矩形ABCD中作AO⊥BM于O，延长AO交BC于点G，折起后得PO⊥BM，
设AM＝PM＝x，则，，
因为∠ABM+∠MBG＝90°，∠ABM+∠BAG＝90°，
所以∠MBG＝∠BAG，
因为∠MBG＝∠AMB，所以∠BAG＝∠AMB，因为∠BAM＝∠ABG＝90°，
所以△ABM∽△BGA，得，即，得，
所以，
因为PO⊥BM，OG⊥BM，OP∩OG＝O，OP，OG 平面POG，
所以BM⊥平面POG，
因为PG 平面POG，所以BM⊥PG，
因为PE⊥平面BCDM，BM 平面BCDM，所以BM⊥PE，
所以点E与点G重合，
因为要使得点P的射影落在线段BC上，所以AO＞OG，
则，解得，
在Rt△PBE中，，
所以，
当且仅当，即时，，
当时，，BE＝EC，则E是BC的中点，
所以点E到平面PCD的距离为．
31．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PD，直线PA与BC所成的角的余弦值等于，PB＝3，点M为线段PB上的动点，N是PC的中点．
（1）若直线AM和DN相交，求证：MN∥BC；
（2）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（3）当三棱锥A﹣BMD的体积最大值时，求此时三棱锥A﹣BMD外接球的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）．
【解答】解：（1）证明：根据题意可知BC∥AD，
又AD 平面ADNM，BC 平面ADNM，
所以BC∥平面ADNM，又平面ADNM∩平面PBC＝MN，BC 平面PBC，
所以MN∥BC；
（2）取AD的中点为O，连接PO，BO，由PA＝PD，得PO⊥AD，
由BC∥AD，得∠PAD是直线PA与BC所成的角，所以，
易得，，所以PO＝2，又PB＝3，
所以PB2＝PO2+BO2，所以PO⊥BO，又PO⊥AD，BO∩AD＝O，
所以PO⊥平面ABCD，又PO 平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD；
（3）设点M到平面ABD的距离为d，则根据等体积法可得：
，
所以要三棱锥A﹣BMD的体积最大，则需d最大，
又点M为线段PB上的动点，所以当点M与点P重合时，d取得最大值PO＝2，
由（2）知，等腰△PAD的外心O3在线段PO上，该外接圆半径，
则，Rt△ABD外接圆圆心为BD中点O2，该圆半径，
令三棱锥P﹣ABD外接球球心为O1，则O1O2⊥平面ABD，O1O3⊥平面PAD，
而平面PAD⊥平面ABD，O1O3 平面ABD，可得O1O3∥平面ABD，
则，三棱锥P﹣ABD外接球半径，
所以所求外接球的体积为．
32．如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为矩形，且平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别为AB，AD的中点，二面角D﹣PN﹣C的正切值为2．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）∵△PAD是边长为2的正三角形，N为AD中点，
∴PN⊥AD，，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PN⊥平面ABCD又NC∈平面ABCD，∴PN⊥NC，
∴∠DNC为二面角D﹣PN﹣C的平面角，∴，
又DN＝1，∴DC＝2底面ABCD为正方形，
∴四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）设DM∩CN＝O，连接PO，MN，
∵DM⊥平面PNC，
∴∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角，
∵AD＝2，AM＝1，∴，，，
又，，
∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为．
▉题型6 棱台的体积
【知识点的认识】
棱台的体积可以通过两个平行底面的面积B1和B2以及高度h计算．
33．如图，如图1的“方斗”古时候常作为一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，AB＝10，A1B1＝2，现往该方斗杯里加水，当水的高度是方斗杯高度的时，水的体积为84，则该方斗杯可盛水的总体积为（　　）
A．112 B． C． D．496
【答案】B
【解答】解：如图，
延长棱台的四条侧棱交于一点P，设正四棱台的高为h，则水的高为，
因为AB＝10，A1B1＝2，所以由相似可知，四棱锥P﹣A1B1C1D1的高为，
设四棱锥P﹣A1B1C1D1的体积为V，正四棱台的体积为V1，
则，解得V，
又，解得V1．
故选：B．
34．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（　　）（注：1丈＝10尺）
A．2800立方尺 B．3640立方尺
C．3892立方尺 D．11676立方尺
【答案】C
【解答】解：如图所示，
由四棱锥I﹣ABCD截得棱台ABCD﹣EFGH，W、X分别为上下底面的中心，
即IX为棱锥的高，WX为棱台的高，
由题意可知棱台上下底面均为正方形，
故其上下底面面积分别为S′＝62＝36，S＝202＝400，
则，棱锥的高IX＝30，
由棱台的性质可知，
所以棱台的高WX＝h＝21．
故（立方尺）．
故选：C．
35．已知正三棱台的上底面与下底面的面积之比为1：4，当棱台的高为2，体积为时，则此时正三棱台的侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：令正三棱台ABC﹣A1B1C1的上底A1B1C1面积为S，则下底ABC面积为4S，
依题意，，
解得，
而，则，
同理，
设O，O1为两底面的中心，D，D1为BC，B1C1的中点，过D1作下底面垂线，垂足为E，
则E在AD上，如图所示：
所以，，D1E＝2，
则斜高，
所以正三棱台的侧面积．
故选：A．
36．降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）．气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表：
日降雨量/mm （0，10） [10，25） [25，50） [50，100）
等级 小雨 中雨 大雨 暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为4：1，母线长为5cm，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【答案】A
【解答】解：设上口半径为R，下口半径为r，桶深为h，水面半径为r1，
根据题意R＝2r，且，
解得，则，
降水量的体积，
降水深度为，属于小雨等级．
故选：A．
37．在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，则该棱台的体积为　　 ．
【答案】．
【解答】解：如图所示，连接AC，A1C1，过点A1，C1作A1E⊥AC，C1F1⊥AC，垂足分别为E，F，
因为，
可得，所以，
在，
在直角△AEA1中，由，
可得，
即正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为h＝A1E＝1，
又由正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1上、下底面面积分别为S1＝1，S2＝9，
所以正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积为：．
故答案为：．
38．已知一个正四棱台的体积为152cm3，上、下底面边长分别为4cm、6cm，则棱台的高为 　6　 cm．
【答案】6．
【解答】解：设棱台高为h，
则棱台的体积为152，
解得h＝6．
故答案为：6．
39．如图，已知四面体PABC的棱长均为6，棱PA，PB，PC的中点分别为D，E，F，用平面DEF截四面体PABC，得到三棱台DEF﹣ABC．
（1）求三棱台DEF﹣ABC的体积；
（2）若M为棱BC上的动点，求EM+MA的最小值，并求取最小值时线段BM的长度．
【答案】（1）；
（2）最小值为，且取最小值时BM＝2．
【解答】解：（1）如图，作PO⊥平面ABC于点O，连接AO，
则O是等边三角形ABC的中心，且，
所以，
所以，
所以；
（2）如图所示，将平面PBC与ABC展开到同一平面，可知EM+MA≥AE．
在△ABE中，AB＝6，BE＝3，∠ABE＝120°，
由余弦定理得AE2＝AB2+BE2﹣2AB×BEcos∠ABE＝63，即．
因为△BEM∽△CAM，所以
所以，
在△ABM中，设BM＝x，
所以AB2+BM2﹣2AB×BMcos∠ABM＝AM2，即，
解得x＝2或x＝4，结合图可知BM＝2．
综上，EM+MA的最小值为，且取最小值时BM＝2．
▉题型7 球的表面积
【知识点的认识】
球的表面积依赖于球的半径r，计算公式为．
40．已知正四面体ABCD各条棱的中点都在球O的表面上，则球O的表面积与该正四面体的表面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：根据题意可得将正四面体放置到正方体中，设正方体的棱长为2，
则球O即为正方体的内切球，所以球O的半径为1，
又正四面体的棱长为，
所以球O的表面积与该正四面体的表面积之比为：
．
故选：C．
41．三棱锥A﹣BCD中，底面是边长为2的正三角形，AC⊥BC，AD⊥BD，直线AC与BD所成角为45°，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积为（　　）
A．6π B． C．8π D．
【答案】A
【解答】解：设，，，，θ，||＝t，t＞0
则，，，，，
∵直线AC与BD所成角为45°，
∴|cos，||||cosθ|，
∴cosθ，
又AD⊥BD，
∴，∴0，
∴0，
∴，又cosθ，
∴4﹣2±t＝0，又t＞0，∴t，即CA，
又BC＝2，AC⊥BC，∴AB，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴三棱锥A﹣BCD外接球的直径2R＝AB，∴4R2＝6，
∴三棱锥A﹣BCD外接球表面积为4πR2＝6π．
故选：A．
42．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，已知在鳖臑A﹣BCD中，满足CD⊥平面ABD，且CD＝AD＝5，BD＝3，AB＝4，则此鳖臑外接球的表面积为（　　）
A．25π B．50π C．100π D．200π
【答案】B
【解答】解：由AD＝5，BD＝3，AB＝4，
所以AD2＝BD2+AB2，即有BD⊥AB，
又CD⊥平面ABD，
所以AB，BD，CD两两互相垂直，该瞥臑如图所示：
图形可以补形为长方体，该瞥臑的外接球即该长方体的外接球，AD是长方体的体对角线，也是外接球的直径，
设外接球半径为R，
则（2R）2＝32+42+52＝50，
所以瞥臑的外接球表面积为4πR2＝50π．
故选：B．
43．若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：因为底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，
又圆锥的表面积为πrl+πr2，球的表面积为，
所以πrl+πr2＝πl2，即，
解得．
故选：B．
44．在正三棱锥P﹣ABC中，O为△ABC的中心，已知AB＝6，∠APB＝2∠PAO，则该正三棱锥的外接球的表面积为（　　）
A．49π B．36π C．32π D．28π
【答案】A
【解答】解：设侧棱长为x，且易知，
则，，
因为∠APB＝2∠PAO，则cos∠APB＝cos2∠PAO，
所以，
解得，
所以，
设球心为M，则MP＝MA＝R，MO＝|3﹣R|，
因为MA2＝MO2+OA2，所，解得，
所以表面积S＝4πR2＝49π．
故选：A．
45．某中学开展劳动实习，学习制作模具加工，现将一个圆台加工成一个球体．已知圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为60°，则得到的球的表面积的最大值为（　　）
A．48π B． C．24π D．
【答案】B
【解答】解：设圆台的上、下底面的半径分别为r1，r2（r2＞r1），
因为圆台的上、下底面的半径之和为6，母线长为8，且母线与底面所成的角为60°，
所以r1+r2＝6，且圆台的轴截面是一个等腰梯形，等腰梯形的底角为60°．
所以母线长为2（r2﹣r1）＝8，即r2﹣r1＝4，结合r1+r2＝6，解得r1＝1，r2＝5，
所以圆台的高为，
将梯形补成边长为10的等边三角形，
所以该等边三角形的内切圆的半径为，
又，所以圆台加工成一个球体的半径最大值为，
所以球的表面积最大值为．
故选：B．
46．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为16，且AA1＝2，则长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面积的最小值为（　　）
A． B． C．20π D．100π
【答案】C
【解答】解：设AB＝a，AD＝b，又AA1＝2，
∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为2ab＝16，∴ab＝8，
∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径2r即为长方体的体对角线，
∴，
∴，
当且仅当时取等，∴，
∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球表面积的最小值为4πr2＝20π．
故选：C．
47．将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（　　）
A． B．π C．4π D．6π
【答案】B
【解答】解：根据题意可得可能制作的最大球即为棱长为1的正方体的内切球，
∴该球的半径为r，
∴可能制作的最大球体零件的表面积为4πr2＝π．
故选：B．
48．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形OA'B'C'，其中O'A'＝2，则该直棱柱外接球的表面积为（　　）
A．8π B．16π C．32π D．64π
【答案】C
【解答】解：由已知O′A′＝O′C′＝2，∠C′O′A′＝45°，
根据斜二测画法的性质可得，
该直棱柱的底面OA＝2，OC＝4，OC⊥OA，OC∥AB，OA∥BC，
所以该直棱柱的底面是长为4宽为2的矩形，
其对角线，
所以该直棱柱外接球的半径，
则该直棱柱外接球的表面积S＝4πR2＝4π×8＝32π．
故选：C．
（多选）49．已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△PAB是等边三角形，AB＝AC＝2，，点D是棱PB的中点，且，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．PB⊥AC
C．点D到平面ABC的距离为
D．球O的表面积为
【答案】ABD
【解答】解：作出示意图如下：
对于A选项，因为点D是棱PB的中点，所以PD＝DB＝1，又，，
所以BC2＝CD2+DB2，所以CD⊥PB，所以，故A正确；
对于B选项，因为BC2＝AB2+AC2，PC2＝PA2+AC2，
所以CA⊥AB，CA⊥AP，又AB∩AP＝A，
所以CA⊥平面PAB，又PB 平面PAB，
所以PB⊥AC，故B正确；
对于C选项，在平面PAB内，过点D作AB的垂线，垂足为E，
又CA⊥平面PAB，DE 平面PAB，
所以CA⊥DE，又AB⊥DE，AB∩AC＝A，AB，AC 平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，所以点D到平面ABC的距离为DE，
又，故C错误；
对于D选项，设球O的半径为R，△PAB的外接圆的半径为r，
所以 ，解得，所以，
所以球O的表面积，故D正确．
故选：ABD．
（多选）50．如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有边长均相同，如图2，设AB＝1，则下列说法正确的是（　　）
A．该多面体的体积为
B．过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面面积为
C．设点O为平面AQG截该多面体所得截面多边形内一点（包括边界），则的取值范围为
D．该多面体的外接球表面积为4π
【答案】ACD
【解答】解：根据题意可得正方体棱长为，
所以多面体体积为，A选项正确；
由平面的性质可知过A、Q、G三点的平面截该多面体所得的截面为边长为1的正六边形ABGPQE，
其面积为，B选项错误；
如图所示：
以A为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，
则A（0，0），B（0，1），设点O（x，y），且，，
则，，
所以，即，C选项正确；
因为外接球球心为正方体体心，设为O1，
则外接球半径为O1A1，
所以外接球表面积为，D选项正确．
故选：ACD．
51．所有棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，它的顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为 　　 ．
【答案】
【解答】解：因为有棱长均为2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1，它的顶点均在球O的表面上，
所以作出示意图如下：
设正三棱柱ABC﹣A1B1C1上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，
则O为O1O2的中点，连接OB，
则OB为球O的半径R，设圆O1的半径为r，
在△ABC中，由正弦定理得，解得，
又OO1＝1，所以，
所以球O的表面积为．
故答案为：．
52．已知正六棱锥的高为，它的外接球的表面积是．若在此正六棱锥内放一个正方体，使正方体可以在该正六棱锥内任意转动，则正方体的棱长的最大值为 　　 ．
【答案】
【解答】解：设外接球的半径为R，则，
所以．
设正六棱锥的底面边长为x，
则，
所以x＝1，
即正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2．
所以正六棱锥的底面积．
侧面面积．
又因为正六棱锥的高为，
所以正六棱锥的体积，
设正六棱锥的内切球的半径为r，
则．
所以．
设正方体的棱长为a，则，所以．
所以正方体的棱长的最大值为．
故答案为：．
53．在正三棱台ABC﹣A1B1C1中，上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为，则该正三棱台的体积为 　21　 ，其外接球表面积为 　65π　 ．
【答案】；65π．
【解答】解：如图，
设O，O’是上下底面的中心，OO’＝h是高，B’D⊥OB于D，
M为BB’的中点，MN⊥BB’，交直线O’O于N，
则N为此正三棱台的外接球球心，B’N＝BN＝R为外接球的半径，
，，
BD＝BO﹣B’O’＝4﹣2＝2，，
上底面积，同理下底面积，
；
设ON＝d，则R2＝42+d2＝22+（3+d）2，
解得d，，所以外接球的表面积为4πR2＝65π．
故答案为：；65π．
▉题型8 球的体积
【知识点的认识】
球的体积依赖于球的半径r，计算公式为．
54．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为3，高为，则其内切球体积是（　　）
A．π B． C． D．
【答案】B
【解答】解：作出示意图如下：
设正四棱锥内切球球心为O，底面正方形的中心为O′，
则O在PO′上，设内切球半径为r，
取AB中点E，CD中点F，则正四棱锥P﹣ABCD内切球半径即为△PEF的内切圆半径，
因为底面边长为3，所以EF＝3，，
因为高为，即，则PE＝PF＝3，
所以，
在Rt△OO′E中，O′O2+O′F2＝OF2即，解得，
所以正四棱锥P﹣ABCD的内切球体积是．
故选：B．
55．已知球的半径和圆锥的底面半径相等，且圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则球与圆锥的体积之比为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解答】解：因为球的半径和圆锥的底面半径相等，
设球的半径和圆锥的底面半径均为r，圆锥的母线长为l，
由圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
得，则l＝3r，
所以球的体积与圆锥的体积之比为．
故选：C．
56．将一块棱长为4厘米的正方体木块打磨成一个球，则该球体积的最大值是（　　）
A．立方厘米 B．立方厘米
C．65π立方厘米 D．16π立方厘米
【答案】B
【解答】解：当球与原正方体内切时，体积最大，故该球半径的最大值为2厘米，
则该球体积的最大值是立方厘米．
故选：B．
57．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日．小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O）．如图：已知粽子三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，H、I、J分别为所在棱中点，D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE或平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅．则肉馅与整个粽子体积的比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图所示，取AB中点为F，PF∩DE＝G，
设PF＝CF＝1，易知，
又D、E分别为所在棱靠近P端的三等分点，则，
则AB⊥PF，AB⊥CF、PF∩CF＝F，
所以AB⊥平面PCF，又AB 平面ABC，
所以平面PCF⊥平面ABC，
设肉馅球半径为r，CG＝x，
由于H、I、J分别为所在棱中点，且沿平面HIJ切开后，截面中均恰好看不见肉馅，
则P到CF的距离d＝4r，，，
又，解得：x＝1，
故，
又，
解得，，
所以，所以，
所以球的体积为，
又三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，
所以三棱锥P﹣ABC的体积为，
所以比值为．
故选：B．
（多选）58．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P是线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（　　）
A．三棱锥A1﹣APD的体积为定值
B．A1P∥平面ACD1
C．AP+B1P的最小值为
D．当A1，C，D1，P四点共面时，四面体B1PA1C1的外接球的体积为
【答案】ABD
【解答】解：对于A，因为BC1∥AD1，BC1不在平面ADD1A1内，AD1 平面ADD1A1，
所以BC1∥平面ADD1A1，又P∈BC1，
所以点P到平面ADD1A1的距离为1，
又为定值，
故定值，A正确；
对于B，因为AD1∥BC1，A D1 平面AD1C，BC1 平面AD1C，所以BC1∥平面AD1C，
同理可知A1C1∥平面AD1C，
又BC1∩A1C1＝C1，BC1，A1C1 平面A1C1B，
所以平面A1C1B∥平面ACD1，
由于A1P 平面A1C1B，故A1P∥平面ACD1，B正确．
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形A B C1 D1及等腰直角三角形B1BC1，
连接AB1，交BC1于点P，此时AP+B1P最小，最小值即为AB1的长，
过点B1作B1N⊥AB，交AB的延长线于点N，
其中，
故，又勾股定理得，C错误；
对于D，点P在点B处，A1，C，D1，P四点共面，
四面体B1PA1C1的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确．
故选：ABD．
59．已知圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，则该圆台的外接球的体积为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：因为圆台的上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，
设圆台上、下底面的圆心分别为O2、O1，取该圆台的轴截面ABCD，
所以该圆台的外接球球心O在直线O1O2上，连接OB、OC，
设OO2＝d，则OO1＝|O1O2﹣d|＝|2﹣d|，
由OB＝OC，即，
即d2+1＝|2﹣d|2+32，解得d＝3，
因为该圆台的外接球半径为OB，
所以该圆台的外接球的体积为．
故答案为：．
60．一个正四棱台型的木块，上下底面的边长分别为和，高为9，削成一个球，则所得球的体积最大值为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：把正四棱台还原成正四棱锥，
过该正四棱锥底面一组对边中点及顶点的平面截该棱锥及棱台分别得等腰△PAB和等腰梯形ABCD，
过C作CE⊥AB于E，如图，
则，，CE等于正四棱台的高9，
则，
于是∠ABC＝60°，
△PAB是正三角形，其内切圆半径，
因此正四棱台还原成正四棱锥的内切球半径为4，
该球是与正四棱台侧面及下底面都相切的球，
即为正四棱台型的木块削成的最大球，
所以所求最大体积为．
故答案为：．

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