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第5章第1-2节 随机事件与样本空间
题型1 事件的并事件（和事件） 题型2 互斥事件的概率加法公式
题型3 对立事件的概率关系及计算 题型4 古典概型及其概率计算公式
题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率
▉题型1 事件的并事件（和事件）
【知识点的认识】
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作．
（多选）1．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
▉题型2 互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
（多选）3．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（　　）
A．
B．
C．若A与B互斥，则
D．一定有B A
4．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，设事件A表示随机事件“a和b都是奇数”，事件B表示随机事件“a和b中至少有一个是奇数”，事件C表示随机事件“a和b都是偶数”，现有下列4个结论中所有正确结论的编号是（　　）
①P（A+B）＝P（A）；
②P（A+B）＝P（B）；
③P（AB）＝P（C）；
④P（AB）≠P（C）．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
（多选）5．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（　　）
A．若A，B是互斥事件，，则
B．若A，B是对立事件，则P（A∪B）＝1
C．若A，B是独立事件，，则
D．若，且，则A，B是独立事件
▉题型3 对立事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣对立事件的概率关系是．
6．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A＝“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件Bi＝“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i＝1，2），则有（　　）
A．事件A与事件B1是互斥事件
B．事件B1与事件B2是相互对立事件
C．P（A∪B1）＞P（B1∪B2）
D．P（A∩B1）＝P（B1∩B2）
▉题型4 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
7．抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．已知一组数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
10．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华 龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作．若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件M＝“点数为奇数”，事件N＝“点数为3的整数倍”，若P（M），P（N）分别表示事件M，N发生的概率，则（　　）
A．， B．，
C． D．
12．为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率．先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果．经计算机随机模拟产生如下20组随机数：321 453 142 234 511 454 352 115 243 535 422 134 315 221 451 144 332 254 112，523．据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（　　）
A．0.45 B．0.5 C．0.512 D．0.55
13．从1，2，3，4，5这五个数中，不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　 ．
14．从如图所示的由4个单位小方格组成的2×2方格表的每一行的顶点中任取一个顶点，则这三个顶点构成直角三角形的概率是　 ．
15．已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为 　 ．
16．小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同，我就去．”这个游戏 　　 　 ．（选填“公平”或“不公平”）
17．某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元．现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 　 ．
（多选）18．若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（　　）
A．“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点
B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为
C．“丁、戊至多有一人被录用”的概率为
D．“甲或乙被录用”的概率为
19．若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球．从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A＝“第一次摸到红球”，事件B＝“第二次摸到红球”．
（1）求P（A）和P（B）的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
20．在《九章算术 商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是P1；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是P2；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是P3．则P1，P2，P3的值分别是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
21．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（　　）
A． B． C． D．
22．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
23．把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
24．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 　 ．
（多选）25．连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，下列说法错误的是（　　）
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件
C．事件“m＞11”的概率为
D．事件“m为偶数”与“m≥8”互为独立事件
（多选）26．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（　　）
A． B．事件A与事件C互斥
C．事件A与C相互独立 D．
（多选）27．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，则下列说法错误的是（　　）
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m是奇数”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件
28．新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科．
（1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
（2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率．
29．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券、游戏规则如表：
游戏一 游戏二 游戏三
箱子中球的颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为6获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一名同学先玩了游戏一，接下来该同学应该先玩游戏三还是先玩游戏二能使获得书券的概率更大？
30．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（　　）
A． B． C． D．
▉题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的认识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
31．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（　　）
A． B． C． D．第5章第1-2节 随机事件与样本空间
题型1 事件的并事件（和事件） 题型2 互斥事件的概率加法公式
题型3 对立事件的概率关系及计算 题型4 古典概型及其概率计算公式
题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率
▉题型1 事件的并事件（和事件）
【知识点的认识】
一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作．
（多选）1．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　）
A．事件A∪B是必然事件
B．事件A与事件B是互斥事件
C．事件B包含事件C
D．事件A与事件C是相互独立事件
【答案】ACD
【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），
事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），
A：事件A∪B是必然事件，故正确；
B：因为A∩B≠ ，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误；
C．因为C B，所以事件B包含事件C，故正确；
D．因为，，，所以 P（A） P（C）＝P（AC），
所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确；
故选：ACD．
▉题型2 互斥事件的概率加法公式
【知识点的认识】
互斥事件的概率加法公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A∪B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．随机事件A发生的概率为，随机事件B发生的概率为，则事件A，B同时发生的概率的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：依题意，，由P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）≤1，
得，又P（A）＞P（B），
则当B A时，，
所以事件A，B同时发生的概率的取值范围是．
故选：C．
（多选）3．已知事件A，B发生的概率分别为，，则（　　）
A．
B．
C．若A与B互斥，则
D．一定有B A
【答案】AB
【解答】解：∵P（A），∴P（），故A正确；
当A，B互斥时，P（AB）＝0，当B A时，P（AB），
故P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），故B正确；
当A，B互斥时，P（A+B）＝P（A）+P（B），故C错误；
不一定B A，故D错误．
故选：AB．
4．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，设事件A表示随机事件“a和b都是奇数”，事件B表示随机事件“a和b中至少有一个是奇数”，事件C表示随机事件“a和b都是偶数”，现有下列4个结论中所有正确结论的编号是（　　）
①P（A+B）＝P（A）；
②P（A+B）＝P（B）；
③P（AB）＝P（C）；
④P（AB）≠P（C）．
A．②③ B．②④ C．①③ D．①④
【答案】A
【解答】解：由题可知A B，即A+B＝B，A∩B＝A，
所以P（A+B）＝P（B），P（AB）＝P（A）＝P（C）．
故选：A．
（多选）5．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（　　）
A．若A，B是互斥事件，，则
B．若A，B是对立事件，则P（A∪B）＝1
C．若A，B是独立事件，，则
D．若，且，则A，B是独立事件
【答案】BC
【解答】解：对于A：若A，B是互斥事件，，，则，故A错误；
对于C：若A，B是独立事件，，，则A，也是独立事件，则，故C正确；
对于B：若A，B是对立事件，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝1，故B正确；
对于D：若，则，则，B不是独立事件，故A，B也不是独立事件，故D错误．
故选：BC．
▉题型3 对立事件的概率关系及计算
【知识点的认识】
﹣对立事件的概率关系是．
6．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A＝“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件Bi＝“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i＝1，2），则有（　　）
A．事件A与事件B1是互斥事件
B．事件B1与事件B2是相互对立事件
C．P（A∪B1）＞P（B1∪B2）
D．P（A∩B1）＝P（B1∩B2）
【答案】D
【解答】解：根据题意，连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，设正面用1表示，反面用2表示，
其样本空间Ω＝{（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）}，共4个基本事件，
依次分析选项：
对于A，AB1＝{（1，1）}，事件A与事件B1可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
对于B，B1∩B2＝{（1，1）}，事件B1与事件B2可以同时发生，不是对立事件，B错误；
对于C，A∪B1＝{（1，1），（1，2）}，则P（A∪B1），
B1∪B2＝{（1，1）、（1，2）、（2，1）}，则P（B1∪B2），
则P（A∪B1）＜P（B1∪B2），C错误；
对于D，A∩B1＝B1∩B2＝{（1，1）}，故P（A∩B1）＝P（B1∩B2），D正确．
故选：D．
▉题型4 古典概型及其概率计算公式
【知识点的认识】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
7．抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：根据题意，抛掷两枚骰子，每个骰子有6种情况，则两枚骰子共有6×6＝36种情况，
其中两个骰子点数相等的情况有（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），共6种，
所以两个点数相等的概率为．
故选：A．
8．经过班干部初选后，需从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，则你当上班长的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从四位同学中（恭喜你，你也在其中）随机确定二个同学分别担任班长与学习委员，
对于每个同学而言，当上班长的概率都相等，故你当上班长的概率为．
故选：C．
9．已知一组数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：一组数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数与中位数相等，
∵数据1，2，3，4，x（0＜x＜5）的平均数，
∴，∴，
从这5个数中任取2个，结果有：
，共10种，
这2个数字之积小于5的结果有：，共4种，
∴这2个数字之积小于5的概率为．
故选：B．
10．正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华 龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地A，B，C开展志愿服务工作．若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：其它四人分成{2，1，1}三组，有6种，再把三组安排到场地A，B，C，有种，
此种情况有6×6＝36种安排方法，
其它四人分成{3，1}两组，有种，再把两组安排到场地B，C，有种，
此种情况有4×2＝8种安排方法，
其它四人分成{2，2}两组，有种，再把两组安排到场地B，C，有2种，
此种情况有3×2＝6种安排方法，
所以甲去场地A时共有36+8+6＝50种安排方法，
场地B有且只有1名志愿者，分成{2，1，1}三组有种，分成{3，1}两组有4×1＝4种，分成{2，2}两组有0种，
所以甲去场地A时，场地B有且只有1名志愿者共有24+4＝28种安排方法，
所以所求概率为．
故选：C．
11．掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件M＝“点数为奇数”，事件N＝“点数为3的整数倍”，若P（M），P（N）分别表示事件M，N发生的概率，则（　　）
A．， B．，
C． D．
【答案】B
【解答】解：由题意，朝上面的点数有1，2，3，4，5，6，
事件M包含的结果有1，3，5，
事件N包含的结果有3，6，
故，．
故选：B．
12．为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率．先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果．经计算机随机模拟产生如下20组随机数：321 453 142 234 511 454 352 115 243 535 422 134 315 221 451 144 332 254 112，523．据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（　　）
A．0.45 B．0.5 C．0.512 D．0.55
【答案】B
【解答】解：由题意得共有20组随机数，分别为：
321，453，142，234，511，454，352，115，243，535，
422，134，315，221，451，144，332，254，112，523，
恰好有3棵都成活的随机数有10个，分别为：
321，142，234，243，422，134，221，144，332，112，
∴估计种植3颗恰好都成活的概率为0.5．
故选：B．
13．从1，2，3，4，5这五个数中，不放回地任取两数，则两数都是奇数的概率是　　 ．
【答案】
【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从5个数中不放回抽2数，共有20种结果，
满足条件的事件是两数均为奇数，有6种结果，
∴从中任抽两数，两数都是奇数的概率P
故答案为：
14．从如图所示的由4个单位小方格组成的2×2方格表的每一行的顶点中任取一个顶点，则这三个顶点构成直角三角形的概率是　　 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，如图，2×2方格表的每一行的顶点依次为A、B、C、D、E、F、G、H、I，
从该2×2方格表的每一行的顶点中任取一个顶点的情况有3×3×3＝27种，
其中构成直角三角形的情况有△AEG，△BDH，△BFH，△CEI，共4种，
故所求概率．
故答案为：．
15．已知甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6．现甲、乙各随机出示一张卡片，则甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：甲、乙各有6张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，
甲、乙各随机出示一张卡片，基本事件有：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共6×6＝36个基本事件，
甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3包含的基本事件的有：
（1，4），（2，5），（3，6），（4，1），（5，2），（6，3），共6个基本事件，
故甲与乙出示的卡片上数字之差的绝对值为3的概率为．
故答案为：．
16．小红和小丽是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，可手里只有一张票，于是小红对小丽说：“你从装有形状、大小均相同的2个红球，2个白球的袋子中依次不放回抽出两个球，如果两个球的颜色相同，你就去；如果颜色不同，我就去．”这个游戏 　不公平　 ．（选填“公平”或“不公平”）
【答案】不公平．
【解答】解：根据题意，颜色相同的概率是，所以小丽去的概率为．
所以颜色不同的概率是，
所以小红去的概率为，
由于P1≠P2，所以这个游戏不公平．
故答案为：不公平．
17．某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元．现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为：
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），
（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），
共36种情况，
两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况：
①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为（1，3），（3，1），（1，1），（3，3），
概率为；
②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为（6，5），（6，4），（6，2），
概率为；
③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为（5，6），（4，6），（2，6），
概率为，
∴该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为．
故答案为：．
（多选）18．若某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则（　　）
A．“从甲、乙、丙、丁，戊五人中录用三人”的样本空间中共10个样本点
B．“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为
C．“丁、戊至多有一人被录用”的概率为
D．“甲或乙被录用”的概率为
【答案】ABD
【解答】解：已知某公司从五位大学毕业生甲，乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，
对于A，由题意，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有
（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），（甲，乙，丙），
（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），共10种，故A正确；
对于B，其中“甲，乙，丙至少有两人被录用”的所有不同的可能结果有（甲，乙，丙），
（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），共7种，
故“甲、乙、丙至少有两人被录用”的概率为．故B正确；
对于C，其中“丁，戊至多有一人被录用”的对立事件“丁，戊两人都被录用”的所有不同的可能结果有
（甲，丁，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共3种，
故“丁，戊至多有一人被录用”的概率为．故C错误；
对于D，其中“甲或乙被录用”的对立事件“甲与乙都未被录用”的所有不同的可能结果只有
（丙，丁，戊）这1种，故“甲或乙被录用”的概率为1．选项D正确．
故选：ABD．
19．若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球．从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A＝“第一次摸到红球”，事件B＝“第二次摸到红球”．
（1）求P（A）和P（B）的值；
（2）求两次摸到的不都是红球的概率．
【答案】（1）； （2）．
【解答】解：（1）将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5，
第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，
第二次摸球时都有4种等可能的结果，
将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，
第一次摸到红球的可能结果有8种，即A＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5）}，
∴P（A）．
第二次摸到红球的可能结果也有8种，即B＝{（2，1），（3，1），（4，1），（5，1），（1，2），（3，2），（4，2），（5，2）}，
∴P（B）．
（2）事件AB＝”两次摸到都是红球“包含2个可难结果，即AB＝{（1，2），（2，1）}，
则两次摸到都是红球的概率为P（AB），
∴两次摸到的不都是红球的概率为：
P（）＝1﹣P（AB）＝1．
20．在《九章算术 商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．若从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是P1；若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），则它们互相垂直的概率是P2；若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是P3．则P1，P2，P3的值分别是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【解答】解：已知从鳖臑的六条棱中任取两条棱，则它们互相垂直的概率是P1；
若从鳖臑的六条棱和四个面中取一条棱和一个面，则它们互相垂直的概率是P2；
若从鳖臑的四个面中任取两个面，则它们互相垂直的概率是P3．
如图所示，连接长方体的四个顶点A，B，C，D，可得鳖臑ABCD．
（1）从鳖臑ABCD的六条棱中任取两条，有种取法，
其中互相垂直的取法有5种：
AB⊥CD，AC⊥CD，BC⊥CD，AB⊥BC，AB⊥BD，
所以．
（2）从鳖臑ABCD的六条棱和四个面中取一条棱和一个面（要求棱不在面上），有4×3＝12种取法，
它们互相垂直的取法有2种：AB⊥平面BCD，DC⊥平面ABC，
所以．
（3）从鳖臑ABCD的四个面中任取两个面，有种取法，
它们互相垂直的取法有3种：
平面ABC⊥平面ACD，平面BCD⊥平面ABD，平面ABC⊥平面BCD，
所以．
故选：A．
21．围棋盒子中有若干粒黑子和白子，从中任意取出2粒，2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则取出的2粒颜色不同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：这个问题，取出同是黑子的概率是，同是白子的概率是，
∴从中取出的2粒是同一种颜色的概率是P1，
∴取出的2粒颜色不同的概率P＝1．
故选：D．
22．袋子中有6个大小质地完全相同的球，其中1个白球、2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出两只球，则至少有一个红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：有一个红球时：，
有两个红球时：，
故．
故选：C．
23．把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：把数字1，2，3，4，5，6任意顺序排成一排，
基本事件总数n720，
成等比数列的3个数1，2，4先不排，3，5，6排成一排有6种排法，
再把1，2，4插空排到3，5，6这一排中，有24种排法，
∴其中成等比数列的几个数互不相邻包含的基本事件个数为24×6＝144，
则其中成等比数列的几个数互不相邻的概率为：
P．
故选：B．
24．在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题．否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况．某中学为了调查本校中学生某不良习惯A的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查．调查中设置了两个问题：
问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有A习惯？
调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球．每个被调查者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不做．已知调查结束后，盒子里共有55个小石子．据此估计此中学学生中有习惯A的人数的百分比为 　5%　 ．
【答案】5%
【解答】解：根据题意，由等可能事件概率得：
被调查者回答第一个问题的概率为，
其阳历生日日期是偶数的概率是，
∴对随机抽出的200名中学生进行了调查，
其中回答两个问题的人数估计各有人，
∴200人中抽取到白球并回答第一个问题为“是”的学生估计有人，
∴抽到红球并回答第二个问题为“是”的人数估计为55﹣50＝5人，
∴此中学学生有A习惯人数的百分比为．
故答案为：5%．
（多选）25．连掷一枚均匀骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，下列说法错误的是（　　）
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m是奇数”与“a＝b”为互斥事件
C．事件“m＞11”的概率为
D．事件“m为偶数”与“m≥8”互为独立事件
【答案】ACD
【解答】解：连掷一枚均匀骰子两次，共有6×6＝36种情况，
事件“m＝2”只有（1，1）一种情况，故概率为，A错误；
事件“m是奇数”与“a＝b”不能同时发生，故他们为互斥事件，B正确；
事件“m＞11”只有（6，6）一种情况，故概率为，C错误；
事件“m为偶数”，则a，b同为奇数或同为偶数，
设“m为偶数”为事件A，“m≥8”为事件B
事件A中基本事件有（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6），
（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5）共18种
事件B中基本事件有（2，6），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共15种，
事件A与B同时发生的基本事件有（2，6），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6），（3，5）（5，3），（5，5）共9种
所以，
所以，即事件“m为偶数”与“m≥8”不相互独立，D错误．
故选：ACD．
（多选）26．连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是5”，事件B为“第二次的点数大于3”，事件C为“两次点数之和为奇数”，则（　　）
A． B．事件A与事件C互斥
C．事件A与C相互独立 D．
【答案】ACD
【解答】解：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共36个样本点，
则P（A），P（B），P（C），
故A正确，
因为事件A与事件C可以同时发生，所以事件A与事件C不互斥，故B错误；
因为P（AC）P（A）P（B），
所以事件A与C相互独立，故C正确；
所以P（A∪C）＝P（A）+P（C）﹣P（AC），故D正确．
故选：ACD．
（多选）27．连续抛掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为a，b，记m＝a+b，则下列说法错误的是（　　）
A．事件“m＝2”的概率为
B．事件“m是奇数”的概率为
C．事件“m＝2”与“m≠3”互为对立事件
D．事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件
【答案】ABC
【解答】解：连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），
（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），
（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种，
事件“m＝2”包含：（1，1）共1个，所以事件“m＝2”的概率为，故A错误；
事件“m是奇数”包含：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），
（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5），共18个，概率为，故B错误；
事件“m＝2”与“m≠3”可以同时发生，不是对立事件，故C错误；
事件“m是奇数”与“a＝b”不能同时发生，所以事件“m是奇数”与“a＝b”互为互斥事件，故D正确．
故选：ABC．
28．新高考实行“3+1+2”选科模式，其中“3”为必考科目，语文、数学、外语所有学生必考：“1”为首选科目，从物理、历史中选择一科：“2”为再选科目，从化学、生物学、地理、思想政治中任选两科．某大学的某专业要求首选科目为物理，再选科目中化学、生物学至少选一科．
（1）从所有选科组合中随机选一种组合，并且每种组合被选到的可能性相等，求所选组合符合该大学某专业报考条件的概率；
（2）甲、乙两位同学独立进行选科，求两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可知，所有选科组合为：
物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，史化地，史化政，史生地，史生政，史地政，共12种，
记事件A＝“所选组合符合该大学某专业报考条件”，
则事件A包含的组合为：物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，共5种，
所以P（A）；
（2）记事件M1＝“甲符合该大学某专业报考条件”，事件M2＝“乙符合该大学某专业报考条件”，
事件M＝“甲、乙两人中至少有一人符合该大学某专业报考条件”，
由（1）可知，，
所以．
29．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动．该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券、游戏规则如表：
游戏一 游戏二 游戏三
箱子中球的颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个（红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”）
取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球
获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为6获胜
（1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率；
（2）一名同学先玩了游戏一，接下来该同学应该先玩游戏三还是先玩游戏二能使获得书券的概率更大？
【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为；
（2）先玩游戏三．
【解答】解：（1）设事件A＝“游戏一获胜”，事件B＝“游戏二获胜”，事件C＝“游戏三获胜”，
游戏一取出一个球的样本空间为Ω1＝{1，2，3，4，5}，则n（Ω1）＝5，因为A＝{4，5}，
所以n（A）＝2，所以，所以游戏一获胜的概率为；
游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间为Ω2＝{（x，y）|x，y∈{1，2，3，4，5}}，
则n（Ω2）＝25，因为B＝{（4，4），（4，5），（5，4），（5，5）}，所以n（B）＝4，
所以，所以游戏二获胜的概率为．
（2）游戏三不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：
第二次 第一次 1 2 3 4 5
1 × （1，2） （1，3） （1，4） （1，5）
2 （2，1） × （2，3） （2，4） （2，5）
3 （3，1） （3，2） × （3，4） （3，5）
4 （4，1） （4，2） （4，3） × （4，5）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） ×
则n（Ω3）＝20，C＝{（1，5），（5，1）（2，4），（4，2）}，n（C）＝4，所以，
设M＝“先玩游戏二，获得书券”，N＝“先玩游戏三，获得书券”，
则，且互斥，A，B，C相互独立，所以
＝P（A）P（B）[1﹣P（C）]+[1﹣P（A）]P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）
，
又，且互斥，A，C，B独立，所以
＝P（A）P（C）[1﹣P（B）]+[1﹣P（A）]P（C）P（B）+P（A）P（C）P（B）
，
因为P（N）＞P（M），所以接下来该同学应该先玩游戏三能使获得书券的概率更大．
30．七巧板，又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：如图，设正方形EGHI的边长为x（dm），
根据题意可知AE＝CE，即43x+x＝2x，
解得x，
由题意得S△AED＝S△CED＝4，记为S＝4，SAJGF＝S△JBH＝SGHIE＝2，记为S1＝2，
S△EFG＝S△IHC＝1，记为S2＝1，
∴该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率P．
故选：A．
▉题型5 列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的认识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
31．温州市的“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”四个项目已入选联合国教科文组织非遗名录．某学校计划周末两天分别从四个非遗项目中随机选择两个不同项目开展研学活动，则周六欣赏“永嘉昆曲”，周日体验“瑞安东源木活字印刷术”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：记“永嘉昆曲”、“乐清细纹刻纸”、“瑞安东源木活字印刷术”、“泰顺编梁木拱桥营造技艺”分别为a、b、c、d，
则所有可能结果为（a，b），（a，c），（a，d），（b，a），（b，c），（b，d），（c，a），
（c，b），（c，d），（d，a），（d，b），（d，c）共12个，
所以所求事件的概率．
故选：D．

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