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第5章第3-4节 用频率估计概率
题型1 频率及频率的稳定性 题型2 模拟方法估计概率
题型3 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 题型4 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
题型5 相互独立事件的概率乘法公式
▉题型1 频率及频率的稳定性
【知识点的认识】
﹣频率：某事件发生的次数与总次数的比率．
﹣频率的稳定性：随着试验次数的增加，频率趋近于事件的真实概率．
1．下列说法错误的是（　　）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
【答案】D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确；
对于B，根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确；
对于C，抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确；
对于D，由概率的定义，某种疾病的治愈率为10%，则第10个人的治愈率仍为10%，故D错误．
故选：D．
▉题型2 模拟方法估计概率
【知识点的认识】
1、模拟方法﹣﹣概率的应用
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
2、定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G1），则称这种模型为几何概型．
说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
2．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
【答案】C
【解答】解：根据题意，在20组数据中，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组，
则一年内这3台设备都不需要维修的概率P．
故选：C．
▉题型3 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
3．甲，乙二人同时射击，甲的命中率为0.3，乙的命中率为0.6，则目标命中的概率是（　　）
A．0.9 B．0.72 C．0.18 D．0.42
【答案】B
【解答】解：由于甲乙都没有击中目标的概率为 （1﹣0.3）（1﹣0.6）＝0.28，
故目标被击中的概率为 1﹣0.28＝0.72，
故选：B．
4．端午节是我国传统节日，甲、乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：甲，乙2人端午节期间都没来无锡旅游的概率为：，
则甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为．
故选：C．
5．甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人中恰有一人命中”的概率为（　　）
A．0.14 B．0.24 C．0.38 D．0.56
【答案】C
【解答】解：甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．
则甲、乙两人中恰有一人命中的概率为0.7×（1﹣0.8）+（1﹣0.7）×0.8＝0.38．
故选：C．
6．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1，P2，P3，则下列判断中错误的是（　　）
A．P1＝P2＝P3 B．P1+P2＝P3
C．P1+P2+P3＝1 D．P3＝2P1＝2P2
【答案】A
【解答】解：抛掷两枚硬币，记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1，P2，P3，
则P1，
P2，
P3，
∴P1＝P2≠P3，故A错误；
P1+P2＝P3，故B正确；
P1+P2+P3＝1，故C正确；
P3＝2P1＝2P2，故D正确．
故选：A．
7．奖金分配是《概率论》中的一道经典问题：甲、乙两人比赛，假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为，先胜3局者将赢得全部奖金8万，但进行到甲胜0局，乙胜2局时，比赛因故不得不终止，为公平起见，甲应分配到（　　）
A．0万 B．1万 C．万 D．4万
【答案】B
【解答】解：进行到甲胜0局，乙胜2局时，接下来，甲要获胜，则要连胜3场，因此甲获胜的概率为，
所以甲应分配到81（万元），
故选：B．
（多选）8．已知事件A、B发生的概率分别为，，则（　　）
A．若，则事件与B相互独立
B．若A与B相互独立，则
C．若A与B互斥，则
D．若B发生时A一定发生，则
【答案】AB
【解答】解：对于A，因为，，则，
因为，所以，事件与B相互独立，A对；
对于B，若A与B相互独立，则，
所以P（A∪B），B对；
对于C，若A与B互斥，则，C错；
对于D，若B发生时A一定发生，则B A，则，D错．
故选：AB．
（多选）9．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若A与B相互独立，则
D．若B发生时A一定发生，则
【答案】ABC
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，A与B互斥，则，A正确；
对于B，A与B相互独立，所以，
从而，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，B发生时A一定发生，则B是A的子事件，，D不正确．
故选：ABC．
（多选）10．袋中装有3个红球和2个蓝球，这5个球除颜色外完全相同．从袋中不放回地依次摸取3个，每次摸1个，则（　　）
A．“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”的概率相等
B．“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”互为独立事件
C．“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率相等
D．“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”互为独立事件
【答案】AC
【解答】解：“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到的是红球”的概率，
“第一次和第二次取到的都是红球”的概率，
所以P1＝P2，P3≠P1P2，故A正确，B错误．
“第二次取到的是蓝球”的概率为，
“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故C正确．
“三次取到的都是红球”的概率，
“三次取到的都是红球且第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率，故D错误．
故选：AC．
（多选）11．下列描述正确的是（　　）
A．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B是对立事件
B．若，，，则事件A与B相互独立
C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
【答案】BC
【解答】解：对于A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点数为2，4，6”，
则，但是A，B不是对立事件，故A不正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，
所以不是互斥事件，故C正确；
对于D，若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为，
若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为，
所以第二次摸到红球的概率为，故D不正确．
故选：BC．
12．某电路由A，B，C三种部件组成（如图），若在某段时间内A，B，C正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：要使电路正常运行，则需要A正常，两个B至少有一个正常，C正常，
所以电路正常运行的概率为．
故答案为：．
13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为 　　 ．
【答案】
【解答】解：恰好进行了4局甲获胜的事件为：甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，
此时P．
故答案为：．
14．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．
（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）事件A与事件B不互相独立，证明见解答．
【解答】解：（Ⅰ）重复发信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：
（1，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），
∵信号的传输相互独立，
∴“至少收到两次1”的概率为P．
（Ⅱ）事件A与事件B不互相独立，证明如下：
若依次发送1，1，0，则三次都没改到正确信号的概率为：
P，
∴至少收到一个正确信号的概率为P（A）＝1；
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能为：
（0，0，0），（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性，
P（B），
若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：
（0，0，0），（0，1，0），（1，0，0），根据事件的相互独立性，
P（AB），
∵P（A）P（B）≠P（AB），∴事件A与事件B不互相独立．
15．在某训练基地中，甲、乙两位队员进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设甲发球甲赢为事件A，乙发球甲赢为事件B，该局打4个球甲赢为事件C，
由题知，P（A），P（B），C＝AAB，
所以P（C）＝P（AAB）＝P（A）P（）P（A）P（B）（1），
所以该局打4个球甲赢的概率为；
（2）设该局打5个球结束时甲赢为事件D，乙赢为事件E，打5个球结束为事件F，所以D，E为互斥事件，
DBBA，E＝AA，F＝D∪E，
所以P（D）＝P（BBA）＝P（）P（B）P（）P（B）P（A）＝（1）（1），
P（E）＝P（AA）＝P（A）P（）P（A）P（）P（）（1）（1）×（1），
所以P（F）＝P（D∪E）＝P（D）+P（E），
所以该局打5个球结束的概率为．
16．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：
（Ⅰ）A＝“第一次摸到红球”；
（Ⅱ）B＝“第二次摸到红球”；
（Ⅲ）AB＝“两次都摸到红球”．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解答】解：（Ⅰ）5个球有2个红球，则P（A）；
（Ⅱ）第二次摸到红球，则第一次可能摸到红球或黄球，
则P（B）；
（Ⅲ）第一次摸到红球的概率为，第二次摸到红球的概率为，
则P（AB）．
17．在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向上、向下移动的概率都是，向左移动的概率为m，向右移动的概率为．
（1）若，点P移动两次后，求点P位于（1，1）的概率；
（2）点P移动三次后，点P位于（0，1）的概率为f（m），求f（m）的最大值．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）P点向上向右各平移一次，或者向右向上各平移一次，概率．
（2）P可以上、左、右各移动一次或者下一次上两次，
故，
．
▉题型4 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
【知识点的认识】
﹣对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立．
18．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
【答案】B
【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2），
两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1），
P（甲），P（乙），P（丙），P（丁），
A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙），
B：P（甲丁）P（甲）P（丁），
C：P（乙丙）P（乙）P（丙），
D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁），
故选：B．
（多选）19．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中至多有一次反面朝上”，事件B＝“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（　　）
A．当n＝2时， B．当n＝2时，A与B不独立
C．当n＝3时， D．当n＝3时，A与B不独立
【答案】ABC
【解答】解：A选项，当n＝2时，事件AB表示2次中全部正面朝上，，所以A选项正确；
B选项，当n＝2时，，，由上可知，
显然P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不独立，因此B选项正确；
C选项，当n＝3时，，，，
所以，故C选项正确；
D选项，当n＝3时，，，，
显然P（AB）＝P（A）P（B），所以A与B独立，因此D选项不正确．
故选：ABC．
▉题型5 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
20．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：因为约定连胜两场者赢得比赛，
所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为：第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜，
所以所求概率为．
故选：C．
21．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
【答案】D
【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字，
设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”，
易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，
依次分析选项：
对于A，A B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误；
对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误；
对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误；
对于D，P（B）＝0.6，则P（）＝0.4，
若事件A、B相互独立，则A与也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确．
故选：D．
22．甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，
设事件A＝“甲命中”，事件B＝“乙命中”，事件C＝“丙命中”，
由题意解得
故甲命中乙也命中的概率为．
故选：D．
23．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为；
②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为；
③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为；
④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是．
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解答】解：对于①，某学生在上学的路上要经过4个路口，
假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，
记事件Ai（i＝1，2，3，4）表示第i路口遇到红灯，
则该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为，故①正确，
对于②，由题知此密码被破译的概率为：
，故②错误，
对于③，∵从甲袋中任取一个球，取到红球的概率为，
取到白球的概率为，
从乙袋中任取一个球，取到红球的概率为，
∴从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为：
，故③正确；
对于④，设事件A和B发生的概率分别为p1，p2，又事件A和B相互独立，
由题有，即，
解得，故④错误．
故选：A．
24．一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异．现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
【答案】C
【解答】解：根据题意，采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到红球”，
根据互斥事件、对立事件的定义可知A与B的关系不是互斥与对立，
而A与B两个事件发生互不影响，故A与B的关系为相互独立事件．
故选：C．
25．在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：因为三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为，，，
则灯亮的概率为．
故选：D．
26．甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.357 D．0.275
【答案】D
【解答】解：由题意，第一局甲先着子，甲前两局获胜的概率为0.15，
第一局乙先着子，甲前两局获胜的概率为0.125，
故甲前两局获胜的概率为0.15+0.125＝0.275．
故选：D．
27．端午节是我国传统节日，随着淄博烧烤的示范作用，徐州烧烤也备受游客欢迎，经过随机发放并回收调查问卷，在连云港、宿迁、淮安三个淮海经济圈城市中对广大市民的端午短途游进行了解，每个城市回收300份调查问卷，其中连云港市有100份勾选去徐州旅游，宿迁市有120份勾选去徐州旅游，淮安市有75份勾选去徐州旅游．端午节期间，连云港游客甲，宿迁游客乙，淮安游客丙打算外出旅游，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：甲来徐州旅游的概率约为，
乙来徐州旅游的概率约为，
丙来徐州旅游的概率约为，
则三人都没有来徐州旅游的概率约为，
故三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为．
故选：B．
（多选）28．一个盒子里装有除颜色外完全相同的4个小球，其中白色小球有2个，编号为1，2；红色小球有2个，编号为3，4．现从该盒中不放回地依次取出2个小球，事件A表示“第一次取出的是白球”，事件B表示“第二次取出的是红球”，事件C表示“两次取出的球颜色相同”，事件D表示“两次取出的球颜色不同”，则（　　）
A．A与B相互独立 B．B与C相互独立
C．B与D相互独立 D．A与D相互独立
【答案】BCD
【解答】解：一个盒子里装有除颜色外完全相同的4个小球，其中白色小球有2个，编号为1，2；红色小球有2个，编号为3，4，
不放回地依次取出2个小球，基本事件有：
12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43，共12种，
事件A表示“第一次取出的是白球”，事件B表示“第二次取出的是红球”，
事件C表示“两次取出的球颜色相同”，事件D表示“两次取出的球颜色不同”，
则事件A包含12，13，14，21，23，24，共6种，
事件B包含13，14，23，24，34，43，共6种，
事件C包含12，21，34，43，共4种，
事件D包含13，14，23，24，31，32，41，42，共8种，
事件AB包含13，14，23，24，共4种，
事件AD包含13，14，23，24，共4种，事件BC包含34，43，共2种，
事件BD包含13，14，23，24，共4种，
则，，，
，．
对于A，因为P（AB）≠P（A）P（B），所以A与B不相互独立，则A错误；
对于B，因为P（BC）＝P（B）P（C），所以B与C相互独立，则B正确；
对于C，因为P（BD）＝P（B）P（D），所以B与D相互独立，则C正确；
对于D，因为P（AD）＝P（A）P（D），所以A与D相互独立，则D正确．
故选：BCD．
29．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现10：10平的情况，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局包括两种情况：
①后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为，
②后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为，
由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为．
故答案为：．
30．在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率是，则该智能汽车移动3次恰好移动到点（1，2）的概率为 　　 ．
【答案】．
【解答】解：校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，
每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率是，
该智能汽车移动3次恰好移动到点（1，2），
需沿x轴正方向移动1次，沿y轴正方向移动2次，
有三种方式：先沿x轴移动一次，再沿y轴移动两次；
先沿y轴移动一次，再沿x轴移动一次，再沿y轴移动一次；
先沿y轴移动两次，再沿x轴移动一次，
概率为．
故答案为：．
31．甲、乙投篮比赛，据以往比赛情况，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每次投中与否互不影响．
（1）若甲、乙各投篮一次，求甲、乙都投中的概率；
（2）若甲投篮两次，乙投篮一次，求甲投中次数与乙投中次数相等的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意可得，甲乙投篮为独立事件，
所以甲、乙各投篮一次，甲、乙都投中的概率为．
（2）甲与乙投中次数相等分中零次和一次，
所以所求概率为．
32．多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题目时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项．
（1）求该同学10题得6分的概率；
（2）求该同学两个题总共得分不小于10分的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根据题意，选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．
第10题得6分需满足选两个选项且选对，
选两个选项共有6种情况AB，AC，AD，BC，BD，CD
所以；
（2）总得分不低于10分共2种情况，它们分别是：第10题得6分且第11题得4分；第10题得6分且第11题得6分，
记事件A：第10题得6分，满足选了两个选项且选对；
事件B1：第11题得4分，满足三个选项选了两个选项且选对；
事件B2：第11题得6分，满足选了三个选项且选对．
则；；；
．
33．某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
（Ⅰ）从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；
（Ⅱ）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求的值；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值与（i）中的大小．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）（i）0.122；（ii）．
【解答】解：已知一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
（Ⅰ）根据题中数据，在1000份保单中，索赔次数不少于2的保单份数为 60+30+10＝100，
故一份保单索赔次数不少于2的概率可估计为．
（Ⅱ）（i）由题设，
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
毛利润（单位：万元） 0.4 ﹣0.4 ﹣1.2 ﹣2 ﹣2.6
所以．
（ii）这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值
大于（i）中的估计值．如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，
1000份保单毛利润变化为，
．
则．
34．根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高一男生 高一女生
优秀 260及以上 194及以上
良好 245～259 180～193
及格 205～244 150～179
不及格 204及以下 149及以下
从某校高一男生和女生中各随机抽取10名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：
男生： 203 213 220 235 245 250 258 261 270 275
女生： 140 162 169 172 184 195 196 196 201 208
（Ⅰ）分别估计该校高一男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校随机抽取的跳远成绩单项优秀的高一女生中随机抽取2人，求恰有1人成绩在200以上，1人成绩在200以下的概率；
（Ⅲ）假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．从该校全体高一女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）
【答案】（Ⅰ）；．
（Ⅱ）．
（Ⅲ）A与B相互独立．理由见解答．
【解答】解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为3，获得优秀的女生人数为5，
∴估计该校高一男生立定跳远单项的优秀率为，
估计高一女生立定跳远单项的优秀率为．
（Ⅱ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的女生人数为5，
其中成绩在200以上的有2人，成绩在200以下的有3人，
则恰有1人成绩在200以上，1人成绩在200以下的概率为：
P．
（Ⅲ）A与B相互独立．
理由如下：
P（A），
P（B），
P（AB），P（A）P（B），
∴P（AB）＝P（A）P（B），
A与B是相互独立事件．
35．袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．
（1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数；
（2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；
（3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．
【答案】（1）4；
（2）；
（3）4，5，6，7，8．
【解答】解：设袋中有红球m个．
（1）设A为采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，则．
设B为摸球两次，至少得到一次白球．为“摸球两次，两次均为红球”，
则，解得m＝4，即袋中红球有4个．
（2）设C为摸球三次共取出两个白球，
则三次摸球可能情况为：白白红，白红白，红白白，
则．
所以摸球三次共取出两个白球的概率为．
（3）设E为第三次摸球后停止摸球，F为第五次摸球后停止摸球，
由题意知：1≤m≤9，
若m＝1，则不可能连续两次摸到红球，不成立．
若m＝2，则事件E为“白红红”，，
事件F为：白白白红红，，不成立．
若m＝9，则最多第四次就停止摸球，不成立．
若m＝8，则事件E为“白红红”，，
事件F为：白红白红红或红白白红红，
，P（E）＞P（F）．成立．
若3≤m≤7，则事件E为：白红红，，
事件F为：白红白红红或红白白红红或白白白红红，
，
由P（E）＞P（F）得，，
解得m＜2或m＞3．即m＝4，5，6，7，
综上所述，红球个数的所有可能取值为4，5，6，7，8个．
36．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业．
（1）若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；
（2）若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）从这5人中随机采访3人，有：
（小红、小东、小军），（小红、小东、小英），（小红、小东、小青），（小红、小军、小英），（小红、小军、小青），
（小红、小英、小青），（小东、小军、小英），（小东、小军、小青），（小东、小英、小青），（小军、小英、小青），
共10种情况，其中至少有1人是通讯专业的，
对立事件是没有通讯专业的，即（小红、小东、小青），
∴至少有1人是通讯专业的概率为．
（2）设A＝“小红应聘成功”，B＝“小军应聘成功”，C＝“小青应聘成功”，
则至少有2人应聘成功的概率为：
．第5章第3-4节 用频率估计概率
题型1 频率及频率的稳定性 题型2 模拟方法估计概率
题型3 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式 题型4 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
题型5 相互独立事件的概率乘法公式
▉题型1 频率及频率的稳定性
【知识点的认识】
﹣频率：某事件发生的次数与总次数的比率．
﹣频率的稳定性：随着试验次数的增加，频率趋近于事件的真实概率．
1．下列说法错误的是（　　）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
▉题型2 模拟方法估计概率
【知识点的认识】
1、模拟方法﹣﹣概率的应用
在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．
2、定义：向平面上有限区域（集合）G内随机地投掷点M，若点M落在子区域G1 G的概率与G1的面积成正比，而与G的形状、位置无关，即P（点M落在G1），则称这种模型为几何概型．
说明：几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．
2．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 531 224 344 151 254 424 142
435 414 135 432 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　）
A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55
▉题型3 相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
3．甲，乙二人同时射击，甲的命中率为0.3，乙的命中率为0.6，则目标命中的概率是（　　）
A．0.9 B．0.72 C．0.18 D．0.42
4．端午节是我国传统节日，甲、乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙两人在罚球线进行投篮比赛，甲的命中率为0.7，乙的命中率为0.8，甲、乙命中与否互不影响．甲、乙两人各投篮1次，那么“甲、乙两人中恰有一人命中”的概率为（　　）
A．0.14 B．0.24 C．0.38 D．0.56
6．抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为P1，P2，P3，则下列判断中错误的是（　　）
A．P1＝P2＝P3 B．P1+P2＝P3
C．P1+P2+P3＝1 D．P3＝2P1＝2P2
7．奖金分配是《概率论》中的一道经典问题：甲、乙两人比赛，假设每局比赛甲、乙两人获胜的概率各为，先胜3局者将赢得全部奖金8万，但进行到甲胜0局，乙胜2局时，比赛因故不得不终止，为公平起见，甲应分配到（　　）
A．0万 B．1万 C．万 D．4万
（多选）8．已知事件A、B发生的概率分别为，，则（　　）
A．若，则事件与B相互独立
B．若A与B相互独立，则
C．若A与B互斥，则
D．若B发生时A一定发生，则
（多选）9．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（　　）
A．若A与B互斥，则
B．若A与B相互独立，则
C．若A与B相互独立，则
D．若B发生时A一定发生，则
（多选）10．袋中装有3个红球和2个蓝球，这5个球除颜色外完全相同．从袋中不放回地依次摸取3个，每次摸1个，则（　　）
A．“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”的概率相等
B．“第一次取到的是红球”与“第二次取到的是红球”互为独立事件
C．“第二次取到的是蓝球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”的概率相等
D．“三次取到的都是红球”与“第一次和第二次取到的是同一个颜色的球”互为独立事件
（多选）11．下列描述正确的是（　　）
A．若事件A，B满足P（A）+P（B）＝1，则A与B是对立事件
B．若，，，则事件A与B相互独立
C．掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”不是互斥事件
D．一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球，第二次取到红球的概率是
12．某电路由A，B，C三种部件组成（如图），若在某段时间内A，B，C正常工作的概率分别为，则该电路正常运行的概率为 　 ．
13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局甲获胜的概率为 　 ．
14．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．
（Ⅰ）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；
（Ⅱ）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号； ②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明．
15．在某训练基地中，甲、乙两位队员进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，通过分析甲、乙过去对抗赛的数据知，甲发球甲赢的概率为，乙发球甲赢的概率为，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球．
（1）求该局打4个球甲赢的概率；
（2）求该局打5个球结束的概率．
16．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：
（Ⅰ）A＝“第一次摸到红球”；
（Ⅱ）B＝“第二次摸到红球”；
（Ⅲ）AB＝“两次都摸到红球”．
17．在平面直角坐标系中，位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向只能是向上、向下、向左、向右，并且向上、向下移动的概率都是，向左移动的概率为m，向右移动的概率为．
（1）若，点P移动两次后，求点P位于（1，1）的概率；
（2）点P移动三次后，点P位于（0，1）的概率为f（m），求f（m）的最大值．
▉题型4 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性
【知识点的认识】
﹣对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B）成立，则称事件A与事件B相互独立．
18．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
（多选）19．抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A＝“n次中至多有一次反面朝上”，事件B＝“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，下列说法正确的是（　　）
A．当n＝2时， B．当n＝2时，A与B不独立
C．当n＝3时， D．当n＝3时，A与B不独立
▉题型5 相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
﹣对于相互独立事件A和B，．
20．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（　　）
A． B． C． D．
21．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　）
A．事件A与B一定是对立事件
B．P（A∪B）＝1
C．P（AB）＝0.24
D．若事件A、B相互独立，则
22．甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（　　）
A． B． C． D．
23．下列对各事件发生的概率判断正确的是（　　）
①某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为；
②三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为；
③甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为；
④设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是．
A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④
24．一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异．现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A＝“第一次摸到黑球”，B＝“第二次摸到红球”，则A与B的关系为（　　）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
25．在如图所示的电路中，三个开关A，B，C闭合与否相互独立，且在某一时刻A，B，C闭合的概率分别为，，，则此时灯亮的概率为（　　）
A． B． C． D．
26．甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为0.5，若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率（　　）
A．0.5 B．0.6 C．0.357 D．0.275
27．端午节是我国传统节日，随着淄博烧烤的示范作用，徐州烧烤也备受游客欢迎，经过随机发放并回收调查问卷，在连云港、宿迁、淮安三个淮海经济圈城市中对广大市民的端午短途游进行了解，每个城市回收300份调查问卷，其中连云港市有100份勾选去徐州旅游，宿迁市有120份勾选去徐州旅游，淮安市有75份勾选去徐州旅游．端午节期间，连云港游客甲，宿迁游客乙，淮安游客丙打算外出旅游，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内三个人中至少有1人来徐州旅游的概率约为（　　）
A． B． C． D．
（多选）28．一个盒子里装有除颜色外完全相同的4个小球，其中白色小球有2个，编号为1，2；红色小球有2个，编号为3，4．现从该盒中不放回地依次取出2个小球，事件A表示“第一次取出的是白球”，事件B表示“第二次取出的是红球”，事件C表示“两次取出的球颜色相同”，事件D表示“两次取出的球颜色不同”，则（　　）
A．A与B相互独立 B．B与C相互独立
C．B与D相互独立 D．A与D相互独立
29．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现10：10平的情况，先多得2分者为胜方．在10：10平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方10：10平后，甲先发球，则甲以13：11赢下此局的概率为　 ．
30．在全国中学生智能汽车总决赛中，某校学生开发的智能汽车在一个标注了平面直角坐标系的平面上从坐标原点出发，每次只能移动一个单位，沿x轴正方向移动的概率是，沿y轴正方向移动的概率是，则该智能汽车移动3次恰好移动到点（1，2）的概率为 　　 ．
31．甲、乙投篮比赛，据以往比赛情况，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每次投中与否互不影响．
（1）若甲、乙各投篮一次，求甲、乙都投中的概率；
（2）若甲投篮两次，乙投篮一次，求甲投中次数与乙投中次数相等的概率．
32．多项选择题是高考数学中的一种题型，其规则如下：有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．现高二某同学正在进行第四学期入学考试，做到多项选择题的10题和11题．该同学发现自己只能全凭运气，在这两个多项选择题中，他选择一个选项的概率是，选择两个选项的概率是，选择三个选项的概率是．已知该同学做题目时题目与题目之间互不影响且第10题正确答案是两个选项，第11题正确答案是三个选项．
（1）求该同学10题得6分的概率；
（2）求该同学两个题总共得分不小于10分的概率．
33．某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
已知：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．
（Ⅰ）从抽取的1000份保单中，随机抽取一份保单其索赔次数不少于2的概率；
（Ⅱ）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
（i）记为抽取的1000份保单的毛利润平均值，求的值；
（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下抽取的1000份保单毛利润的平均值与（i）中的大小．
34．根据《国家学生体质健康标准》，高一男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高一男生 高一女生
优秀 260及以上 194及以上
良好 245～259 180～193
及格 205～244 150～179
不及格 204及以下 149及以下
从某校高一男生和女生中各随机抽取10名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1cm）：
男生： 203 213 220 235 245 250 258 261 270 275
女生： 140 162 169 172 184 195 196 196 201 208
（Ⅰ）分别估计该校高一男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校随机抽取的跳远成绩单项优秀的高一女生中随机抽取2人，求恰有1人成绩在200以上，1人成绩在200以下的概率；
（Ⅲ）假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．从该校全体高一女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件A，“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B．判断A与B是否相互独立．（结论不要求证明）
35．袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个．现进行摸球游戏．
（1）若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球，共摸球两次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中红球的个数；
（2）已知袋中有红球5个，从袋中每次摸出1个球，若是红球则放回袋中，若是白球则不放回袋中，求摸球三次共取出两个白球的概率；
（3）若采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球，若连续两次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第六次摸球后结束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中红球个数的所有可能取值．
36．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业．
（1）若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；
（2）若小红应聘成功的概率是，小军应聘成功的概率是，小青应聘成功的概率是，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率．

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